V=W + CH

qui, avec Téquation de la courbe

résolvent tous les problèmes qu'on peut se proposer sur le mouvement de l'eau dans un canal rectangulaire de largeur indéfinie.

On remarquera qu'il résulte de ces équations des rapports simples, indépendants de t, e, 6 et H, entre les différences des vitesses, qu'on a par exemple

V— w ~ 2» + r U— W ~ IT+i'

• DU MOUVFJfENT UNIFORME DBS EAUX GOURANTES. 23

2i. Détermination de la courbe des Titesees dans on tajan cylindrique. — Voyons maintenant comment les résultats que nous venons d'obtenir se modifient dans un tuyau cylindrique.

Nommons V la vitesse dans Taxe, W la vitesse à la paroi, R le rayon do tuyau cylindrique ^ r le rayon d'un tuyau concentrique quelconque > t; la vitesse correspondant à ce rayon , Z la différence de niveau des deux bassins réunis par le tuyau ; X la longueur du tuyau ^

t le rapport^.

Si nous considérons Téquilibre d'un cylindre concentrique quelconque, il est clair qu'il éprouve de la part de la pesanteur une force accélératrice proportionnelle à l^'it, et de la part de la couche extérieure une force retarda-

— j , on aura donc

et par conséquent l-r-j = — ( s" ) ''?

équation tout à fait semblable à celle que nous avons obtenue dans le cas du rectangle.

Appelant C la quantité ( ) ( - ) ? nous avons de même :

1 fi+i

Comme pour le rectanfgle indéfini , il est permis de conclure de ces équations : l"" que la courbe des vitesses ne change pas avec le diamètre du tuyau

^à DU MOUVEMENT UNIFORME DES E\UX GOURANTES. *

qu'elle ne fait que se prolonger jusqu^à la nouvelle paroi en se déplaçant parallèlement à elle-même ; 2*" que l'effet de Tinclinaison t se borne à changer le paramètre de la parabole.

22. Détermination de la vitesse moyenne. — De cette similitude de la courbe des vitesses, il ne faudrait pas conclure que la vitesse moyenne est donnée par la même formule que dans le cas du rectangle. Les couches concentriques d'égale vitesse n'étant pas de surface égale dans le cylindre, il en résulte que la couche animée de la vitesse moyenne se trouve plus près de la paroi que dans le rectangle.

En ayant é^ard à celte considération, on a, pour déterminer la vitesse moyenne de la section, l'équation

En appelant todr la surface d'un anneau d'égale vitesse, et en mettant pour n, V, (i>, leurs valeurs

— ;^^^ r * \ ^Tzrdr,

ox R* /

^ (■.-HDV-H 2„W ^ V±W n- .

V'+W pour n = l, U== — r — qui est, comme nous Tavons déjà dit, la formule

générale de Dubuat, pour n = 2

pourn = «. " = -^ g(V— W);

oa voit que, quelle que soit n , la vitesse moyenne diffère toujours très-peu

de U=-— J--.

23, Position du filet animé de la vitesse moyenne. — La distance

de la vitesse moyenne à l'axe se détermine en portant la valeur de U dans Téquation de la courbe ; il vient

qui

\3n+iJ

pour n 1

donne

pour n — 2

pour n co

On voit que la distance à l'axe du filet, animé de la vitesse moyenne, est à peu près indépendante de la valeur de n.

2!|. Equations générales du mouvement uniforme de l'eau dans un tuyau cylindrique. — En résumé, pour le tuyau cylindrique, les équationsqui déterminent trois des quantités W, U, Y, R^ t en fonction des deux autres sont

iRt=aW4-ftW^ (*)

U^W + ^aVcR^Î'

îG)'

On a de même des rapports simples entre les différences des vitesses tels que

U — W n + 1 V— W~3ii + 1*

Ces équations ainsi que celle de la courbe auraient lieu pour le demicylindre comme pour le cylindre entier ; par conséquent on pourrait les vérifier par des observations directes de la vitesse des divers filets superficiels.

On peut d'ailleurs en étendre l'application aux sections irrégulières présentant une certaine analogie avec le cercle. ,

25. Equations générales du mouvement uniforme dans une sec« tion circulaire quelconque. — Soit maintenant ABCD {fig. 10), une sec-

(*) On obtient celte équation en considérant le cylindre entier glissant sur la paroi. On a alors ttR'/ = 2;:R (aW + 6\V).

26 IHJ MOUVEMENT UNIFOAME 0E& EAUX GOURANTES.

tian quelconque^ mais telle cependant qu'à sa surface un seul filet ait a propriété d'avoir une vitesse maximu.tn. Du point comme centre^ menons divers rayons au périmètre mouillé ADGB, divisons chacun de ces rayons en un nombre égal d'éléments el joignons tous les éléments /Correspondants par une ligne polygonale. Il est clair que nous formerons ainsi une série de surfaces et de courbes semblables à la section du canal et à son périmètre.

Soient û la section totale y X son périmètre ,

R le rayon CD contenant les vitesses moyennes des périmètres concentriques, fù, ^, r les quantités correspondantes d'un périmètre a, d, c;b. \3. l'angle du rayon OD, avec la normale comprise entre deux périmètres ^ dz la longueur de cette normale = cos ^r.

Nous aurons à cause de la similitude des figures

Or la section quelconque Oadcb est entraînée par la pesanteur avec une intensité proportionnelle à (ot et retenue par la résistance *due à son glissement èur la couche concentrique inférieure, résistance qu'on peut exprimer par

— £4^ ( T" ) y ^^ appelant — une valeur moyenne de la quantité — qui dans

chaque section concentrique se trouvera toujours très*peu distante de celle qui a lieu sur le rayon OD.

On aura donc

rfuy

iùiz=: — e^j^ ("^ »

Mettant pour co, ^, tf^ leurs valeurs, il vient

du fi a y ' ;

et en intégrant ^ = V— (^^)(;^) cosfx.r

En appelant W la vitesse moyenne à la paroi, donnée par Téquation précé* dente, quand on y fait r=R, on en déduira

VV n (i il Y

■ — = 7 l - îT- 1 cosa.

il vient «=V — ^(s") cosfir

ça La vitesse moyenne se déduirait de Téquation Un =^ i tultù et Ton obtiendrait

comme pour le tuyau cylindrique

On a d'ailleurs - 1 = aW + dW .

On voit que les équations relatives au rectangle indéfini et au tuyau cylindrique ne sont que des cas particuliers qu'on peut déduire d*une formule plus • générale en donnant à <o et à )^ les valeurs spéciales qui conviennent à la section.

26. Détermination de la surface des vitesses dans un rectangle fini. — Cherchons maintenant comment se distribuent les vitesses dans un canal rectangulaire {fig. 7). Prenons pour axe de coordonnées dans une section l'horizontale OY et la verticale méridienne OZ. Nommons

V la vitesse centrale en 0, W la vitesse au fond en F^ V|9 W^ les vitesses à la paroi en A et en C, H la hauteur du rectangle, L sa demi-largeur

w la vitesse variable des filets contigus à la paroi horizontale FC, w^ la vitesse variable des filets contigus à la paroi verticale AC, t, e^ t; conservant les mêmes significations que daus les paragraphes précédente.

Il est clair qu'un filet quelconque dont les dimensions sont dz et dy est soumis :

1* De la part de la pesanteur à une force proportionnelle à idzdy ;

(dv\ -r) dy;

d(v+dvY 3* De la part du filet inférieur, à une force proportionnelle à £ -^^-^ dy.

/dvY Soit pour ces deux forces, à une résultante — tdl — \ dy.

11 est de même entraîné par le filet de droite et retardé par le filet de gauche

/dv\* par deux forces dont la résultante est — ^ ( T" ) ^^'

La surface des vitesses est donc représentée ici par Téquation aux différences partielles

/ ^ /dvy ^ /dvY\

Quand on fait n = 1 , cette équation est identique avec celle donnée par M. Navier (page 417 du mémoire cité) et dont il a donné une solution complète dans le cas du mouvement varié. Mais les résultats sont inexacts, en ce que la résistance à la paroi est représentée dans le calcul comme simplement proportionnelle à la vitesse.

Soit, v = ¥ (z, y), la solution du problème ; pour ;2: = H et y = L, on aura les vitesses Wy u^,, en un point quelconque des parois horizontales et verticales.

ttr = F(H,y), i^.=F(L, ^).

Or, comme nous l'avons vu, la résistance due au frottement de la paroi, aw + bw\ doit être égale à la résistance du filet contigu sur le filet supérieur ; on doit donc avoir

ae. + *ir'=-.(g)[^^, (3) ^«^. + *< = -^(|)]^^;

telles sont, avec 1 équation (1), les conditions générales auxquelles doit satisfaire la surface des vitesses. Pour éviter les difficultés d*analyse peut-être insurmontables que présenterait la solution rigoureuse du problème, remarquons

DU MOUVEMENT UNIFORME DES EAUX œURANTES. 29

que l'équation t? = V — A^e: " — By " (4)

est une solution de Téquation différentielle (i); car on en déduit

-r- = kz^ et

dz n dz

En opérant de même par rapport à y et substituant les valeurs obtenues dans l'équation différentielle (1) il vient

f=(l±iy(V + B, (5)

qui donnera une des constantes Â ou B; on pourra donc disposer de Tune d'elles et de la vitesse centrale Y pour satisfaire aux autres conditions du problème avec une approximation suffisante^ comme nous allons le faire voir tout à l'heure.

Au lieu des équations (2) (3) auxquelles la valeur approximative de v ne pourrait satisfaire, nous écrirons que la résistance sur la paroi horizontale ou verticale est égale à la résistance sur la dernière couche horizontale ou verticale ; nous aurons ainsi

f {aw + bw' )dL = t [^^ aV HL,

Ç (aw^ + bw;) dtt = e (^^ bV LH. (7)

Les variables w^ w^ s'exprimeraient en y et z; en faisant j? = H et y = L dans l'équation (4), on aurait

w = y — KR * — By * , M?.=V— BL » — A^ « .

Les trois équations (5) (6) (7) déterminent évidemment les trois coefficients Yy A, B, qui sont les seules quantités inconnues qui entrent dans l'équation (4) de la surface des vitesses.

Bemarquons qu'en ajoutant les équations (6) et (7) et en se servant de la relation

LH« = \ {aw -^ bw') dy+\ (aw^ + bw^^)dz, on reproduit l'équation (5).

30 DU MOUVEMENT UNIFORME DES EAUX œURANTES.

II est plus commode de remplacer dans Téquation générale des vitesses des filets, les coefficients indéterminés A et B par les vitesses de la paroi W, W,, V,.

Il suffit pour cela de faire tour à tour ^ et j^ nuls, il vient alors •

ll+l n + l

En faisant 2; = H, j/ = L, on a la vitesse W, du filet situé à l'angle C qui est la plus petite de toutes les vitesses,

d*où Ton tire W, + V = W + V. ,

c'est-à-dire que la somtne des vitesses situées à l'extrémité des deux diagonales du demi-rectangle est la même.

27. Détermination de la vitesse moyenne. — La vitesse moyenne «st clonnée par l'équation

d'où l'on tire la relation fort simple

On voit que quel que soitn, la vitesse moyenne ne diffère pas sensiblement de la moyenne entre les trois vitesses Y, W, V, , et que dans tous les cas les relations entre ces vitesses ne dépendent ni de la pente ni de la section du canal.

Si dans Téquation (8) on fait à la fois y=f=Oetf? = U = — ^^ — •■ — '- ,

on aura pour la profondeur Z à laquelle se trouve la vitesse moyenne

qui différera en général assez peu de

^^ViïïTr)

DU MOUVEMENT (JNIFOKME D£S EAUX GOUHÀNX^ ^ a^

qui convient au cas où H = L, c est>à-dire quand la hauteur de Teau est la moitié de la largeur totale. Or celte formule donne

pour w = 1, Z = 0,82H

pour n = 2, Z = 0,86H

pour n := OD, Z = H.

Ainsi dans le double carré et même dans un rectangle quelconque, la vitesse moyenne est nécessairement assez voisine du fond dans la section méridienne ou des bords à la surface, car on trouverait de même Y=:0,82L, = 0,86 L, etc., etc.

28. Méthode d'approximation pour un rectangle dont les côtés sont peu différents. — Arrivons maintenant à la détermination de la surface des vitesses en fonction des dimensions du rectangle. Pour éviter les longueurs et les difficultés de la solution des équations (5) (6) (7), divisons les deux dernières Tune par l'autre. Nous aurons

{aw + bw^) rfL

1 {aw^'hàw')dE

Or le rapport des intégrales du premier membre diffère peu de ^ C)» ona donc : Mettant cette valeur dans l'équation (5), il vient

et de même

(*) La fonction <uo -j- &to* diffère peu de bw*, comme nous l'avons déjà fiiit lemaïquer. Or I to'dy différera peu de LW*, W étant une valeur intermédiaire entre W et W^ ; de

faisant pour abréger C = ( ) ( " ) ®* mettant les valeurs de A et de B dans

Téquation (4), il vient

On a ainsi l'équation de la surface des vitesses en fonction des dimensions du rectangle, et de la vitesse maxima ou du filet central, comme on Ta obtenue pour le rectangle indéfini et pour le cylindre.

Toutes les sections horizontales et toutes les sections verticales donnent des courbes identiques différemment placées. Si Ton fait y = dans l'équation précédente, on aura pour équation de la courbe des vitesses dans la section méridienne

qui est la courbe des vitesses dans le rectangle indéfiiift en y changeant C en

KlTh)

OU t en I

En faisant de même z = 0, on a pour équation de la courbe des vitesses à la

surface

qui est la même que la .précédente en changeant L en H. Enfin en faisant ^ = H, y = L dans les équations précédentes, on obtient

même \ w^^dE différera peu de HW\% W\ étant une valeur intermédiaire entre V, et W, ,

W enfin =rp différera peu de l'unité, puisque ces quantités diffiàrent peu entre elles. £n un

mot, les frottements à la paroi sont entre eux comme leur développement.

]a' valeur. des vitesses des points principaux di> rectangle en fonction de la vitesse centrale. On' a ainsi

L + Ii