D, MD, D3, MD

Pour ramener les unes et les autres à la notation D^, D* , D^^ D^,

D% . . . , il faut, dans le cas de l'argument (o), diviser par ^i + 1 Dles développements où ne figurent que les différences d'ordre impair et, dans le cas de l'argument (^), ceux où figurent les différences d'ordre pair. On a d'ailleurs

46. La différence A correspondant à l'accroissement fini h de l'argument x, on a, entre différences et dérivées, les relations symboliques

^ ^ ( d=log(i + A),

où, pour abréger, nous mettons d pour h -r-' On aura donc, en indiquant par des exposants négatifs des sommes ou des intégrales

( d^«=log^«(i4- A).

Il est entendu que les exponentielles et les logarithmes doivent être remplacés parleurs développements en séries. Lagrange donne les coefficients de ces développements dans son Mémoire de 177'^

Sur une nouvelle espèce de calcul {Œuvres, t. [II, p. 458). Dans les cas les plus simples, on a

A =e*» — I =d-f-.î-d2-i- id3-f- -1 d*-4-...,

d.A-i= -^=i id4--i-d5 Ld*-+.-^d6— ...

— (-i)«7-^dî«H-..., ^ ' {in)\

où B« est le n*^™® nombre de BernouUi ; pais

d =log(TH-A) = A— - Aî+^ A3— i A^-h...,

Ad-i = î / ^, =h Ia— — A2-4--Î-A3

log(n-A) 2 12 24

Ces développements permettent d'établir les formules usuelles de la manière la plus directe, en faisant usage des définitions

d = A -^ , d-i dx

Le symbole A~% comme le remarque Boole, a un caractère interrogatif : la réponse consiste à renverser l'opération. Mais l'intégrale finie A~* ou S n'est déterminée que par le point d'arrivée {yn^\)] le point de départ reste arbitraire; on est libre d'ajouter

une constante d'intégration C, comme on fait pour l'intégrale /.

L'indétermination cesse dès qu'on définit^ et / en indiquant la

limite inférieure.

Pour abréger les formules, je désignerai encore par S la somme

AS représente alors la somme des trapèzes contenus entre les

ordonnées j^OîJ^n • • «^JK/o q^^i figure dans la formule de quadrature la plus simple

] y dx = hS.