CHAPITRE IL

38. Inflaence de la cohésion et de Fadhérence sur la courbe des vitesses et sur la vitesse moyenne. — Nous avons vu, dans le chapitre précédent, que l'adhérence et la cohésionjouent, dans le phénomène du mouvement des fluides, deux rôles parfaitement distincts; que Tadhérence à la paroi détermine la vitesse à la paroi, que la cohésion incomplète du fluide ajoute à cette vitesse une autre vitesse inRpendante de la première; de sorte que l'expression de la vitesse moyenne se trouve nécessairement compliquée des coefficients de ces deux résistances qui n'ont entre elles aucune relation. Ainsi^ avec une adhérence très- grande, infinie même, on pourra avoir une vitesse moyenne très-sensible, si la cohésion est faible; le fluide marchera alors par courbes très-inclinées, comme dans la fig. 13. Si l'adhérence est au contraire faible et la cohésion énergique, le fluide marchera par courbes d'autant moins inclinées que la cohésion sera plus forte [fig. 14), et il pourra arriver que l'adhérence et la cohésion, avec des valeurs très-diflFérentes, donnent la même vitesse moyenne. Si, sur l'ordpnnée qui donne cette vitesse {fig. 13 et 14), on élève des normales, on aura ainsi une série de tranches qui représenteront le mouvement d'un fluide d'une cohésion infinie et ayant une adhérence telle, que la vitesse commune de tous ses filets sera égale à la vitesse moyenne du fluide à cohésion plus ou moins faible. Nous avons vu tout à l'heure dans quelles conditions la formule :

I = L (aU + pUO

pouvait représenter ce mouvement particulier, et remplacer les formules du mouvement réel avec une approximation suffisante pour la pratique.

DU MOUVEMENT VARIÉ DÇS EAUX GOURANTES. 59*

39. Eifaation du mooTement varié dans l'hypothèse où tous les filets sont considérés comme animés de la même vitesse. — Lorsqu'on substitue au mouvement réel par filets d'inégale vitesse, le mouvement par tranches de filets d'égale vitesse, l'équation du mouvement varié est facile à établir. On a, en appelant ^ la chute qui a lieu à la surface entre deux tranches dont la distance est X, et 9 la résistance au mouvement du liquide :

aÇ = h ça^ (1)

et en intégrant : l = — r — - + \ (fds (2)

. Cette équation est aujourd'hui démontrée dans la plupart des traités d'hydraulique. Il suffit, pour se la rappeler, de remarquer qu'elle est identiquement la même que celle d'un corps solide glissant sur le fond du canal incliné du liquide et y éprouvant une résistance 9. Dans le cas du mouvement uniforme, la vitesse étant constante, udu=zO, et l'on a:

g='=î=|('U+pu-).

On voit que, pour passer du mouvement uniforme au mouvement varié, il «uffit d'ajouter le terme de l'accroissement de la force vive. Ainsi l'effet de la chute ^, comme l'a fait élégamment remarquer M. Yauthier, se divise en deux parties, dont l'une est employée à vaincre les résistances du lit et dont l'autre sert à augmenter la force vive du liquide en mouvement. Il est d'ailleurs facile de se rendre compte que le travail de la pesanteur et de la pression est toujours proportionnel à ^ pour un filet quelconque. Soit ^' (fig. 15), la chute d'une molécule fluide entre deux plans verticaux voisins, z et Zo les distances à la surface de cette molécule dans les deux positions.

Le travail de la pesanteur sera proportionnel à C? Celui de la pression, à Zo — z.

Le travail de ces deux forces sera donc proportionnel k^' + z^ — z. Or, à la simple inspection dé la figure 15, on a :

donc '(H + Zo — z=^.

Ainsi quoique tous les filets tombent de hauteurs différentes, que quelques-uns

même remontont, on peut les considérer comme tombant tous d'une quantité 2^. La pression supplée à ce qui manque à la chute.

L'équation du mouvement varié, telle que nous venons de la transcrire (2), exprime la chute de la surface au moyen de deux termes: le premier est proportionnel à l'augmentation de la force vive du produit du cours d'eau depuis l'origine jusqu'au point considéré ; et le second, au travail de la résistance au mouvement dans cette étendue. Cette équation (2) serait parfaitement exacte, si tous les filets avaient la même vitesse u^ et si Ton pouvait mettre pour ç une expression rigoureuse de la résistance au mouvement qui. tînt compte de Tadhérence et de la cohésion. Mais comme tous les filets ont des vitesses différentes, et que dans l'état actuel de la science, on est obligé de mettre pour ç l'expression

^ {au + Btt')

déjà inexacte pour le mouvement uniforme, il en résulte que l'équation du mouvement varié n'est qu'une approximation dont nous allons chercher à faire apprécier le degré d'exactitude.

hO. Correction à faire subir au terme qui exprime l'augmentation de forces vives, lorsqu'on a égard à la différence de vitesse des filets.

— Nous allons nous occuper d'abord du premier terme, celui relatif à la force vive du produit du cours d'eau. M. Coriolis a fait remarquer {Annales des ponts et chaussées^ 1836) qu'elle était plus grande que QU% à cause de la différence de vitesse des filets^ que par conséquent ce terme devait être multiplié par un coefficient a', dont la valeur peut s élever jusqu'à 1,47.

M. Vauthier, tout en admettant l'exactitude de cette correction, a fait ob- •server {Annales de 1836) que, d'après la loi de Dubuat, qui restreint la différence des vitesses à mesure que la vitesse moyenne augmente, la valeur de ce coefficient de correction se trouvait limitée à 1, 10, chiffre que tous les hydrauliciens admettent aujourd'hui. La loi de Dubuat étant pour nous complètement fausse, et le coefficient a' pouvant même dépasser les limites assignées par M. Coriolis, cette correction nous paraît avoir plus d'importance qu'on ne l'admet aujourd'hui, d'après l'observation de M. Vauthier ; et de plus nous allons faire voir qu'en l'introduisant dans l'équation du mouvement varié, on a commis une erreur en sens contraire de celle que l'on voulait corriger ; on a augmenté un terme qui, dans la plupart des cas, est à diminuer. Cette erreur tient

à ce qu'on a fait, dans le calcul de la différence des forces vives, une supposition inadmissible.

!il. Supposition inadmissible sur laquelle est basée cette correction.

— «Nous admettons, dit M. Bélanger, page 72 de ses leçons lithographiées, « que dans le mouvement permanent par filets sensiblement parallèles, les vite tesses des filets qui traversent une section quelconque varient d'un filet à « l'autre, suivant les mêmes lois que lorsque le mouvement est uniforme. »

Or un instant de réflexion suffit pour faire voir que cette hypothèse est contraire aux lois de la mécanique; que le mouvement varié change d'une manière complète et radicale la distribution des vitesses dans les filets.

b!2m Changement dans la courbe des vitesses produit par une cataracte. — Imaginons que^ dans la section d'un canal, la courbe des vitesses soit représentée par mn {fig. 16) ; que de en 0' s opère sur la surface fluide une chute X, qui a pour efi*et d'augmenter sensiblement la vitesse dans la section rétrécie 0'. Cherchons à construire la courbe des vitesses m'n' dans l'étranglement 0'. Nous avons vu tout à Theure que le travail de la pesanteur et de la pression sur chaque molécule fluide en mouvement était proportionnel à la chute X, de la surface, c'est-à-dire que si aucune force retardatrice ne se développait dans ce mouvement du liquide, la force vive de chaque molécule augmenterait de celle due à la chute ^. En appelant v^ et v la vitesse d'une molécule dans les sections et 0', on aurait donc :

donc v=^\/lgX^ + v^\

En réalité la vitesse dans la section 0' sera moins grande que la valeur donnée par l'expression ci-dessus, parce qu'une partie de la chute X^ sera employée à vaincre la résistance éprouvée par chaque filet. Mais s'il s'agit de deux sections voisines, cette résistance est fort peu de chose, puisque, dans les cours d*ean naturels, elle n'absorbe que quelques centimètres de la chute par kilomètre. Si les sections ne sont éloignées que de 10 mètres, ce sera beaucoup que de supposer qu'elle diminue de 0",01 la hauteur de la chute qui sert à augmenter la force vive. Car cela équivaudrait aune pente de i mètre par kilomètre, c'està-dire cinq fois la pente moyenne de la Loire. Pour fixer les idées, supposons que X^ soit 'de 0'",16 et que le travail absorbé par la cohésion et l'adhérence

dans le passage de Tétrangleinent soit précisément O^jOl. Nous aurons pour déterminer la vitesse de chaque filet

Si dans la section on avait V, vitesse à la surface = 1"

en 0', on aurait V, vitesse à la surface = 1",98.

Si dans la section on avait W, vitesse au fond =0",50

en 0', on aurait W, vitesse au fond == 1",78.

A3. Force vive du produit dans une section dont la vitesse moyenne est UJ coefficient de correction. — Ainsi, tandis que la vitesse à la surface aurait à peine doublé, celle du fond aurait presque quadruplé. Leur différence était dans la première section de 0,50, elle est de 0,20

seulement dans la seconde. Le rapport qui était dans la première section, celui de 2 à 1 est presque devenu l'unité dans le second. Calculons maintenant exactement la force vive du fluide dans les deux sections. La formule ordinaire du mouvement varié la supposait égale à