DJ=E
{Xq — Xx) . . . {Xq — Xn )
OU bien, en développant,
DJ = E(A„-h A„4.ia7o-H...)(n- — H-...)...(n- — -4-...), DJ = Art -H. . .H- Ap(a7o, x^t . . ., ar^ )''-" + . . ..
En appliquant l'opération D'' aux termes successifs de j^o? on voit, en effet, que A^ a en facteur le poljnôme
(6) D«a?J = (^o, ar,, .,.,Xn)P-"
qui se déduit de {xq + ^^ +. . . + Xn)P~" en y remplaçant tous
les coefficients par l'unité. On a, en particulier,
D«ar;+* = a:o-^.^l-4-...-^ir„,
Les D s'annulent si leur exposant dépasse celui de x. Si doncj^ n'est que du degré p, nous aurons DP'^^yo = o. Supposons que y soit du degré /i,
(7) y = ko-h A^ix-h,. ,-\- AnX^'
En ajoutant à cette relation celles qui s'en déduisent en remplaçant Xy y par Xq^ y^^ . . . , Xni yni nous avons n 4- 2 équations qui permettent d'éliminer les n + i coefficients Ao, . . . , A;,, et le résultat de l'élimination, c'est l'équation
qui, développée à l'aide de la formule (4), devient
{X — Xq){X — Xx),.,{X — *Xn)
^ To +...-+- Zl =0,
{Xçs — X){x^i — Xx),, .{XQ — Xa) '" {3rn~X){Xn — Xo).. .{Xn — Xa-i)
ou bien
(X — Xi) ,. .(X — Xfi)
(9) y=ro
{Xq Xi) . . . (Xq — X,i)
C'est la formule d'interpolation de Lagrange, qui exprime y en fonction de x et des quantités données Xq, • • • , Xn, yo, • • • ? J^/i- Lagrange Ta donnée en 1 790, dans ses Leçons élémentaires (Journal de VEc, PoL, t. II, p. 277). D'après Boole, on la trouve aussi dans Euler (Z?^ eximio usu methodi interpolationum in sérier um doctrina).
Nous avons, d'autre part,
Yiny ^^ - const., et, par suite,
(10) D«7 = D«7o, équation qui, développée, devient
C'est Ja formule d'interpolation de Newton, que nous avons déjà démontrée plus haut [formule (3)].
3. Il faut mentionner ici une Note de M. Emorj M*^ Clintock, publiée dans le tome II de Y American Journal of Mathematics (1879), sous ce titre : A new gênerai method of interpolation. L'innovation consiste simplement à introduire, au lieu des rapports (1), les suivants :
Xx — ocq "^ x^ — a7o D* = > 1^3 = > •••>
^ X^ — Xx Xz— Xi
dont l'expression générale est
(12) Dr' = ^^^ — —■
Xi — Xn
On a ensuite
y = yo-\-{x — xq)D\-{-{x — xçi){x — xx)iyi H-
Ce mode de calcul rend, selon l'auteur, la besogne plus mécanique (work more mec/ianical). On constate aisément que les têtes de séries D], D^, D^, ... de M. M*^ Clintock peuvent être représentées par le second membre de la formule (4), et coïncident, en valeur, avec les rapports que nous avons désignés plus haut par Do, D^, DJ,
4. On sait, d'autre part, que la formule de Lagrange a été généralisée par Cauchy. En cherchant à exprimer y^ non plus par une fonction entière,' mais par une fonction rationnelle de x, de la forme
il trouve
a -h bx -h. . .-h /ix^^
a-f- ^x -h. .,-\- sa:"*'
yo.Vl • • • YniK^ — ^m 4-1) • • • (^ — X m->rn )
__ ('^0 X m-\-\ ) • • • ( ^0 ^m + n ) • • • i^fn ^/«-i-t ) • • • ( ^m — ^m-^n )
""* 7ori " -yin-xio^Q — X), ,.{x,n-i — x)
\Xq ^m) • • • (^0 •^/«-+-/t)« • • K^m—i Xf/i) • • • {^m—i — ^m+n)
Cette formule a fait l'objet d'un Mémoire de Brassinne(/o;//72<7/
de Lioiiville, t. XI, 1846); elle a été aussi étudiée par Jacobi {Journal de Crelle, t. XXX, i845) et par Roscnliain {ibid.).
Je me bornerai ici aux remarques suivantes. Si l'on veut utiliser l'expression (i3) pour l'interpolation, il convient de mettre le numérateur et le dénominateur sous la forme adoptée par Newton. Posons
Yi =^1 -h(a7 — iri)Di-+-(ir — Xi){x — Xi)D\ -^ . . . ,
et
a(r — Yo)-f- p(^— ^o)(r — Yi)-»-ï(^ — ^o)(a7 — ir,)(7 — Yî)4-... = o, d'où
OL-\-{x — X^)^ -\-(x — Xq){X — X^Y(-<r,,.
OU bien
ajo-t-Çr— yo)(gDo-hP7i)-i-(3r — jro)(3: — .ri)(gDi;-+-pDi-4-Y.r8)-^-" •^ a->r{x — Xq)^ -\-{x — Xq{x — d7i)Y-i-...
En faisant m -\- n =p^ le nombre de valeurs de y dont on aura besoin serait? + i. Si alors on fait successivement^ = Xq, ^o . . ., Xpj le premier membre de l'équation
a(7 — Yo)-hP(a7 — aro)(y — Y,)H-...= o
se réduit à o pour x = Xq^ . . ., Xn, parce que Yq, Y<, . . . , Y,„ (qui sont des degrés /i, n — i, . . . , n — m) coïncident avec les valeurs correspondantes dey ; mais les substitutions x = x^^^ ? • • • > Xp donnent les conditions
aDJ+» -4- pDï H- vD?-i H-. . . = 0,
aDJ -f- pDf-» H- yDÇ-2 -h. . . = o,
et Ton a ainsi m + i équations entre lesquelles on peut éliminer a, [3, Y, .... On voit que le dénominateur de y s'obtiendra en formant le déterminant
(X — Xi^) (X ■—Xo)(x — Xi)
et le numérateur en y remplaçant la première ligne par celle-ci
La formule ainsi construite pourra être, en quelque sorte, ren-
versée, en remplaçant partout j',)©, . . . par -, — ? • • •; transformation qui peut aider à la simplifier. On trouve ainsi, par exemple, pour m^= n = i, avec trois valeurs données de^.
roDi-4-(:c — aro)(D|Do— ytP;)
OU bien
y D,-(^-;ro)DJ
S. Dans le cas où ^0» ^\^ • • • forment une série arithmétique, si nous prenons l'intervalle constant (;r, — ^0) pour unité, nous aurons, en désignant par A, A^, ... les difTérences successives,
I . '2 . . . n En faisant x — Xo= t, la formule de Newton devient
(i4) jr, = 7o+<Aro+ \,.^^ "7o-f-- ;-;^^;3 ^ A3jo
OU bien
où t^ ^2> ^3? •• • sont les coefficients du binôme. On suppose ici ^>^oj ^>o. Pour :r <; ^To, on fait ^0 — x=^t^ et la formule devient (en remplaçant t par — /)
(I5) y.,=y,-tt^y^-\- \ t^^y,--^ -^ ^A3jo4-...,
ou bien
OU encore, en avançant les indices,
jo=y^— ^ Af-+-(<-f-i)2A| — (f -h2)3A?-H
On peut donner une remarquable transparence à toutes les formules de cette théorie par l'emploi de la notation symbolique
de Leibniz, que Lagrange a développée dans son Mémoire de 1772 {CEuvreSy t. III, p. 440> ^^ 4"^ X^^vià à devenir d'un usage courant {voir BooLE, Calculas of Jinite différences). Dans cette notation,
et la formule de Newton s'écrit
(16) 7^ = (i-+-Ayjo,
ou bien, si nous omettons y, en désignant j^o par ^X? comme le fait Lagrange,
On aurait de même
(17) r-/ = (i + -^)-'ro, jKo = (i + A)-0'^.
Les différences Aq, Ajj, . . . , dans ces formules, sont les différences successives qui, dans le Tableau, descendent en diagonale, à partir de jKo^
