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Dans les formules (i4) et (i5), elles servent respectivement à interpoler en avant et en arrière. Si, pour interpoler en arrière, on voulait suivre une marche rétrograde, symétrique de la marche progressive, il faudrait employer les différences qui montent en diagonale (en changeant le signe des différences d'ordre impair), et les formules (i4) et (i5) s'écriraient

(,8) 7-.=7o-M->-H-i^Al,^ ^^^^3 ^ Ai3 (19) yt = y^-\'t\-i-h \ ^ ^ AJa-f- -^^ — —^ iM,

ces transformations s'obtiennent, sans calcul, par l'inspection du Tableau des différences.

6. Reprenons la formule (3), où les intervalles sont quelconques. En écrivant a, b^ c^ ... à la place de Xq, x^ , x^^ . . . , et faisant usage de la nouvelle notation des rapports D'', qui a été expliquée au n" 2, elle devient

y = ya-^{^ — a){ab)->r{x — a){x — b){abc) -\-{x — a){x — b){x — c){abcd)

Il est clair que les lettres a^ b. c, ... pourront représenter les valeurs données de x dans un ordre arbitrairement choisi. Si nous écrivons a, 6, a', 6', ... au lieu de a, bj c, d, . . ., en faisant coïncider la suite naturelle des éléments ^ avec l'un ou l'autre des deux groupements symétriques

il est visible que la formule, qui devient alors

{ y = j^-+-(ip a){ab)-\-{x — a){x — b){a'ab) \ -i-(x — a')(x — a)(x — b){a abb')-h. . .^

n'introduit (par une marche en zigzag) que les différences placées immédiatement au-dessus ou au-dessous de la ligne horizontale, menée par le milieu de l'intervalle ab :

... (a ab) (ab) ... (a'abb')

... (abb') {bb')

{bb')

{abb') (ab) ... (a'abb')

{a' ab) {aa')

Cette formule convient surtout lorsque x tombe entre a et b.

Au lieu de varier les groupements, on pourrait aussi en conserver un seul, le premier, et faire, en revanche, des permutations de lettres dans la formule (21). Les deux permutations