QU'=HU

U étant la vitesse moyenne. Si Ton a égard à la différence de vitesse des filets et qu'on suppose le cas du rectangle indéfini, elle sera

' v'dz n

ou en mettant pour v sa valeur (n"" 15) et supposant que la courbe des vitesses est une parabole du second degré (**)

\ fv— -jp-^Mrf^=H v'-r(v-w) + fV(v-wy— i(v— wy

or on a :

HU^=H[V— }(V— W)r=^H|v^~V^V~W) + iV(V— wr— V7(V~W)^

Donc la quantité HU' mise dans Téquation du mouvement varié est trop faible de la quantité

(*) Le débit d'un filet étant vdz^ sa force vive est vdz X t^' = v^dz.

(**) On a vu dans le premier chapitre que la courbe réelle ne peut en différer sensiblement.

ou MOUVEMENT VARIÉ DES EAUX COURANTES 63

H(iVV(v-wr-^(v-wr)=H{V-wr

C'est par ce motif qu'on a proposé de remplacer HU' par aHU\ a' étant un coefficient plus grand que l'unité. Cette substitution, commode pour le calcul, pouvait être à peu près exacte, et par conséquent admissible dans la pratique, lorsqu'on supposait que la courbe des vitesses variilt suivant les mêmes lois que la vitesse elle-même, que les quantités V + W et V — W croissaient en même temps que la vitesse moyenne ; mais lorsqu'on reconnaît, comme nous l'avons fait tout à l'heure, qu'une augmentation de vitesse entratne une. dimi* nution dans la différence des vitesses, ce système de correction devient tout à fait inexact. En effet, le facteur

diffère peu de \ U, soit qu'on fasse ii = 1 ou n = 2 dans la valeur de U donnée par la formule du § 18.

La quantité à ajouter à HU' est donc

; H(V— W)XT.

On a ainsi pour déterminer a!

a'HU^ = HU*4- ÎHUiY— W)';

d'où *-*"^H'^r^)

2ti 4-1

et en se servant de la relation (n° 18) V — W= (V — U) ;

— mXc-)"

On voit que a ne peut être constant qu'autant que le rapport ry est lui-

même constant. Nous avons vu dans le premier chapitre que celui de :^ était

renfermé dans les limites 0,67 et 1 ; celui de |t est donc compris entre 1 et

. . ■ 1 ,50, la valeur de a est donc comprise elle-même entre 1 et 1 ,56 pour fi = 1 ,

entre 1 et 1,39 pour n = 2. Si Ton admettait le rapport constant — = 0,80,

on aurait a'=l,14, pour n=l, a'=l,10 pourii==2, valeurs qui peuvent convenir au calcul de la force vive du produit des cours d'eau ordinaires animés d'une vitesse uniforme, dans lesquels les quantités Y et U ne s'éloignent pas

beaucoup des limites entA lesquelles ^ est à peu près égal à 0,80. Mais il est

complètement inexact dans le calcul de la force vive du produit d'un cours d'eau dans deux sections voisines, de supposer que ce rapport ^, et par conséquent a, soient constants. Il faut alors changer la valeur de a' dans les deux sections, d'après la valeur exacte du rapport — dans chacune d'elles.

kk* Détermination du coeflBcient de correction pour la diffé* rence de force vive entre deux sections. — Il résulte de cette correction que la différence entre les forces vives dans les deux sections doit être multipliée par un coefficient spécial a!' entièrement différent de a\ On a, en effet, pour le déterminer, l'équation suivante :

a'^lHU'^ — HU') = H'U"— HU' + ^iH'U'(Y'— WT — HU{V-W)'j d'où en remarquant que HU' = HU

... ■ ./ (r-wT-'(V-w)'\

Mais, comme nous l'avons \u, on a

V" = V' + 2^î; et' W"=W'+2^î:;

d*où l'on tire V— W'=(V— W) l'^^„

le rapport =^; — ^ est sensiblement égal à celui de =^,, on a donc

Le coefficient a" est donc toujours plus petit que 1, de plus le rapport ( — STj — ) ayant pour limite 0,56, comme nous venons de le faire voir, la va-

leur de a" se trouve comprise enlre 1 et 0,44 lorsque U' est plus grand que U, c'est-à-dire lorsqu'il y a pente de l'amont à lavai; lorsque U' est plus petit que U, c'est-à-dire lorsqu'il y a contre-pente, a'^ peut descendre au-dessous

de cette valeur sans devenir nul. Car de la condition = 1 , on tire, en

mettant pour 2U sa valeur approchée, V' + W,

Or on aurait de mémo V — W'= V + W, équations incompatibles.

/|5. La confusion qu'on a faite jusqu'à présent entre ces deux coefficients distincts n'a pu conduire qu'à de faux résultats. — Les

calculs précédents démontrent que le coefficient de correction a' est effectivement un nombre plus grand que 1 , mais qui varie avec u^ de manière .qu'on a

JU' /•u

u ju

urfu.

a" étant toujours une fraction. L'examen préliminaire que nous avons fait de la variation qu'apporte dans la distribution des vitesses une chute ^ de la surface de Teau, fait d'ailleurs parfaitement concevoir cette transformation du coefficient de correction, puisqu'elle fait voir que le coefficient a' qui convient à la force vive de la section d'amont qui est à retrancher de celle d'aval, est plus grand que celui qui convient à cette dernière. D'où il résulte que la différence de ces deux quantités coiTigées par des coefficients est plus petite que la différence entre ces mêmes quantités non corrigées. Tous les calculs faits jusqu'à présent, et qui reposent sur la différence dé la force vive de deux sections voisines, sont donc complètement erronés. S'il s'agissait de rectangles indéfinis ou de sections régulières, les formules qui précèdent ou d'autres analogues pourraient servir à les rectifier, mais les sections des cours d'eau naturels sont tellement irrégulières qu'il est impossible d'arriver à déterminer d'une manière un peu exacte l'expression de la force vive. Or une légère erreur dans l'évaluation dé deux quantités peut en donner une énorme dans leur différence.

ft6. Exemple numérique. — Supposons que la vitesse d'amont 11 = 1"', que celle de la section d'aval U= 1"|50, nous aurions, en négligeant la correction,

2^ Jo Jo

s'il s'agit de deux sections assez rapprochées pour que le terme qui exprime la résistance du lit soit négligeable, nous conclurons des données précédentes que la pente entre les deux sections est de 0™,063.

Si, comme l'admettent la plupart des hydrauliciens, on multiplie les puissances vives par un coefficient commun pour tenir compte de l'excès produit par la différence entre les vitesses, on aura

suivant qu'on prendra pour et! des valeurs plus élevées. Ainsi, dans une application de cette formule, M. Minard a adopté a!= 1,40, ce qui donnerait

Tels, sont le» résultats donnés par la méthode ordinaire. Tandis qu'en réalité il peut arriver que le coefficient a' qui convient à la vitesse i",50 soit à peu près l'',02, par exemple, et que celui qui convient à la vitesse 1 mètre soit 1,50, on aura alors

ig '

l(p. Cas où la fdrmole du mouvement varié n'est pas applicable dans la pratique» — Les discordances que M. Minard a signalées entre l'expérience et les résultats du calcul de la formule du mouvement varié {Navigation des rivières^ p. 38), n'infirment donc en rien cette formule, et s'expliquent parfaitement par la théorie que nous avons donnée de la distrii>ution des vitesses. Il faut renoncer, dans la pratique, à déduire de la différence des forces vives de deux sections voisines, soit la pente, soit le produit 4u cours d'eau, car il sera toujours impossible de connaître dans une section irrégulière la distribution des vitesses d une manière assez exacte pour évaluer cette différence avec un degré d'approximation suffisant. Il n'en est plus de même lorsque les sections sont éloignées. En effet, dans la formule

le terme a une valeur limitée par les valeurs extrêmes de », ainsi

dans le cas que nous considérions toat à l'heure, si les limites de la \itesse étaient 1 mètre et l^'^SO, la plus grande valeur de ce terme serait 0^06, tandis

que le terme \ (fds peut atteindre une limite quelconque, si les sections sont

éloignées. Les 3 ou 4 centimètres d'erreur qu'on pourra commettre sur ce terme, auront donc peu d'influence sur le résultat final. Nous verrons plus tard que, dans toutes les questions pratiques de remous, ce terme n'a d'ailleurs qu'une influence complètement secondaire.

Enfin, on ne doit pas perdre de vue que la valeur de a" (2) (n* 43) suppose les deux sections assez rapprochées pour que Tefifet du frottement à la paroi soit négligeable. Â mesure que la section d'aval s'éloigne de la chute ^, la vitesse du fond se ralentit par l'effet du frottement dont die augmente l'énergie, celle de la surface s'accélère, parce qu'elle est moins retardée par la cohésion ; de sorte que la courbe des vitesses tend à reprendre la position qui convient au mouvement uniforme, et alors il faut avoir recours à la valeur de (x!' (1) (n* 43) qui devient positive. Nous n'avons considéré dans les calculs précédents que le cas du rectangle indéfini, toute autre section donnerait des résultats analogues.

Dans les sections irrégulières que présentent les cours d'eau, on ne connaît donc ni la valeur, ni le signe de a". L'introduction de ce coefficient dans la formule du mouvement varié n'est alors qu'une complication au moins inutile. Ce qu'il est important de savoir, c'est que toute solution qui repose en grande partie sur le calcul de la différence des forces vives de deux sections d'un cours d'eau naturel est une solution très-douteuse et très-incertaine.

!iS, Les affouillements qui se trouvent à l'aval des étranglements confirment la théorie précédente. — L'examen que nous avons fait plus haut du changement qu'opère dans la distribution des vitesses une chute ^ dans la surface, explique les graves affouillements qu'on rencontre souvent à l'aval des travaux qui ont pour résultat de produire une cataracte à la surface de l'eau. L'effet de cette cataracte est, comme on vient de le voir, d'augmenter la vitesse du fond dans un rapport beaucoup plus considérable que la vitesse à la surface, et Ton se tromperait gravement en cherchant à se rendre compte de l'effet d'un étranglement par les seules variation* de la vitesse moyenne; en supposant, par exemple, qu'en réduisant la section d'un courant à la moitié de sa surface primitive on ne fait que doubler la vitesse du fond.

Ce que nous venons de dire relativement à l'accroissement plus rapide de la

vitesse du fond, par rapport à celle de la surface, s'applique aussi à la vitesse des bords par rapport à la vitesse du filet central. Ainsi il est bien évident que toutes les fois qu'il y a chute,^ cette chute agit sur tous les filets de la surface, et que leur force vive est augmentée suivant la formule

qui a pour etîet, comme nous Pavons fait voir, d'égaliser les vitesses. C'est, au reste, un fait que Tobservalion de ce qui se passe dans les étranglements des cours d'eau naturels nous avait fait pressentir. Dans ces circonstances, on voit, en effet, tous les filets se précipiter avec une vitesse sensiblement égale, tandis que dans les parties du lit où la section est permanente, on trouve, en s'éloignant des bords, une augmentation de vitesse bien sensible. De là souvent dans les étranglements des corrosions de rives, que ne semble pas justifier suffisamment le rétrécissement de la section.

' 49. Inexactitude d^ terme qui exprime daus le mouvement varié la résistance due à l'adhérence et à la cohésion. — Le second terme de la formule du mouvement varié (2) (n* 38)

^ (au

qui est proportionnel au travail des résistances, n'est pas moins susceptible de correction que celui qui exprime Taccroissement de la force vive. Nous avons fait voir, en efiTet, pour le cas du mouvement uniforme, que la substitution de la vitesse moyenne à la vitesse à la paroi transformait une formule exacte, mais à peu près inutile pour la pratique, en une formule d'approximation fournissant les quantités dont on pouvait avoir besoin avec plus ou moins d'exactitude, suivant les cas. Nous avons présenté les formules exactes. qui tiennent compte des deux espèces de résistances et donnent d'une manière précise le surcroit de vitesse dû au défaut de cohésion des molécules fluides. Pour le mouvement varié, la formule qui exprime la résistance en fonction de la vitesse moyenne, n*est encore qu'une approximation grossière, et il n'est pas permis de la remplacer par les formules exactes que nous avons données pour le cas du mouvement uniforme. *

50. Des changements dans la distance des molécules fluides amenés par le changement de vitesses. — Cherchons d'abord à nous rendre compte

DU MOUVEMENT VARlê DES EAUX COURANTES. 69

des mouvements moléculaires qui ont lieu dans la niasse fluide, lorsque la section n'est pas constante. Dans le mouvement uniforme, chaque filet peut être considéré isolément, il n'y a jamais mélange des molécules d'un filet avec celles des filets voisins; il n'en est pas de même dans le mouvement varié. Considérons, par exemple, comme tout à Theure le cas d'un étranglement de fond ayant lieu en 0^ {fig. 16), et pour simplifier notre explication, supposons qu'en 0' la vitesse du filet de surface soit^double de ce qu'elle est en 0, comme cela avait lieu dans l'exemple numérique que nous avons choisi. Imaginons qu'aux points et 0' soient placés des anneaux ne pouvant donner à la fois passage qu'à une seule molécule d'eau. Il est clair que dans le second anneau il passera deux fois plus de molécules que dans le premier ; il faut donc nécessairement admettre que de en 0' le filet supérieur ait reçu dy filet inférieur un nombre égal de molécules, c'est-à-dire que le filet supérieur ait complètement absorbé le filet inférieur. Pour se rendre compte de la manière dont se fait cette pénétration des filets, imaginons un courant composé d'un filet unique.

Il est clair que si la vitesse est uniforme, ce courant pourra être représenté par une série de points équidistants. Mais si, dans une certaine étendue de ce filet, la vitesse augmente, la distance entre les molécules y augmentera proportionnellement à la vitesse, car un observateur placé en un point quelconque du filet ne devra jamais voir passer que le même nombre de molécules dans le même espace de temps. Ainsi là où la vitesse sera double, l'intervalle entre les molécules sera double, là où elle sera triple, cet intervalle sera triple, etc. Une file de soldats assujettis à marcher plus ou moins rapidement sur divers espaces de terrain représenterait exactement les circonstances de ce mouvement. Supposons maintenant deux filets contigus soumis à cette variation de vitesse, indiquons par des points blancs et noirs (jig. 17) les molécules qui, dans la section 0, appartiennent au premier ou au second filet. Dans chacun de ces deux filets s'opérera de la même manière l'espacement des molécules, en raison de l'accroissement des vitesses, mais à mesure qu'il a lieu, les molécules du filet inférieur s'insinuent peu à peu dans l'intervalle des molécules du filet supérielir, de manière à finir par s'y loger complètement, lorsque cet intervalle est devenu double de ce qu'il était primitivement. Le rapprochement des filets est proportionnel à l'espacement des molécules, de manière que la densité d'une section faite dans le liquide est constante. Ce double mouvement pourrait être parfaitement imité par une double fil^ de soldats marchant en sur deux rangs, et passant en 0' sur un seul rang, mais avec une vitesse double.

Ce que nous venons de dire pour le cas de la vitesse double suffit pour faire

comprendre ce qui se passe dans le cas où la vitesse varie dans un rapport quelconque, les molécules appartenant à un même Blet s'éloignent ou s'aj^prochent, suivant que la vitesse augmente ou diminue, les molécules des filets voisina s'approchent au contraire ou s'éloignent dans les mêmes circonstances. Nous disons les filets voisins, car on doit comprendre que le même mouvement s'o-^ père dans le sens horizontal et dans le sens vertical. Évidemment cette pénétra:tion des filets très-dififérente dans une même section, car, comme nous l'avons vu, les vitesses varient dans un rapport très-différent, depuis la surface jusqu'au fond, cette pénétration donne lieu à une certaine absorption de travail qui n'est plus mesurée par Tinclinaison des tangentes de la. courbe des vitesses.

51. Les forn^ttles qui, dans le mouvement uniforme 9 tiennent compte des résistances dues à l'adhérence et à la cohésion ne sont plus applicables au mouvement varié. — Il faudrait donc se garder d'appliquer au mouvement varié les procédés de calcul que nous avons employés pour tenir compte de l'excédant de vitesse dû au défaut de cohésion, car cette analyse ne tient compte yue du déplacement moléculaire qui a lieu dans le sens du mouvement ; et dans le mouvement varié, comme on vient de le voir, il y a, outre ce déplacement, un autre déplacement dans le sens perpendiculaire au mouvement. Ainsi nous pensons que les deux applications que M. Navier a faites de ses formules générales au mouvement varié de l'eau dans un tuyau rectangulaire et dans un tuyau cylindrique sont inexactes, en ce qu'elles ne tiennent compte que de la résistance due au frottement des filets que M. Navier a représentée par

et qu'elles ne tiennent pas compte du déplacement perpendiculaire à l'axe des tuyaux* Il y a contradiction complète, selon nous, dans les données du problèoie que s'était posé ce savant, qui considère le mouvement varié dans un tuyau de section constante. Car toutes les fois que la section est constante, le mouvement esN uniforme, et toutes les fois que le mouvement est varié la section varie elle-même ; la section du tuyau aurait beau être constante, la section mouillée varierait, c'est-à-dire que l'eau ne coulerait pas à plein tuyau.

C'est ce qui arrive, par exemple, lorsqu'on fait couler de l'eau par un tuyau incliné débouchant à lair libre. La section de l'eau en tombant le long de ce

tuyau va sans cesse en diminuant jusqu'à ce qu'elle ait atteint une vitesse uniforme.

Le mouvement varié cause donc dans la masse fluide une perte de travail qui n'existe pas dans le mouvement unifornie. Nous n'essayerons pas de l'introduire dans le calcul, parce que nous ne voyons pas pour le moment de moyen de tirer parti, pour la pratique, des formules plus compliquées qui résulteraient de ces considérations nouvelles. Nous avons voulu faire voir seulement Ténorme influence qu'avait le mouvement varié sur la distribution des vitesses des filets, parce que, dans certaines circonstances , il est utile de s'en rendre compte d'une manière approximative, et qu'on peut éviter ainsi de tomber dans d'assez graves erreurs, en faisant de fausses applications des formules pratiques ordinaires, ou en leur attribuant une exactitude qu'elles ne comportent pas.

On voit, en effet, qu'en substituant dans la formule du mouvement varié

dz = l]dl] + & (tfW + bW)ds

à W vitesse du fond, U vitesse moyenne, on ne représente plus que d'une manière assez grossière la résistance au mouvement du liquide, puisque la vitesse du fond et la vitesse moyenne croissent dans un rapport tput à fait différent. Ainsi, dans l'exemple numérique que nous avons choisi (n* 41), une cataracte de 0,15 portait la vitesse moyenne de 0,75 à 1,88-, et la vitesse du fond de 0,50 à 1 ,78. Si donc on a convenablement déterminé les coefficients a et ^ pour qu'ils représentent la résistance en fonction de la vitesse moyenne dans la première section, ces coefficients se trouveront complètement erronés .pour la section suivante, car ils feront entrer dans la formule une vitesse triple au lieu d'une vitesse quadruple; et comme la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse, on aura une résistance exprimée par 9, lorsqu'elle devrait être exprimée par 16. L'erreur serait bien plus forte si nous avions supposé plus de d fférence ntre les vitesses dans la première section.

52. La résistance nouvelle due à la pénétration des filets» en s'opposant à ce que les filets* prennent des vitesses trop différentes! n'est pas une cause d'inexactitude pour la formule ordinaire. — Quoi qu'il en soit, la considération de la résistance due à la pénétration ou à la division des -filets, loin d'altérer la formule ordinaire du

72 DU MOUVEMENT VARIÉ DES EàUX GOURANTES.

mouvement varié, ajoute au contraire à la probabilité de son exactitude. Nous avons déjà vu que la formule

|(«U + pU')

est d'autant plus près de la vérité, que la cohésion est plus forte, que U est plus près de W. Or c'est là précisément le résultat de la résistance due à cette pénétration des filets, et peut-être est-ce là encore une des causes qui empêchent les courants naturels de prendre à la surface ces grandes vitesses que leur donne la formule théorique du mouvement uniforme. Nous croyons donc qu*on peut appliquer la formule Prony au mouvement varié avec au moins autant de chances d'exactitude qu'au mouvement uniforme. Ce que nous venons de dire, si cela ne les a pas augmentées, servira du moins à n'accorder aux résultats que le degré de confiance qu'ils méritent, et à n^employer dans le calcul que des procédés en rapport avec le degré d'exactitude qu'on peut espérer.