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La première partie du tableau est relative au cas où le fond du puits est situé audessus du fond imperméable, hypothèse contraire à celle qui a servi à rétablissement de la formule.

Cette dernière donne partout des résultats trop forts. L'erreur varie de >f- 100 p. 100 4 l'y p. 100. Elle va régulièrement en diminuant depuis le premier cas, où elle est la plus forte, jusqu'au troisième cas, où elle est moindre, et où elle change de signe.

Or le premier cas suppose le puits placé presque sur le faite , c'est-À-dire la nappe presque horizontale. Il semble que ce sont là des conditions favorables à Tapplication de la formule de Dupuit, et il arrive au contraire que c'est dans ce cas que la formule donne les résultats les plus exagérés.

Dans la deuxième partie du tableau, le fond du puits est supposé reposant sur le fond imperméable, ce qui est conforme à Thypothèse de Dupuit. Les erreurs sont moindres, mais elles sont toutes par excès et varient de 87 à 1 p. 100. Ici encore, c'est pour la position voisine du faite que l'erreur est la plus forte.

En examinant le détail de l'épure 1 1 3 , on se rend parfaitement compte des causes de cette erreur. La formule de Dupuit ne tient pas compte du rétrécissement causé au bassin alimentaire, dans le sens de la marche des filets liquides, par Tinfluence des courbes V, V; c'est ce qui explique les débits exagérés donnés par ladite formule dans le 1" et le a" cas.

X vrai dire, celte formule ne peut conduire à aucun résultat quand on TappKqiie au calcul d'un puits à établir, parce quW ne connaît pas la grandeur do rayon d'appel X et que la théorie de Dupuit ne donne aucun moyen de ia déterminer.

L'équation (35o),la seule que i on possède, contient deux inconnues:

tn

Si l'on voulait se servir de l'équation (SBi), qui exprime le volume de Tentimnoir

d'appel, on n'aurait rien gagne, parce que cette formule introduit une nouveUe inconnue m.

On est donc obligé de se donner soit le coefficient m, soit la valeur du rayon d'appel.

La théorie de Dupuit laisse donc le problème indéterminé, parce qu'elle ne tient pas compte du seul élément qni puisse leter Tindétermination , c'est-à-dire du régime de la nappe au milieu de laquelle est ouvert le puits.

Serait-il possible dMtablir pour le cas général une formule qni donnerait le débit permanent d'un puits, en mettant en formule la construction graphique h laquelle la théorie nous a conduit?

Cela nous paraît fort difficile, et une pareille formule serait dans tous les cas très compliquée.

60. Nouyelles formules dérivées de la formule de Dupuit. — La simplicité de la formule de Dupuit fait qu'elle est fréquemment appliquée, malgré son imperfection. Nous pensons qu'elle est, en effet, applicable dans le cas de puisages temporaires de peu de durée.

Cette formule suppose que le fond du puits repose sur le terrain imperméable. Elle ne tient compte que du rayon du puits, sans s'occuper des galeries de captage qui peuvent lui être annexées.

On peut améliorer cette formule et la rendre plus exacte, en y faisant entrer les éléments qu'elle néglige.

Fommk du débit dans k cas {un puiu simpk. -^ Nous admettrons que la nappe supérieure et la contrenappe qui s'établissent dans le réseau des filets liquides qui convergent vers le puits sont séparées par un plan dont la position peut se déterminer par les formules des paragraphes 87 et 5 9.

Prenons les notations du paragraphe 5 9.

Soient K le rapport du débit de la contrenappe à celai de la nappe supërienre,

d la hauteur du plan séparalif au-dessus du fond du puits.

Le débit des filets liquides qui traversent la section cylindrique de rayon x s'exprime par la formule suivante :

D'après le paragriphc 3 7 on a :

<'=PH-+p-y' *+^-= H-Y •

De réquation ( 355 ) on tire :

Intégrant depuis ir=> R, y =» Y, il vient :

(356) {y-d)^-{y- df = ;;;;^ log nep 1

Cette équation donne le profil de la nappe convergente.

Failiaiit « =« X., y»** H, et remplaçant d, K, par leucs valeurs ei<defl8us« on Irouve facilement :

» ii>.H(H4-P)-Y(Y-f-P)

Teile 69t U formule <k Dupuit éteadue aux cas où le fond do puits est placé k une hauteur P au^deastis du ibad imperméable.

En y faisant P = zéro, on retrouve la formule ordinaire.

Votumê de Ventomwir, — On calculera le volume de Tentonnoir comme on Ta fait ci-dessus. Ce volume est égal à :

(358) V^amTrf {li-y)xdx.

En faisant, dans Féquation (356), y «H, âir^X, on a : (3B9) (H-rf)«-(Y-d)» = ;;;j^jlognepQ).

Retranchant Tune de Tautre les équations (359) ^t(356), et extrayant la racine carrée» il vient :

n est facile de reconnaître que le deuxième terme aous le radical eat notaU^oient plus petit qtte le premier^ On peut mettre (H •— d) en faoteur commun et développer en série en s'arrétant au 3* terme ( cm trouve einat :

. -[8.,.(./K)(H-.<)']0*>g°«'PS'

Remarquons qu on a :

(i+K)(H-iJ) = (H + P); H-rf=iHr^^i+Z).

Posons :

air(H + P) ' t (fl + P)(H-Y)

Formons la quantité (H — y), portons sa valeur dans (358), et noua trouverons :

V=^ aifiTT 1 -Ma:dj:lognep-+2m7r J -^Na?ir( log nep- ) •

ol

135 )«^-- En ialégrant par parties, on a :

xdx log nep- — — log nep- + -T-4-coD8t

«ifc(^lognep-j «7(^lognep-j ^--j. log nep - 4- X + «**^»*'

On trouve pour les intégrales définies, respectivement :

T-^-^lognep^-j,

X-j--^lognep--^logilep-j- Portant mb taleors dana re&preanO0 de V «t né^igaant le terme i

qui est beaucoup plus petit que les autrea, on a :

(36o) V-a«*(£M + ^;N)(|-.Ç-e!iogn«pî).

Si le rapport -est aasez grand, on peut négliger tous les termeë, & l'exception des premiera de ohaque parenth^ , et en remjdafani M par aa v^ur on a •im^dament :

(36i) x>=Mi+m„MH±ni,

t désignant le temps écouté depuis le commencement de Tépuisement supposé effectué à débit constant.

Dana ce cas, la surface comprise dans les limites du rayon d^âppel n^étant autre chose <{ae ?rX^, on voit que cette surface croit proportionnellement au tetnps.

Cas où tl y a des galènes de copiage annexées au puits. — Si ces galeries de captage sont assez importantes pour rendre tout à fait secondaire Tinfluence du puits, il faut admettre que Taxe séparatif de la nappe et de la contrenappe passe par le radier de la galerie, ou même par le milieu de la hauteur de la gtlme, A luette hautetiir n'est pua négligeable.

Dans ee eaa les formules se tnodlfietit 1

On a :