I -^{x — a){x— b)lx ; j(a'abb')-h

7. L'aspect de ces formules se simpb'fie beaucoup lorsque les valeurs données dey sont équidistantes, c'est-à-dire séparées par des intervalles égaux de l'argument x. En faisant x — a=dtzl, b — a = i, et confondant a avec Xq, les formules (21) et (22) deviennent

et

Al, H

yt =7o-h « A iH -' Al, -+- ^^ -^. -' Alj

(^7) < + rïX4 ^s-^---'

j.. = yo~^A.,-^^Al,-^--;-3--^Ai,4-..

De même, (3.3) nous donne

{ ,. X. '(' — '">»% '(' — oc — ■>-) .,

|r. = r. + («-')Ao+-^^A5 + ^3 Ai,

Au lieu d'établir ces formules directement par l'interprétation des groupements, on pourrait les déduire des formules (i4) et (i5) par substitutions successives» en faisant

et ainsi de suite ; mais la marche que nous avons suivie, avec Gauss, est plus simple..

Je ne citerai que pour mémoire la formule de Laplace {Théorie analytique des Probabilités, p. i3), qui peut s'écrire

OU bi

len

t(t — ar — i) ,,

yt=ro-^t^r-^ Al^-H....

Par la combinaison des formules (26) et ('2^), on obtient la suivante, qui correspond à ('24),

C'est la formule dite de Stirling, mais qui était déjà connue de Newton (Prop. lll de la Méthode différentielle). Elle est surtout propre à l'interpolalion entre un nombre impair de quantités équidistantes. Pour un nombre pair, on aurait la suivante, qui résulte de la combinaison de (26) et (28), et qui correspond

j^,= Zi±i:iHH(.-i)Ao

Cette formule, que Ton trouve aussi dans Stirling, peut s'écrire, en simplifiant les deux premiers termes,

ni) r -V ^t\ • fUzii)^l±^i .

ou bien encore, en comptant t à partir du milieu de Tinlervalle

On trouve, dans le Recueil de Tables astronomiques de Peters, deux Tables qui facilitent l'application des formules (29) et (3i). Pour la formule de Newton, lesvaleurs des coefficients sont données par Vega, Barlow, etc. Voir aussi Woolhouse, On interpolation (Londres, i865).

En faisant ^ = o, (32) donne la formule connue

(33) ^.= Z5L±Zl I ^i±^+ 3 -^-1-+-^-^

8. L'avantage des formules qui précèdent, c'est qu'elles mettent en jeu des différences « symétriques », c'est-à-dire échelonnées le long d'une ligne de symétrie (d'une ligne horizontale) du Tableau, ce qui favorise la convergence. Mais, lorsqu'on s'arrête aux formules (26), (27), la symétrie n'est pas apparente dans les notations, et la marche est alternante : pour passer de Aq à A^,, l'opération

est -> et de A^, à A^,, simplement A. Sur la même ligne, rigoureusement, on ne peut passer que de Aq à A^, , par l'opération ,

qui ne se dédouble pas :

• • • «lA I • • • *Jk A • • •

Pour retrouver la symétrie, on a recours aux différences que nous appellerons médianes (c'est-à-dire placées sur la ligne médiane du Tableau), en comblant les lacunes par les moyennes arithmétiques des différences de même ordre, placées immédiatement au-dessus et au-dessous de la ligne, comme le montrent les

formules (29) et (3o). La ligne menée parle travers de y© contient les did'érences médianes

taudis que celle qui passe entre yo ely^ renferme

Afin d'abréger l'écriture, et de mieux marquer la symétrie de l'algorithme de l'interpolation, on introduit souvent, dans la notation des différences, l'argument moyen, qui correspond à la ligne sur laquelle la différence est placée, au lieu de l'argument de départ, qui figure dans l'ancienne notation. Les différences médianes, placées sur une même ligne, ont alors toutes le même argument. Si, pour plus de clarté, nous les désignons par la lettre D, celles qui forment la série (34) s'écriront

et celles de la série (35)

Do(i), D(i), D»(|), D3(i), DHi), ...

ou, si l'on préfère la notation d'Encke,

et

/^(i), /'(i), /^(i), ri\). r\ï)^ ....

Hansen, dans un Mémoire de i865 {Retationen zwischen Summen iind Diffère n zen) met Targument moyen en indice; il écrit, par exemple, Aj^«. Cet usage est critiqué par G. Boole, qui le déclare anti-scientifique {unscientific and wliolly in défiance of convention)', mais la notation est commode et ne causera pas de méprises, si l'on a toujours soin de mettre l'argument moyen entre deux parenthèses; avec cette notation, les formules (26) et (27) s'écrivent

I r..=^.±<D(±i)+ £^ D.(o)± lilillliiilli} Da(±î)+..., (36) < '•'■'•^

ou bien

/(±0 = /(o)±</'(Ti) + (« + i)î/'(o)d:(< + i ),/""(+!)

La formule de Stirllng s'écrit (pour ^<o)

(37J.yi=r. + <D(o)+-i^D'(o)+ 'Y,^ 3^ D»(o)+ Y..,.3.4 P'(») el la formule (3i)

Enfin (33) devient

(39) 7i=Doa)-iD2(A)+-l Dv(';__l-D6(i) + ....

La formule de Stirling offre l'avantage de se prêter, avec la même facilité, à l'interpolation en avant et en arrière, puisqu'il suffît de changer le signe des termes d'ordre pair pour l'interpolation en arrière.

En la développant suivant les puissances de t, on trouverait

(r/=7o-+-«(D-iD3-i-3LD5-...) (40) ■+-^î(iD«-^Dv + ï|;jD6...)4-«3(lD3 J^D5H-...)

( -H «H ïLD^__j D6^...)^^5(^D5 — ...)■+•....

9. Pour les applications que nous avons en vue, il importe de nous rendre compte des relations qui existent entre les différences ordinaires A et les différences médianes D, dont le caractère mixte s'oppose à l'emploi de l'algorithme habituel.

D'après les définitions du numéro précédent, nous avons

Do(o)=Ai>, D(o)= ^^-^^"S

D>(o) = AÎ,, D3(o)=-^i— ^i,

D2«(o)= AIJ, D2«-^i(o) =

•1 On aurait aussi, comme il est facile de voir

j D2«(o)=Al«, D2«+i(o) -l-|D2«H-2(o) = A1S+», ( D2«(n)=A5", D2«M(^)4^-D2«-^-2('n) = a;«-^\

et par la formule (17)

(17) Ai„=A*(H-A)ô^

Pour simplifier récrilure, nous supprimerons l'indice o el Targument (o) toutes les fois que cela pourra se faire sans nuire à la clarté. On trouve alors, en se servant de la formule (17),

5tD = AH =i-hA — (1-4- A)-»,

(i-f.A)=^»= iihDH-jD2, A = D-T-tD2.

Pour une différence quelconque, d'ordre pair ou d'ordre impair, on trouve de même

(43) < 2Dî'»+i=A2«+i[(i -H A )-'*-+-( 1-4- A )-«-']

OnadoncD2« = (D-*)", et

mais non pas (D)^" = D-" ; on ne peut donc associer directement deux exposants impairs, ni élever D à une puissance, comme il est permis de le faire pour D-, On a ici

(44) < (D)2'^=(D2^lD'0''= D2/Mi-f-in2)",

En développant les expressions {/\'i), on trouve ensuite

+ "("-^" A«+î n(/t + i)(ft + a) ^,„^3 ^

par conséquent

D =A — lA2-+-|A3— jA^-t-...,

D2 = Aî— A3-4- A^ — ....

D3=: A3 — fA*-+-aA5— ...,

Pour arriver à exprimer les A par les D, nous appliquerons l'opéralion D^" à la formule de Slirling, en y faisant ^ = /z, ce qui nous donne

D2n(/l)=D2/ï(0)-f-/lD«'»+I(0)H- — D2«+2(o)-4-....

Le premier membre étant remplacé par A2"(o), nous pouvons supprimer partout Targument o, et il vient

ou

bien