DANS LES NAPPES SOUTERRAINES

Les principes posés par Dupuit contiennent en germe tout ce qu'il faut pour édifier ane théorie rationnelle du mouvement de Feau dans les nappes souterraines. Dupait ne Ta pas fait et s*est borné à traiter les deux cas très simples que nous avons mentionnés dans le chapitre i*'.

Mais divers auteurs ont essayé de le faire.

LorsqnW embrasse le problème dans toute sa généralité, on est promptemenl arrête par les difficultés d'intégration qui sont très grandes, et il parait fort difficile d'arriver à des conclusions pratiques.

Nous avons cm nécessaire d'adopter une méthode inverse.

Elle consiste à étudier aussi complètement que possible le cas le plus simple, celui des nappe$ cyKndriques, c est-À-dire des nappes dans lesquelles les filets liquides coulent par tranches verticales parallèles et identiques, et à étendre ensuite par voie d'assimilation anx cas généraux les résultats obtenus dans le cas particulier des nappes cylindriques.

Noos indiquerons cependant comment se posent les équations générales, car elles sont susceptibles d'être utilisées dans certains cas spéciaux.

Dopait a admis que, dans une nappe cylindrique, les filets liquides qui traversent une section verticale sont horizontaux, et que leur vitesse est proportionnelle à la taagentê de l'inclinaison de la surface libre, tandis que cette vitesse est sensiblemenl proportionnelle au ${nu$ de celte inclinaison.

Les hypothèses de Dupuit simplifient beaucoup les problèmes et les rendent abordables par le calcul. Nous chercherons si elles peuvent être conservées, et dans quels cas il convient de les abandonner pour étudier avec une exactitude suffisante certains points spëdaux des nappes liquides.

8. Théorème sur la répartition des pressions dans une nappe cylindrique. — Corollaires.

Théorème. — Si Ton considère dans une nappe cylindrique les filets liquides et les trajectoires orthogonales de ces filets liquides j le long de ces trajectoires , la pression se transmet suivant la loi hydrostatique ; elle se transmet d'une manière différente dans toute autre direction. — Soient (fig. i5, pi. Y) :

FP\ un réseau de filets liquides; TT', le réseau orthogonal; ABA'B', un élément de filet liquide;

9, sa vitesse réelle;

KB = dp^ l'épaisseur du filet comptée positivement de bas en haut; Kk' = ds, la longueur du filet comptée positivement de gauche h droite; (tSo'' — a)j l'angle que sa tangente fait avec l'horizon;

|i, la pression par mètre carré, évaluée en tonnes; m, le rapport du vide au plein.

L^axe des y est vertical. Les x et les z.sont hori ton taux. Considérons une tranche de i mètre de largeur. Viiêsneiki parallëlipipëde est soumis à cinq forces :

i"* La pesanteur qui agit solvant la verticale et qui peut se décomposer en deux composantes : i"" L*une dirigée suivant le (ilet :

md$dp sin a;

9^ L*autre dirigée suivant la trajectoire orthogonale :

— mdêdpcosa;

3^ La résistance duc au mouvement des filets liquides, laquelle est représentée par la perte de charge [iv, par mètre courant. La force de frottement correspondante a pour expression :

mfitdsdp.

Elle est dirigée suivant le filet liquide, mais en sent contraire de sa vitesse; h^ La différence des pressions qui s*exercent sur les faces A'B', AB ,

S"" La différence des pressions qui s'exercent sur les faces BB', AA',

(/) ^H?) ^^^^^ ^^ dérivées partielles.

Si Ton projette tontes les forées sur la direction dn filet , les forces a , 6 disparaissent. Si Ton projette toutes les forces sur la direction orthogonale , fes forces 1,3,4 disparaissent. Supprimant les facteurs communs md$dp^ on obtient ainsi deux équations t

sinas= 0.

y étant Tordonnée verticale comptée de bas en haut, cette dernière équation peut s'écrire :

doù, en intégrant :

t^o étant l'ordonnée de la surface libre.

CeUe formule dérnontrer qae le iong ÛBiVoHhôffamie la preiBion se transmet suivent îa loi hydrostatique* C» q.f.d.

D eet facile de Toir que le tbéoièaie qoe noas timoas de démontrer n'est autre ehose quune extension du théorème de BernonillL Cette Temtrq[ne conduit à généraliser son énoncé de la manière suivante :

Thémime de BtmoàdlL Dans wmnêfpe fermamtntê, ma a fout wi pamt quetamqu» :

U étant unefoncAon dex^z ei y ou seulement de x^z*

Considérons une nappe permanente quelconque , c est-à-dire une nappe qui ne varie pas avec le temps. Les vitesses des filets liquides et les pressions en chaque point sont fonctions des coordonnées x, e, y. Par un point donné on peut mener une surface normale à tous les filets liquides quelle rencontre; c'est une surface orihogtmale. Considérons en particulier la ligne de plus grande pente de cette surface orthogonale.

n est évident qu'on pourra appliquer à un flément paraHélipipëde dont les cAtés supérieur et inférieur seraient horizontaux le raisonnement que nous venons de faire pour démontrer le théorème précédent. Donc, le long de cette ligne de plnb grande pente, les pressions se transmettent comme dans un liquide sans frottement, et Ton a, d'après le théorème de Bernouilli :

Ho ^^ ^0 ^^^^1 aiférents au point où la ligne de plus grande pente de la surface orthogonale rencontre la surface libre de la nappe où p = o.

En ce point le deuxième membre de l'équation ci-dessus est égal à une certaine fonction de x, z^ y que nous désignons par — (xC.

Le théorème se trouve donc démontré.

Dans les eoroQatres de ces théorèmes, nous supposerons toujours qu^il s'agit exclusivement de nappes cylindriques,

G0B0LLAIBB8.

L Dans une nappe aqnif dro , la hâutaiir piéiomitriqae «n «n poiat donné est égale à la hantear du point d'afflearemeat de Torûiogonale patsant par oa point (fig. i6, pi. V). — Soient FF une nappe aquifère dont la surface libre est CD, M le point considéré, MN l'orthogonale passant par ce point.

D'après le théorème précédent, la pressîaD se tràiumet suivant la loi hydrostatique le bng de i'ofthogDnale MN. La pression e&M est donc ^le à la hauteur verticale MH coBipciBe entre le point oonsidéré et TaiBearement de l'orlliQgonrie en N. Dans le système de Dupuit, la pression est donnée par l'ordonnée MP. On vmt que. la différence peut être grande si dans la partie considérée les filets ont une inclinaison sensible sur l'horizontale.

II. La paroi d'un massif perméable par laquelle pénétrent les eauc d'un réservoir pour y former une nappe aqnifére est nécessairement nne snrface orthogonale. Les filets liquides sont normaux à la paroi. — En effet, ie long de cette paroi, la pression varie suivant la loi hydrostatique; donc cette paroi est une surface orthogonale.

On peut d'ailleurs ie démontrer directement de la manière suivante (fig. 17, pi. V) : Soient A et B deux points infiniment voisins de ia paroi , ÂP la direction du filet passant par le point A. Si AF n'est pas normal à la paroi , on peut du point B abaisser une perpendiculaire BC sur le filet. BC étant normal au filet appartient à Torthogonale; donc le niveau piézométrique en C est le même qu'en B, c'est-à-dire qu'il coïncide avec le niveau de l'eau dans le réservoir. Or le niveau piézométrique en A, origine du filet, est également le niveau de féau dans le réservoir. Lies points A et C, qui appartiennent au même filet ^ ont donc même niveau piézométrique, ce qui équivaut à dire que le mouvement de l'eau s'effectuerait de A à G, sans perte de charge, ce qui est impossible. Donc le point G coïncide avec le point A et la paroi est une surface orthogonale.

III. La paroi d'nn massif perméable par laquelle les eaux de la nappe sortent sous le plan d'eau d*un réservoir est également une snrface orthogonale de la nappe aqnifére. Les filets liquides sont normaux à la paroi , à Texception du filet supérieur. — Gette propriété s'établit par le même raisonnement que la précédente (fig.j8,pl.V). ...

AG étant un élément de filet liquide, et BG la perpendiculaire abaissée du point B sur ce filet, le niveau piézométrique en G est le même qu'en B, c'est-à-dire que ce niveau est celui de l'eau dans le réservoir. Le point A a le même niveau piézométrique. 11 n'y aurait donc aucune perte de charge du point G au point A, ce qui est impossible. Le point G coïncide donc avec le point A , et la paroi appartient à la surface orthogonale.

Si le filet avait une inclinaison plongeante, ce serait du point B', inférieur au point A , qu'il faudrait abaisser une perpendiculaire B'G' sur la direction de ce filet. Le raisonnement serait le même que ci-dessus. «

On remarquera que ce raisonnement ne saurait s'appliquer au filet supérieur MN^ puisqu'il est dans toutes ses parties supérieur au plan d^eao. Ge filet aborde la paroi sous un certain angle.

lia continuité exige que les parties à inclinaison concave, par lesquelles les filets 1,

â, 3, k s'infléchissent pour arriver normalement à la paroi, commencent

à zéro au point M pour augmenter progressivement d'étendue à mesure qu'on descend. Le point M est néeessairemoit un peint êmgtdier où le rayon de courii>ure est nul.

IV. Lorsqu'un massif perméable à eoefficients m, pi repose sur on autre massif i coefficients m\ pl\ les filets liquides éprouTent dans le plan de séparation une réfraction, de telle sorte qu\»n ait, en appelant a, a\ les angles des filais aToc 4'liorisontale (fig. 19. pi. Y) :

mlanga m'tan^tt*

Cette propriété est facile à démontrer, en calcolnnt âu moyen du théorème ci^essns Taccroissement de la pression da point A' au point B' en suivant :

i« Le trajet A'B et BB'; 9^ Le trajet A'A et AB'.

Il résulte de ce corollaire que les filets liquides se rapprochent de la verticsle quand ils passent d^un milieu perméable dans un milieu moins perméable , et qu'ils s'en éloignent dans le cas contraire.

V. Si l'on considère la paroi d'an maasif perméable par laquelle s'écoulent à Fair libre les filets liquides , la Titesse des filets en chaque point de cette paroi ne dépend que des angles que font stoc rhorison la direction des filets liquides et la direction de la paroi. — Soient (fig. 9o, pi. VI) MBAN la paroi, AF le filet liquide.

Considérons deux points infiniment voisins sur la paroi , A et B. Menons la verticale AC, l'horizontale BG, BD normale au filet«

BD est orthogonale par rapport au filet DA/

En D, la pression n'est autre que CE.

Donc, entre les points D et A, le filet liquide consomme la charge GA. L'équation fondamentale donne ici :

CA ABftin/S smjS

^'*""*'^ AD ■* AB co»(jS~«)'™fo«((B- a)'

Donc finalement :

sin jS