CHAPITRE PREMIER

DU MOUVEMENT UNffORME DES EAUX COURANTES.

i. Des résistances qui retardent le mouvement de l'eau dans les canaux* — Le mouvement des liquides'donne lieu à deux«spèces de résisUnces bien distinctes : 1*" celle que les molécules éprouvent à changer de position les unes par rapport aux autres, qu'on appelle cohésion ; 2* celle qu'elles éprou-

vent à se détacher des surfaces solides avec lesquelles elles sont en contact

qu'on appelle adhérence. Si ces deux résistances étaient bien connues, les

principes* de mécanique et les procédés d'analyse ordinaires suffiraient pour

r<[»soudre d'une- manière complète toutes les questions d'hydrodynamique. Nous

allons donc exposer d'abord les recherches faites jusqu'à présent pour constater

la nature de ces deux résistances, en essayant d*y ajouter quelques notions

nouvelles. . '

Leur existence et quelques-unes de leurs propriétés nous sont révélées par

un phénomène que nous avons tous les Jours sous les yeux; la vitesse des cours

-d'pau naturels, quelle que soit leur pente, est sensiblement uniforme, et n'est

jamais en rapport par conséquent avec la hauteur de la chute depuis la source

jusqu'au point considéré. Il faut donc nécessairement que dans ce mouvement

se développent des forces retardatrices qui croissent avec la vitesse, de manière à faire équilibre à la force accélératrice de la pesanteur.

Lorsque des solides sont placés sur un plan incliné de longueur indéfinie , et de pente uniforme, le. mouvement qui se produit, quand cette pente dépasse un certain angle, est toujours accéléré, parce que le frottement est indépendant de la vitesse. L'adhérence et la cohésion des liquides présentent donc, quant à la vitesse, une propriété essentiellement difljérente de celle du frottement des solides gurles solides. Nous disons l'adhérence et la cohésion, parce qu'il suffirait que Tintensité d'une de ces deux résistances fût indépendante de la vitesse pour que le mouvement devînt accéléré dans tout ou partie de la masse liquide. . ^

Une autre propriété des forces. retardatrices que nous considérons, et qui a été démontrée par des expériences de Dubuat, c'est qu'elles sont indépendantes de la pression. II est facile surtout dans les tuyaux de faire varier la pression, sous laquelle s'opère l'écoulement, dans des limites trop étendues pour qu'il puisse rester le moindre doiite à l'égard de cette propriété. Si, comme poHr les solides, la résistance était proportionnelle à la pression, il y aurait de telles variations dans le débit d'un tuyau, suivant que la pression serait plus ou moins grande, qu'elles ne pourraient échapper aux expériences les plus grossières.

Ainsi 9 les résistances dues à l'adhérence et à la cohésion des molécules croissent avec leur vitesse relative et sont indépendantes de la pression à laquelle elles sont soumises.

2. iSquations d'équilibre d'une masse liquide coulant d'une vitesse uniforme dans un canal découvert. — Ces simples notions ont suffi à M. de Prony pour établir les équatiçns d'équilibre d'une masse liquide coulant dans un tuyau avec .une vitesse quelconcfue (*). Nous allons reproduire ses eakuls; mais pour plus de simplicité, nous supposerons qu'il s'agit d'un rectangle d'une largeur indéfinie, ou dont les parois latérales 'n'opposent aucune résistance. Dans ce cas, il est évident que tous les filets, situés dans une couche parallèle au fond, ayant une vitesse égale, il suffit de considérer {fig. 1) ce qui se passe dans une section verticale parallèle à la vitesse.

Soient : i le sinus de Tangle du fond du canal [avec Thorizon (quantité toujours assez petite dans les cours d'eau naturels pour être confondue avec l'arc ou la tangente), •

(*) Recherches physico-niathématiqlies sur la théorie des eaux! courantes (N» 143).

DU MOUVEMENT UWIFORME DES ÇAUX COURAiNTES. S

H la hauteur de Peau sur le fond du canal.

5 une partie de la hauteur comptée à partir de la surface. -

y(n)^ i; **^*^, v", v' les vitesses de n diverses couches depuis celle de la surface r^"^

jusqu'à celle du fond v\ % - '

U la densité du liquide. *

Le filet de lasurface, dont la vitesse uniforme est t^^*\ se trouve dans le même cas qu'un solide glissant le long d'un plan incliné, et son équation d'équilibre est la même. La force accélératrice de la pesanteur agit sur lui avec une intensité proportionnelle à son poids et au sinus de langle d'inclinaison. La force retardatrice, qui lui fait équilibre, dépend évidemment de la vitesse relative (v^^l — t?^**"'^) du filet supérieur par rapport au filet immédiatement inférieur, et croît avQc elle, car cette condition est essentielle pour que le mouvement puisse se maintenir uniforme sous une inclinaison quelconque. On aura • donc pour équation d'équilibre* du filet supérieur

OU plus simplement, en supposant les coefficients de la fonction* qui exprime . la résistance due à la cohésion divisés par 11^, produit qui ne varie que d*un liquide à un autre,

la fonction f étant indéterminée, mais de nature à.croître avec sa variable.

Le filet placé immédiatement au-dessous de celui qui est à la surface reçoit

évidemment delà pesanteur une force accélératrice proportionnelle à tAi, et,

de son glissement sur le filet inférieur, une force retardatrice proportionnelle

à /(v^^"^^ — 1;^«-2)^ ; mais en outre, le filet supérieur en glissant sur lui, l'entraîne

avec une force accélératrice précisément égale à la force retardatrice qull en éprouve. C'est ainsi qu'un «corps solide en glissant sur un plan, tire ce plan dans le sens de son'mouvement avec une force égale au frottement qui retarde sa chute. On a donc pour équation d'équilibre du filet immédiatement inférieur à celui de la surface

on aurait pour un filet quelconque de l'ordre m

et pour le second filet en partant dy fond

iàz = f(v" — v')—'f(v"'—v").

. Quant au filet qui glisse immédiatement sur la paroi, il éprouve, suivant M. de

Prony, deux espèces de résistances: l'une particulière à cette paroi qu'il exprime par F(«?'), et l'autre qui proviendrait du glissement de ce filet sur une couche liquide adhérente à la paroi^ et par conséquent de la même nature que celle que hqus venons de considérer, et qui serait exprimée par f(v'). Nous reviendrons tout à Theure sur cette supposition d'une couche liquide adhérente à la paroi ; mais pour le moment âous conserverons cette notation que la suite du calcul rectifiera.

En réunissant toute ces équations d'équilibre on forme la çérie suivante :

Couche de la surface :

142; = /*(«;(»- — !;(»-2)) ff^^Cn) j;(n-i))

' Gauche du fond :'

• i^z=f(v''— »')— f{v"'—v") iSz = F{v') ■+■ /■(»') — fiv". — v').

3. Eielation . entre la vitesse à la pai^oi» la pente et la hauteur du canal. — En ajoutant toutes ces. équations ensemble, on obtient la suivante :

ou

. équation très-remarquablé, en ce qu'elle est indépendante des forces retardatrices qui n'ont pas lieu à la paroi, et qui permet de connaître i enfonctiop

de t;', et »' en fonction de 1; mais il est essentiel d'observer que v' est ici la

vitesse à la paroi que nous désignerons par W, et non pas la vitesse moyenne de la section. Il est d'ailleurs facile de généraliser ce résultat et d'y arriver directement sans passer par les équations d'équilibre des diverses couches. En effet, en considérant le volume d'eau débité par une. section quelconque ù ,. on voit que la force accélératrice imprimée par la pesanteur à la couche qui coule le long de la paroi solide est proportionnelle au poids des couches sup(5rieurs fit, que la force retardatrice qui agit sur cette couche se réduit à Tadhérence de la paroi. Or si l'on appelle j^, , x^,, y, chacun des éléments du

DU MObVEMENT UNIFORME DES EAUX COURANTES.

périmèire y de la section fî et W, , W/ les vitesses des filets qui glissent

sur ces élémenlsiy on aura

i2i=X,*(W.) + x.*(Wj

Si les Vitesses à la paroi sont toutes égales à W^ on aura simplement

On peut supposer la fonction ^ développée suivant les puissan(!es ascendantes de sa variable aW + frW* + cW' ...... ^^ détermhifant par expérience

les coefficients a, 6, c Cette équation est loin de résoudre le. problème

sous le rapport pratique. En effet, ce qu'il importe d'avoir, c'est la résistance non pas en fonction de la vitesse du fond, mais en fonction de la vitesse moyenne. Car cette vitesse est presque toujours une des données ou une des inconnues dô toutes lès questions d'hydrodynamique, tandis que la vitesse à la paroi n'a pas la même importance pratique, et ne peut être connue que par des expériences spéciales et trèsrdifficiles. Il est donc indispensable, pouf la pratiqué; d'avoir l'expression de la résistance en fonction de la vitesse moyenne. . .

, ti. Inexactitude de la substitution dans cette relation de la vitesse moyenne à la vitesse à la paroi* — C est par ce motif qu'après avoir démontré l'équation précédente, M. de Prony, partant de quelques expériences deDubuat, desquelles ce physicien* avait conclu que la vitesse moyenne était une- fonction de la vitesse du fond indépendante dé la figure, de la grandeur et de la pente du canal, a cru pouvoir substituer la vitesse moyeo'ne à la vitesse du fond et écrire

ftt = 7JaU + ^U')

U vitesse moyenne.

« Il est cependant difficile, dit M. de Prony {Recherches physico-mathéma-

<L tfyw^5, page 79), de.se persuader que ces "divers éléments n'aient aucune

« ipfluenco sur les relations entre la vitesse du fond, la. vitesse moyenne et

a la vitesse à la surface. Mais il fallait pourvoir aux besoins de la pratique par

« des règles suffisamment exactes pour les cas qu'elle a à traiter, et les re-

.« cherches des lois générales et riggureuses auxquelles, les phénomènes sont

« assujettis, offrent encore un problème où les géomètres et les physiciens

DU MOUVEMËJNT UNIFORME DES EAUX GOUBANTES^

« trouveront à s'exercer sur des sujets dignes de leur attention et de leur « intérêt. »

Ainsi Tillustre géomètre que nous venons de citer, en substituant à Téquation ... . .

fli=y$(W) . W vitesse du fond

nt=y*(U) • U vitesse moyenne,

savait fort bieniqu'il's'éeartait de la vérité pour satisfaire aux besoins de la pratique. Mais il nous semble que, des équations même qu*il avait posées, il aurait pu tirer, la confirmation de ses conjectures et des conséquences importantes, entre autres, la relation qui existe entre La vitesse à la paroi et la vitesse moyenne. C'est ce que nous allons essayer de faire maintenant.

5. L'hypothèse d'une coache d'eau adhérente à la paroi i sur laquelle se ferait l'écoulement p est inadmissible. — Si au lieu d'ajouter les n équations d'équilibre (A) nous ne faisons la somme que des n — 1 premières, nous aurons

Si nous rapprochons ce résultat .de l'équation (1)« (N" 3), que nous avon$ obtenue en faisant la sommé de toutes les équations (A), nous aurons, en re-

marquant que (H-^A^) ne diffère pas essentiellement de H, l'équation suivante :

qu'on pourrait poser immédiatement en disant que la force /*(«?') + F(v')j qui retient la couche contiguë à la paroi, est égale aux forces fiv"T-'V') + iàz qui Tentraînent, puisque le mouvement est uniforme, et en remarquant que le poids tiz est négligeable par rapport aux deux autres forces.

Or il faut remarquer que »' est une vitesse finie qui peut être de plusieurs mètres, tandis que (t?" — v') est un infiniment petit, puisque c'est la différence de vitesse de deux couches consécutives. De plus nous avons déjà fait remarquer', que la fonction f croissait avec sa variable. Il est donc impossible que le terme /"(^O existe dans l'équation précédente, car v' élanf infiniment grand par rapport à r'' — v\ on ne peut avoir

et à fortiori

Or ce terme provient de l'hypothèse d'une couche d'eau adhérente à la paroi, dont la vitesse serait nulle et sur laquelle glisserait la seconde couche avec une vitesse finie v\ Cette. hypothèse, qui n*est d ailleurs liullement nécessaire à l'explication du phénomène, est donc inadmissible Ct)- Si une paroi sur laquelle.de l'éau a coulé reste mouillée, cela tient à ce que nécessairement l'écoulement s'y est terminé dans un moment où Tépaisseur H était sensiblement nulle, car la nature des choses s'oppose à ce qu'un écoulement d'une hauteur finie puisse être interrompu brusquement. Or si nous* avons posé sans y introduire de terme constant l'équation

c'est uniquement pour la mettre de suite d'accord avec l'expérience qui prouve que quand W est très*petit. Ht est sensiblement nul. Mais cela n'est pas rigoureusement vrai, et il y a nécessairement un terme constant dans le développement de la fonction, puisque un plan incliné reste mouillé après l'écoulement. Nous insistons sur ce sujet, non-seulement parce qu*il nous parait important de débar;*asser la question dune hypothèse inutile quoique généralement admise (**), mais parce qu'on en tirait cette autre conséquence qui est loin d'être démontrée: c'est que l'eau éprouve la même résistance de la part. d'une paroi quelconque, car quelle que soit cette paroi, elle ne glisse jamais que sur " de l'eau (•**).

Nous avons admis, il est vrai, dans ce raisonnement que la vitesse au fond v' . était finie, ce qui est conforme à ce que nous voyons tous les jours ; car si nous* ^ ne \oyons pas la vitesse du fond des courants d'eau, nous voyons fort bien la vitesse sur les rives, vitesse qui éprouve de Ja part de la paroi la même ré-

. * sistance. • ...

6. Distinction essentielle entre la cohésion et l'adhérence. — *0r

(*) Ou du moins si cette couche adhérente existe ^ elle a nécessairement perdu^ par rapport à la couche supérieure, sa puissance de cohésion^ et le calcul ne doit pas en tenir compte.

C*) C'est sur un tel revêtement ou enduit aqueux, fixé contre les parois du canal ^ quexïoule la masse fluide qu'il conduit. (D'Aubmsson, p. 126.)

(***) Dubuat n'a trouvé aucune variation dans le frottement y pour les différents cas ou F eau coulait sur du verre, du plomb, de Vétain, du fer, du bois et différentes espèces de terres.

Ce dernier fait pourrait toutefois s'expliquer par l'observation que dans tous les cas le frottement n'a lieu que sur la couche aqueuse qui revêt la paroi dul^ [Idem. p. 426.)

DU MOUVEMENT UNlfOpJME* DES EAUX COURANTES.

de ces deux faits, que la vitesse du filet ^ la paroi est une vitesse finie, que la vitesse relative du filet supérieur est un infiniment petit, découle une conséquence très-importante qui distingue la résistan.ce qu éprouve le mouvement du liquide sur les solides que nous appelons adhérence^ de la résistance qu'il éprouve en glissant sur lui-même que nous appelons cohésion. Nous avons en effet entre ces deux résistances les équations

Hi = *(»')=/•(»"— »').

Ht est un produit fini, »' une vitesse finie, (t?"— v') une quantité extrêmement petite. Donc pour que ces équations puissent subsister^ il fout que la fonction $ soit d'une nature tout à fait différente de celle de la fonction f. •

Il suffit d'une très-petite vitesse du liquide glissant siir. lui-même, pour faire naître une résistance, égale à celle qui est engendrée par une vitesse finie du liquide glissant sur la paroi solide et égale à la force accélératrice imprimée par la pesanteur à toute la masse supérieure. Ainsi la cohésion des molécules entre elles est infiniment plus grande que leur adhérence aux solides et que la force de la pesanteur. Si donc on développait la fonction f{v" — t?') , elle aurait des coefficients infiniment grands^ tandis que la fonction ^{v') n'en a que de finis. Nous allons essayer d'éclaircir celte difficulté, qui tient à l'hypothèse admise par M. de Prony, sur la cause de la résistance due a la cohésion.

7. Dans l'hypothèse de H. de Pronyï la cohésion péni être considérée comme proportionnelle à la vitesse relative des couches.. —

Ce géomètre a supposé, coi^ime on vient de'le'voir, que. les deux résistances, qui sont en jeu dans le phénomène, croissaient avec la vitesse relative. Pour la résistance à la paroi, point de difficulté; la vitesse le long de cette parbî étant finie, on conçoit fort bien qu'une fonction de cette vitesse fasse. équilibre au .poids du liquide; mais pour la* cohésion cette supposition est inadmissible, ou. du moins a besoin d'être rectifiée : en effet, la vitesse relative de deux couches contiguës est un infiniment petit, et une forfction d'infiniment pélit ne peut égaler une quantité finie. ,

Remarquons en effet, que si. nous faisons la somme des équations d'équilibre (A) non plus Jusqu'à H, mais jusqu'à ..une profondeur quelconque ^, à laquelle correspond la vitesse v , nous avons -

car on a évidemment

iZr=f(—^vl

Si nous développons la fonction f{ — tsv) suivant les puissances ascendantes de sa variable nous aurons

iz=— (KAt? + K'At?^ + K"A«?^ )

Or tiV étant très-petit, il est permis de négliger les puissances supérieures à la première et d'écrire

î>= — KAt?.

Ainsi M. deProny, sans nuire en rien à la généralité de Thypothèse qu'il avait posée , aurait pu simplifier ses équations ^ en substituant simplement — KAt; à la fonction indéterminée /"( — tiv),

8. Défaut d'homogénéité dans l'expression de cette résistance» lorsqu'on suppose que le coefficient qui multiplie la vitesse est fini. —

Mais l'équation précédente, dont un seul membre est affecté d'un facteur infi- ' niment petit, tandis que l'autre est fini, reproduit, par son défaut d'homogénéité, la difficulté que nous avons signalée et que nous allons encore faire ressortir par des chiffres, pour qu'elle soit parfaitement saisie.

Donnons au canal rectangulaire indéfiniment large, que nous avons considéré tout à l'heure, une pente de 0"',001; divisons-le en couches parallèles au fond du lit de l'épaisseur de un centimètre. Voyons d'abord ce qui se passe dans la première couche comprise entre la surface et le plan N' 1 . Un mètre carré de cette couche est entraîné par la pesanteur avec une intensité proportionnelle à son poids 10^ multiplié par le sinus de l'angle d'inclinaison 0^001, ou 10 grammes; puisque le mouvement est uniforme, il faut en conclure que la résistance qu'oppose le plan N"* 1 au glissement de la couche supérieure est de 10 grammes par mètre carré. Si nous considérons maintenant un mètre carré de la couche immédiatement inférieure nous trouverons qu'il est entraîné :

1* Par le frottement de la couche supérieure avec une intensité

égale à 10 i^"^^'-

2* Par son poids avec une intensité égale aussi à. . . . . - 10 8'"»'»«s- .

Nous en conclurons que la résistance est sur le plan N' 2 de. . 20 «ranimes. On conclurait de même qu'elle est sur le plan N* 3 de. . . • 30 «^^^^^

Parce qu'un mètre carré de cette troisième couche est entraîné avec une

intensité de 20 grammes par l'effet du frottement de la couche supérieure, et

de 10 grammes par l'effet de son poids.

Ainsi, à mesure que 1 on considère des plans de glissement plus profonde, ou a des résistances qui croissent comme la profondeur à laquelle ils se trouvent. Or maintenant • quelle est la cause de cette augmentation de résistance? Dans tous ces glissements, c'est toujours de l'eau glissant sur de l'eau, c'est toujours la même nature de surface; la pression varie il est vrai, mais nous avons déjà dit que cette circonstance n'influait pas sur la résistance, il est d'ailleurs facile de s'assurer que, quand même la pression aurait une influence dans le phénomène, il ne faudrait pas moins chercher ailleurs la cause de la différence de résistance que nous signalons ici. En efl'et, si nous comparions les résultats que nous venons de trouver à ceux que donnerait un canal dont la pente serait double ((r,002, au lieu de 0",001 ), nous trouverions sur tous les plans situés à la môme profondeur, et par conséquent soumis à la même pression, des résistances très-diff'érentes, puisqu'elles seraient précisément le double dans le canal qui aurait la pente la plus forte. On est donc amené à chercher uniquement dans la vitesse relative des couches la cause de la différence des résistances qu'elles éprouvent; puisqu'on ne peut la trouver, ni dans la nature des surfaces de glissement, ni dans la différence de pression.

9. L'intensité de la cohésion est proportionnelle à la tangente trigonométrique de l'inclinaison dé la courbe des vitesses « ou au rapport de la. vitesse relative à la distance moléculaire. — Â partir d'une normale OF {fiff. 1), portons sur le plan de division de chaque couche élémentaire une longueur horizontale proportionnelle à la vitesse de cette couche. Les différences de longueur de ces horizontales seront' ce que nous avons appelé Av. Supposons qu'on détermine pour ce système de division, de 0™,01 en 0",01, la relation qui existe entre les différentes valeurs de At; et les profondeurs^, et qu'on trouve, comme tendrait à le faire croire Thypothèse de M. de Prony, que ces différences sont proportionnelles aux profondeurs. On aura l'équation

• iz= — KAr,

la valeur de K étant donnée par l'expérience même. Ainsi, pour une hauteur ^=1" par exemple, on aura une certaine différence Ae;=0,01, et on en déduira ...

At' 0,01

Mais il est évident, qu'au lieu de ce système de O-jOl, on peut en prendre un

autre moitié pFus petit, et par ce système, on trouvera à très-peu près le Ac, correspondant à la profondeur 1*°, égal à la moitié du At; précédent, et on aura

iz 0,001X1 ^'-J^- 0.005 -^'^^'

Ainsi, suivant le système de division adopté, la valeur de K augmentera en raison inverse de la grandeur des divisions et deviendra infinie pour Tépaisseur réelle et infiniment petite des couches du fluide. Le coefficient R est donc

nécessairement de la forme — , e étant une constante, et la résistance fournie

par la cohésion se trouve alors représentée non plus par eAr, comme le suppo-

sait M. de Prony, mais par t — . C'est une conséquence à laquelle on pourrait

d'ailleurs arriver plus directement que nous ne l'avons fait, en suivant pas à pas les calculs de M. de Prony. Dès qu^on admet que la résistance est proportionnelle à la vitesse infiniment petite des molécules les unes par rapport aux autres, il faut pour exprimer cette résistance prendre une mesure de cette vitesse. Or il est bien clair que toute unité finie, comme le mètre, ne peut servir à cet usage et qu'il faut recourir à une unité de longueur de même ordre que cette vitesse. Une fraction de millimètre, si petite qu'elle fût, ne pourrait exprimer l'espace parcouru par la molécule de la couche supérieure par rapport à celle de la couche inférieure. Pour exprimer cet espace par un nombre fini, il faut prendre pour unité la distance de ces deux couches. Alors on trouvera que la molécule supérieure a parcouru une fraction finie de cette distance, ou môme un certain nombre de ces distances. Si les molécules A et B (Jig. 2) sont sur la même verticale, et qu'au bout de chaque seconde de temps, la molécule A

ait occupé les positions équidistantes a, a\ al^ la vitesse At;=Aa sera dans

un rapport fini avec la distance A^, et ce rapport exprimera la tangente trigonométrique de l'inclinaison de la tangente à la courbe des vitesses [fig. 1). Si

nous descendons sur cette courbe à une profondeur telle que — =^ 1, nous en

conclurons que sur cette couche B6, les molécules parcourent précisément une distance moléculaire par chaque seconde, et que le travail consommé par cette vitesse, ou la résistance à la cohésion est la constante e. Faisons remarquer que

dv

celte expression e— de la résistance de la cohésion des fluides, offre l'analogie

la plus complète avec celle qu'on emploie en mécanique pour mesurer celle des

i2 DU MOL'VEMENÏ UNIFORME DES EAUX COURANTES.

solides. On sait en effet, que lorsqu'on écarte deux molécules solides, l'énergie de la force qui tend à les rapprocher, n*est pas mesurée simplement par leur distance, mais par le rapport de leur distance actuelle à leur distance primitive.

Lorsqu'on substitue dans l'expression de la résistance à la cohésion fl — j

à f(dv)f il n'est plus permis de ne conserver dans le développement de la

fonction que la première puissance de la variable, parce que la quantité f j-

n'est pas en général assez petite pour que les puissances supérieures à la première soient toujours négligeables. On doit alors écrire

Cette équation donnera v en fonction de Zy et de la cohésion du liquide, déterminée par les coefficients e, s!. On devra d'ailleurs avoir r=W, pour -j=H ; la constante amenée par l'intégration sera donc déterminée en fonction de W, cette quantité elle-même sera donnée par l'équation

Tous les problèmes du mouvement uniforme des eaux courantes sont donc résolus par les deux équations précédentes, comme on le verra tout à l'heure. Mais nous croyons devoir insister encore sur les considérations physiques dont nous avons déduit les expressions analytiques des deux résistances, pour établir entre elles une distinction essentielle qui nous semble avoir échappé à tous ceux qui se sont occupés de cette question,

10. Notions physiques données sur la cohésion et l'adhérence par M. de Prony. — M. de Prony dit {Recherches ^ page 41) : • Cette cohé- « sion des molécules entre elles et celle des mêmes molécules à la matière <( dont le tuyau est formé ou dans laquelle le canal est creusé doivent en gé- « néral être représentées par des valeurs différentes, mais comparables ou de a même ordre les unes par rapport aux autres. ».

Selon nous, ces deux forces ne sont ni de même ordre ni comparables entre elles ; il est impossible de les mettre dans des conditions telles qu'on puisse leur appliquer une mesure commune. On saît, par exemple, que si on faisait glisser avec une vitesse d'un mètre par seconde, une couche d'eau d'un mètre carré de

DU MOUVEMEM LNIFOKAIK DES EAUX COURAINTEsî. 13

base el d'une hauteur quelconque, sur la surface horizontale d'un solide, il faudrait lui appliquer une force horizontale d'environ 360 grammes {ce chiffre résulte de coefficients numériques que nous donnerons plus loin). Quelque faible que soit cet effort, il est cependant très-apprcciable et on peut le comparer, soit avec la pression, soit avec le frottement des soliSes ; mais il est impossible d'exprimer en nombres le rapport qui existe entre la cohésion et Tadhérence ; parce qu'il faudrait, pour déterminer ce rapport, faire glisser cette même colonne d'eau avec cette même vitesse de 1" sur la surface d'une eau immobile. De quelque manière qu'on fasse l'expérience (*), la cohésion sera toujours assez énergique pour que la vitesse relative des deux surfaces en contact soit sensiblement nulle. Ainsi pour vaincre l'adhérence sur un espace fini, pour que la couche liquide parcoure sur la surface solide 1°, par exemple, on aura trouvé qu'il fallait faire tomber 360 grammes d'un mètre de hauteur. Mais la couche d'eau mobile n'aura parccgiru sur la couche d'eau immobile que quelques distances moléculaires dont les longueurs cumulées, si nombreuses qu'elles soient, ne pourront produire une distance fiwe, comme un mètre, la vitesse relative étant toujours infiniment petite et ne pouvant être mesurée que par des longueurs infiniment petites. Ainsi l'adhérence, qui peut être expérimentée sous une vitesse finie quelconque, ne peut être comparée à la cohésion, qui ne peut être expérimentée que sous une vitesse infiniment petite, c'est une force d'un ordre tout à fait différent.

Il . Notions {Physiques données sur la cohésion et l'adhérence par H. Navier. — ]\I. Navier, dans un Mémoire inséré au tome vi du Recueil de l'Académie des sciences, a traité la question du mouvement des fluides, en ayant égard aux forces d'adhérence et de cohésion.

« Nous prendrons pour principe, dit ce savant ingénieur, que par l'effet du « mouvement du fluide, les actions répulsives des molécules sont augmentées « ou diminuées d'une quantité proportionnelle à la vitesse avec laquelle les « molécules s'éloignent ou s'approchent les unes des autres. Il s'établit même « dans l'état d'équilibre des actions répulsives entre les molécules du fluide « et celles des parois solides dans lesquelles il est contenu. Ces actions doivent « être également modifiées ou diminuées de quantités proportionnelles aux « vitesses avec lesquelles chaque molécule s'apprerhe ou s'éloigne de chaque « molécule immobile appartenant à la paroi. »

(*) On peut concevoir qu'on réîilise cette expéncnce, en promcnanl un vase renversé rempli d'eau, au-dessus d'un récipient contenant lui-niénie de Teau.

14 DU MOUVEMflKT UNIFORME DES EAUX COURANTES.

On peut conclure de cette définition que M. Navier place ces deux forces sur

la même ligne ; une seule et même hypothèse sert de base à la formule qui les représente : la résistance est proportionnelle à la vitesse avec laquelle les molécules s'éloignent ou s'approchent les unes des autres. On verra plus loin que cette hypothèse de M. Navier se trouve non-seulement en contradiction complète avec Texpérience en ce qui concerne Tadhérence , mais que des expériences récentes ne permettraient même pas de Tadmettre pour la cohésion. Ainsi nous verrons plus tard, lorsque nous nous occuperons des valeurs numériques des coefficients , que l'adhérence dans les limites de la pratique est à peu près proportionnelle au carré de la vitesse. Or il s*agit ici d'une vitesse quelconque ; on ne peut donc substituer la première puissance à la seconde sans commettre une erreur grave.

Ainsi tous les calculs de M. Navier, qui d'ailleurs s'est tenu dans des généralités théoriques, n'auraient abouti qu'à des résultats complètement erronés si on en avait fait des applications à des cas pratiques. Il ne doit rester de ce mé-

• dv

moire que l'expression de la résistance due à la cohésion e — qui est un progrès

sur les notions inexactes présentées par M. de Prony.

12, Notions physiques données sur la cohésion et l'adhérence par H. Sonnet. — M. Sonnet, qui a eu d'ailleurs le mérite de faire voir tout le parti pratique qu'on pouvait tirer des tentatives stériles de M. Navier, ne nous parait pas avoir fait faire les mêmes progrès à la théorie physique des deux résistances. Voici comment il s'exprime dans son mémoire (pages 3 et 4) :

a Quant à l'action mutuelle des filets fluides, elle a éXé également constatée « par l'expérience et en particulier par celle de Venturi sur la communication « latérale du mouvement. Elle est de même nature que celle qui s'exerce sur « la paroi et un filet en contact, ou plutôt entre ce filet et la couche liquide « qui demeure adhérente à la paroi. Cette résistance peut donc être représentée (( par un développement analogue au précédent, dans lequel on représenterait « non plus la vitesse réelle d'un filet, mais la vitesse relative de deux filets con- « sidérée. »

Il nous semble résulter de ce passage et surtout des mots que nous soulignons, que M. Sonnet a confondu la nature de ces deux résistances, qu'il n'a pas établi entre elles la distinction essentielle, que nous avons cherché à faire ressortir de plusieurs manières, parce que nousJa considérons comme étant d'une importance capitale dans toute question d'hydrodynamique.

13. Résumé des propriétés générales de la cohésion et l'adhérence.

— En résumé^ le mouvement d*un fluide dans un canal donne lieu à deux résistances ; l'adhérence du fluide aux parois du canal ; la cohésion des molécules entre elles. Ces deux résistances ont pour propriétés communes d*être proportionnelles aux surfaces en contact; d*être indépendantes de la pression, de croître pour l'adhérence avec la vitesse absolue, pour la cohésion avec le rapport entre la vitesse relative des couches et leur épaisseur. Ces propriétés que mettent en évidence les expériences les plus simples, distinguent complètement ces deux résistances du frottement des solides sur les solides, qui ne dépend ni de- la vitesse, ni de la superficie du contact et croît au contraire avec la pression. Cependant Tadhérencc du liquide au solide est une force de même ordre et comparable au frottement ordinaire, on pourrait déterminer l'épaisseur d'une feuille de tôle qui éprouverait en glissant sur une surface solide la même résistance qu'y rencontrerait une couche d'eau de môme surface. Quant à la cohésion des piolécules entre elles, c'est une espèce d'affinité chimique d'un ordre complètement différent et qui agit avec une intensité incomparablement plus grande que ladhérence. C'est là une distinction essentielle que nous ne trouvons établie dans aucun traité d'hydrodynamique ; qu'on nous permette de signaler en passant quelques phénomènes qui nous paraissent en être une conséquence immédiate et une confirmation éclatante.

12i. Application de ces propriétés à quelques phénomènes. — Considérons, par exemple, un bateau qui s'avance dans une eau tranquille d'une vitesse uniforme, entretenue par des coups de rame réguliers. Il est évident que la résistance opposée au mouvement de la rame est égale à celle qui est opposée au mouvement du bateau. Or, si on compare la surface mouillée du bateau avec celle de la rame, on est de suite frappé de la disproportion énorme qui existe entre ces deux quantités. Cette disproportion ne peint cependant que d'une manière tout à fait incomplète celle qui existe entre l'adhérence et la cohésion. Car quoique le bateau soit construit de manière à mettre le moins possible en jeu la résistance due à la cohésion, elle agit cependant encore avec une certaine intensité contre lui. Dans le mouvement de la rame, on ne cherche au contraire qu'à déplacer leau, à la faire glisser sur elle-même, et la résistance quela cohésion oppose au mouvement de la rame suffit pour faire équilibre à celle qui s'oppose au glissement de la surface entière du bateau. Supposons au lieu d'eau, un liquide ayant beaucoup moins de cohésion avec une adhérence égale, le bateau aura moins de résistance à vaincre pour avancer, cependant la rame

séparant le liquide presque sans effort ne pourra plus y trouver une résistance suffisante pour faire avancer le bateau. Ce que nous avons dit des liquides s'applique aux fluides élastiques ; si l'air frappé par l'aile de l'oiseau s'enfuyait derrière lui sans fournir une résistance suffisante, si cet air frappé glissait au milieu de l'air qui l'environne avec autant de facilité que le corps de l'oiseau le fait lui-même, l'oiseau ne pourrait pas plus voler dans l'air que l'homme ne pourrait marcher sur une glace parfaitement dure et polie; le point d'appui manquerait. C'^st en vertu du même principe que l'énergie d'un courant d'air chassé par un soufflet diminue rapidement à mesure qu'on s'éloigne de Torifice, tandis qu'on la porte facilement à une grande distance à l'aide d'un tuyau. Il en est de même pour un jet d'eau dont on peut arrêter la puissance jaillissante en noyant l'orifice sous une charge d'eau très-faible. C'est ainsi que dans certaines constructions hydrauliques, on paralyse les effets destructeurs d'une chute d'eau en recevant le choc sur une masse d'eau stagnante. Tous les phénomènes de la communication latérale du mouvement, les pertes de force vive qui ont lieu dans les changements brusques de section, la contraction de la veine fluide nous paraissent devoir trouver une explication simple et naturelle dans la distinction essentielle que nous avons établie entre l'adhérence et la cohésion. Ainsi de l'énergie de la cohésion découle ce principe général, que la différence de vitesse entre deux filets conligus est toujours infiniment petite, et ce principe suffit pour se rendre compte des effets de certains phénomènes naturels, tels que les vents, les tourbillons, les courants de la surface ou du fond

des eaux ou au moins pour en rejeter les explications qui en sont données.

Ainsi nous lisons dans l'hydraulique de M. Daubuisson, page 194.

« L'eau du remous semble souvent n'être que superposée au courant et ne « pas participer entièrement à ses mouvements : les ingénieurs qui ont fait le « nivellement du Weser ont observé qu'encore à H 84" de la digue, la vitesse « était presque insensible à la surface, tandis qu'elle était forte au fond. »

Il suffit d'apporter dans l'exçiraen de cetle assertion quelques-unes des notions que nous venons d'exposer pour reconnaîfre qu'elle est complètement inexacte, et qu'elle repose sur un fait mal observé. En effet, nous avons vu qu'on est obligé d'admettre que ce qui empêche dans les courants ordinaires la vitesse du filet de la surface de s'accélérer avec la chute, c'est fa résistance qu'oppose le filet inférieur qui marche moins vite, et voilà maintenant qu'on suppose que le filet inférieur marche plus vite, sans entraîner avec lui le filet supérieur qui résiste même aux efforts de la pesanteur, puisque sa vitesse reste presque insensible !

15. Détermination de la coarbe des vitesses des filets dans un canal rectangulaire de largeur indéfinie. — Voyons maintenant comment les notions générales que nous venons d'exposer peuvent servir à établir, au lieu des formules empiriques dont on se sert aujourd'hui, des formules rationnelles fondées sur les propriétés réelles de ces deux résistances si distinctes.

L'équation générale

peut être remplacée par ■

/dvy

sans perdre de sa généralité au point de vue pratique , attendu que dans toute

dv espèce de canal l'expression — est toujours comprise entre et une quantité

assez petite.

Maintenant prenons dans le plan vertical ZOX parallèle au courant (fig. 4) des ordonnées v proportionnelles aux vitesses, leurs extrémités m^ p^ 9, n traceront une courbe qui sera représentée par Téquation différentielle précédente. En intégrant cette équation et remarquant qu'on doit avoir f = Y pour z=-Oy il vient

équation qui détermine la vitesse d'un filet quelconque en fonction de la vitesse à la surface. Si au contraire la vitesse au fond était donnée par l'équation

on aurait, en faisant z = E dans l'équation précédente,

n-\-i\tJ

posons pour abréger C =(j^^\ (j\ = — ^j- ,

les équations précédentes deviendront

v=y—Cz~, V=W + CH~.

iS DU MOUVEMENT UNIFORME DES EAUX GOURANTES.

Si l'on connatt V et W, on peut éliminer C de la courbe des vitesses qui devient

et ne contient plus que la vitesse du fond, la vitesse à la surface et la profon-

n + 1 deur. C'est une parabole du degré dont Taxe se trouve dans la surface

naturelle du courant. On ferait disparaître de son équation le terme constant en transportant lorigine des coordonnées au sommet M de la parabole. Appelant alors X les abscisses V — v^ Téquation de la courbe se réduirait à

x^Ça « =(V-.W)^g^

16. Propriétés de la courbe des vitesses» — Cette équation fait voir que la parabole des vitesses est la même, quelle que soit la profondeur du canal, quand la pente ne change pas. Ainsi la profondeur du canal a pour effet d'augmenter toutes les vitesses d'une quantité égale. Si le fond du canal Fn se transporte en FV, la courbe M» prolongée Mnn' représentera l'extrémité des vitesses par rapport au nouvel axe O'Z' en arrière du premier. La position de cette ligne sera telle que'la distance FV sera plus grande que Fw; car ces deux quantités expriment les vitesses du fond qui croissent avec la profondeur. Quant à l'inclinaison iy elle a pour effet de changer le paramètre de la parabole. La parabole mn appartient à un canal dont la pente est moindre que celle du canal qui donne la parabole mvl (fig. 5).

17. Comparaison avec les résultats d'expériences connus. — On a

fait des expériences déjà assez nombreuses pour déterminer cette courbe des vitesses, ^mais la difficulté de mesurer la vitesse d'un courant à diverses profondeurs a empêché les expérimentateurs d'arriver à la découverte de la loi précise. Us n'ont trouvé qu'une indication générale du sens de la courbe, parfaitement d^ccord avec les résultats théoriques précédents, qui d'ailleurs peuvent maintenant être facilement vérifiés, comme nous le ferons voir plus tard.

M. Daubuisson, après avoir rappelé les tentatives faites par Ximénèe, Brunings, Woltmann, Funk, par M. Raucourt et par M. Défontaine, pour obtenir cette loi des vitesses, les résume ainsi (p. 177): « La seule conséquence que

«I l*on puisse tirer des observations connues, et en particulier de celles que a M. Défontaine a faites sur le Rhin, à Taide du moulinet de Woltmann, c'est « que en général et à mesure que Ton s'enfonce au-dessous de la surface, dans «( une rivière, la vitesse de Teau diminue graduellement; d'une manière d'abord « insensible, puis de plus en plus prononcée et croissant assez rapidement aux <x approches du fend où la vitesse est encore presque toujours plus que la moitié c( de la vitesse à la surface. »

La théorie ne fait donc que démontrer ici ce que l'expérience avait déjà fait entrevoir.

Nous parlerons plus loin des remarquables expériences entreprises par

M. Darcy, pour déterminer l'influence de la cohésion sur les vitesses relatives des filets fluides , et desquelles il semble ressortir que pour représenter les résultats obtenus il conviendrait de faire plutôt n = 2 que n = 1 . Quant à présent nous nous bornons à faire observer que quand on connaît V et W, la connaissance de la valeur de n n'influe sensiblement ni sur la forme de la courbe mpgn, ni sur l'intensité et la position de la vitesse moyenne. £n effet, pour n=^l, les équations précédentes donnent une parabole du second degré, et pour N=co, on a la corde mn; la courbe inconnue est donc comprise entre deux limites assez rapprochées.

18. Détermination de la vitesse moyenne. — La vitesse moyenne se déduit immédiatement des équations que nous avons établies plus haut. On a, en appelant U cette vitesse

d'où Ton tire

(n+l)V + nW V + W V— W 2IH-1 ""2 ■*"2(2n + iy

19. Comparaison avec les formules empiriques de Dubuat et de Prony. — La formule donnée p*r Dubuat, et qu'on trouve dans tous les traités d'hydraulique, est pour une section quelconque

La différence avec la valeur de U que nous venons de trouver n'est que de

r et diminue rapidement à mesure que n augmente. Dans le cas le

20 DU MOUVEMENT UNJFORME DES EAUX GOURANTES.

plus défavorable, pour n=l , cette différence n'est que de - (V — W), et on

verra plus tard qu'elle ne tient qu'au cas particulier que nous considérons d'un rectangle de largeur indéfinie, ou de parois latérales sans frottement, et que la formule de Dubuat se trouve vérifiée par la théorie, du moins comme approximation suffisante pour la pratique. Mais il n'en est pas de même d'une.autre formule de Dubuat qui donne la vitesse moyenne en fonction de la vitesse à la surface. Car comme la vitesse du fond est très-difficile à déterminer expérimentalement, ce n'est pas la formule précédente qu'on emploie pour calculer la vitesse i moyenne. Elle sert au contraire à déterminer la vitesse du fond en fonction de la vitesse à la surface et de la vitesse moyenne. Quant à cette dernière^ Dubuat avait cru pouvoir la déduire de la seule vitesse à la surface, et M. de Prbny avait établi sur ses expériences la formule empirique suivante, pour laquelle il avait

calculé une table spéciale :

D'après cette formule, le rapport de la vitesse moyenne à la vitesse à la surface ne dépendrait absolument que de l'intensité de cette dernière vitesse, et serait indépendant de la pente du canal, de sa hauteur et même de la vitesse du fond. De plus il ressort des coefficients de cette formule empirique que ce rapport est toujours compris entre 0,75 et 1 et qu'il augmente avec la vitesse

pour Y=0 on a ~=0,75

La théorie que nous venons d'exposer démontre que ce rapport est en effet toujours compris dans des limites assez restreintes; mais la loi de son accroissement est précisément en sens inverse de celui de la formule empirique. En effet l'équation de la vitesse moyenne peut se mettre sous cette forme :

qui fait voir que le rapport de la vitesse moyenne à la vitesse à la surface est toujours compris entre

et 1

soit entre 0,67 et 1 pourn=l,

0,60 et i pour n=2,

0,50 et 1 pbur «=oc.

Dans la pratique, et pour les calculs approximatifs, on emploie ordinaire-

ment le rapport constant 0,80, qui suppose que le. rapport -rr est lui-même

constant et égal à 0,&0 dans l'hypothèse de it= 1, et à 0,50 dans Thypothèse

de n=2.

Si, dans la valeur de -rr , on met celle de V tirée de Téquation de la courbe

/Ht\' des vitesses (§ 15), et si l'on remplace W par ( — J , il viendra

u n-4-1 it

La valeur de-rr ™îs^ sous cette forme démontre que, quelle que soit n, elle

diminue quand H et t (*), et par conséquent V augmentent. La formule de Dubuat est donc complètement inexacte, au reste elle a toujours été suspecte à tous ceux qui ont réfléchi sur le phénomène. Nous avons signalé les doutes de M. de Prony, voici comment s'exprime M. Daubuisson, page 180.

« Mais peut-on admettre un rapport entièrement indépendant? peut-on « étendre le résultat d'observations faites sur de forts petits canaux en bois « bien réguliers, où la profondeur de l'eau n a pas dépassé 0",27, à des ri- <c vières dont le lit n'est qu'une suite de fortes inégalités et dont la profondeur « excède souvent 3 et 4 mètres, etc. »

(*} L'influence de t disparaît dans Thypothèse de n = 2, et alors le rapport de =r ne dépend que de la grandeur de la section. Nous reviendrons plus loin sur ce résultat.

Nous verrons tout à Theure que les canaux de Dubuat, ayant à peine O^^^âO de large, se trouvaient dans les plus mauvaises conditions pour révéler la loi

des vitesses.

SSO. Position du filet doué de la vitesse moyenne. — Si Ion met

dans Téquation de la courbe des vitesses la valeur de la vitesse moyenne, on en # déduit pour la profondeur du filet doué de cette vitess^

Soit j2;=0,58H pour »=1,

j?=z=0,55H pour w=2, z = Oj^OE pour n = oo.

On voit que, quelle que soit la valeur de tï, la position de la vitesse moyenne est toujours au-dessous de la demi-hauteur du courant et ne diffère pas sensiblement de 0,58 H.

D'après cette analyse, en appelant C la quantité r ( - ) » ^n a entre les

vitesses du fond, à la surface et la vitesse moyenne les relations suivantes :