AI
On a, d'autre part,
et, en tenant compte des relations (44) dans la rencontre des exposants impairs, on trouve
OU bien
Il s^ensuit qu'on aura
(i -h A)IA = I -h^ D«'»+' ( (Jt2,i-Hi -{- n.iiî„-h n^. fXs/i-î H- . • • )
^D2'*-^[([JL — i)2„,-i-/î(a — l)2„2-t-...].
Or on a généralement (en désignant toujours par rtp les coefficients de la puissance /i'''™*' du binôme)
Il s'ensuit que
ou bien
Or ie% formules (42) montrent qu'on aura (1 + A)~* en remplaçant D par — D dans (i + A); on trouve donc
( 43) <« ^- A)*H' — I = V (±1 Dî^+i 4- ^^^ Dî^+îVjjL -H /i)s«+i.
Cette relation nous sera utile dans la suite.
10. La méthode de Mouton que Lagrange développe dans son Mémoire de 1792 (*) consiste à déterminer, par les différences de la série donnée, celles de la série interpolée, et à remonter de celles-ci aux termes cherchés, de sorte que le calcul se réduit à des additions successives.
Les formules s'établissent très facilement à l'aide de la notation s}rmbolique. Étant donnée une série de termes équidistants Tq, T|, •.., il s'agit d^tnterpoler les termes également équidistants t^y t^y . . . , de façon à subdiviser l'intervalle primitif en m intervalles plus petits. Nous aurons
et, en désignant par A les différences des T, par 8 celles des /,
par conséquent
(') Œuvres, t. V, p. 663. Voir aussi le iMémoire de 1778 5m/' les interpolations {Œuvres, t. VII, p. 535) et le Mémoire de 1783 Sur une méthode particulière d^ approximation (t. V, p. 517).
Il en résulte que
et aussi
On trouve ainsi
(5o) { ^is^s— ^8*+i
Nous avons, d'autre part,
(5i) i-h8=(i + Ay
d'où
o=(i-hAr-i= - A-+-f-^ AÎ-+-...
et aussi
par conséquent, en remplaçant m par — dans (5o),
ou bien
^ A* m — I A*-»-* m — \ (im — i s — i m — 1\ A*+*
\ (im — I s — I m — 1\
Si A'' est la dernière différence sensible (A'^*==o), on aura évidemment
8r-l = \^r-\ i^ L 1 Ar
En faisant s=: i, 2, 3, ... dans (52), on trouve
(m — \)(Sm — 4) ^3 ^ (m — i)(3m — i)(4m--2) ^^
2(m — ï)(ii/n — 7) 2(m — 0(4'^ — 2)(5m — 3)
3(m — i)(i4m — 10) ,, 3(m — i)(5m — 3)(6m — 4) ,. 24 m5 48 me
Le cinquième terme de S est + — — — -^^— ^ — LM^! — 12 A^. ^ 120 m*
L'expression des différences 8 que C.-F. Degen a donnée sans démonstration dans une courte Noie (Astr. Naeh., n° 15, 1822), cesse d'être exacte pour 5 > 3. Le Verrier a traité le mêm^ sujet (Ann. de VObs,, t. I, p. 126 et i5i).
H. Les différences S sont les différences successives à partir de fo(8^oj S^fjj, . . .), comme les A sont les différences successives à partir de To, et elles servent à former, par additions répétées, les termes cherchés t^y t^^ . . •• Dans le Tableau, ces différences descendent en diagonale. Lorsqu'on veut faire usage des différences médianes D, il faut construire un autre algorithme.
Remarquons d'abord qu'en appliquant aux ? les formules (4^^) il vient
où rf, rf^, ... sont les différences médianes pour les intervalles
réduits. Or, en vertu de (5i)^ nous avons 1 4- S = (i + A)'"; et, en faisant [jl === — > (48) nous donne
« 21 - En substituant dans (54)) on trouve
OU bien
= -L D - ^'""' D3 + (^'-0(4^^-1) Ds m 6m3 i2o/w5
et
De ces expressions fondamentales, les autres d se déduisent par les relations
d.»-. = rf.rf.» = —1- D««+« - ("■+^K^' — ) D,„^, + . . . .
On aurait, par exen^ple,
Il ne faut pas oublier qu'on n'a pas d.d^=d^f mais qu'on a. d'Kd^ = d'^-^K
Ces formules sont d'accord avec celles que M. J.rJ. Astrancf'a publiées en i858(yi. N., 1125) et en 1875 {Vierieljahrschrift, t. X, p. a^g), m.ais sans en indiquer complètement la loi. Encke avait traité un problème analogue dans le Jahrbuch pour i852.
En suivant une marche inverse> on pourrait exprimer les D par
les rf, et Ton trouverait
D = mû?-h(/îH-i)8rf'-*-(/w-+-a)5û?«-H..., Pour /n = a, on aurait donc
Ces relations peuvent faciliter le calcul des difTérences d. Ayant calculé ces dernières pour l'argument o, on trouve les différences 8 par les formules
i.,=d-\d>, !rïi;~^'" 8î,=d»-ws
«.=''-iA 8r=>v8i. '-^-^'^'^^'-
J'ai dû me borner à démontrer ces diverses formules en renonçant à donner des exemples de calcul, qui auraient pris trop de
place.
Quand nous ferons d'autres applications des différences médianes, nous désigfïérons par la lettre M la moyenne ^ ( A H j ,
représentée plus haut par D, et D représentera l'opération fictive ' On aura M = D y/i-f-ÏD^, et, pour unifier la notation
des différences successives, il suffira de diviser par y/i -f- ^-D^ les développements où figurent D2«+*(o) ou D2'»(i).
12. Avant d'aller plus loin, il convient de faire une remarque qui peut paraître banale, mais qui n'est pas superflue. C'est qu'au lieu de la quantité y dont on connaît une série de valeurs (soit isolées, soit relevées sur un tracé graphique), on peut interpoler telle fonction de j^ qui s'y prête avec plus de facilité. •On peut essayer j^*, ou ^y^ ou logy. Dans beaucoup de cas, surtout dans les problèmes de Physique ou de Statistique, c'est le logarithme
t. 84, 1877), M. Hermite indique une autre généralisation de la formule de Lagrange, qu'il obtient en cherchant à représenter par un polynôme F du degré n — i, non seulement la fonction donnée f{x)^ mais encore ses premières dérivées, de sorte que, par exemple, /(a), /'(«)? •••, /*"'(<^) coïncident avec F(a), F'(a), . . ., F«~*(a). On peut consulter, à ce sujet, une Note de M. V. Williot {BulL des Sciences math., octobre 1890).
Pour étendre la formule de Lagrange au cas de deux variables ;r, y^ on sait qu'il suffit d'assimiler y à x^ en posant
où les facteurs X/ et Y/ sont de forme semblable.
Il y a quelques années, à propos d'un travail de M. Weyer (Astr. Nackr., 2804), j'ai montré comment la formule de Lagrange se transforme quand le nombre des ordonnées yn devient infini, et en particulier quand ces ordonnées forment une suite périodique où un groupe de m ordonnées se reproduit indéfiniment; les coefficients se changent alors en fonctions trigonométriques (voir BulL astr,, t. IV, p. 5i5).
Mais je laisserai de côté l'interpolation par les séries trigonométriques, dont Lagrange, on le sait, s'est occupé à plusieurs reprises (Recherches sur la manière de former des Tables des planètes diaprés les seules observations, 1772; Œuvres, t. VI, p. 507; Sur les interpolations, 1780; Œuvres, t. VII, p. 54 1). 11 y aurait à citer la formule de Walbeck (Corresp. astr., 1820), celle de Bessel (Astr, Nac h r,, n"^ 136; 1828); puis la méthode que Le Verrier a développée dans le tome I des annales de V Observatoire (1855) et dont, peu de temps après, Encke a donné un exposé dans le Jahrbuch ( 1860). M. Hoiiel s'en est occupé à son \.owv (Comptes rendus, 1861; Ann. de VObs., t. VIII, i865).
Le problème a été résolu par Gauss, d'une manière beaucoup plus simple, dans le Mémoire posthume intitulé : Theoria interpolationis methodo nova tractata (Œuvres, t. III, p. 265), où l'on trouve la formule
. X — b . X — c . X — l sin sin • • -sin
^ . a — o . a—c . a — l sin sin . • -sin
qui peut tenir lieu de la série
y = oi-\- ol'cosx -h oi^cos^x -4- P'sina? ■+- ^"81020?
13. Dans beaucoup de cas, la recherche des coefficients d'une formule d'interpolation se ramène à la résolution d'un système d'équations linéaires.
L'introduction des déterminants est un excellent moyen d'élucider la théorie de l'élimination; mais, lorsqu'il s'agit de calculs numériques, on préférera toujours le procédé ordinaire de l'élimination successive des inconnues. Ce procédé peut d'ailleurs être présenté sous une forme élégante, en suivant les prescriptions de Gauss ou celles de Cauchy.
Supposons d'abord qu'on ait à déterminer m inconnues or, y, Zj . . • , ^ par m équations linéaires
Aia7H-Bi^-l- Ci-5 +.. .-4- H|«= Fi,
dont nous représenterons l'une quelconque par l'équation typique
(I) Xx-hBy-\-Cz-i-,.,-\-Ut = F.
On commence par éliminer x, en retranchant de chaque expression F la première F| , multipliée par le rapport ^ des coefficients respectifs de x, et l'on obtient m — i équations de la forme
(II) j^AB-h^AG4-...-h«AH== AF,
les diiTérences premières A étant définies par les relations
AA=o, AB = B-Abi, aG = G-Ac„ ..., aF = F-Af„
Al Al Al
de sorte que ABi, ACi, . . . , AFj s'annulent évidemment. L'élimination dey entre les expressions AF2; AF3, . . • , AFm donne m — 2 équations nouvelles du type
en faisant
A«B=o, A2G = AG-^AGî, ..., AîF = AF-^AFj,
Ai32 Adj
et ainsi de suite. Il est visible que AF| ; A^Fi, A2F2; .. , A^'Fi, . . ., A^'Fto sont nulles par définition. On arrive finalement au système
S' xA.-hyB-[-zC-^,..-^ tll =F,
7 AB -j- ^ AG H- . . . H- ^ AH = AF,
dont la première ligne représente m équations, la seconde m — i, et la dernière une seule, comme le montre le Tableau suivant des seconds membres
/ Fi, Fj, F3, . . ., F„i, AFj, AFj, . . . , AF,;i,
Pour le calcul des inconnues x^y, 5, il suffit de prendre la première équation de chaque type, à savoir celles dont les seconds membres soilt
(3) Fi, AF2, A2F3, ..., A'«-iF,„,
en remontant de là dernière à celles qui la précèdent; elles fournissent ainsi, l'une après l'autre, les valeurs de ^, . . . , >s, y, x.
Si les inconnues sont liées entre elles par n équations de la forme
( «1 a? -h 61 j^ -+- Cl >5 -h . . . -h Al / = /i ,
(4) < aiX-h bijr-h CiZ -h,..-^ hit =zfi,
dont le nombre surpasse celui des inconnues (n > m), ces équations sont, en général, simplement approchées, et ne deviendraient exactes qu'en remplaçant f par f — e, où s représente l'erreur dey*. Il faut alors commencer par en déduire un système d'équa-
lions finales en nombre égal à celui des inconnues; ce qui peut se faire de deux manières.
On peut, d'une part, en ajoutant les équations (4) après les avoir multipliées par des facteurs )vi, ..., \nt ^u •••> J^/ii •••? former un système de m équations linéaires tel que le système (i), et en déduire les équations finales (3). En partant de Téquation
type
ax -^ h y -\- c z -h . . .-h ht = f,
et nous servant de la notation de Gauss
(ap ) = ai p, -f- aj P, -^ . . . 4- «;, P„, les sommes pondérées des équations primitives pourront s'écrire
('ka)x -^('kb)y -\-{'kc)z -|-... = (X/) = F,,
(vrt)a7 -^-(yb)y -^(vc)^ -i-... = (v/) = F3,
L'élimination successive de ar, de y, de z, ... donne des séries d'équations telles que les suivantes
( |i6. 1)7 4- f [xc. i)>s -f-. . . = (|x/. 1),
. ; (vÔ.l)j^ -h(vC.l)3 4-...= (v/.l),
(VC.2)3 -+-. . . = (v/.2),
où, d'après la notation de Gauss,
(>/.,) = (Hi/)-i|Jj(X/), ...
Avec la notation de Cauchy, qui représente par A, A*, . . . des « espèces de différences Gnies de divers ordres », ces expressions deviennent
AF, = A((x/)=(,V)-([^a,)j4^' A» F, = y-(',/) = A(v/) - A(v6) ^^J,
et il est visible qu^ellcs peuvent être mises sous la forme
AF, = (fiA/), A«F8 = (vA«/),
en posant
« ce qui, à la vérité, modifie légèrement le sens du signe d'opération A.
Il faut se garder de confondre le symbole A, employé ici, avec celui des différences finies ordinaires, où A. A = A^. Les A sont ici des coefficients d'élimination. Ainsi A^ naît de l'élimination de x^ y entre les équations
F = Aa? -f-Bj -h...,
Fi = Aiar-i-Bij'-h...,
Fj = ktx 4- Bj^ H-. . . ,
et l'opération se fait comme si les autres inconnues n'existaient
pas. En désignant par [a6|] le déterminant formé avec les élé-
a b ments , on trouve
AF =F-^F.= [^, Al Al
AB, '^^ [AiB,]'
A3F = A.F-^î£A«F3=[i:ALÇl^,
A«G3 ' [AiBjGa]'
et ainsi de suite. On voit que les A sont des fonctions symétriques des coefficients qui y sont contenus.
Les quantités ((x Ay*), (v A^/), . . . sont composées d*une manière analogue, les éléments des déterminants étant les coeffîcients()^y*),
Il nous semble que l'emploi du signe A aide à régler la marche des opérations.
On se trouve ainsi conduit (comme l'a remarqué Bienaymé) au mode d'élimination fondé sur l'algorithme de Cauchy.
14. On peut, en effet, avec Cauchy, établir directement les équations finales sans passer par toute la série des. expressions (5).
Pour cela, remarquons d'abord qu'en éliminant successivement x^ y, Zy • . • des équations (4), on peut écrire à la fois le système des relations approchées (où chaque ligne représente n équations)
xa-^-yb -^ zc -4-...-4-f/i =/,
yi^b-^-zS^c 4-...-hfAA = A/, (7) { ^ A2c -+-... -4-«A« A =A2/,
et le système d'équations définitives
xCka)-hy{lb) -+-^(Xc) -h.,,-ht(kh) =(X/), , . 7(|iA6)-4-^({i.Ac) -4-...-hf({iAA) =(fiA/),
qui se déduisent l'un de l'autre, ligne après ligne, les différences A étant formées comme il suit :
v=/-[Mi-. ^-/-v-JJIg"
La première des équations (8) est la somme pondérée des n équations contenues dans la première ligne de (7); combinée avec celles-ci, elle sert à former les n équations que représente la seconde ligne de (7), et dont la somme pondérée fournit la seconde équation du système (8). Celle-ci, à son tour, sert à déduire la troisième ligne de (7) de la seconde 5 cette troisième ligne fournit la troisième équation (8), et ainsi de suite.
Pour abréger, nous introduirons les notations nouvelles ( * )
„(X/) > (f^A/) ,^ (vAV)
^f = f--^a, A«/=A/-cp'A^ A3/=A«/-?''A2c,
(*) Il faut dire que la notation que nous avons adoptée n'est pas tout à fait celle de Cauchy, qui écrit, par exemple,
mais les formules gagnent en symétrie par l'introduction des rapports 9.
qui entraînent ces formules à* opérations
(XA) =0, (XA«) = o, ([iA2) = o, (lo) {(XA8) = o, (fjiA8) = o, (vA3)=o,
On a, en effet, par définition,
(XA/) = (X/)-cp(Xa) = o, ....
En désignant toujours par a, p, y, . . • les rapports o pour f=. a^ bj Cj . . . , on trouve
