LU

LH V(L + Hy+2LH

et

LH \»(L-»-H)-' + 2(2n + l)LH

}l-\-Ej 2(2n4-l) (X + H)

Le problème de calculer non-seulement le débit, mais les vitesses de chacun dés filets d'un rectangle dont les dimensions sont données est donc complète- . ment résolu*

29. Autre méthode pour le cas où la largeur est très - grande par rapport à la hauteur* — Les formules précédentes conviennent aux canaux ou aqiieducs de petite section dans lesquels la hauteur et la largeur ne diffèrent pas en général beaucoup ; mais quand la largeur est considérable par rapport à la hauteur, on peut avoir recours à la méthode et aux formules suivantes:

Soit toujours W la vitesse mbyenne à la paroi donnée par l'équation

ss

LHt=(L + H) {aW + bW), .

nous pourrons supposer sans erreur sensible la vitesse à la paroi constante et égale à W'ie loi^ du côté vertical ÂG. Or, si nous considérons le rectangle XOnm {fig. 8), dont la hauteur Amt=Zy nous aurons pour son é(;[uation , d'équilibre, en appelant u la vitesse moyenne de la tranche mn ,

-7- 1 exprime le frotlement de cohésion suivant mn et z {aW+ bW ) le

frottement d'adhérence suivant \m. Or ce dernier, en' vertu de 'l'équation ci-

. LHt , • '

<îessus, peut se mettre sous la forme Z:: r=-,, on a donc

■/du' .dz

'j^. (. H \ tL

OU, en intégrant et appelant Y' la vitesse moyenne à la surface,

formule exactement semblable à celle que nous avoiîs trouvée pour le rectangle

indéfini (n* 15) ; il suffit de changer ien t = =, Ainsi Teffet de la paroi laté-

raie se réduit à diminuer l'angle d'inclinaison dans le .rapport de L à.L + H. On peut donc appliquer aux rectangles larges les conséquences que nous avons déduites de cette formule dans le cas du rectangle indéfini.

30. Cas du trapèze. — Le même procédé et la même méthode de calcul s'appliqueraient à un trapèze {fig. 9) et 'à toute, figure terminée latéralement par une courbe dont la longueur serait une fonction de z ; mais il est plus simple et tout aussi exact de substituer sfU côté incliné ÂG du trapèze, une paroi verti* cale A'C, donnant à la section une surface égale.

En effet, en attribuant à la paroi inclinée la même vitesse moyenne qu'à la paroi du fond, on exagère la résistance due à cette paroi, on la diminue au contraire, lorsqu'on lui substitue une paroi verticale, il y a donc dans cette double hypothèse une espèce de compensation .qui contribue à Texactitude du résultat.

M. Comparaison des formules ratiomielles avec la formule empirique de M. de Prony. — Si l'on met en regard les valeurs de la vitesse moyenne pour les diverses sections que nous avons considérées, on reconnaîtra qu'elles reiitrent toutes dans la formule de la section circulaire

quant à la manière dont elles contiennent les dimensions de la section; îl suffit en effet de faire î2=uR% y=2'îiR, cos (x=l pour retombersur la formule qui convient au cercle, et de faire ÎÎ=LH, y=L4-H pour retrouver celle qui convient au rectangle, sauf une quantité négligeable. Il résulte de cett^ observation que» pou)* passer de la vitesse moyenne à la paroi donnée

parl'équatioD "t=aW'H-*W" (1) •

à la vitesse moyenne de la section y il faut ajouter un terme de la forme '

■r -Cl- cosaR = - ()cosuR, ■

OU , en négligeant a dans la valeur de W,

Tï (1)"^'" ^°^ ^^

et qu'on a par conséquent

'-^3ii

Ce rapport. n^est donc pas constant pirisquil \arie. avec W et cos aR, c'està-dire avec la vitesse^ à I^ paroi et les dimensions de la section.

Or., pour déduire la vitesse moyenne d'une section au moyen d'une équation

de la forme

il aurait fallu que le rapport — fût constant; car l'équafion exacte (1) peut s'écrire sous la forme . *

qui se confond avec la précédente quand on pose ' .

mais si -=t- est variable, il ne Test pas dans de grandes limites, et il est facile

de concevoir comment des expériences faites dajis divers cours d'eau ont pu autoriser les expérimentateurs à substituer, dans la formule, la vitesse moyenne ' dp la section à la vitesse à la paroî. Il est remarquable, en effet, que la pente t n'entre pas dans l'expression du rapport, qui, n'est altéré, que par la valeur de W et du rayon cos (xR. Or ces valeurs n'entrent que dans un seul terme . affecté d'un coefficierit fractionnaire, car, comme on le verra .plus tard, on peut

admettre — = 1, et en faisant »=il ou «^=2, on a,

pour » = 1,— =

l+0,25W:cos>B' P^""" "— ^' u ~ 1 + 0,28 cos |xR'

On Voit que dans les cours d'eau à faible vitesse ou peu profonds, comme

ceux où M. Dùbuat a recherché la relation qui existé entre les vitesses et où

Ja profondeur ne dépassait pas 0*°, 27, ce rapport est .très-peu variable; que, par conséquent, dans toutes ces circonstances, en pr^nailt pour a et'P des valeurs moyennes, les résultats du calcul ne pourront pas s'éloigner beaucoup de ceux de l'expérience. C'est ainsi que M. de Prony a pu être conduit à con-

Db MOUVEMENT UNIFORME DES EAUX COURANTES.

dure la généralité de sa formule de la 'concordance des valeurs que donnaient les expériences pour les coefficients à et p. Plus tard M. Eytélwein, réunissant un plus grand nombre d'expériences dans lesquelles les vitesses moyennes de. l'eau, le périmètre et les sections atteignirent des limites plus étendues, en déduisit des coefficient sensiblement différents. .

M. de Prony avait proposé

M. Eytelwein leur substitua

et ces dernières valeurs oqt été adoptées par tous l'es hydrauliciens. Il suffît de jeter un coup d'œil sur ces chiffres pour voir combien on est loin d'un résultat précis, et nous ne concevons paç comment, avec de pareilles différences, on peut avoir la patience iiiutile d'employer dans les calculs des nombres. qui contiennent autant de chiffres significatifs. Puisqu'on ne sait pas si a=24 . ou 44, sip=:^30 ou 36, il est évident. que les décimales qu'on ajoute à ces nombres n'ajoutent rien à leur exactitude. On a, à ce qu'il nous- semble, Complètement méconnu la signification et la portée de ces coefficients sur lesquels les considérations que nous avons exposées nous paraissent donner des notions précises. Nous avons fait voir d'abord qu'on avait entre la vitesse à la paroi, la surface et le périçiètre d'une section, une relation de la forme

et qu'en supposant avecDubuat W=/'(U), cette relation se changeait néces-

sairement en

les coefficients • a et 6, a et j3, étant simplement les premiers coefficients du

développement en série de la fonction iiiconnue — î=i*(U), coefficients qu'on

peut déterminer par expçrience. Ainsi. présentée, la formule ordinaire n'est susceptible que de deux objections.

32. Examen de cette formule. — Elle suppose que la vite^e.de tous ^ les filets contigus à la paroi est la même, ce qui n'^st vrai que pour ceHaines sections particulières; elle suppose, comme nous venons de le dire, ^ue la vitesse U=F(W) est indépendante de là pente i , du périmètre y^ et de la sur- .

* face de la section A, ce qui est impossible, ainsi que ilous l'avons vu.

Pour lever ces deux objections et autoriser l'usçige de cette formule, il faut, lorsque la section est telle que les vitess.es à la paroi ont des différences trèssensibles, comme dans la figure 11, décomposer ces sections en plusieurs - • parties auxquelles on appliquera la formule, et de plus faire varier convenablement les coefficients à et p, suivant la pente et la grandeur de là section.

Ce n'est pas ce qu'on à fait > « Parlant d'idées émises par Coulomb, dit « M. de Proqy (§ 138), M. Girard considérant que Teau qui gliSse sur la a paroi mouillée, ou plus exactement sur la couche d'eau. adhérente à cette « paroi, est d'abord retardée par la viscosité qui tend à la retenir sur celte « couche; il gfnclutde ce fait une première force retardalrice proportionnelle a à la vitesse. Mais oUtre la viscosité, dont Téffet est indépendant des aspérités « sur la paroi qui tend à la retenir sui: cette couche, 11 faut encore avoir égard « à ces aspérités qui donnent lieu à une seconde résistance ou force retarda-, « trice analogue à celle du frottement du corps solide dont elle <liffère néan- « moins en ce que sa valeur ne varie pas avec la pression. Cette . résistance . « suit la raison composée de la force et du nombre, pendant un temps donné, « des impulsions que reçoivent les aspérités, ce qui la rend proportionnelle au « carré de la vitesse. »

Sur ces notions qu'aucun principe de mécanique ne justifie, ainsi que l'a déjà fait Remarquer M. Pôncelet {Métanique industrielle, p. 550), on a admis que la formule aU + pU' n'était pas simplement une formule d'interpolation, mais une loi naturelle; que le terme en aU représentait la résistance due à la cohésion des molécules entre elles, et le terme (3U* la résistance due à l'adhérence à la. paroi solide {Daubuissùn,/p. 128), {Pancelet, p. 550). Cependaùt M. de Prohy, dans ses Reclierches mathématiques, avait déjà fait voir que, quand même on eût été s^ssez heureux pour connaître la loi exacte par rapport à la vitesse à la paroi, on n'avait plus, pour la* relation avec la vitesse moyenne, qu'une formule d'interpolation susceptible d'être représentée par C -I- aU ou par C + aU + pU* ou par C + aU + ^U" + yU' , et qu'il fallait recourir aux examens physiques et aux épreuves pour connaître jusqulà quel degré de vitesse 'les trois termes pouvaient conduire (p. 60); mais on perdit de vue cette distinction, et entraîné, comme nous l'avons dit, par Ja masse des expériences

hO

calculées i^ar Eytelwein, sur la formule de M. de Prony, on considéra les deux coefficients a et p comme deux quantités ^ constantes que pouvaient donner les expériences,

33. Examen des expériences qui ont servi à déterminer les coeffl- , cients de cette formule. — En effet, IVf. de Prôny^ pour déterminer- ces coefficients, s'était, servi de. trente et une expériences dans lesquelles

La vitesse, n'avait pas dépassé.

Le périmètre, , . . , La section.' . ..,.'•

0°^88 par seconde; 16", 00 de développement; 29"',00 carrés.

Les différences entre les vitesses moyepnes observées et le^ vitesses moyennes

calculées étaient, comprises entre 18 p, 0/0 en plus et 16 p. 0/0 en moins.

(Voir le tableau If" 3.) Surces trente et une expériences, vingt-trois avaient

. été faites dans des canaux artificiels n'ayant pas 0",.l carré de section et n'ayant

pas 1 .mètre de. périmètre; huit iseulement avaient été observées fîir des canaux .

naturels, et encore d'assez petite dimension, comme on vient de le voir. Or il.

faut remarquer que pour les canaux .naturels la vitesse mT)yenhe n'est pas une

donnée d'expérience, naais.un résultat de calcul;* M. de Prony ayant donc

appliqué la formule de Dubuat pour obtenir les vitesses moyennes, il arriva

* (p. 81 ) : « Que les cinq premières de ces huit valeurs, ainsi calculées, étaient

« hors de ligne par rapport aux vingt-trois conclues d'observation. » Alors

M. de Prony substitua, dans le calculdela vitesse moyenne, sa formule empi-.

rique et obtint des valeurs moins discordantes. Mais nous avons vu que cette

formule empirique, qui fait croître le rapport ^à contre-sens, était inad-

missible. Ces huit expériences, que M. de Prony n'avait ajoutées aux vingt-trois ' de Dubuat que, paf:ce qu'on pourrait soupçonner les conclusions tirées du mouvement de Ceau dans de petits canaux factices de n'être pas applicables à de grands canaux, oui donc nécessairement plutôt altéré que corrigé lés vé- ' sultats, • . .

Eytelwein appliqua les mêmes formules à cinquante et une autres expériences recueillies dans divers ouvrages d'hydraulique et faites dans des

limites beaucoup plus étendues:

La vitesse s'élevait jusqu'à. • ....*. 2",41

Le périmètre mouillé jusqu'à 521", 00

La- section jusqu'à. . . ' 2601",00

-Ûl

Le rat)port — qui représente la hauteur moyenne de l'eau dans ces grandes

sections, atteint la limite de 5 mètres dans quelques-unes de ces expériences qui embrassent par conséquent la plupart des cas que peut présenter la pratique. Si les données de ces expériences et les formules qui leur furent appliquées pour déterminer la vitesse moyenne avaient été exactes, Eytelwein aurait dû en déduire des coefficients plus faibles que ceux de M. (Je Prony; c'est ce que démontrant les formules que nous avons données plus haut. Or c'est le contraire qui arrive (*), du moins pour. le caefficient p, qui, dans les grandes vitesses, influe à peu près seul sur Jes résultats. Peut-on en faire une objection . contre les formules qui reposent sur une distribution rationnelle des vitesses? Nous croyons au «onli-airc qu'il en résulte une preuve de plus, que ces expériences ne méritent aucune espèce de confiance, et qu'il eçt impossible d'en tirer autre chose quede .très-vagues indications.

M. Causes des erreurs -qu'on commet en appliquant la formule de H. de Prony ou les coefficients de H. Eytelwein. — En effet, lorsqu'au lieu de prendre 'un canal artificiel, de forme et de pente régu- Hères, On applique les formules du mouvement uniforme à un cours d*eau ' naturel de grande section et de grande vitesse, voici ce qui arrive :

il y

' D*abord la formule — î = aU4-pU' n!est applicable qu'entre deux sec-

tiens ayant la même vitesse moyenne.

. Partout ailleurs* il faut ajouter à celte formule un terme qui peut en changer

complètement le résultat, s'il &'agit de sections rapprochées, comme nous le

ferons voir dans le chapitre suivant. Or, lorsque les expériences calculées par Eytelwein ont' été faites, la formule du mouvemeut^ varié n'était pas encore employée par les hydrauliciens. Première cause d'erreur.

Si les sections étaient un peu éloignées, seul cas oti la foriïiulé du mouvement uniforme est applicable sans erreur trop grossière, alors on ne sait plus quelle est la section îi, quel est le. périmètre y^ qu'il faut introduire dans, le calcul. En prenant des moyennes entre les diverses valeurs de ces quantités

{*) Cette anomalie ne sVst point présentée dans les expériences sur les tuyaux. M. de Prony avait trouvé 6=0,00034. Eytelwein, qui a expérimenté sur de plus forts diamètres, a trouvé 6 = 0,00028, et on a reconnu depuis qu'effectivement ce coeflScient était préférable pour les grands diamètres, ce qui est èonforme à la théorie précédente de la distribution ' des vitesses. . . - .

dans la partie du cours d'eau considérée, on n'a plus, comme dans.Ie canal régulier, des chiffrés exacts, c*est une approximation plus ou moins grossière. Seconde cause d'erreur.

Ensuite, comme nous venons de le dire tout à l'heure, la vitesse moyenne, * la quantité la plus importante à introduire dans la formule, parce qu'elle y entre au carré, n'est pas un résultat immédiat d'observations, il faut la déduire . de formules inexactes et de données extrêmement difficiles à obtenir; il y a donc là une cause d'incertitude énorme pour tout observateur consciencieux. Troisième cause d'erreur.

Enfin la formule du mouvement uniforme suppose que la section et le périmètre du cours d'eau sont constants ; lorsque cQtte circonstance n'existe

pas, il en résulte que les divers filets du courant, n'ayant pas des vitessçs

parallèles, éprouvent de nouvelles forces retardatrices dont nous parlerons plus tard. Il y a alors des remous, des tourbillons qui absorbent une grande partie de la force vive dont le cours d'eau est animé. De plus, les inégalités transversales et longitudinales de la paroi augmentent nécessairement la résistance due à l'adhérence* qui n'est plus proportionnelle ni 'à son périmètre donné par un sondage transversal, kii au chemin parcouru, compté sur Taxe du courant. De cet ensemble de circonstances éurgit une quatrième cause d'er* reurqui domine tellement toutes les autres que nous lui attribuons l'exagération des coefficients déduits des expériences calculées par Eyfelwein. En appliquant la formule de M. de Prony à de grandes sections, on aurait dû trouver des vitesses trop faibles, parce que cette formule ne jtient pas compte de Ia« vitesse relative que prennent les molécules en s'éloignant de la pafoi; on a s^u contraire trouvé des vitesses trop fortesj parce qu'en s'adressant à de grandes sections on s'est adressé en mèsne temps à des sections irrégulières, et qu'on n'a pas tenu compte des pertes de force vive dues à ces irrégularités.

Nous regardons donc cette phrase, qu'on trouve dans plusieurs traités d'hydraulique (M. Genieys* p. 13), comme une erreur et comme une injustice.

« Selon M. Eytelwein, qui a suivi les traces de M. de Prony pour la théorie a du mouvement de l'eau dans les canaux, mais qui a eu l'avantage de réunir « un plus grand nombre d'expériences », ,

Suivant nous, ce n'est pas marcher sur les traces de M. de Prony, qui a fait faire de si grands pas à la science de l'hydraulique, que d'entasser expériences sur expériences, sans ordre et sans méthode, pour faire sortir de ce mélange incohérent des chilfres qui n'ont d'autre mérite que d'être différents.

Des expériences, si nombreuses qu'elles soient, loin d'être un avantage, sont

un inconvénient lorsqu'elles ne sont pas guidées par une saine théorie; elles ne font alors que donner l'apparence de la vérité à des erreurs graves. Au reste, il &'en faut encore beaucoup que les coefficients d'Eytelwein. représentent d'une manière satisfaisante toutes les expériences dont on les a déduits. Si l'on jette les yeux sur la seconde table de M. de Prçny, oti se trouve la comparaison entre les vitesses calculées et les vitesses observées, on y trouvera de nombreuses anomalies qui s'élèvent jusqu'à 33 p. 0/0; et qu'on remarque que si M. de Prony avais mis en comparaison, noa pas les vitesses qui se trouvent à peu près proportionnelles aux racirfes carrées des coefficienfs, mais, ces coéf-

ficients eux-mêmes, ou le périmètre mouillé, ou la pente, ce§ erreurs se seraient . élevées à 80 p. 0/0. Ainsi, à part toute considération théorique^ on voit que les résultats de ces expériences ne devraient être acceptés qu'avec une extrême défiance.

3S. Valeur donnée au coefficient e par H. Sonitet. — M. Sonnet est

ie premier qui ait cherché \ substituer à la formule empirique — t=aU-|- pU*

une formule rationnelle basée sur une théorie plus exacte du phénomène de Técoulement de Peau; formule qui, comme on la vu, consiste à calculer d abord la vitesse à la paroi et à en déduire la vitesse moyenne de la section par une seconde équation qui repose sur la forme et les dimensions de cette sec-, tion et sur le coefficient de cohésion e. Mais ce savant n'a. pas fait- d'expé- • riences spéciales ; il s'est ser'yi do sept expériences de Couplet, déjà employées par Prony et par Eytehsrein,. pour la détermination de leurs coefficients. Il a trouvé ainsi

mais sur ces sept expériences il y en a six pour lesquelles la vitesse moyenne ne dépasse la vitesse à la paroi que de 0", 00054 au plu^, et dans là septième cet excédent n'est que de O^jOTS. Les résultats numériques de M. Sonnet ne • /méritent donc .pas grande confiance. Remarquons en même temps que les formules de M. Sonnet supposent que la résistance à la cohésion est propor-

dv tionnelle à e — ; c'était Thypothèse de M. Navier, sur laquelle personne n'avait

jeté de doute. Dans la première édition de ces études,. nous avions même fait

Aa ' ou MOUVEMENT UNIFORME DES EAVK COUAANTES.

en résultait pour les vitesses, si n était pair, une courl^e non symétrique par rapport à Taxe ; que pour it = 2, par exemple, on avait dans un tuyau

r = V — Af*, valeur qui changeait de signe avec r. Mais cette observation. ne peut être considérée que comme une présomption, et il n'est par rare de voir l'analyse engendrer des branches de courbes superflues que les conditions physiques du phénomène ne peuvent réaliser.

36. Examen des expériencetl de ^M JSarcjm — Quoi qu'il en soit; H. Darcy, notre prédécesseur dans le service municipal, a considéré n comme un des coefficients dont il avait à déterminer la valeur dans les ][)elles expériences qu'il a entreprises en 1850 et 1851, et qu'il a publiées en 1857, dans un ouvrage spécial (*). Ces expériences, par leur nombre, par leur variété, par le soin avec lequel elles ont été faites^ par la précision des résultats, par l'habileté et la sagacité de l'expérimentateur, par les moyens puissants d'investigation qu'il avait â sa disposition, ont laissé bien loin derrière elles toutes celles qui avaient été faites antérieurement. Il était difficile de faire quelque chose de plus utile à la science; c'est ce qui ressortira du rapide exameii que

nous allons en faire.

M. Darcy a d'abord mis en évidence celte propriété de l'adhérence que nous . avions fait pressentir, dans notre première édition, d'être variable ayec la nature des surfaces. Ainsi il a trouvé que dans les tuyaux enduits de bitume, en fonte nquve ou en fonte revêtue dé dépôts calcaires, la résistance variait comme les chiffres 1 . 1 .6 et 3 (page 106). C'est là uji prindpe très-important au point de vue théorique et pratique, mais qui rend l'appréciation des expériences beaucoup plus difficile. Tant qu'elles se font dans les mômes tuyaux, les résultats sont comparables entre eux, mais lorsque les lois à étudier exigent qu'on change de tuyau, il devient difficile de' se rendre compte si les différences trouvées tiennent à la différence des diamètres ou à la différence dçs parois. Il ne suffit pas en effet, pour que la résistance soit la même, que la nature de la paroi soit la même, il faut encore que le poli soit le même ; ainsi deux tuyaux de fonte de même diamètre peuvent donner des résirfances ' très-différentes, suivant que la surface sur laquelle s'opère l'écoulement est plus où moins unie. Or il s'en fput bien que l'intérieur des tuyaux de fonte, par exemple, soit éga- . lement uni. Les procédés de coulage; la nature du sable dont on s'est servi

{*) Recherches expérimentales relatives aux mouvements de Veau dans les tuyaux, par Henry Darcy, inspecteur général des ponts et chaussées. '

Ub

pour le moule du tuyau donnent,, sous ce rapport, des différences très-appréciables même à l'œil.

Quoi qu'il en soit, dans la première partie de son travail*, -consacrée à la re-« cherche d'une formulé empirique propre à représenter les débits des tuyaux • en fonction de la charge par mètre i et de leur rayon R , M. Darcy a parfaitement mis en évidence cette loi , que le quarré de la vitesse moyenne est proportionnel, à la pente, c'est-à-dire qu'on a pour un diamètre déterminé •

Cette loi se présente avec un trèsrgrand degré de probabilité par les raisons suivantes : •

C'est qu'elle est déduite -d'expériences faites dans le même tuyau avec des pentes et des vitesses très-variables ; c'est que la pente i résulte de l'observation de phisîeurs manomètres placés à de grandes distances et se contrôlant entre eux ; c'est que la vitesse moyenne U est donnée par le débit du tuyau mesuré dans un réservoir. Âin^i, point de changement de paroi, point d'incertitude dans l'appréciation numérique des résultats. • •

Or, de ce que la loi yt, ==.A: se vérifie dans les tuyaux à petit diamètre comme

dans les tuyaux à grand diamètre, et de ce que dans les petits tuyaux la vitesse moyenne se confond avec la vitesse à la paroi, ii en résulte que l'équation générale • • *

se réduit à

|Rt = aW + 6W'4-CW

i- Rt = bW^

Nous ne parlons pas ici des vitesses très-petites pour lesquelles l'expérience .

démontre que le terme aW n'est pas négligeable. . . '

Si dans la valeur de U tirée du groupe d'équations (§24) op met celle de

= (5^V il vient

lie

ou

DU MOUVÏSilENT UNIFORME DES EAUX CDUftANTES; .

iR.=

nb'

Or, pour que cette expression satisfasse à la loi expérimentale =p = A, il

faut nécessairement que n = 2 , seule hypothèse qui puisse faire complète** ment disparaître i du dénominateur du second membre. Il vient alors

bW

Si les expériences de M. Darcy étaient rigoureuseijient exactes, la démonstration que nous venons de donner ne laisserait aucun doute dans les esprits; malheureusement, comme nous le ferons \oir tout à l'heure, la valeur de n a si peu d'influence sur lès résultats, qu'on peut craindre encore qu'elle ne se . soit pas suffisamment fait sentir. L'expression précédente est d'ailleurs remarquable en ce qu'elle se trouve conforme aussi aux résultats de Texpérience relativement à l'influence du diamètre sur la vitesse. Dan§ la formule dite de Prony,

le coefficient' b était considéré comme constant et^gal è^ 0,00035 -environ. Cette .valeur avait été déduite des expériences deBossut, Dubuat et Couplet, sur des tuyaux de très-petit diamètre pour la plupart, sans distinction de la[ nature de la paroi, • qu'on considérait comme sans influence dans les résultats.

.Cependant la formule ainsi établie satisfais^t et satisfait encore assez bien aux besoins de la.pratique. Les praticiens avaient remarqué cependant que, pour les grands diainètfes, 0™,40, 0",50, la formule donnait des vitesses inférieures

* à celles de l'expérience. Il semblait donc résulter de ce fait que 6, coefficient de la résistance, devait diminuer avec le diamètre, comme cela a lieu effectivement avec la formule (1) qui contient R au dénominateur. Mais M. Darcy a cherché à déterminer l'influence du diamètre par une formule empirique, indépendante de toute considération théorique. . ■

Nous'avons expliqué plus haut les difficultés de. cette recherche, qui exige que Ton compare les résultats dans différents tuyaux. Or, quelque soin qu'on

m MOUVEMENT UNIFORME DES EAUX COURANTES.

préime, les tuyaux de divei:s diamètres n'ont pas des parois identiques sous le rapport de la résistance. Pour mettre la loi en évidence il faut donc que les expériences soient nombreuses et s'étendent sur une -échelle de diamètres trèsvariés. Celle de M. Darcy comprend les huit diamètres suivaàts : .

0",pi22 0",0266

o-jOaos

fer étiré.

fonte neuve.'

Des difficultés d'exécution empêchent qu'on ne . fasse des tuyaux de fonte à très-petit diamètre^ c'est pour cela que M. Darcy. avait cru. pouvoir leur substituer des tuyaux en fer étiré, fabriqués pour le gaz. Cette substitution Ta conduit, selon nous, à une formule irrationnelle. Pour le démontrer nous aurons besoin de nous appuyer sur des expériences faites par M. Darcy, avec des tuyaux de plomb de ' .

Prenons pour abscisses les divers diamètres des tuyaux expérimentés, et

élevons des ordonnées b = -^^ proportionnelles aux coefficients de résistance

correspondant à chaque diamètre (fig. 12). En ne prenant que les expériences 4, 5, 6, 7 et 8, on reconnatt que la valeur de b pourrait être donnée par une horizontale un peu inférieure à MP, qui représente la formule de Prony, ou mieux encore, par une ligne ou courbe légèrement inclinée/Mais ces deux solutions laisseraient de côté les expériences 1 , 2 et 3 des tuyaux en fer étiré. . C'est pour- avoir voulu les comprendre que M. Darcy a posé la formule empirique suivante { p. 1 10 ) :

représentée par la courbe HND qui, efTectivement, passe d'une manière satisfaisante au milieu de ses huit points d'expérience.

ftB

DU MOUVEMENT LNIFOIlME DES EAUX COURAKTESu

Mais cette formule qui, comme nous le verrons tout à Theure, conduit à des conséquences inadmissibles^ est contredite en fait par de très-nombreuses expériences, par celles de M. Darcy lui-même.

Portons en effet sur la figure les expériences faites par cet habile ingénieur , sur les trois conduites de plomb dont les diamètres étaient sensiblement égaux à ceux des conduites en fer étiré :

fer étiré plomb

Nous obtiendrons trois points placés tout près de rborîzontale de. la formule de Prony; cela doit être en effet, car des cinquajite et iine expériences calculées , par lui^ il y en a quarante-neuf de Bossut et de Dubuat, qui toutes ont été faites sur des tuyaux de 0",027i (r,054*de diamètre. M. Darcy a signalé lui-même cette conformité des résultats. Il dît, page 72 :

u Nous ferons encore une observation générale; c'est que les conduites en « plomb de 0",014, 0*,027 et 0'*,041 donnent des résultats à peu près iden- « tiques avec laformule.de Prony, etc.

« Cela s'explique facilement.

« C'est en effet sur des tuyaux d'un grand degré de poli et d'un diamètre ana- « logueàmes conduites en plomb; on devait donc retrouver leurs résultats »

Est-ce à dire que noiis prétendions substituer ces trois expériences à celles des tuyaux en fer étiré? Non, sans doute; nous ne voulons que prouver que

les expériences 1 et 2 doivent être rejetées. En effet, si la forme hyperbolique .

qu'elles donnent à la courbe qui représente la résistance était exacte, on la retrouverait certainement dans la position relative des points donnés par les trois tuyaux de plorpb. La courbe devraitse relever vers loriginc pour devenir asymptote à Taxe des y.. Or, rexpériencc, comme on le voit, donne une horizontale. Il faut en conclure que les tuyaux en fer étiré n**' 1 et 2, surtout le premier, présentaient dans leur fabrication des causes particulières de retard pour la vitesse de l'eau. Il est même facile de s'en rendre compte €n étudiant les détails donnés par M. Darcy sur ses expériences. *

Nous avons déjà dit qu'il* obtenait la vitesse moyenne au moyen du débit q par seconde de la conduite', débit mesuré dans un réservoir. Il en déduisait U

par la formule.

. irR

et mettant cette valeur dans celle de 6, il avait

R entrant à la cinquième puissance dans cette expression, il s'ensuit qu'une erreur de 15 pour 0/0 sur Tévaluation du diamètre en donne une de 100 pour 0/0 sur la valeur de b. Dans ces expériences, la détermination rigoureuse du diamètre est donc de la plus grande importance. Malheureusement le diamètre des conduites^ et surtout des petites conduites, est relativement assez inégal, et l'on est obligé de calculer un diamètre moyen. C'est ce qu'a fait M. Darcy, avec le soin qui a présidé à toutes les parties de ses expériences. Pour ces petites conduites, il a calculé leur diamètre au moyen de leur capacité, en les divisant en parties de 10 à 1 1 mètres de longueur. En appelant D le diamètre moyeU; résultat de cette opération, et /, /', l" les longueurs par* (ielles de la conduite, il avait

Au point de vue des expériences à faire, cette expression du diamètre moyen n'était pas exacte, car il ne s'agissait pas ici d'une moyenne de capacité, mais de débit. Soit en efTet

R le rayon moyen à déterminer,

H la perte de charge totale de la conduite,

h,h\h"... les pertes de charge partielles correspondant aux parties

de rayons variables, L la longueur totale, /, /', r.... les longueurs partielles,

il est clair qu'on aura, en considérant toute la conduite, en vertu des équations y =6U', « = r-»

et pour chaque longueur partielle

te r"

50 OU MOUVEMENT UNIFOKME DES EACX COUHANTES.

Ajoutant ces équations, et remarquant que h + h! + h" = H, il viendra

qui donne le rayon moyen correspondant au débit.

C'est la formule que nous avons donnée dans la Distribution des eaux^ p. 68, pour calculer le diamètre moyen d'une conduite à diamètre inégal, et nous avons fait voir en même temps que ce diamètre différait peu du plus petit diamètre de la conduite qui en réglait pour ainsi dire le débit. La formule employée par M. Darcy avait au contraire pour résultat de rapprocher la moyenne du plus gros diamètre^ ettcomme dans l'expérience n'' 1 une erreur de 1 millimètre et demi peut faire varier la valeur de b dans le rapport de 1 à 2, il est pour nous hors de doute que c^est à une erreur dans l'évaluation du diamètre moyen qu'il faut attribuer les anomalies que présentent les expériences 1, 2 et 3. Malheureusement, en effet, les tuyaux en fer étiré sont d un diamètre assez variable, car, assemblés par longueur de iOà 11 mètres, M. Darcy leur a trouvé des capacités sensiblement différentes (voir p. 39), différences qui eussent été bien plus considérables si chaque tuyau eût été jaugé isolément. Si les expériences 2 et 3 s'éloignent moins de la formule de Prony, cela tient à ce que les différences entre les diamètres étant à peu près constantes, leur importance relative diminue avec la grandeur du diamètre.

Quant aux tuyaux en plomb refoulé, le mode de fabrication leur donne un diamètre constant. Aussi M. Darcy ne les a-t-il soumis à aucun procédé de mesurage (note de la p. 39). Par ce motif aussi, les expériences relatives à ces tuyaux sont-elles, comme on Ta vu, toutes différentes de celles des tuyaux en fer étiré.

Non-seulement la formule

ne se justifie pas par l'expérience, mais elle donnerait à la résistance à la paroi une propriété physique qu'aucune considération ne pourrait expliquer. C'est que cette résistance croîtrait rapicïement quand le diamètre du tuyau diminue. En effet, dans les petits diamètres l'inégalité de vitesse des filets fluides disparaît, et les variations du coefficient b n'expriment plus que celles de l'adhérence

ou MOUVEMENT UNaX)RME DES EAUX COURANTES. 61

à la paroi. Or d'après la formule' ppur R très-petit, l'adhérence augmente et converge vers l'infini, ce qui est inadmissible. Dans les grands diamètres, au codtraire, le coefficient b devient constant, ce qui indiquerait que le liquide se meut en masse et que la vitesse des filets fluides disparait ; conséquence encore moins admissible que la précédente.

La formule théorique (1)

satisfait à toutes les conditions rationnelles du phénomène de l'écoulement de Teau ; pour R nul ou très-petit, le coefficient de U* devient constant et égal à b résistance à la paroi; à mesure que R croît, le coefficient de U' diminue à cause de la plus grande vitesse relative des filets fluides. Enfin rien de si facile que de satisfaire aux expériences de M. Darcy, en déterminant convenablement b et 6.

En posant, par exemple,

on en déduira b = 0,000348, - = 18665.

La courbe des valeurs de b^ coïncidera avec celle de M. Darcy, pour les diamètres extrêmes 0,0819 et 0,050, et s'en écartera fort peu pour les diamètres intermédiaires (fig. 12). Elle n'en différera que près de l'origine où elle s'approchera d'une valeur constante, ce qui est conforme à la fois avec la théorie et avec les expériences des tuyaux de plomb.

En admettant les valeurs numériques précédentes, on arrive à la formule

2 (H-0,73Ry

qui ne diâère de celle donnée par les tables ordinaires qu'en ce que le coeffi-*

cient de U' se trouve multiplié par le coefficient variable — ^ „n>^., , qui»

^ ^ (lH-0,73R) ^ ^

dans les limites de diamètre en usage dans les distributions d'eau, ne diffère

pas assez sensiblement de Tunité pour qu'il soit utile d'y avoir égard. Il serait

d'ailleurs facile de faire cette correction en cas de besoin . Ainsi , pour des*

tuyaux plus grands que 0,50 de diamètre, la formule précédente nous paraît

devoir donner des résultats aussi exacts que le permet l'état actuel de la

science.

Nous n'attachons pas une grande importance aux valeurs numériques de& coefficients 6 et e que nous venons de donner, quoique la courbe qui en résulte ne s'écarte pas beaucoup de l'ensemble des expériences 4, 5, 6, 7, 8; mais la manière irrégulière dont sont distribués les points qui les représentent laisse une trop grande latitude à l'interpolation (*). Ce que nous avons voulu faire voir seulement, et ce sur quoi nous insistons, c'est que ces expériences ne donnaient aucun démenti à la formule rationnelle tirée de l'analyse du mouvement du fluide, formule que M. Darcy avait cru devoir abandonner à cause des expériences 1, 2, 3, qu'elle ne pouvait représenter. Nous avons fait voir que ces expériences devaient être complètement rejetées, parce que l'expérimentateur s'était probablement trompé dans l'évaluation du diamètre des tuyaux de fer étiré et qu'elles donnaient à la courbe, près de l'origine, une forme hyperbolique qu'on ne retrouvait pas dans les expériences faites dans les tuyaux de plomb, soit par M. de Prony, soit par M, Darcy lui-même.

Nous avons un reproche analogue à faire à la manière dont notre regrettable ami a interprété plusieurs séries d'expériences destinées à déterminer les^ vitesses relatives des divers filets fluides dans l'intérieur des tuyaux. Abandon* nant complètement le fil de la théorie pour suivre aveuglément certains résul-

(*) Au lieu de prendre les points 4 et 8 de la figure 14 pour y faire passer la courbe théorique et déterminer les coefiieients de la formule^ nous aurions pu chercher à faire passer la courbe aussi près que possible des cinq points 4, 5, 6, 7, 8 par la méthode d'interpolation des moindres quarrés. Mais le peu d'étendue des expériences ne nous a pas semblé autoriser une méthode aussi compliquée. La formule que nous donnons a d'ailleurs l'avantage, de se rattacher plus facilement à celle de Prony, puisqu'elle conserve son coefficient au numérateur. La figure 44 démontre d'ailleurs que ce n'est qu'au moyen d'expériences sur lesgrands diamètres qu'on parviendra à déterminer les coefficients de la formule avec quelque exactitude; on voit que pour 1 mètre de diamètre les trois formules aboutissent à des points, très-écartés et que des expériences faites sur ces diamètres trancheraient nécessairement la-, question de leur exactitude.

fats, et cherchant les formules qui lui paraissaient le mieux les représenter, il est arrivé à des expressions en contradiction complète avec toute espèce de considération physique.

Nous avons fait voir plus haut que ces considérations pour le tuyau cylindrique conduisaient nécessairement à une équation de la forme

.qui exprime que la résistance présentée par le pourtour de l'enveloppe est égale à Taction de la pesanteur sur la masse du cylindre liquide. À cette expression, il faudrait substituer, suivant M. Darcy (page 129), la formule

Tzr^L

qui impliquerai avec elle que la cohésion des liquides croit avec le rayon du tuyau, c'est-à-dire, que la viscosité du liquide dépendrait de la grandeur du vase dans lequel il est contenu.

• Ce serait à la physique, dit M. Darcy (page 130), à donner une explication < de ce résultat curieux, qui tendrait à prouver que dans deux tuyaux de « rayons différents, les vitesses relatives de deux anneaux, pris à la même f distance r, sont en raison inverse du rayon de ces tuyaux, c*est-à-dire que c ces vitesses relatives dépendraient des dimensions absolues de la section, ou c de la distance des anneaux aux parois. »

Cette explication demandée à la physique nous parait impossible à donner, car il faut remarquer encore, que Tinflueuce de la distance à la paroi sur la cohésion est en sens inverse de ce qu'on pourrait, à la rigueur, concevoir. Sans doute il est possible d'imaginer que les rugosités ou aspérités de la paroi se fassent sentir non -seulement à la couche liquide en contact, mais à des couches plus éloignées, en imprimant aux molécules des mouvements oscillatoires et giratoires, mais il est évident que si cet eifet existe, il est beaucoup plus sensible dans les petits tuyaux que dans les grands. Or, c'est le contraire qui a lieu suivant M. Darcy, de sorte que la parabole des vitesses, aiguë dans les petits tuyaux, s'aplatirait dans les grands oii tous les filets auraient une vitesse sensiblement égale.

C'est là une conséquence complètement inadmissible. Cependant, dira-t-on, comment se fait-il que l'expérience ail conduit à cette formule? C'est que la constatation des vitesses du mouvement des couches concentriques dans un

5/j DU MOUVEMENT UNIFORME DES EAUX GOURANTES.

tuyau est une opératioa extrêmement difficile. Le procédé de M. Darcy consistait à faire pénétrer à travers le tuyau un petit tube percé latéralement d'un trou, qu'il faisait correspondre aux diverses couches dont il voulait connaître la vitesse^ qu'il déduisait de la pression de Teau dans le tube. Or, il est évident que l'introduction de cette espèce de sonde modifiait la vitesse qu'on voulait constater, et cela d'une manière différente, suivant le diamètre du tuyau ; puis enfin la loi cherchée dépendait des différences entre ces vitesses, différences ellesmêmes peu considérables, de sorte que la moindre erreur sur leur évaluation affectait leur différence dans une ménorme proportion. En un mot, le problème consistait à déterminer des paraboles avec des points inexactement placés et et voisins du sommet, les expériences ne pouvaient donc être coudantes. Ce qui doit rester des expériences de M. Darcy, c'est que la résistance due à

la cohésion que les géomètres avaient représentée par £ (;y-) serait plutôt

— j ; il y a du moins d'assez grandes présomptions pour qu'il en soit ainsi.

€ette loi est moins simple que la première, elle offre moins d'analogie avec les résistances moléculaires, en général proportionnelles à la première puissance des distances, mais elle n'est contraire à aucune explication du phénomène. En dehors des expériences de M. Darcy, elle trouve une confirmation dans les expériences antérieures, en ce . que, comme nous l'avons fait remarquer, elle fait disparaître la pente du rapport entre la vitesse moyenne et la vitesse à la paroi, et en ce qu'elle fait croître la vitesse moyenne moins rapidement avec la grandeur de la section.

37 . EziNression générale de la vitesse moyenne et de son rapport avec la vitese à la paroi. — Comparaison des anciennes et des nouvelles formnles. — L'expression générale de cette vitesse est en effet (§31)

him-

Dans un grand cours d'eau - = = = = 5, soit H pour L très-grand,

on a donc :

pour»=l, U = W'+iff.

Alors la dififérence U — W croît comme le carré de la hauteur, ce qui tendrait à donner à Teau des crues une vitesse exagérée. Pour n= 2, on a

u — w ne croît plus que suivant la puissance -, ce qui paraît plus conforme

à l'expérience.

Si dans l'équation précédente on met pour t sa valeur * ^ , il vient

Enfin si l'on substitue à 6 et à s les valeurs numériques que nous avons déduites des expériences de M. Darcy, il vient

d'où Ton déduirait

H* — (l+0j3Hr'

formule analogue à celle des tuyaux.

La comparaison des vitesses observées dans les grands cours d'eau est loin de confirmer les formules précédentes. Mais il ne faut pas perdre de vue que ces formules ne sont applicables qu'à des sections constantes qui permettent aux filets de se maintenir constamment parallèles. Tandis que les lits naturels des cours d'eau ayant des sections variables les filets fluides sont obligés, tantôt de se pénétrer, tantôt de s'épanouir, d'où résultent des résistances toutes particulières dont l'analyse ne peut tenir compte. Le travail qui se fait dans la masse fluide absorbe évidemment une grande partie de la force motrice, et les filets supérieurs ne peuvent prendre, par rapport aux filets inférieurs, la vitesse relative que leur assigne le calcul dans une section constamment régulière.

Au reste, dans ces circonstances, les anciennes formules ne se trouvent pas Qioins en défaut. M. Minard, dans son Cours de construction (gage 38), en cite diverses applications faites à d|3s portions du lit naturel de quelques rivières

dont les résultats sont bien peu satisfaisants. Ainsi le produit de la Meuse étant, d'après le jaugeage de 33""%40, la formule de M. de Prony, appliquée à diverses sections, a donné 53 met., 56 met., 74 met, 69 met., 34 met., 28 met.; sur un autre point, le produit de la rivière étant de 26"", 50, le calcul a donné 28 met., 11 met., 30 met, 39 met, 4 met. Nous avons lieu de croire qu'une partie de ces erreurs considérables est due à de fausses applications de ces formules, comme nous Texpliquerons dans le prochain chapitre ; cependant ces exemples numériques font voir tout ce qu'il y a encore d'inconnu et d'indéterminé dans le problème dont nous nous occupons. Il ne faut pas s*attendre à ce qu'on arrive jamais à rien de précis pour des circonstances aussi accidentelles, aussi irrégulières que celles des grands cours d'eau naturels. Tout ce qu'on peut espérer des progrès de la théorie et de l'expérience, c'est de renfermer les erreurs dans des limites plus restreintes.

Ainsi, par exemple, si les trois coefficients a, 6, e étaient connus d'une manière suffisamment précise, on en déduirait, comme dans l'exemple que nous venons de citer, la vitesse moyenne qui existerait si dans le cours d'eau la

section et la pente étaient constantes. On aurait ainsi une limite supérieure de

if

cette vitesse, puis on atténuerait cette vitesse au moyen de coefficients numériques donnés par la comparaison des vitesses réelles avec les vitesses théorie ques, coefficients qui pourraient varier* avec les vitesses, les irrégularités du profil, tant en long qu'en travers, les aspérités du fond, les inflexions plus ou moins brusques du cours d'eau. Enfin on aurait la limite de l'erreur possible, en employant les coefficients qui auraient été donnés par les circonstances les plus défavorables. Certes, ce ne serait pas là de la précision, mais ce serait un grand progrès sur l'état actuel de la science.

Il résulte des considérations que nous avons développées dans ce chapitre, que ce qui manque aujourd'hui à la science, ce sont surtout des expériences pour déterminer la valeur numérique de certains coefficients indispensables pour le calcul. C*est par cette recherche ^eule que l'hydraulique pourra faire des progrès réels. Notre regrettable ami M. Darcy l'avait bien compris, malheureusement la mort est venue l'interrompre au milieu de ses utiles travaux. Car après avoir expérimenté dans les tuyaux, il se proposait de faire des expériences analogues dans les canaux découverts, et nous ne doiUons pas qu'elles n'eussent eu pour résultat de redresser quelques-unes de ses formules, qui nous paraissent s'écarter de toute espèce de considération théorique.

C'est là une grande et belle lacune à remplir et qui nous parait de nature à tenter les ingénieurs qui disposent de moyens d'expérimentation convenables.

Les recherches analytiques de ce chapitre nous paraissent pouvoir être un guide utile dans ces expériences, car elles mettent en évidence le rôle des divers coefficients, et donnent les formules qui doivent servir aies déterminer. Elles ne seront pas inutiles non plus aux homnjes pratiques, qui ont besoin de savoir le degré de confiance qu'ils peuvent accorder aux chiffres qu'ils sont obligés de demander à la théorie.