AA' = 2CC
Les rapports des formules ( 9 1 g ) sont alors respectivement égaux à ^ et -• II sVn-
suit que pour la courbe du versant primaire, Tinclinaison varie de - à i. La courbe du débit est presque rectiligne et le profil de la nappe diffère peu d'une ellipse.
Pour l'autre versant, l'inclinaison de la courbe du débit passe de ^ à i, et ce changement a lieu principalement dans le voisinage de l'affleurement La courbe de In nappe ressemble donc à deux ellipses raccordées, Tune qui aurait pour longueur de versant c, et l'autre, plus courte, qui aurait pour longueur de versant CL.
Pour calculer l'ordonnée b de la nappe au faite, on remarquera que l'on a :
^ dy |, , dy fin
fl=: y-f~ clou «-£«= — îll
■ fi '^ dûT ^ df m
ot Oïl intéjjrant :
Or l'intégrale sous le signe J n'est autre chose que l'aire du Liîangle curviligne BAA' de la figure 6 1 , qui est sensiblement ^ale à
- rt X AA'.
AA' est compris entre ha -r-i — - et ha.
Suivant qu'on adoptera l'une ou l'autre valeur, on trouvera :
ae
z=. ou ^ = i/'
ou t = i l^a.
Pour le cas de c= aa, la différence des deux solutions serait de lo p. i oo»
En prenant la moyenne, on aurait l'ordonnée maxima de la nappe à 5 p. loo près.
Or la longueur d'un versant dépasse généralement le double de na largeur. Pour que la valeur de h fournie par la considération du versant secondaire soit la même que celle que nous venons de trouver, il faut que les triangles curvilignes BCC et BAA' aient mêmes surfaces.
La figure 6i a représente approximativement les profils des nappes sur les lignes
-.tv( 134
de faite. Le trait pomtillë indique les eliîpaes moyeimee ayant mêmes axes que les deux nappes.
Ugnê dt partage dea eaux. — Les débits le long des lignes d^affleuremenl ne sont nuls en aucun point, puisque l'apport pluvial est partout ^al à h.
En raison de la symétrie, les débits sur les points homologues des lignes d affleurement, c*est-à-dire ceux pour lesquels on a -«»-, sont nécessairement proportionnels à <; et a.
Par conséquent, oh a, pour Tinclinaison de la ligne de partage des eaux au confluent D ,
dz' a dx c
Si Ton «joute à eette oondition cette autre eonditioa que les surfecee dea Yeraanta pimaire et secoodaire doivent être proportionnels à
^ et a^
on aura un moyen de tracer approximativement les trajectoires des filets liquides. C'est ce que nous avons fait sur la figure 60, pi. XVIIL
La croupe formée par le partage des eaux est ici encore plus sensible que dans le cas n"" 9.
Ainsi que nous Tavons vu au paragraphe 35, si on avait affaire à une nappe de thalweg au lieu d'une nappe d'affleurement, les trajectoires des filela liquides seraient absolument tes mêmes, parce que ces trajectoires sont indépendantes de la grandeur absolue de Tapport pluvicd h. Or ui|e nappe de thalwagnW autre ohoseqp'une nappe d'affleurement dans laquelle l'apport pluvial e^t divisé par ( 1 ^ K).
5* cas. Nappe à plusieurs faites. — En coupant un tore par un plan incliné, on obtient une courbe fermée en forme de croissant plus ou moins prononcé, qu'on peut prendre pour base d'une nappe et qui se prête à l'étude de l'influence des rentrants sur le nombre et la position des faites (fig. 63, pi. XIK),
Soient R le rayon OC de giration du tore, r, le rayon du cercle générateur, y»m (^x--a) Téquytion du plan sécant.
L'axe des y vertical coïncide avec l'axe du tore ;
Le plan médian est le plan des a». On a , ponv Téquatieii du tore t
Équation 4^ io Hgn^ d'intorseetion par le plfm sëcaqt en prqj^ctiQp horizontale :
r«-m»(«-a)a — (v/ar? + »» — R)'^=«o.
Supposons que cette ligne cireoBsorive ia base d'une nappe, on aura, pour féqualion de la surface libre :
a étant un coefficient constant.
Pour déterminer les coordonnées des faites et des dépressions , on a les deux équations (911) qui donnent ici :
««(-sm>(x-a)-9(v';?+^-R)^^==) = o
Ces équations admettent deux systèmes de solutions :
Pour que la première solution soit réelle , il faut qu^on ait j?' <; (R -4- r) et , par suite :
(„0 («R)<::ii±!=îi
ou
en faisant m «» tang a.
Or, pour que le plan sécant rencontre la surface du tore, il faut qu'on ait
Ia eondition (991) est donc toujours satisfaite et la première solution est toujours réeUe.
La deuxième solution n'est réelle que lorsque « < R«
Pour savoir si les points en question sont At%faite$ ou des défmriomt prenons les dérivées secondes de Y, équation (91 s):
Pour la solution x' z, la première de ees deux dérivées secondes est toujours n^ative. La deuxième est négative si a>-R et positive si a<:R.
Pour la solulionj?" z\ les deux dérivées 8oal négatives quaod a<::R, seule condition compatible avec Texistence de ladite solution.
Par conséquent, il y a deux faites aux extrémités, et une dépression au milieu, si a<:R.
11 n'y a plus qu'un seul faite au milieu si a >> R.
Dans le premier cas, les deux faites sont d'autant plus éloignés l'un de l'autre que l'écart (R — a) est plus considérable.
On a pour l'apport pluvial en chaque point (équation si 8 his) :
*=tI(S)+Q1=^('+-=--;5T7>
Si le rayon r est petit par rapport au rayon R, on voit que l'alimentation h est à peu près uniforme et que la nappe est à peu près permanente.
Les propriétés que nous venons d'étudier peuvent donc se réaliser à fort peu pri*s dans les nappes naturelles.
42. Généralités sur les trajectoires des filets liquides et les débits des sources dans le cas d'une nappe quelconque coulant sur un fond incliné. — Dans le cas général d'une nappe coulant sur un fond incliné, toutes les propriétés générales relatives aux trajectoires des filets liquides sont encore applicables et l'on peut, sinon préciser, du moins apprécier dans son sens général l'influence que la pente du fond imperméable exerce sur la répartition des débits.
Nous raisonnerons dans l'hypothèse idëale d'une nappe générale versant ses eaux sur quatre lignes d'affleurement formant un rectangle allongé, le long cAté correspondant à ce que nous avons appelé le versant primaire , et le petit côté correspondant au versant secondaire.
Les lignes de sources seront considérées indifféremment comme des lignes d'afileurement d'une nappe d'affleurement ou comme les lignes de thalweg d'une nappe de thdlweg. En vertu de l'hypothèse fondamentale que nous avons faite au paragraphe 35 sur le mode d'écoulement des filets liquides dans les nappes de thalweg, ces dernières se comportent comme les nappes d'affleurement, et toutes les propriétés démontrées pour ces dernières sont applicables aux premières.
Dans le cas d'une nappe à contour fermé et entièrement concave k l'intérieur, avec alimentation pluviale uniforme, on a toujours la propriété suivante :
Tous lesjUets liquides rayonnent éP un faite général, et se dirigent vers les thahoegs en se grossissant sur leur parcours des apports pluviaux des régions qu^ils traversent.
Ces filets se divisent en quatre faisceaux dont deux alimentent Us sources des versants primaires et deux autres les sources des versants secondaires. Les faisceaux sont séparés Fun de r autre par une ligne de partage des eaux qui part du faîte général et aboutit au confluent des thalwegs.
Les filets liquides abordetit normalement le thalweg auquel ils aboutissent.
Examinons maintenant les modifications que la pente introduit dans la forme des trajectoires des filets liquides en considérant seulement les parties de versant qui aboutissent au confluent le plus bas (fig. 53, pL XVII).
a. PefUê dirigée parallUemmt au thalweg frimaire. — Le premier effet de ia pente est de déplacer vers lamant la ligne de faite normale au thalweg primaire, puisque
dans toute nappe à fond indiné le rapport -r est plus grand que- (S 17).
En se déplaçant vers Tamont, le faîte général d*o& rayonnent tous les filets liquides redresse nécessairement toutes les trajectoires dans le sens de ia pente.
Sur les figures 6&, 65, pi. XIX, on a comparé les lignes de partage d'eau et les trajectoires des filets liquides d^une nappe à fond horizontal avec celles d'une nappe, de mêmes dimensions en plan, mais à fond incliné.
La ligne de partage des eaux qui occupait la position 1 (fig. 6&), lorsque le fond était horizontal, se redresse dans la position 9, si le fond a une certaine pente. Si la pente est plus forte, la ligne de partage vient occuper une ligne 3 plus ou moins voisine de la diagonale du rectangle. À ce moment, le débit se partage également entre les deux thalwegs primaire et secondaire.
Avec une pente encore plus forte, la ligne de partage des eaux passe en &, à gauche de la diagonale ,'tangentiellement à la ligne de faite GF. Le thalweg secondaire est alors celui qui reçoit le plus grand débit, malgré la moindre longueur de son versant.
b. Pente du fond ayant une direction quelconque. — Ce cas général offre une très grande complication. D'une part, le faite général nest plus au centre de figure du rectangle formé par les thalwegs. Il est situé dans la moitié supérieure. L^ lignes de faite séparatives des deux thalwegs primaires ne sont plus des lignes droites parallèles à ces thalwegs, ce sont des lignes courbes. Il en est de même des lignes de faite.
Il faut noter surtout le relivement vers T amont du foite général, et la prédominance des versants qui sont situés en aval par rapport à la direction de la pente.
Puis cette autre propriété évidente :
La pente du fond redresse les trajectoires des JHets liquides dans le sens de sa direction et les fait aboutir au thalweg à un niveau plus bas que celui où Us aboutiraient si le fond était horizontalj toutes choses égales d'ailleurs.
Cet effet de la pente, le rejet des trajectoires vers Pavai, a pour conséquence d'augmenter le débit des sources situées dans le bas des thalwegs et de diminuer celui des sources situées en amont.
Lorsque le fond est horizontal, les sources d'amont sont les plus abondantes. Cest ce que nous avons constaté dans les exemples que nous avons examinés plus haut.
Cela s'explique par le Iracé de la ligne de partage des eaux (fig. 65, pi. XIX), laquelle est presque tangente à la ligne de faite du côté de Taxe transversal le plus long; les filets liquides d'amont n'envoient qu'une fraction de débit insignifiante vers la nappe secondaire. Cette fraction augmente à mesure qu'on descend le long de la ligne de partage des eaux. C'est ce qu'indiquent les filets liquides 1, 3, 3, &, qui sont tracés à vue d'œil sur la figure 65.
Si Ton divise la longueur de chaque thalweg en un certain nombre de parties égales et que, par les points de division, on suive le tracé des filets liquides qui y aboutissent, ou divisera la surface de chaque versant en un certain nombre de triangles curvilignes, 1, 9, 3,&, 5, 6, pour le versant primaire, 7, 8, 9, pour le versant secondaire, et il est évident que la surface de ces triangles va en diminuant de Tamont à TavaL Or ces triangles circonscrivent les bassins alimentaires des portions de thalwegs qui leur servent de base.
On peut aller plus ioio dans les préyisions. Ainsi qne nous TaTons Aé^k eipliqué au paragraphe Sg (cas général), cest la peniê moyemnê existant entre le faite générd et le point de source considéré qui influe principalement sur le débit de la source. Plus cette pente moyenne est forte, et plus le débit est considérable.
Si donc, prenant le faite général pour point fixe, on fait passer une ligne droite par ce faite et par la ligne d'alBeurement, on trouve ainsi une surface conique, dans laquelle les pentes des génératrices sur Thorizon donneront approximativement la mesure proportionnelle du débit.
Soient (fig. 66, pi. XIX) :
B, lefdte général;
EN, la ligne des sources de la nappe;
BEy la ligne de plus grande pente du fond imperméable;
BN, le filet liquide supposé rectiiigne qui aurait le plus grand d^it;
l sa longueur, /3 Tangle qu'il fait avec BE, et y Tangle qu'il fait avec la ligne des sources.
Le débit maximum se produira lorsque la pei\j« moyenne
sera maximum, ce qui exige:
Kl)"^*""^""*-
idè) ^^^^ ^^^^ ^^^ négatif, et le maximum doit se produire du cAté où les rayons l
vont en diminuant , c'eat^-Mire «n N et non m M. On a d ailleurs :
(i/ =: { cotang 7 <i^.
Substituant, il vient s
(a 93) sin )3 = -| cotang y.
Lorsque f angle j6 est égal à léro, la rayon BN est normal à It ligne d'affloureipeat.
Dam le e(u funjimi Aonsanlal, 1$ HHi im imfvvM m m iimbmmt de tmmtU à taoal mr hi deux v&^êmtU primam eî $eoôndidte. Lêê aetirvai iammA fonl nliàlfommi^ plu9 ëbêndaintiê.
Dans hs tmppêê kfimi Imémi^ Uê êourceê à ithU maximum $mi rilué^ dam h vaiti^ige de la Ugne de pluê grandiB pmi$ inm dufaiu génh^^ H du oM eu la Ugm ét^jjbuHmaut se rapproche du faite général,
iS. Temps do parooura dos ftlata liquides. — Obaervatlona rar lai axpirlanoaa à la fluorafloélne. — Considérons une nappe cylindrique sur fond horixontal. Nous avons vu que, dans une pavaille nappe les filets liquides parcourent des trajeetoires de longueur différente (fig. 3i, &8), mais llnfluenoe de la vitesse vertJaaIe est généralement négligeable et on peut calculer le tempa de paroours daâ filets liquides en ne tenant compte que de leur vitesse horizontale.
On a, poor réquation de la nappe en ellipse « «S i/i :
dy b*
et pour la vitesse des Glets liquides :
1 dy dx ItdM 4$
Substituant et mettant pour y sa valeur (équation 3o), on trouve :
On posera :
j: = a8inz,
et l'on aura à intégrer :
L'intég[ration donne :
t = ^ Mog teQg ^ "f co» • j -f flpuat.
Faisant dans cette formule ar^^a et retranchant, on aura la durée de parcours d^un filet liquide depuis le point x jusqu^i la source :
(234) / = !î^^-Iogtang^-.co8^)-
Par eiempie, pour t
x^o.^a, Bin«»o,9,
on trouve :
pour :
on trouve :
x^'L, ainz = i,
S'il s'agit du filet liquide qui part du faite,
.i; e= o , et on trouve : I = oo.
Les filets liquides qui partent de points voisins de la source parviennent donc à ladite source dans un temps très court, mais ceux qui partent de points voisins du faite mettent un temps considérable pour apparaître au jour.
Pour avoir ia durée moyenne du parcours des filets liquides, on prendra Tintégrale :
- / tdx= — ~- I * f cos z log tang - -|- cos^ zjdz.
On intégrera par parties, el Ton trouvera pour l'intégrale : (a 9 5) ^ (sm z log tang \- sin az J -f- const.
Faisant successivement : z«o, ctz==^-, on aura pour la durée moyenne du parcours des filets liquides :
Ce temps est identique avec ce que nons avons nommé la durée de formaiitm de la nappe, S i5;il varie donc de la même manière que cette dernière. Dans les grandes nappes d'une certaine stabilité, c'est-à-dire à fond horizontal ou faiblement incliné, la durée de formation est de piosienrs années.
Elle tombe à quelques mois seulement dans les nappes instables, précaires, comme celles des terrains très perméables.
L'importance de ia nappe intervient, d'ailleurs, comme facteur principal du temps de
parcours des filets liquides, puisque, à égalité de rapport t, ce temps de parcours est proportionnel à la longueur a de cette nappe.
Les durées de parcours de quelques heures que l'on a constatées dans certaines expériences à la fluorescéine exécutées dans des terrains de craie n'ont aucun rapport avec le temps de parcours des filets liquides à travers le terrain perméable proprement dit. Dans ces expériences, on introduit la fluorescéine dans des bétoires qui commu • niquent avec des canaux souterrains de dimensions finies, qui eux-mêmes aboutissent aux sources. En réalité ces canaux ne sont autre chose que des coUectears des eaux do filtration, et l'écoulement des eaux s'y effectue conformément aux lois de l'hydraulique ordinaire.
Si des nappes à fond horizontal auxquelles s'appliquent les calculs précédents nous passons aux nappes h fond incliné, nous arriverons à des résultats similaires par les considérations suivantes.
La pente moyenne du faite à la source est égale à :
On a donc pour la vitesse moyenne des filets liquides :
It a
«•!'»•( 1 il )•€-!'
Le parcours moyen d'un (ilel liquide étant égal à -, la durée moyenne du parcours est :
fia-
9 {b. + ta)
Dans le cas de Tellipse e = o , et cette formule donne o,5o ^ , tandis que nous avons
trouve, par le calcul exact, un coefiScientr au lieu de o,5o. Pour les nappes à fond
indiné, une recherche exacte de ce coefficient serait difficile, mais on peut s'en tenir a la formide (997) à titre de première approximation, laquelle est de même forme que la formule (396) qui s'applique à Tellipse.
U résulte des considérations contenues dans ce paragraphe et dans les précédents qu uBe source contient des eaux qui peuvent provenir d'an point situé à Tamont à une grande distance, et dont la durée de parcours peut être considérable.
Si Ton suppose qu'il existe sur un coteau dans le voisinage d'un faite une cause d'insalubrité, non susceptible d'être arrêtée par la filtration à travers le terrain perméable, la contamination ne se manifestera pas nécessairement dans les sources qui sont situées directement au pied du coteau, mais elle pourra se produire à une grande distance en aval, en un point qu'il est impossible à priori de définir.
Ces propriétés expliquent aussi que dans certaines expériences à la fluorescéine, on n'obtient quelquefois aucun résultat sur les sources les plus voisines, tandis que la coloration caractéristique se manifeste sur les eaux des sources éloignées en aval.
11 faut ne pas oublier aussi que cette coloration peut apparaître un très long temps après Texpérience , alors que croyant à un insuccès les observateurs ont tout abandonné.
Ces sortes d'expériences comportent donc beaucoup d'incertitude. Leur interprétation motiTO d'ailleurs des observations importantes que nous exposons au chapitre xiii.
