CONSTRUCTION DU GRAPHIQUE F
La recherche mathématique d'une formule exacte donnant le débit d^une source en crue* .dans le cas le {dus simple, c<dui dune aapjpe d'afflaiirameai «yiiadn^ie coulant sur un fond horizontal imperméable, oonaisterait à int^rer Tëquation de continuité (ai). - .
En faisant dans cette équation »e=zéro et remplaçant (( par fla valeur (si), on ramène celte équation à la forme suivante :
L'intégration de cette équation aux difTëre&tielles partielles est probablement impossible.
Il est donc nécessaire de calculer le débit d'une source par une formule empirique, .^ue nous représenterons ensuite par un graphique.
Supposons qu'une source qui, à l'origine du temps, est au rigm^ffnMmnXy a&tre en icrue.
Appelons, comme aux chapitres m et iv :
H, l'apport pluvial par seconde et par mètre carré que reçoit la aappe; A, l'apport pluvial du régime permanent;
C, le rapport ( f ) de l'ordonnée au faite aux instants t et xiroi
, F, le rapport ( ~ j des débits aux mêmes instants; X, le coefficient (i -f-K) oU (S 36).
Pour simplifier l'écriture, nous désignerons dans la présente note le rapport (j-j par H simplement.
' Dans ce qui va suivre, nous appellerons simplement G l'ordonnée an faite et F le iébit de la nappe, bien qu'il soit entendu que ces quantités ne sont que des rapports. l La méthode que nous emploierons pour calculer le dAit de la source d'une nappe Soumise à des apports pluviaux intermittents et plus ou moins intenses constsie à admettre que^ depuis l'instant zéro jusqu'à l'instant t, la nappe reçoit un apport ptumal liioyen H constant par seconde et par mètre carré (p. io3).
, Nous avons vu au paragraphe 83 que l'année hydraulique d'une source peut se partager en quatre périodes : i"* une crue d'hiver; a"* une décrue de printemps; }'' une décrue d'été ; &"* une crue d'automne. La nappe passe par le régime permanent Sntre les quatrième et première périodes, et entre la deuxième et la troisième. Ces instants sont les points de départ de la formule à établir.
Pour que ce procédé, fondé sur l'assimilation des crues et décrues réelles d'una
soaree i des ornes el décrues moyemies, tit des ehanees d'Aire exact, H fwit évideniment appliquer la ibniiule aux quatre périodes en les considérant de la manière suivante :
i"" Une crue postérieure an régime permanent; 9° une décrue antérieure; 3*^ une décrue postérieure; U*" une crue antérieure.
Crues et décrues postérieures. — Nous pouvons poser diferses conditions auxquelles doit satisfetire la courbe des débits d^nne source en crue t
1* D'abord la fcrmaie (i6&), qui nous donne ce débit avec une première approximation et qui doit être sensiblement exacte m commencement da la croa, c'estHBrdire lorsque la variable x est petite, nous donne à Torigine :
Nous avons donc la direction de la tangente k f origine de la courbe.
9"* Nous pouvons calculer par la formide exacte (8i) lordonnée au faite de la nappe à rinslant t.
Des formules (8o) et (77), on lire :
que nous écrivons, diaprés la simplification indiquée plus haut, 9j?v^.
Dans le cas général d^nne nappe de thalw^, le coefficient a serait remplacé par
On aura donc, pour la valeur du rapport C :
avec les définitions suivantes :
(A) ""îfîT' •« = 0+'^)«<; H mis pour (5).
Nous avons calculé la formule (3) pour les cas usuels des appUeations pratiques de ^ == -^ 3,00 à a: == 4" 5,00.
Les résultats numériques sont contenus dans le tableau Y, qui figure à la fin du chapitre ix; ils sont représentés par le graphique (fig. sso, pL LXXX).
On voit, d'après ce graphique, que les oourbes des ordonnées au faite d^une nappe sont ascendantes et concaTes dans le cas de crue, descendantes et convexes dans le ca$ de déeme.
Le graphique embrasse tous les cas, aussi bien tes antiriews que les fosiérmutê. Sou élude offre le plus grand intérêt.
3*" A riostaal t, Tordonnée au faite est égale à bC. Une nappe permanenle qui curait cette méiûe hauteur de faite aurait pour dëlnt (équation 3i) :
ÎO^S
c'est-à-dire que son débit serait égal à celui de la nappe considérée h Torigine du temps, multiplié par C^»
La courbe de C^ ne serait autre chose que la courbe des débits permanents de la nappe pour les diverses valeurs de Tordonnée au faite.
S'il s'agit d'une crue, la courbe que nous cherchons est située aurdessus de la courbe G^; elle est située aurdeisùtu s'il s^agit d'une décrue.
&*' A mesure que le temps croit et tend vers l'infini, l'ordonnée au faite teud vers v/H, la nappe de crue tend vers le profil de la nappe permanente qui correspondrait à un apport constant et égal à H, et son débit tend vers JqH.
On a donc à l'infini :
La courbe de crue a donc pour asymptote l'horizontale H.
5*^ Posons :
en valeur absolue. La différence A tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini.
On verra, par les applications de la théorie, que le coeflBcient j?, qui est proportionnel au temps, dépasse rarement la valeur x = a, et même que, dans les cas ordinaires, il est notablement inférieur à cette valeur.
En calculant la différence A pour x=9 et pour les diverses valeurs de H, on obtient les résultats suivants :
