CHAPITRE III

DU MOUVEMENT VARIÉ DAxNS UN CANAL RÉGULIER.

53. Équation dififérentielle de la surface de l'eau dans un canal régulier pour une pente quelconque du fond. — L'équation du mouvement varié, que nous avons donnée dans le chapitre précédent (n*'38), peut servir à déterminer la surface de Peau dans une section quelconque d*un canal régulier ou irrégulier, c'est-à-dire à section constante ou variable. Nous nous occuperons uniquement, dans ce chapitre, du cas où l'eau coule dans un canal régulier. Quoique le profil des cours d'eau naturels soit assez accidenté, on est obligé de le considérer comme régulier, au moins sur une certaine étendue, dans la plupart des calculs, à moins que les sections ne présentent des variations brusques et graduelles, cas dont nous nous occuperons dans le chapitre suivant. Les formules que nous allons présenter, étant donc destinées à recevoir dans leur application une certaine extension au delà de la limite que leur imposerait une analyse rigoureuse, il sera permis de simplifier jusqu'à un certain point les expressions, sans craindre de diminuer Texactitude des résultats. Ainsi nous supposerons que, dans les calculs qui vont suivre, la forme du canal est un rectangle de largeur invariable. Ce serait inutilement compliquer les formules que d'admettre d'autres formes de section, parce qu'en réalité, il faudrait alors modifier l'expression de la résistance, ce que ne permet pas l'état actuel de la science. ^

Soient :

t le sinus de la pente du lit, comptée positivement lorsque le lit monte, et négativement lorsque le lit descend.

q le produit du cours d'eau par mètre courant de largeur = — = Ai^.

L la demi-Lnrgeur du cours d'eau ;

h la hauteur variable comptée au-dessus du fond ;

$ l'A longueur du canal comptée positivement de Tamont à l'aval.

Si dans réquation du mouvement varié

-, -udu L-t-A , o ,, .

ag = 1 — =-r— (ati + m )ds

g LA

on met pour rf!^ sa valeur tirée de la relation que donne la figure 18, et pour «, y,

(ti)

dh

il vient rf^ = ^ r — . (1)

Cette équation est toujours facile à intégrer, puisque les variables sout séparées. Elle peut être considérée comnie représentant la courbe de la surface de Teau dans un courant permanent quelconque.

Ainsi, quelle que soit l'inclinaison du lit^ la largeur et la hauteur d*un cours ' d'eau, l'équation différentielle de la courbe de la surface de Teau est toujours la même. Mais il ne faudrait pas en conclure que la courbe est la même; cette équation représente en e£fet, dans sa généralité, suivant la valeur numérique de ses coefficients, des courbes de formes aussi différentes entre elles que les sections coniques^ qui sont toutes représentées cependant par une équation du second degré. Nous allons les examiner successivement.

5^. Héme équation pour le cas du fond horiiontal et discussion de la nature de la surface. — Supposons d'abord le fond horizontal 1=0, l'inclinaison de la tan|jente à la courbe est alors exprimée par

rfA (L + h) {ou/h + ^')

quantité toujours négative jus(|u u la valeur

DU MOLVEMENT VAKIÈ DANS lixN CANAF, RÉGLLIEn. . 75

-Vf.

qui la rend infinie, et toujours positive pour une valeur plus petite que h.

dh Enfin, plus h est grand, plus — est petit, c'est-à-dire que vers lamont, la

courbe approche de Thorizontale ; elle a donc la forme indiquée par la , figure 19, Elle a une tangente verticale en A et une partie mA convexe, une partie nX concave, qui revient en sens contraire du courant. Cette partie nX n'est qu'une de ces solutions fournies par les formules algébriques dans les-^ quelles on n'a pu faire entrer toutes les données du problème. Nous en verrons plus d'un exemple. Il est clair qu'une fois que Teau est arrivée à tomber verticalement, elle ne peut plus revenir en arrière ; il est donc inutile de s'occuper de cette partie de la courbe que l'expérience ne peut réaliser.

55. Intégration de l'équation et solution numérique deà questions pratiques. — Pour obtenir les divers points de la courbe, il n'y aurait qu*à intégrer l'équation différentielle (1) (n* 54). Ce qui serait facile en décomposant le dénominateur de dh en deux fractions du premier degré

Mais on peut simplifier beaucoup le résultat en remarquant que a étant beaucoup plus petit que p, le facteur aqh + ^^ est à peu près constant, et qu'on peut poser J = a^A'+ ^% en appelant A' une valeur moyenne de h dans la partie du cours d'eau considérée. On a alors, en intégrant,

s + C = ^\r-^ + V]lo^{l+'^]-'^ + '^-VA\.

Soit A^ la hauteur du cours d'eau au point ôii Ton commence à compter tes distances. En faisant dans cette équation ^=0, A=:A^, on déterminera la constante C, et Ton aura

Exemple : On suppose que le produit du courant soit q = 0,80, que la

section soit un trapèze ayant 1"S30 au fond, 1°*,40 à Taffleurement du couronnement, ce qui donne L = O^^GT; on demande la distance qui sépare h^ = 1«,70 de la hauteur h = 0'',40.

C*est le premier problème que s'est proposé M. Bélanger dans son ouvrage intitulé : Essai sur la solution numérique de quelques problèmes relatifs au mouvement des eaux courantes. Cet ingénieur Ta résolu au moyen d*une série de substitutions de valeurs de A, décroissant de 10 en 10 centimètres, dans l'équation différentielle. Ce qui la conduit à dresser un tableau de treize • colonnes verticales et de quatorze colonnes horizontales, pour y placer les différents résultats de ses substitutions dans une équation beaucoup plus compliquée que celle que nous avons donnée (1) (n*" 33), attendu que M. Bélanger n'a pas cru pouvoir assimiler le trapèze de la section à un rectangle. La formule précédente, qu'il serait facile de simplifier si elle devait être d'un usage plus fréquent^ résout immédiatement le problème et dispense de ces laborieux calculs. En y substituant les données de la question, on aura

L 4- A =1,07, L-t-A. = 2,37; d'où, ea substituant dans la valeur de s,

M. Bélanger trouve 4,620 mètres, il ne faudrait pas conclure de là que notre résultat est exact, à quelques millièmes près. Nous ne faisons que substituer ici un procédé de calcul rapide et facile à une méthode longue et compliquée. La formule primitive à laquelle il est appliqué reste avec toutes les imperfections que nous avons signalées, et elle doit nécessairement altérer les résultats dans une assez forte proportion. Ainsi ce serait une erreur de croire, par exemple, qu'en prenant rigoureusement Tintégrale de Téquation différentielle par la méthode que nous avons indiquée, on obtiendrait nécessairement une valeur plus approchée de la vérité. En substituant, dans la formule du mouvement varié, la vitesse moyenne à la vitesse à la paroi, on commet une inexactitude assez grave pour ne plus pouvoir atteindre la vérité par les procédés de calculs rigoureux.

Si, au lieu de chercher la distance qui sépare deux ordonnées de la courbe, on cherchait une de ces ordonnées, à un point donné, il faudrait d'abord substituer une ordonnée arbitraire dans la formule et s approcher du résultat par tâtonnements. Deux substitutions suffiront en général.

Ainsi, si Ton demandait à quelle hauteur sera la courbe à 3,757mètres en amont du point où elle est à 0'"940, la substitution de l'ordonnée l'^^TO ayant donné 4,632 mètres, on substituerait l^'^ôO et ayant .trouvé une longueur moindre que 3,757 mètres, dn pourrait considérer la courbe comme droite entre ces deux ordonnées et diviser leur distance en parties proportionnelles.

Si au lieu d'un cours d'eau étroit, dans lequel il est nécessaire de tenir compte de la résistance des bords, nous considérons un cours d'eau naturel, comme une rivière, en général assez large pour qu'on puisse regarder le rap-

port = 7 comme égal à l'unité, Téquation de la courbe se réduit à

a^A'+Pfl'

qui représente une parabole du quatrième degré, dont le calcul n'offre aucune difficulté.

56. Équation de la sarface dans le cas où le lit remonte. — Considérons maintenant le cas où 1 est positif, c'est-à-dire où le fond est incliné en sens inverse du courant.

dh La valeur de — tirée de l'équation (1) (n* 52)

dh

donnerait pour la courbe représentée par cette équation {fig. 20) les mêmes caractères généraux que dans le cas où le fond est horizontal : pour h trèsgrand elle a une tangente horizontale, et elle reste concave vers le fond jusqu'à

la valeur A' = — pour laquelle elle lui est perpendiculaire, et au delà de laquelle elle devient convexe. L'intégration complète de l'équation ne présente aucune difficulté, soit qu'on y applique le procédé général des fractions ration-

n3lles, soit une mélhode approximative. La plus simple serait d'opérer la division algébrique et d'intégrer cKkque terme. Nous présenterons tout à l'heure des exemples de ce calcul, pour le cas oîi l'angle i est négatif, qui nous dispensent d'entrer dans aucun détail à ce sujet. Remarquons en passant que lorsque l'eau coule sur un plan horizontal ou sur un plan en contre-pente, elle présente toujours une surface convexe qui se termine par une croupe brusquement arrondie. Nous rappellerons plus loin cette circonstance à propos du phé* nomène du mascaret.

57. Équation différentielle de la surface de l'eau quand le lit descend; discussion de cette équation. — Passons au cas où Tinclinaison du lit est dans le sens du courant, c'est en général celui de tous les cours d'eau naturels, car s'ils présentent dans certaines parties des contre-pentes,elles n'ont d'autre

effet que de modifier la résistance. En effet, l'équation ^ = i <fds subsiste

entre deux points quelconques, pour lesquels la vitesse moyenne est la même* On peut substituer au lit naturel un lit fictif donnant la même résistance par mètre courant et qui aurait entre les deux points donnés la pente de la surface. La profondeur de ce courant supposé rectangulaire serait donnée par l'équation

u aU + pU^

En réalité, les inégalités du lit produisent autour de cette ligne de pente une sinusoïde qui serpente au-dessus et au-dessous suivant les variations de la section (c'est ce qu*ont déjà signalé MM. Legrom et Chaperon, dans un intéressant mémojfe. Annales des Ponts et Chaussées^ 1838); mais dans la plupart des cas pratiques, on peut faire abstraction de ces écarts. Le lit naturel se trouve alors transformé en un autre sensiblement équivalent ayant des pentes parallèles à celles de la surface, et des profondeurs qu'on détermine par la formule précédente.

Supposons donc que dans un pareil lit l'eau soit soulevée ou abaissée, audessus ou au-dessous de la hauteur H qui donne la pente uniforme, par des travaux quelconques, et cherchons la position de la nouvelle surface de l'eau.

L'inclinaison de la tangente à la courbe nous est donnée par l'équation suivante, tirée de l'équation (1) (n* 53) en changeant t. an — i:

ds

Pour étudier d'abord la forme générale de la courbe, négligeons a par'rap-

porl à p et y- par rapport à 1 . Il est d'ailleurs facile de s'assurer que ces quan-

lités ne modifient pas les propriétés que nous allons déduire de l'équation simplifiée «

ds~ q^ ~^£

qu'on déduit de la précédente (1) en y faisant

H't = p^' et ^' = U'H'.

Menons une parallèle à la ligne du fond à la distance H (fig. 21 ) qui représentera la surface naturelle du courant, et considérons d'abord les valeurs de h

plus petites que H. Pour h un peu plus petit que H, — est très-petit et devient

nul pour A = H; la courbe vers l'amont s'approche donc indéfiniment de la

surface naturelle du courant; h diminuant peu à peu, ^, toujours négatif,

finit par devenir infini pour la valeur

que nous supposerons d'a-

bord plus petite que H. Si donc en nous élevons une perpendiculaire au fond égale à cette longueur, que nous désignerons par H. , elle sera tangente à la courbe qui, à partir de ce point, revient sur ses pas et donne une branche dont il est inutile de s'occuper. Cette portion de courbe, comprise entre le fond et la surface, représente ce que nous appellerons le remous d'abaissement. C'est-à-dire que si, par l'effet d'une altération quelconque du lit, la surface naturelle est abaissée de m en n, la surface naturelle mB sera abaissée en nB'. Passons maintenant aux valeurs de h plus grandes que H qui vont nous donner

le remous dégonflement, ^change de signe, la courbe est convexe vers le

fond. Si h est à peu près égal à H, — est comoie tout à Theure sensiblement

nul.

Ainsi, vers Tainont; le remous de gonflement est aussi représenté par une

dh asymptote à la surface naturelle, mais à mesure que h croit, — s'approche de

la limite f\ c'est-à-dire qu'à Taval, la courbe a une tangente horizontale, ce qui lui donne la forme indiquée par la figure 21. Cette «courbe représente ce que devient la surface naturelle du courant lorsqu'elle est soulevée en un point quelconque de m en n! par exemple. AlorsMa partie n'B" est ce qu'on appelle la surface du remops.

Remarquons que quoiqu'on ne cherche en général que le remous, en amont d'une perturbation quelconque, l'analyse doit donner et donne en effet le prolongement de la courbe en aval. Il n'y a, en effet, pour un courant défini par sa , pente et sa hauteur, qu'une courbe de remous, qui une fois connue détermine tous les remous qu'on peut avoir à considérer sur ce cours d'eau. Supposons, par exemple, qu'un rétrécissement ait soulevé les eaux de 1 mètre en un point; il est clair qu'à une certaine distance en amont, cet exhaussement est réduit à 0*,80, plus loin à 0",60, etc., la portion de courbe en amont du remous 0",60 appartient donc à' ce remous particulier comme à celui de 0",80, comme à celui de 1 mètre, qui n'est que l'amont d'un remous plus grand. Nous insistons sur cette observation parce que, dans presque tous les traités d'hydrodynamique, on a considéré la courbe de remous comme ayant son origine au point où les travaux avaient occasionné le plus grand gonflement, ce qui a conduit à proposer des formules de calcul complètement erronées.

58. GaB du remous à ressaut. — Condition de pente du canal pour . q[u*il se produise. — Dans l'examen que nous venons de faire, nous avons

supposé -rr plus petit que i. C'est, en effet, ce qui a lieu sur presque tous les

cours d'eau naturels, comme on peut s'en assurer en ayant recours à la signification de [cette quantité. Faute de ne s'être pas rendu compte de cette signification , M. Yauthier a été entraîné à croire que la plupart des remous pouvaient se terminer par un ressaut {Annales, 1836, p. 237).