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-265 =$« - 4?^ -t-lï,

— 2O7 =$"^ — 6$s -f-iof3 4$, 20» =$« - 7$^ +i5$*-¥$2 + A,

-269 =$8 — 8^7 -t-2lÇ5 20$3-f- MÇ^

26,2 = 512 — ii$io-+-45$8—84$6-i- 70$* — 2152+ H.

M. Harzer a calculé des Tables qui donnent les logarithmes des 6 (jusqu'à 0<2) pour tous les centièmes de l'argument x, depuis x = o jusqu'à x = i {Astj\ Nachr,, 2759). Il a aussi donné deux exemples complètement développés, où l'application des formules est facilitée par l'emploi d'un procédé graphique {y^oiT BiilL, t. III, p. 61 5).

C'est an même ordre d'idées que se rattachent les recherches de M. Tchéb^chef sur les formules de quadrature à coefficients égaux, communiquées à l'Association française pour l'avancement des Sciences, à l'occasion du Congrès de Lyon [elles ont été reproduites dans le Journal de Mathématiques, 1878; voir aussi y Elude sur les formules d' approximation {ihid,, 1880)].

45. Nous terminerons ces études par quelques remarques sur les formules de quadrature, qui sont étroitement liées aux formules d'interpolation." Il faut, pour cela, reprendre la notation symbolique du n" 8, en la complétant et la modifiant un peu.

Désignant toujours par A les différences ordinaires, nous savons que l'opération (i -f- A)-'* a pour effet de changer j^o ^^y±ji' Quelques auteurs (Boole, Merrifield) remplacent i -|- A par le symbole E, de sorte qu'on a

Si nous réservons, d'autre part, le signe D pour les différences médianes, nous pourrons^ pour dédoubler l'opération D-, supposer qu'entre les termes donnés on ait intercalé ceux qui correspondent aux arguments fractionnaires db ^, di |, . . • et poser

(1) \ D = -— = =E2 E '2, 2v/i-HiD2 = E2-t-E «,

L'opération fictive D se trouve ainsi parfaitement définie; mais, en fait, elle est remplacée par une moyenne arithmétique que, pour plus de clarté, je désignerai maintenant par la lettre M (et non plus par D, comme au n" 9), de sorte qu'on aura

2M rr^AH ^ =E — E-1,

(2) { ^I =Ds/n-iD2,

Le facteur y/i H-ID*-^ sert donc à passer de l'opération fictive D à l'opération réelle M, par laquelle s'obtiennent les différences intermédiaires; et si l'on veut confondre les différences d'ordre pair ou impair dans la même notation, et mettre, par exemple^ j)2/i+< au lieu de MD^'*, il n'y aura qu'à supprimer dans les développements le facteur y/i -\- jD-, ou à diviser par y/i +|D^.

Il faut seulement distinguer entre les différences D^(o), relatives

àj^oî et les différences D^(^) qui sont rapportées àyt^= y/i + A.j^o* Les premières résultent des opérations

I, M, D2, MD2, D*, ..., et les secondes des opérations