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égale -jV. Le second membre devient alors ég^ i — 5 en y

substituantV égale 2 gfH, lise réduit à — . Cette dernière eipres-

sion montre que, dans le cas le plas avantageux , celui du maximum d’effet, la force utilisée n’est que la moitié de celle dépensée. Cette évaluation n’est qu’une limite que l’on n’atteint jamais, dans la pratique, à cause du jeu nécessaire au mouvement de la machine, et à cause des imperfections inévitables dans sa construction. En désignant par R le rapport de l’effet maximum donné par l’expérience à celui donné par la théorie , l’équation («) prendra la foime

Pv = RM(V— i;)v,

et R sera une valeur moindre que l’unité. Borda la croyait égale à i, mais les expériences de Bossut et de Sméaton s’accordent à la faire un tant soit peu supérieure à ÿ; et c’est celle qui est généralement adoptée , pour les roues à aubes mues dans un coursier.

Dans ce système particiüier de roues hydrauliques , désignons par a l’ouverture de la vanne , et par h sa largeur 5 s’il n’y avait pas de contraction , le volume de l’eau, fourni par le bassin dans une seconde, serait égal à la surface de l’ouverture de la vanne, multipliée par la vitesse moyenne de l’eau V, c’est-à-dire, il serait égal à ahS'^ mais , à cause de la contraction, la quantité d’eau dépensée n’est pas si considérable 5 et en désignant par de coéfïicient de la contraction, la quantité d’eau réellement dépensée dans une seconde, se réduit à abeV. En conséquence, la quantité d’action dépensée sera égale à aieVH, ou à

abcW' 1 1 J »» abcV

, et la valeur de M sera représentée par .

63- Dans un coursier, la force, dépensée dans une seconde, est bien toujours égale à la quantité d’eau, fournie par l’ouverture de la vanne dans le meme temps , multipliée par la hauteur, d’où elle est descendue , ou égale à aùcVH ; mais il n’en est pas de même pour une roue mue dans un courant indéfini \ et , en désignant par

h la largeur de l’aube , et par a la quantité dont elle est plongée dans l’eau, on ne peut pas prendre, pour la force consoininée, aiVH

ou ^ parce que chaque molécule de l’eau, qui a perdu, en

agissant contre la roue, une quantité m de sa vitesse, est pressée par les molécules voisines, et soulevée par les molécules inférieures, d'une quantité, égale à la hauteur due à la vitesse m j ce qui lui permet de prendre une direction latérale à celle du mouvement du fluide, et de reprendre sa première vitesse, pour passer et se mouvoir, avec les autres molécules, à l’entour du corps.

L’observation apprend aussi, que, dans le même temps que la surface du fluide s’élève, au-devant du corps, au-dessus de son niveau naturel , et produit une sorte de remous ; elle s’abaisse au-dessous de son niveau , en formant une sorte de creux ou de dépression le long des laces latérales du corps et à .son arrière. Cette restitution de force, faite par les molécules voisines et inférieures , pour donner, à la lace antérieure du fluide, la vitesse nécessaire pour s’échapper, faire place au corps et remplir le vide qui tend à se former derrière le même corps, occasionne à la masse fluide agissant contre les aubes, une force doul)le de celle qui aurait lieu si la même masse agissait dans lui coursier. Aussi, faut-il prendre, dans le cas d’un

courant indéfini, pour la force consommée, au lieu de

64. IjOrsqu’un corps est mis en mouvement par une force accélératrice . l’espace parc'ouru n’est que la moitié de la vitesse acquise dans le mètnô temps ; tandis qu’un corps, animé d’une vitesse unifonne, parcomt un espace d’une loitgueur égale à sa vitesse.

En conséquence, la force, qui agit sur le second, est douJ>le de celle qui s’exerce contre le premier :; et si, la première est * la masse du moteur, multipliée par la hauteur due à la vit)esse, la seconde doit être égale à la masse mullipHée par le double, de

la hauteur due à la vitesse. Cette théorie est entièrement confirmée pa»*les expériences que Bossut a faites , dans un courant indéfini de plusieurs mètres de largeiu, siu- une profondeur de vingt centimètres ; et qui donnent , pour le rapport de la force utilisée à la force dépensée , la fraction f que Ton trouve avec la même roua à aul)es, mue dans un comsier.

65 - Dans un courant indéfini, la roue ne doit plonger, dans l’eau, que du quart, ou tout au plus, du tiers de son rayon \ les aubes doivent être espacées d’une quantité égale à leur hauteur. Malgré les préjugés contraires qui s’opposent à ce qu’une aube en recouvre une autre , Deparcieux a prouvé , par des cxj)ériences directes (académie des sciences 1 759), qu’une aube, placée derrière une autre, n’en recevait • pas moins un certain effort de la part du cornant ; et que la situation de la roue où l’action du cornant est la plus considérable, n’était point, . comme on le croyait généralement, celle où l’aube est verticale ^ mais celle où deux aubes voisines sont également plongées dans l’eau. Quant à l’inclinaison des aubes , l’angle le plus avantageux qu’elles puissent faire avec le rayon mené à leur extrémité inférieure, diminue à mesure que la roue plonge, dans l’eau, sur une plus grande hauteur. Il est d’environ trente degrés, quand la roue plonge du j, ou du f du rayon ^ et d’environ 1 5 degrés , quand elle plonge de la moitié de ce rayon.

66. Nous verrons (106), que la quantité d’action, consommée par le frottement de la roue hydraiJique soumise à nos expériences, est équivalente au quart de la force vive déterminée par le coéfficient du frottement rapporté au centre d’impulsion de la roue, et multiplié par le carré de la vitesse de ce même centre d’impulsion. Il est vraisemblable, que ce rapport restera le même, quand le centre d’impulsion conservera une situation semblable, par rapport aux différentes masses inertes qui composent les organes , ce qui permettra de calculer, à priori , la force consommée par les

axes , quand on n’am-a pas le moyen de la conclure de l’expérience, comme nous l’avons fait(io4j io5). *

67. Il faut observer que le frottement doit toujours être rapporté au centre d’impulsion du récepteur ; sans cela , on s’exposerait à avoir, pour la force consommée par le frottement, une quantité moindre ou plus grande que celle qui existe réellement , et cela, dans le rappoi t du rayon, que l’on aurait adopté, au rayon du centre d’impulsion ; et l’erreur ainsi occasionnée serait d’autant plus grande que le rapport de la force, consommée par le frottement, à la force transmise au récepteur, serait plus grand 5 et une série d’expériences, où l’on aurait commis ime telle erreiu*, pourrait conduire * à des conséquences très-erronées et très -éloignées de la vérité. Si l’on avait à calculer les frottemens de plusieurs organes à la fois , •il faudrait rapporter les frottemens de chacun d’eux à leur centre d’action particulier, en calculer la force vive, comme nous venons

de l’indiquer ci-dessus, la multiplier par le rapport --, ou parce

rapport, convenablement modifié d’après la disposition des différentes masses inertes , comme nous le montrerons dans la suite de ces recherches ; et en rapportant ensuite , chacune de ces forces vives, au centre d’impulsion du récepteur, par les règles ordinaires que l’on trouve dans tous les traités de mécanique, et en les sommant, on obtiendrait la quantité d’action totale, consommée par les frottemens. Mais cette méthode, qui ne peut manquer d’être pénible et basée, dans son application, sur quelques données un peu variables et incertaines , ne doit être employée que pour établir un projet , ou que quand on n’a pas eu le temps ou la facilité de soumettre la machine à l’expérience.

Roues verticales à aubes courbes.

68. Si Pon a une roue hydraulique verticale, et qu'au lieu de lui donner des aubes planes ordinaires, on lui fasse des aubes courbes telles que celles (Fig. 8), où Peau entre, k peu de chose près, tangentiellement à Paube BG de la roue, il n'y aiua pas de choc sensible lors de Pentrée de Peau dans la roue , et par conséquent , très-peu de perte de force vive. L’excès de la vitesse de Peau sur la vitesse de la roue, sera employé à faire glisser Peau le long de Paube, et à la faire élever à une hauteur sensiblement égale à celle due à la grandeur de c.et excès. Par conséquent, si le seuil E ou ressaut du coursier, est tellement placé, que le bord inférieur de Paube jr soit arrivé, précisément au moment où Peau parvient à sa plus grande élévation \ Peau redescendra le long de la courbe, et communiquera à Paube , par sa pression , une force égale à celle qu’elle conservait encore après sa première impulsion sur la roue.

Ainsi , les roues à aubes de cette espèce , devront acquérir tliétvriquement une force double de celle des roues ordinaires à aubes planes ; et la formule qui représente leur mouvement , sera la même que celle (n) dont il suffira seulement de doubler le coéffident constant.

69. Quant à la hauteur BG ou AG de Paube, si la roue doit faire mouvoir une machine, où la force, utilisée par le travail, soit proportionnelle à la simple vitesse ; pour que la force, utilisée par le travail, soit un maximum, il faudra que la vitesse delà roue soit inférieure à la moitié de la vitesse du courant^ et par conséquent, pour utiliser la plus grande quantité de force motrice, il faudra faire la hauteur de BG, suivant la verticale, plus grande que le quart de la chute totale de Peau motrice, et ^ale au tiers et même à plus de la moitié de la chute totale.

Si la force, consommée par le travail, croissait dam un plus grand

rapport que le carré de la vitesse : pour obtenir le maximum de la force utilisée par le travail , il faudrait faire mouvoir la roue avec ime vitesse plus grande que la moitié de celle du courant, et il suffirait de prendre, pour déterminer BG, une hauteur moindre que le quart de la chute totale.

70 - On ne doit pas craindre de multiplier le nombre des aubes dans les roues de cette espèce , une roue de 4 mètres de diamètre en a jusqu'à 40 :; et peut-être pourrait-on encore augmenter ce nombre. Il faut, en outre, rendie très-faible l'épaisseur des aubes à la circonférence.

Nous croyons aussi que l'arête du ressaut doit être située sur la verticale passant par l'axe de la roue, pour que l'eau ne soit pas retenue quand elle est parvenue au-delà de l'axe, et qu'elle ne fasse pas contre-poids poiu ralentir le mouvement.

7 \ • M. Poncelet, capitaine du génie, inventeur de ce système, et pour lequel il a remporté un prix proposé par l'académie des sciences, croit que l'on doit placer l'arête du ressaut à une certaine distance au-delà de la verticale passant .par l'axe de la roue, et que celte distancée doit être proportionnelle à la hauteur DE. Cette disposition, outre l'inconvénient que nous venons de signaler, aurait peut-être encore le désavantage de laisser séjourner un peu d'eau dans le coiusier.

partie EB du coursier doit être circidaire et n'embrasser guère plus de deux aubes.

72- Les expériences en petit et en grand faites par M. Poncelet, prouvent que ces roues utilisent environ ; cinquante pour cent de la force motrice, en prenant, pour la hauteur de la chute, la différence de niveau entre la surface de l'eau et le point inférieur de la roue ; et soixante pour, cent, en prenant, pour la hauteur de la chute de l'eau, la différence de niveau entre la surface de l'eau et le centre du pertuis. Ainsi, la force,' utilisée par ces roues, est au moins moitié en

sus, et quelquefois presque ie double de celle utilisée par les roues ordinaires. Aussi leur adoption générale n'est pas douteuse , puisqu’elles ne le cèdent qu'aux roues mues par le poids de l’eau.

Trouver Pouverture de vanne qui procure à la roue une vitesse demandée , tout le reste étant connu iP ailleurs.-

73. En résolvant successivement l'équation (o) par rapport aux différentes quantités qui y entrent, on aura la solution de toutes les questions que l’on peut se proposer. Mais , quand on demande l’ouverture de la vanne ou la vitesse moyenne de l’eau qui communique à la roue tme vlte.sse donnée \ la valeur obtenue , étant Fonction de V, est illusoire ; puisque V est elle-même fonction de l’ouverture de la vanne. S’il s’agissait d’une roue plongée dans un courant indéfini , et que ,1’on voulût connaître de combien il faut plonger les aubes pour obtenir une vitesse désirée ; la même difficulté ne se présenterait pas , puisqu’alois V ^t isTariable.