IU

— fi- ( l\{}b )<< —

Soient a, i, c. . ., tes points de division par mois.

Considërons par exemple ia première période, celle de la crue d^hiver.

Nous supposons qu'on connaît les débits à ia date du i^ du mois*:

0' en a, Q" <?n 4, .. Q'" en c,

el ensuite le débit moyen Q en A et le débit maximum Qm en B. Un calculera tes

rap[)orts :

(y q;; cr Q«

soient n\ n\ n\ n*' les durées des intervalles :

Aa, Ai, Ar, AB.

Au moyen des quatre rapports de débits ci-dessus calculés et des quatre valeui-s correspondantes du coefficient {i-\-K)oU,on déterminera par le graphique 33 1 ,pl. LXXXI .

les valeurs du rapport ( r- ) pour les quatre périodes :

Aa, Ai, \e^ AB,

rapports que nous appellerons a, (, c, B.

Ces quantités étant connaes, il est facile de voir que les apports pluviaux spéciaux aux quatre intervalles mensuels se détermineront par les formules suivantes :

t^i'jB)

cn"-

-Un

fT-

-^cn'"

Le même procédé pourra être appliqué aux autres périodes BG, CD, DE. On se rappellera que pour les périodes oà le débit permanent se produit a la fin et non au commencement, telles que BC et DE, le temps ta introduire dans le calcul est n^tif. La solution doit être cherchée sur le graphique 33 1 do côté des (i -f- K) al négatifs.

Les apports pluviaux étant connus, on calculera les coefficients d'infiltration par mois, au moyen de la formule (43 1).

On trouvera au chapitre xiv une application do ces procédés.

Détermination du coefficient (i -f~I^)^* — ^.a méthode que nous venons d'indifiuer conduite un résultnl qui nous semble particulièrement intéressant, c'est quelle permet de calculer le coefficient (i -|- K) a.

En cflet, la moyenne géométrique des ipialre valeurs de ( -r) qui se rapportent âu\

qualm saisons et que nous avons appris à calcaler ci^lassiis, doit être Mdemmmt igale à tunité»

On doit avoir :

Np n^, ^31 ^^41 étant les nombres de jours de chaque période.

Celle condition détermine la valeur à donner à (i -j-K) a. Deux essais suftiront gênéiMlemcnt pour déterminer cette quantité par interpolation.

Cependant les applications que nous avons faites de ce procédé nous ont démontré quen raison de la précision insuffisante des graphiques, il ne conduisait pas toujours à un résultat bien net. La méthode que nous allons exposer est beaucoup pins exacte.

Sa. Coefficient caractéristique du régime d'une source. — Sa détermination par la courbe des débits en temps de sécheresse. Méthode du point d'inflexion. — Le coefficient (i-f-K)a entre dans toutes les formules relatives aux crues ou décrues des sources. Lorsqu^on possède une statistique des débits d'une source , sans connaître aucun des éléments de la nappe aquifère qui l'alimente , il semble qu'on n'ait aucun neyen d'avoir la valeur de ce coefficient. Nous aflons voir cependant qu'on peut le déduire de l'examen du graphique des' débits de la source, et même de l'observation des débits, soigneusement faite pendant une seule période de sécheresse, vers la fin du printemps, alors que le débit n'est pas éloigné du débit moyen.

Toutes les courbes de débit d'une source présentent dans la décrue un ou phuieurs pomu d*inJlêxion A (fig. 9 08, 309, pi. LXXI). La courbe est concave avant ce point et convexe après. Il est facile de voir que ce point d'inflexion marque à très peu près le mifùmum Rapport plumai par seconde, La courbe des débits y atteint son inclinaison maxima sur l'axe du temps et cette inclinaison est d'autant plus grande que l'apport pluvial devient plus petit. Si cet apport devient nul, c'est-à-dire si Ton est dans une période de sécheresse absolue, l'inclinaison de la courbe au point d'inflexion atteint sa valeur nuunma (Atehe.

Il est bien rare que dans une série d'années mi peu longue, on ne puisse trouver une période de sécheresse en juin ou juillet.

Après avoir fait le graphique des débits, on opérera de la manière suivante :

RèoLK. On chmiùra le point d'inflexion A ou la courbe présente la plus forte inclinaison sur ta ligne des temps y et on considérera V apport phmal comme nul dans la période qui commence m ce point. On tracera aussi exactement que possible la tangente AC au point HinfiexioH. On minera la verticale AB; on déterminera ainsi une sous^ngente BC et on aura très sensiblet»cnt :

BC étant un temps exprimé en secondes.

Pour démontrer cette règle, reprenons la formule approximative du (Irbit d'une

loarcê de ibalweg sur fond horisonlAl (équation %6i)é Cette formiile est applicable, ai conformément à notre hypothèse le débit diffère peu du débit moyen.

"•" »-4^Tfe^)[-+(?-)<'+''>4

Rappelons que s'il s'agit d'une nappe d'affleurement, il faut faire K»o.

Dans la formule ci-dessus, H représente l'apport pluvial moyen par seconde pendant le temps t, ce temps commençant au point M, où la courbe des débits coupe l'horizontale du débit permanent.

Appeloas P rapport pluvial total reçu par la nappe de o à f ; on aura :

P étant une fonction du temps.

La formule (&98) deviendra :

PrenonS' Ica logarithmes népériena dea deux membres, et pranoM ensuite las dérivées par rapport au temps, en ramarqiiant que, par hypothèse, l'apport pluvial dans

la période qui suit le point A est nui et que, par conséquent, on a : ( --r- )«*o. Noas

obtiendrons sîmplemeal : ^^

Les quantités qui figurent aux dénominateurs du deuxième meoibre Mat petitM pir rapport è rupité. On pont dévdopper oa fétie , en s'urrêtant au s* terme. On trouve :

(-A est nécessairement plus p6tit que Tunité; at est petit. On aura donc pour valeur approchée de (i -f- K)a i

Cette quantité est facile à calculer au moyen du graphique* On a :

donc :

ce qui démontre la règle énoncëe plus haut. Si Ton veut une plus grande approximation, on se servira de cette première valeur

(le

(i -|-K)a pour calculer (-7) au moyen du graphique (Kg. 2 m). Les données soat :

t-NB;

a? = (i ■\-K)at.

Le graphique P fournira ainfti la valeur de (r- ) eorrespondante. Substituant luette

valeur dans Téquation (&3o), on obtiendra une équation qui donnera une nouvelle valeur de ( 1 f K) «T.

Posons :

(i+K)al-ii;

{équation à résoudre sera du second degré en u, savoir ;

(439 Wf) [i+(a^M)(J-^4)]M^-f(3^î^)u-M-0,

On aura ensuite pour la valeur du coefficient caractéristique :

/ étant ici exprimé en jours.

On trouvera au chapitre xiv des applications de cette méthode.

Les considérations ci-dessus démontrent que la détermination des débits d^une source au voisinage de son débit moyen en temps de sécheresse , a une Importance exceptionnelle au point de vue de son régime.

On peut dire en effet que la valeur du coefficient (1 -|- K)at caraclSme une iottree, et que swi régime peut être prévu dh qu*ùn eontudt h valeur de ce coefficient.

Gomme ce coefficient est très petit, quHI est de Tordre dés dix-millionièmes, il vaut mieux considérer pour les applications un nombre plus simple. Il est naturel de prendre k coefficient annud :

OÙ T représente le nombre de secondes contenues dans une anaée entière^ c'esi-àMlire

3i.5oo.ooo sec >ndes. Ce coefficient est gënëralement plus ou moins voisin de l'unilJ.

Nous appellerons désormais caractéristique d'une source^ le coejfficieni (t -f- K)atT.

Vérification de la théorie. — Si la forme de la nappe est connue, a est donné par les for m nies (78) ou (97) suivant que la nappe est à fond horizontal ou à fond incliné.

S'il s'agit d'une nappe d'affleurement, la comparaison de la valeur de a calculée par ces formules avec celle qui résulte de le statistique des débits permettra de faire une vérification de la théorie et d'apprécier son degré d'exactitude. Ce sera là un des moyens les plus sârs de faire cette vérification et de rechercher les amendements à y apporter pour la rendre plus exacte.

Détermination du rapport K des nappes de thalwegs. — S'il s'agit d*une nappe de thalweg, dout on connaît suffisamment la forme de la nappe supérieui'e pour calculer le coefficient a, la détermination du terme (1 -h^)^ ^^^^ connaître le rapport K qu^U est impossible de connaître par observation directe.

On pourra apprécier, de cette manière, la profondeur de la contrenappe à laquelle notre hypothèse fondamentale doit s'appliquer (S 35).

En résumé, il semble qu'il y ait des résultats très importants à attendre des calculs basés sur la statistique des débits et des hauteurs de la pluie, et il est à désirer que les ingénieurs qui en auront la possibffîlé s^appliquent à organiser ces observations dans un certain nombre de cas judicieusement choisis.

85. Détermination du débit d'étiage d'une source. — Lorsqu'on doit d<friver une source pour l'alimentation d'une ville ou d'une commune, la question vraiment importante est de savoir si cette source sera capable d'assurer le service pendant les fortes sécheresses d'été. Il faut donc connaître le débit d'étiage de la source.

Il est bien rare que l'on ait quelque notion précise à ce sujet. La plupart du temps, les projets d'adduction d'eaux de sources sont préparés rapidement, avec quelques jaugeages faits à une époque où l'on considère le débit comme ordinaire. Pour apprécier ce qui peut arriver à la fin des, années sèches , on se contente des renseignements fournis par les habitants.

De là de fréquentes déceplions, qui seraient évitées si l'on procédait, à défaut de longues observations, qui seraient évidemment préférables, à une étude préalable, par la méthode simplifiée que nous allons indiquer, et qui n'est qu'une application du paragraphe précédent

On organiserait, vers la fin du printemps, des observations suivies du débit de la source, en Yue de déterminer son coefficient caractéristique par la méthode du point d'inflexion.

Pour que cette méthode donne des résultats un peu exacts, il est nécessaire que la courbe des débits soit tracée avec un assez grand nombre de points, et que par conséquents les débits soient relevés pendant la période de sécheresse, sinon d'une manière continue, h ïenregisireury ce qui serait l'idéal, du moins à des intervalles assez rapprochés, par exemple, tous les deux ou trois jours.

Le débit ordinaire ou permanent de la source Qo aura été obsei*vé k Tépoque oh ii se produit d^ordiuaire sur les cours d'eau de la région.

On déterminera ainsi le coeflScient caractéristique (i4'K.)aT du paragraphe 8/i.

Pour achever le problème, il faut connaître : i"" le nombre de jours n qui s'écoule, dans les années les plus sèches, entre la date du passage de la source par son débit

moyen, et la date de son étiage minimum: a* l'apport pluvial relatif f r-j que In nappe alimentaire de la source reçoit durant cette période de n jours. *

On trottvera aui chapitres m et ivii quelques données malheureusement insuilisautes à ce sujet Mais ces données d expérience deviendront pkra nombreuses à mesure qu'où appliquera la théorie.

n et ( ^ j étant connus, on aura pour l'abscisse du graphique? : (434) *=(.+K)«T^.

On cherdiera sur le graphique P d« la planche LXXXT, par interpolation, la valeur de F correspondante aux données, ^ ^M r )* Le débit d'étiage de la source est égal à QoF.

ff

86. Étude d'un groupe de sources dans un bassin de composition homogène. — Ainsi que nous l'avons dit, les sources sont localisées et chacune d'elles nécessite théoriquement une étude spéciale pour que ses éléments spécifiques soient connus.

Quand il s'agit d'une alimentation urbaine qui se fait au moyen du produit de plusieurs sources, cette étude est souvent impossible à faire, en raison de la complexité des nappes naturelles et de la difficulté matérielle d'exécuter les observations et notamment les sondages qui seraient indispensables pour parvenir à un résultat, surtout si la région est dépourvue de puits, ou n'en possède qu'un très petit nombre.

Cela est surtout impossible dans les groupes de sources des terrains fissurés, comme la craie et certains calcaires, où chaque source, produite par un massif particulier formant une partie plus ou moins importante du massif général , se jette dans un canal souterrain, non apparent, situé sous un thalweg. Ces canaux souterrains, véritables collecteurs de sources , se réunissent entre eux dans les thalwegs principaux , pour former la source ou le groupe de sources terminai que l'on va capter ou dériver pour le conduire à la ville qui doit l'utiliser pour son alimentation.

On peut considérer le groupe de sounïes comme une source unique et lui appliquer les formules (i65), (169) du débit, et le graphique F, pourvu que le bassin aiimentairo de ces sources remjdisse les conditions suivantes :

1" Que les terrains qui composent le bassin alimentaire des sources puissent être considérés comme homogènes; nous entendons par là, que les tenains ont les mêmes constantes spécifiques, savoir :

Mitoe coeifidMBt de porosité moyen , m ; Même coefficient de résistance moyenne, /i; Même coefficient d'absorption total, j;

â° Quiis «oiept 60umi& au même réginie dappOFt pluvUt, de sorle qjue pour chacune des sources composant le groupe, l'apport pluvial relatif ( ^ t soit le même pour chaque période de Tannée ;

. 3° Que la pente du fond imperméable ne soit pas trop forte , afin que toutes les nappes ëlémentaires entre lesquelles on peut diviser le bassin tout entier, conformément à la méthode du paragraphe 8i , soient des nappes à deux versants.

PROPOaiflioN. Lb ooun d'MmJormé par kgrtmfimmi de Umtôa fat sources du bassin homogène se Gomportê à peu près comme une eouree unifue qui serait placée dans les mêmes terrains.

Le débit q d*une source i un instant donné , est le produit du débit permanent qo de cette source par un coeflScient F diont les valeurs sont données par le graphique F

(pi. LXXXI), en fonction de deux variables, l'apport pluvial relatif ( r-) et Tabscisse a?.

On a, d'i^ros Téquation (i77)»pour un â^msat de niippf àiew vwflênta :

(435) (,+K).,î^s(vqp).

SHI s^agit d*éléments de nappe comme ceux que coûsidëre le paragraphe 8i , il faut multiplier S par le coefficient de réduction de TÀjuation (kûû)^ ce qui donne pour la valeur de x dans ce cas :

fi \ ka /

Pour toutes les sources du groupe, le temps t est le même. En effet, ce temps est rintervalle écoulé entre l'instant où le débit de chaque source a p^ssé par la valeur du débit permanent et Tinstant considéré. Ce temps i ne dépend donc que de la répartition dans Tannée des apports pluviaux, laquelle est la même pour toutes les sources puisque le bassin est supposé homogène.

Donc le temps i, l'apport pluvial relatif [t\ )e eoâffifieat d'abaorption j et le coefficient de résistance pi sont les mémee pour toutes les sources du groupe.

Dai^ Texpresâioa (&3&) de ^f» le facteur antre parenthèses ( ^V; "" ) ^ i^^ valeur

spéciale pour chaque sonree: Il est à considérer cependant que les nappes élémentaires entre lesquelles ou peut diviser le bassin, eonfe¥mément k la méthode exposée au paragraphe 8i, ont des dimçnsioqs comparables. Les longueurs des versants a diffèrent peu. Les coefficients A (courbe h du graphique 35 his, pi. XII) diflèrent peu également, puisque, en raison de la faiblesse delà pente, les nappes élémentaires ont une pente hydraulique assez faible. Nous admettons d'ailleurs que le coefficient K doit être habituellement inférieur a i, et il n^nterfieftt qm aoua «ne raoine carrée.

Quant au coefficient i/ i — =, il varie de i à 0,707, On peutdi>nc admettre que les

coefficieiiU x, tout en étant différents ponr chaque sourae du groape, ne difi^nt pas beaucoup entre eux.

Soit OX (fig. 901 bis, pi. LXYIII) la courbe du graphique F relative à l'apport

pluvial Ij-Y Pour avoir le facteur F applicable à chaque source, on portera des abscisses OA, OB, OC. . ., OV. Les ordonnées correspondantes Oa, 06, Or. . ., Ov, de la courbe ( -r ] donneront les facteurs F affi^rents à chaque source.

La division du basain en nappes éiémentairas, coafoianément au paragraphe 81 , étant arbitraire, supposons qu on ait fait cette division de manière que chaque source élémentaire ait le même débit j. Le débit total du groupe serait égal à Nj[ , N étant le nombre des sources composantes.

Considérons une source unique de débit égal à N^ , pour laquelle l'abscisse x^ serait la moyenne des abscisses des sources particulières, c'est-à-dire :

Cette ebseisBe eondoirait sur Taxe des tg^k un point M, qui aeraît an eeatrt de gravita des pointa A ^ B, C . . . , V. Pour obtenir Tordonnée Mm qui dénnenôl ie ooe£Scient F relatifs cette source unique, il faudrait évideeinaent prendre le point m au centre de gravité des points a, (, c. . . , v, c'est-à-dire aux 3/5 de la flèche np comptés k partir de la courbe.

j- j inférieure k la courbe OX, s'il s'agit

d^une orue; supérieure k la eourbe 0X\ sH) s'admît d'une déerue* Uiicart serait d'autant plus grand que la courlmre de la couriMs est pfos forte.

Lorsque le temps t augmente, le faisceau AV se déplace proportionnellement vers la droite, et sa longueur augmente aussi proportionnellement

Si Ton étudie sur le graphique F (pi. LXYIII) les conséquences de cette progression du temps, on constate les propriétés suivantes :

Du côté droit (crues et décrues postérieures), à mesure que le temps ^augmente et que l'on s^éloigne du point central 0, les courbes, qui, nous Tavons vu (note A), sont

asymptotes k l'borisontale (r j, s'orientent horizontalement; de sorte que leur courbure ditniatte beaucoup et que Tordonnée Um $e confond à peu pràa exactement avec la courbe qui paasd par les pointa a, A, c. . », 0. La source réankaote unique se eomporte exactement comme les sources composantes.

Du c6té gauche (crues et décrues antérieures), et pour des causes différentes, la conséquence est la même, tout en étant moins sensible.

En résumé, la loi suivie par le coefficient F de la source unique est sensiblement ia mAme que celle des sources oempoflanteB. Les diférences sont faiUes. BUsa sont nulles ou négligeabies lorsque te débit approche du maximum ou du minimum. ERes sont un peu plus sensibles dans la rég^n mioyenne , sans être asset forlea pepar infirmer la valeur pivttiipie de ia propoiitfon formulée pfass haut.

On potmra donc srppiiquer k nu groupe de sources, avec tontes les réserves que comporte eette simplification, les proeëdéa exposés au paragraphe 88, et arriver k

calculer les coastaates spëclBques en eoordoaaant les résallats ainsi obtenus avec ceux qui proviendront d'autres constatations.

87. Des cas où la théorie hydraulique des nappes et des sources est applicable.

1. Cas dei terrains arénads. — a. Si ie terrain qui enveloppe la nappe n'est coupé par aucune vallée secondaire, et si la nappe peut être considérée comme intacte sur une certaine longueur, la théorie du régime permanent s'applique exactement.

h. Si le terrain est coupé par des vallées ou dépressions secondaires, on peut déterminer le profil du régime permanent de la nappe sur un profil donné situé entre deux dépressions bocondaires, pourvu que ce profil ne soit pas influencé par lesdites dépressions (chap. xi, xvi).

On peut déterminer la zone influencée en considérant les thalwegs secondaires comme des galeries de pénétration et appliquant les règles pratiques du paragraphe &8.

c. Si le terrain est coupé par des dépressions assez rapprochées pour ne laisser intacte aucune partie de la nappe théorique, il n'est plus possible de tracer un profil de cette nappe. Il reste la ressouite d'étudier le régime de la nappe, comme celui d'un groupe de sources, par la méthode du coejfiàent carûdiristique (S Sa , 86).

IL Cas des terrains fissurés. — Nous admettons qu'il s^agit de terrains à petites fissures, remplies plus ou moins de petits matériaux perméables, dont quelques* unes seulement, plus grandes que les autres, sont vides et servent de canaux collecteurs des eaux. Cest le cas de presque tous les massîfe de craie (chap* xii, xin) et de beaucoup de terrains calcaires appartenant au jurassique ou aux terrains tertiaires.

d. Si le terrain qui enveloppe la nappe n'est coupé par aucune vallée secondaire et si la composition du massif perméable peut être considérée comme homogène dans Tensomble ou seulement sur une certaine partie, il se forme une nappe permanente ^ justiciable de la théorie, soit dans l'ensemble, soit seulement sur la partie non influencée par les thalwegs secondaires (chap. xvi).

e. Mais la théorie des crues et décrues ne lui est pas applicable, à cause du fractionnement en nappes partielles que les canaux eoUecteurs déterminent dans la masaé.

Dans la formule du coeflScient caractéristique (équations 177, &33),

la longueur moyenne a n'est pas égale à la longueur de la nappe dans son ensemble. ËUé est beaucoup plus petite que cette dernière, pour qu'elle représente la longueur d'une nappe partielle déversant ses eaux dans un canal collecteur intérieur* Le coefficient de résistance ^ n'est pas non plus celui de la nappe générale. Il est plus petit, si le terrain fissuré qui mveloppe la nappe est coupé par des vallées secondaires nombreuses et irrégulières; les fonnules du régime permanent ne s'appliquent plus. U ne

reste plus qu'à étudier le régime des débits du groupe de sources au moyen de la méthode du coejfiàeni caractériitique^

III. Coi des terrains très fissurés , à cavernes. — /. Il ny a plus ici d'applicable que la méthode du paragraphe <? ; encore faut-il faire beaucoup de réserves sur les résultats qu'elle serait susceptible de donner.

En résumé, il est très difficile de formuler une conclusion absolument générale, et la théorie est capable de fournir des renseignements inespérés dans des cas en apparence tout à fait rebelles à une application de ce genre.