D2 DJ

(') Report on tlie présent state 0/ knowledge 0/ the application 0/ quadratures and interpolation to actual data.

En l'écrivant sous cette forme

il saute aux yeux que noire algorithme ne fait que traduire, ou résoudre en ses éléments, la formule d'interpolation

qui devient

\ y = yo-h(x — xo)Do-h(x — xo)ix — xx)D^ \ -h{X — Xo){x — Xi){x — X2)T)l-\-.,,,

si nous mettons ^, y, ^o» J^o? - • • à la place de Xq, y^, x^^ y^^ . . . , en reculant les indices d'une unité. C'est la formule générale d'interpolation de Newton, à peu près telle qu'on peut la tirer du 5® lemme du Livre III des Principes {Invenire lineam curvam generis parabolici, quœ per data quotcunque puncta transit,) On peut aussi commencer par poser

d'où

yt= DS-+-(^t — ^o)i>J-H(^2 — ^o)(a?2 — a7i)D5,

de sorte que la signification des constantes DJ résulte du rôle même qu'elles jouent dans la formule. Mais nous allons les considérer encore sous un autre aspect.

:2. On voit sans peine, en développant, l'une après l'autre, les expressions (i) des quantités DJJ, qu'on aura

Uo = ' >

et, en général,

(Xo — X\) , . . (J^o — ^n) t««^/t — Xq) . . . {Xfi — X,i—i)

Le rapport D" est donc une fonction symétrique des quantités

Xqj . . . , Xnt yo-i • • • > yn-i dont nous sommes libres de permuter les indices. C'est ce qui justifie la nouvelle notation

Do = (oi), bi = (i2), ..., DJ=(oi2), Dî = (i23),

analogue à celle d'Encke dans son Mémoire de i83o, et que fera mieux comprendre le petit Tableau ci-après :

I (oi'i)

En écrivant o, i , . • • , pour Xq^ x^^ . . • , on a, par exemple,

^. (012) — (128) (012) — (oi3) (028) — (128)

Si l'on suppose maintenant que y est une fonction entière de x

y =Ao-+-Aia7 -+- A2 rr^ -f- . . . ,

il est facile de voir que DJ représente la partie entière du développement de l'un quelconque des termes de l'expression (4); on aura, par exemple,