ÉTUDE DBS DÉBITS DES NAPPES
l*' cas. Vallée à pente transversale nulle. — Ce cas sera lui-même subdivisé en deux autres.
a. Nappe de thalweg primaire dans une vallée de langueur indéfinie, — Admettons d'abord : i^ un thalweg primaire de longueur indéfinie.
Dans ce cas, la nappe primaire est la même pour toutes les sections normales au
ihalw^ et la oappe secondaire se réduit néeesBairerneBi à un courant tmj^bmie paraUile à Taxe de ce thalweg.
Comme la pente transversale du fond est nulle, la nappe transversale est une ellipse.
Le débit du courant s'obtiendra en multipliant par sa vitesse - la section transversale de la nappe.
Cette section se compose du quart d'ellipse de la nappe supérieure et du rectangle formé par la contrenappe. Le débit en question est donc :
(,89) Q'.^e«(îi+p).
Dans rhypothèse toute théorique dNin thalweg indéfini, ce débit ne nuit pas au débit de la nappe primaire.
b. Nappe de thalweg dan$ une vaOée hngue et étroite. — H en est autrement dans la réalité. Même dans le cas d'une vallée très longue et très étroite, le débit du courant secondaire est n^essairement prélevé sur l'apport pluvial général.
c étant la longueur du thalweg primaire , on a pour son débit :
fi a
et le rapport des débits secondaire et primaire est :
D après cette formule , qui est d'autant plus près d'être exacte que le versant est plus long et plus étroit, la fraction de l'apport fluvial qui échappe ao thalweg primaire et qui est tributaire du thalweg secondaire est proportionnelle à la pente du Fond et à la largeur du versant, et en raison inverse de sa longueur.
T cas. Nappe d'affleurement à fond horizontal déversant ses eaux suivant quatre lignas d'affleurement formant un rectangle. (Fig. 5 & , pi. XVII. ) — Appelons :
ac la longueur DE de l'afBeurement secondaire; 9a la longueur GD de l'affleurement primaire; b l'ordonnée au faite.
Si Ton veut qu'une pareille nappe ait des sections elliptiques dans les plans parallèles aux axes, on prendra pour son équation :
On aura pour le» débits d'une section ▼oriicale de i mètre de iai^ar, suivant les x
et suivant les z :
,' dq' m i* , j j»
Pour «vqir les volumes d'aau débita pur la luppe le long des affleurements, il faut faire x = a dans (i85), z=cdans (186), on trouve ainsi :
Ce» débits sont ceux des nappes primaire et secondaire. Ils vont en diminuant depuis le milieu de i*a(fleurement jusqu'au confluent des thalwegs, où ils sont égaux à zéro.
Intégrant ces débits, de o à ;, etde o à j:, on aura les volumes d'eau cherchés :
l 3 fA a
dont le rapport est
(^89) Qr = ^-
Le débit total de la nappe est la somme de Q' et de Q" : il est égal khac, h étant rapport pluvial moyen par mètre carré. On a donc :
(190) Jl=~-.6*— J— .
On a , d'après Téqvation de continuité , pour Tapport réel au point «, ^ (équation si i ) :
soit, d'après (187) :
Cet apport varie. Il est maximum au faite où il est égal aux - de l'apport moyen,
ni il diminue à mesure qu'on s'éloigne du fatte , en se réduisant h zéro sur les lignes
dafilwiraasDt. Les cerelef eoQMtttnqiu»* «i faite sotat dsit lignas d'éfri apport ^lovfak L'apport pluvial réel est égal à l'apport pluvial moyen sur le cercle qui a pour rayM: :
La nappe à base rectangulaire de rtfqvatîoB (i8ii) m'est donc pas la Èappe ii «apport l>luvial uniforme. L'équation de cette dernière serait plus compliquée.
3* cas. Nappe d*afflearement ellipsoïdale à fond horiiontal ( fig. 6<i , pi. XIX). — I^ nappe en forme d'ellipsoïde sttkfâif à la condition d'un apport pluvial uniforme. Son équation est :
On a pour les débits suivants les x et les 1^(5 lo) : ' '
- . dq m h* dq" m b*
(inb) -i«-— ; ^^^
*' ' dx n a* dz ft (T
Comme dans le cas précédent, les débits primaire et secondaire vonten^mfntidnt à partir des axes BA, BC, où ils atteignent leur miximum — » -—• On a pour l'apport pluvial en un point quelconque :
Cet apport total est uniforme.
On a pour le débit total de la nappe i •
Le débit versé aar la ligna d'affleorement par mètre dé longueur a pour expression :
î=*î'siaa + î''<^06a,
CD posant :
xt^aeiuoky t^^tûft^m;
substituant dans (198), on obtient pour le débit réel :
q = — (c èin et A- a côn «).
Ce débit est maximum pour langa««-, direction donnée par la ligne BF symé-
trique de U diagonale par rapport à la bissectrice d66 axes. Ce débit maxiuHun est égal à t
Cherchons maintenant le volume d'eau Q versé sur ia ligne d'affleurement entre le sommet G sur Taxe des zt et un point quelconque â?, z. On a :
Intégrant à partir de x == <x, on trouve :
(»99) ^ = ^ii[(^' + ^') arc sio ^ ^ (^^) ^V'*^- «*]•
Entre le point C et le point M , c*est-à-dire dans Tangle qui regarde le thalweg secondaire, le volume d'eau versé s'obtient en faisant dans la valeur de Q :
a X a sina j, « . x it
- = - B— d OU arc sm - = t-
c z c cota a h
On trouve :
On aurait Q' en changeant a en <:.
On trouve :
Pour -==-2 ;r7=0,73.
Mais on aurait un rapport plus exact des volumes d'eau versés du côté des thalwegs primaire et secondaire en cherchant la position du filet liquide BRD dont le prolongement passe par le sommet D de la diagonale du rectangle. Nous verrons plus loin qu'en ce point on a :
sinat»o,&25; cosa^o^SSs; a*=o^h^i*
Portant ces valeurs dans (199), on trouve, pour les débits totaux versés du côté des deux thalwegs :
thalw^ primaire, 1,607 "^^'^ thalweg secondaire, o,356 — V^.
Ces débits sont entre eux comme 1 et &,5i.
Ces exemples démontrent que, dans les cas ordinaires, la loi de répartition des débits totaux entre les thalwegs primaire et secondaire en raison inverse du carré de leurs longueurs respectives est à peu près exacte.
4« cas général. — Dans le casgéiieral dua Ibnd imperméable en peate, oa peut établir la loi de répartition des débits par les considérations suivantes : La figure 55, pi. XVII, représente la nappe en perspective. Appelons :
A', A', la différence d'altitude du faite B commun aux deux nappes et du milieu du ihalweg primaire et secondaire;
V, le volume d^eau contenu dans la nappe de thalweg entière, nappe et contrenappe;
a, ^, les longueurs des versants primaire et secondaire de la nappe supposée avoir la forme d'*un rectangle en plan horizontal.
La pente moyenne de la nappe primaire est proportionnelle à :
Sa section moyenne peut être représentée par le quotient :
Son débit serait donc représenté par :
Le débit de la nappe secondaire serait représenté pai :
Le rapport des débits des nappes secondaire et primaire est donc égal k :
Un peut donc énoncer la proposition suivante , qui n a qu'un caractère d'approximation :
Le débù total versé dang chaque iludweg est : i^ prapattiennel à la différence de niveau qui existe entre k faîte général de la nappe et k milieu de chaque thalweg; si'' en raison inverse du carré de la longueur de son versant.
On a, d'après nos notations :
A =6^^-|-e/ccosot+-^-j; A' ^ 6q -[- ^ (- [-asin aY
Les longueurs ccostx, asin a, spiU représentées par les lignes Fk, FU, sur la ligure 56, pi. XVII.
Uemn» Is ligne indéfinie LFL' normale k là dingoilâle KO. On «oitsMe fA^ilement les propriétés sutvànteg ;
Si la direction FP de la petiêe du fana, tracée h partir du faite, poâse au-Jkauè de la Kgne LL', on a : c cos a <: a sin a; tt < i ^t Ty < -7. Cest Tinverte si la Ugne FP pasu au-dessous de la ligne LL'.
Cette proposition, qui na, comme la, précédente , <yi'un caractère d'approximation, permet cependant d^évakier d'une manière rapide et assez exacte, dans. Jbie.n. des cai», rimportance relative des volumes d'eau qui aont reçu^ par chacun dea (haiwega.
On trouvera des applications de ces règles au chapitre xui.
àO. Nappe de fond. — L'hypothèse que nous avons adoptée pour le calcul du débit des nappes de thalweg et qui nous parait se justifier par les considérations théoriques, a évidemment des limites d'application.
Au fond, cette hypothèse consiste à admettre ^e le mouvement des filets liquides dans la contrenappe s'effectue comme dans la nappe supérîeoi^, cesi-k-dire par filels qu'on peut considérer comme à peu près horizontaux. C'est la conditîos indispensable pour que la formule fondamentale de Dupuit puisse s'appliquer avec exactitude.
Celte condition n'est plus remplie lorsque la contrenappe a une très grande profondeur.
Par exemple, dans le cas de la figure 67, pi. XYII,oA te fond Ittiperai^bl^PF'éât très incliné et très profond, il est évident que la courbe théorique DFÂ , parcourue parles filets liquides qui passent par le fond de la contrenappe, a une inclinaison notable sur l'horizontale. La longueur du parcours de ces filets dépasse notablement celle du filet correspondant BA de la nappe aupévieure. L'hypothèse est.évideaun^i en (UGktttr
Elle l'est bien davantage encore, si l'on considère les filets liquides de la nappe du contreversant, et, dans ce cas, la courbe théorique DA' parcourue par ie filet liquide extrême de la contrenappe a une longueur beaucoup plus grande que celle de la courbe parcourue par le filet correspondant BA' de la nappe supérieure.
Il semblerait doof ^*fly a one Iriiite à partir de laqndle t'âppel opéré par \e thalweg n'est plus assez puissant pour soulever les filets liquides du fond et les amener au jour, auquel cas ceux-ci continuent à cheminer sur le fond imperméable suivant la ligne de plus grande pente, ou plus exactement suivant la ligne de moindre résistance au mouvement.
Cette limite dépend essentiellement de l'allure de la nappe de contreversant B'AD' qui fait suite à celle que l'on considère.
Si cette dernière était arrêtée par an mur vertical AM^ établi snr la rive da thalweg et descendant jusque fond imperméable, l'apport pluvial total irait au thaiwsf , quelle que fût la profondeur de la nappe.
Le même fait arrivera nécessairement si la nappe de contreversant B'AD' est puissante, bien alimentée et oppose au courant de fond une sorte de barrage.
Le courant de fond aura plus de chance de prendre de l'importance s'il est favorisé par un appel dans une certaine direction ^ que cet appel soit produit naturellement par un thalweg plus ou moins éloigné ou par la mer, ou qu'il soit produit artificiellement par un captage profond.
NoAs donmms le Mm de fksppe àéfmd à ce courant qui exisfè probahkntent daus ions les terrains perméables d'une certaine profondeur.
Les eaux de la nappe de fond peuvent avoir leur issue h peu de distance du lieu où les pluies les ont déposées, c'est-à-dire dans le même bassin hydrographique. Dans ce cas, elles se retrouvent dans le fleuve ou la rivière qui collecte les cours d'eau de ce bassin.
Mais elles peuvent aussi franchir les limite» orograpliiques de leur bassin d'origine et passer dans un autre bassin, soit par des failles, soit par infiltration à travers les couches profondes qui n'ont qu'une imperméabilité relative.
C'est ainsi que le bassin de Paris verse directement à la mer une partie de ses eaui* Le même phénomène a lieu en Belgique où la pente naturelle des couches en grande partie perméables conduit à la mer une fraction notable des eaux infiltrées dans le sol.
Lorsque ces questions seront mieux connues, on verra que dans un très grand nombre de circonstances, une partie des eaux pluviales se transporte d'un bassin à un antre ptr la nappe de fond«
Il serait impossible, en l'état actuel des choses, d'indiquer, même approximativement, la limite à laquelle la formule de débit de la nappe du thalweg cesse d'être applicable.
Ce point ne pourra être éclairri que par des applications pratiques; mais ce qu'on peut dire, dès à présent, c'est qu'il faut distinguer deux limites :
i"" La limite de profondeur de la contrenappe jusqu'à laquelle la formule est applicable sans modification;
9"* La limite de profondeur à laquelle les eaux cessent d'être appelées par le thal- \%eg, et que nous ne pourrions aucunement arbitrer.
Les applications que nous avons faites de la théorie nous ont indiqué que Tappel exercé par une source de thalweg s^exeree sur les parties les plus profondes de la nappe. (Voir chapitres xiu, xvi.) Noua avons trouvé dans le premier de ces exemples une valeur du coefficient K égale k h^àb.
Les principes auxquels nous venons d'être conduit, concemaAt la répartiticiiA de l'apport pluvial , nous paraissent expliquer rationnellement le mode de formation des cours d'eau et la répartition des eaux infiltrées dans le aol entre les divers thalwegs.
Al. Trajectoires parcourues par les filets liquides des nappes aiiaifères. — Propriétés générales. — Exemples. — La théorie que nous avons posée au paragraphe 10 fournil des aperçus généraux sur la manière dont se répartissent les filets liquides dans une nappe, dans l'hypothèse où l'on considère les pressions comme se transmettant suivant la loi hydrostatique , dans toute l'élendae de ia verticak.
Dans ce cas, les compoeanies homoniUles de la vitesse dee filets liquides sont proportionnelles à l'inclinaison de la ligne de plus grande pente de la surfaœ IAn^ Eo chaque point, la direction des filets liquides se confond avec la projection de la l^e de plus grande pente et les lignes de niveau de cette surface leur sont partout normales.
Les équations du paragraphe i o permettent de démontrer cette propriété.
1° Soit :
l'équation d'une nappe quelconque coulant sur un pian horizontal que itctrs prendrons pour plan des xz, l'axe des y étant vertied.
-. ^>{ 1-28 ).^-- On a pour les di^bils parallèles aux x et aux z :
Sur la ligne d affleurement, on a y = o. Pour que le débit donné par les formules (!io6) ne soit pas nul, il faut qu'on ait sur la ligne d'affleurement ;
Par conséquent, k plan tangent à la sur/ace libre de la nappe est vertical tmU le long deê sowrcei,
a*" L'équation différentielle des filets liquides est, d'après (sS bis et ter) : (ao7) dz \d.;
dx /^\ \àx)
De cette relation on déduit, pour l'équation des courbes orthogonales des filets liquides :
qui donne la suivante :
edx — e"dz^=^o.
Cette é(|uation est immédiatement inlograble. En intégrant, on obtient :
y — e'jp — 8*2 = C ,
C étant une constante arbitraire.
Remplaçant y par sa valeur (9o5), on a une équation qui ne renferme plus que les coordonnées x et z :
(208 bi$) \'Y — ex — e''z = C.
C'est l'équation des courbes orthogonales; or cette équation représente évidemment l'intersection de la surface libre de la nappe
par le plan horizontal
yr=e'x-)-«''z.-]-C,
Taltitade du plan sëcAnt au-dessus de l*origine des axes étant ëgale à G, ce qui démontre la proposition sus-énoncée :
Dans wie nappe qnelconquêy ki fiett liquidée smU âirigii êuioant les lignes de plus grande pente de la surface Ubre^ et les courbes orthogonales de ces filets liquides ne sont autre chose que les lignes de niveau de la surface.
3" Les courbes orthogonales sont tangentes à la ligne d^ affleurement. En effet, Téquation de la ligne d'affleurement n'est autre que :
Y étant une fonction de :rct de z. DiiTérontiant, on a pour le coefficient diffërenliel de cette courbe :
di \dx)
Ci^
Dans la formule (âo8), on peut remplacer :
Substituant dans('iio8), il vient :
(aïo)
dT /rfY\ » /v
Sur la ligne d'affleurement, on a Y = o, et les dérivées partielles sont in6nies. Les formules (908) et (s 10) s'identifient. Les orthogonales sont donc tangentes à la ligne d'affleurement.
h"" Si l'on coupe la nappe par des plans horizontaux de plus en plus élevés, on obtient des courbes orthogonales qui s^enœloppent les unes les autres sans se toucher. A mesure que le plan s'élève, il circonscrit des cottri)esy0rm^ef de plus en plus étroites. \u faite les courbes se réduisent à un point.
Les filets liquides, étant normaux aux courbes orthogonales, passent nécessaire* ment par le faite.
Si la ligne t affleurement est entièrement fermée et concave vers C intérieur y U est évident qiCil ne peut y avoir quun seul faite. Ce cas est le plus fréquent.
DonCf en général , toui les filets liquides rayonnent iftm faite général.
Si la ligne d'affleurement présente des parties rentrantes, il peut y avoir plusieurs faites, mais de chacun d'eux partira un faisceau de filets liquides qui rayonnera dans toutes les directions.
Dans tous les cas, les faites et les dépressions, ou cols, sont déterminés par les ôqnations :
iriDES 8LI LIS tfUURCBS. U
Pour s'Assurer qu'on a affaire à un faite, et non à une dépression, on cherchera le signe des dérivées secondes qui donnent le sens de la courbure. L'une de ces dernières au moins est nécesaairemenl négative puisque, d'après l'équation (aG)* leur somme est négative.
77 s^agira donc d^un faite ^ n Von a h la fois :
et iune dépression si tune de ces dérivées secondes est positive.
Nous appliquerons ces principes à quelques cas simples dont quelques-uns ont été déjà étudiés plus haut au point de vue des débits des sources.
1er eg3. Vallée de longueur indéfinie, avec pente de fond dirigée parallèlement au thalweg (fig. 58", 58 hi$y pi. XVIII). — La pente transversale du fond étant supposée nulle, le profll transversal de la nappe est une ellipse et on a :
dz s
i-f-) étant la tangente de l'ellipse.
Substituant cette valeur, il vient :
oc y/û* — «'
it »» — -r «*•
On intègre en posant :
«2 — «^ «as tt^
tt étant une variaUe aoxilîam, et on trosTe pour l'équation de la trajectoire dn filet liquide :
La courbe est facile à construire par points ea donnant à SL des valeurs suc-
ressives. C*est ce que nous avons fait sur la figure 58, en faisant T-=i.
La courbe est ascendante. Elle est normale à l'axe du thalweg, s'élève d'abord lentement, puis plus rapidement a mesure qu'elle s'approche de la ligne du faite, dont elle est asymptote; nous avons déjà vu que, dans ce cas théorique d'une vallée de longueur indéfinie, le débit de la nappe du thalweg est le même que s'il n'y avait pas de pente; la pente du fond a seulement pour résultat d'infléchir les filets liquides.
de sorte que ceux qui eont situés dans le voisinage de la ligne de faite ne parviennent au thahoeg qu'à une grande distance en aval de leur point de départ. Nous retrouverons cette loi dans toutes les applications.
2« cas. Nappe d'affleuremeiit sur fond Imperméable rectangulaire , horiïontal , à sections elliptiques (fig. 69, pi. XVIII). — En se reportant au paragraphe 89, on formera Téquation différentielle des filets liquides en prenant le rapport des débits primaire et secondaire (équations i85, 186):
\ / dx x{t^ — z*)
Séparant les variables, on intègre facilement et on obtient pour équation de la trajectoire d^nn filet liquide :
( a 1 5 ) c-^ 10g nep «= a^ log nep
Cette équation donne le filet qui eoupe la ligne d'aflUfirement priiaaire h mur distance z=^d, d étant une longueur arbitraire.
La figure 69 indique les trajectoires des filets iiquideg» Ces filets abordent iiMnu* iement les deux lignes de thalweg. En faisant J"«^| on a la courbe FD^ qui forme igné de partage des eaux entre les thalwegs primaire et secondaire et qui est bissectrice des directions des deux thalwegs à leur confluent. La ligne de partage des eaux dessine parfaitement les deux versants dont la forme rappelle celle d'un comble de toiture.
La figure 69 montre que :
Tous les filets liquides rayonnent du faîte général,
3« cas. Nappe d'affleurement, an forme d'eUipsoide sur fond horizontal. — Des équations (19&) on tire, pour Téquation différentielle des filets liquides (fig. 63, pi. XIX) :
/ n\ dz aH
^ ' dx c^x
Ces filets liquides abordent normalement Teliipse qui constitue ta ligne d'affleurement
Intégrant (316) et désignant par d Tordonnée du filet liquide considéré sur la parallèle à Taxe des z menée par le point x = a^ on a, pour Téquation de ce filel liquide :
En particulier, le filet liquide qui passe par le point D, extrémité de la diagonale du rectangle FGDE, correspond au cas où d^=c.
Exemple : Soit c= aa. L'équation du filet en question sera :
SI
— f-K 132 > Il rencontre Tellipse de base :
en un point pour lequel ( — ) est donné par I équation :
qui admet pour racine - = o,535.
(917) donne alors - = o,85a.
La figure 63 indique les trajectoires des filets liquides el montre la prépondérance de ceux qui se dirigent vers le thalweg primaire.
4* cas. Nappe d'affleurement sur fond rectangulaire horisontal , et à apport pluvial uniformément réparti (fig. 60, pi. XVIII). — C'est le mode de répartition pratique des apports pluviaux, et Texamen que nous venons de faire des divers ras théoriques facilitera l'examen de celui qui nous occupe.
On a pour tous les points de la nappe Téquation de continuité
Au faite F, ces dérivées partielles sont, en raison de la syniétiîe, comme dans le 3*" cas ci-dessus, proportionnelles aux carrés des longueurs des versants :
Le long de TaiSeurement primaire, la vitesse des filets parallèles aux zt est nulle,
on a constamment ^''^o; par conséquent la dérivée (y- ) est aussi nulle el Téqualion (918 bis) donne simplement :
Un trouverait de même, le long de railleurement DE parallèle aux xx :
Construisons la courbe des déhits sur les lignes de faite (fig. 61, pi. XtX), en prenant c =^ aa.
BA , BC , représentent les longueurs des deux versants.
BH, Btn\ Bm", des droites ayant des inclinaisons sur Thorizontale proportionnelles à A el aux coefficients contenus dans les formules (919).
BA', BC représentent en traits pleins les courbes des débits q\ q\ tracées approximativement au moyen des tangentes extrêmes.
Comme on le voit, ces débits sont moindrefi que ceux de U nappe k section eu ellipse, ce qui s'explique puisque, dans ce dernier cas, le volume d'eau versé par les affleurements aux extrémités de la diagonale DF était nul.
Dans le cas de la figure, la longueur de Tun des versants étant double de Taotre et ses débits sur les lignes de faite étant proportionnels à c et a, on a nécessairement :
