BU' U' I

De l'équation t = ~- on tire -= = -75 et la condition ci-dessus devient ^ H </H i/p

'<^p9 t< 0^0035. Ainsi dans tous les cours d'eau dont la pente est au-

DU MOUVEMENT VAniÈ DANS UN CANAL RÉGULIEîl,

dessous de 3", 50 par kilomètre, les remous de gonflement et d'abaissement auront la forme que nous venons de leur assigner. Or les pentes des fleuves et des rivières se trouvent bien au-dessous de cette limite (*). Au-dessus on ne trouverait que les cours d'eau torrentiels ou des canaux d'expérience.

En effet, cette pente aurait pour effet dé produire une vitesse à laquelle les rochers seuls pourraient résister, car elle serait de 3 mètres environ pour une profondeur de 1 mètre seulement. Les courbes qpe nous.allons considérer ne peuvent donc se produire que dans des circonstances tout à fait exceptionnelles.

Voyons d'abord comment l'accroissement de l'angle i modifie peu à peu les courbes du remous ordinaire. D'abord pour le remous d'abaissement, la chute

verticale AO = Ho = H t A -= =i= H w -^ (fîg. 22) croît de plus en plus, et la

courbe se rapproche de la surface naturelle du courant; de sorte que la surface naturelle tombe brusquement sur la surface inférieure sans courbe de raccordement pour i=g^. Au» delà de cette valeur la courbe se retourne et présente une forme que l'expérience ne peut réaliser, il y a dans le liquide un excès de forcé vive qui doit produire des tourbillons dans la chute.

Pour la branche supérieure, là courbe du remous s'aplatit de plus en plus en s'approchant de la surface njtturelle ; enfin pour la valeur i=g^, la courbe de remous se réduit à une horizontale. Au delà de cette valeur de l'angle i, t > g^ (fig. 23), vers l'aval, la courbe devient concaye vers le fond et s'approche déplus en plus de Thorizontale ; du côté d'amont elle s'arrondit en croupe et a une tangente normale à la surface naturelle à un point situé à

lahjiuteur

«•=«vS=

puis s'infléchit vers l'aval, suivant une seconde bran-

che An, qu'il est inutile de considérer, parce qu'il est bien évident que la cohésion des filets fournit une courbe de raccordement toute différente entre la surface amont et la surface aval.

' 59. Caractères généraux du remous de dépression et du remous de gonflemMit* — En résumé, l'examen de l'équation différentielle conduit à

(*) La plus forte pente du Rhône navigable est, suivant M. Vallée, 0,00074$ dans la partie où il n'est pas navigable on trouve, au point appelé la perte du Rhône, là où ce fleuve coulait dans un souterrain naturel creusé dans le rocher, 0,0038 ( Du Rhùne et du lac de Genève, par M. Vallée y p. 19),

ces conséquences générales : le remous de dépression est toujours une courbe arrondie se raccordant avec la surface avjal par une partie verticale d'autant plus grande, que la pente du courant est plus considérable; au delà de la pente . 1:^ 0,0035,» le calcul ne donne plus de courbe, le raccordement se fait par une chute brusque.

Le remous de gonflement, pour les pentes ordinaires des cours d'eau naturels, est une courbe convexe vers la surface naturelle qui lui est asymptote • vers lamont, vers l'aval elle s'en éloigne de plus en plus, de manière à avoir une tangente horizontale à l'infini. Lorsque la pente du cours d'eau atteint ^t = 0,0035, la surface du remous se réduit à une horizontale. Au delà de cete limite, la surface du remous est concave vers la surface naturelle, et se* raccorde avec cette surface par une croupe qui lui devient perpendiculaire et forme ainsi une espèce de^ressaut.

' Lorsque, au lieu de considérer le courant dans un canal de largeur indéfinie, on le suppose rectangulaire, et lorsqu'on conserve le coefficient a, la condition t > g^ pour avoir un remous à ressaut est modifiée; elle devient, en mettant pour U' sa valeur tirée de l'équation,

t = ^^«U + pU')

dans 1 inégalité -r= > 1 ^

On voit que l'effet du frottement latéral est d'augmenter l'angle qui donne lieu au ressaut, et que le coefficient a contribue aussi \ augmenter cet angle.

mais d'une quantité fort petite, car -^ := 0,007 environ.

60. Intégration de l'équation différentielle de la courbe du rémous, et développement en série de la longueur du remous. —

L'intégration de l'équation différentielle va nous révéler beaucoup d'autres propriétés importantes de la courbe du remous. l\ est au moins bizarre, que personne n'ait spngé jusqu'à présent à lui faire subir cette opération, qui conduit, pour plupart des cas pratiques, à des formules excessivement simples. Si dans l'équation différentielle (1) (n^ 57) on met pour ^' sa valeur

— ouqn, et pour—, — — il vient :

ids— " ^

(*-«)!*■+*" 0-b)+«"(lt

H Ht

On voit de suite que l'intégration de celte équation donnera un terme de la forme Âlog(A — H); que par conséquent pour A =. H, on aura ^ = 00, tant pour le remous de gonflement que pour le remous d'abaissement. Il est plus commode, pour la pratique^ de prendre pour variables les ordonnées du gonflement ou de la dépression comptées à partir de la surface naturelle.

En substituant dans cette équation, au lieu de A, H -+- y, ou. aura l'équation différentielle de la courbe de gonflement, rapportée à la surface naturelle

ids

Quoique, sous cette forme, celte équation soit facilement intégrable, pour

aU simplifier les calculs, nous négligerons la quantité ^^^ car elle est égale à

B en admettaqt 15 pour le rapport-. Cette -fraction est en effet toujours très-

petite, même dans les canaux étroits^ Ensuite nous poserons

«.-<£ . H (L + H>cU

' i/H' ' 3(L + H) 3LHt '

Si dans le dernier terme de la valeur de n, ou met pour Ht sa valeur, on trouvera encore que ce terme est négligeable dans la pratique. Quant à la valeur

de n, elle est toujours comprise, quelle que soit la largeur du canal entre -

et 1 . Il vient alors, en décomposant en facteurs là fraction rationnelle

tds. ffiH 1 1

dy 3n

y + jH

et en intégrant

3» 12 "Vy'+SHy+anH',

arc( taiig=

ÎT + .H '

Pour déterminer la constante C, il suffirait de poser 5=o, y=^Y, on aurait ainsi une équation en * et Y propre à résoudre tous les problèmes relatifs au remous de gonflement. Quoique -les tables trigonom^triques donnent facilement les arcs tangentes, on pourra éviter le calcul qu'exige cette recherche, en substituant à cet arc son développement en série,

/, a;\ Il A A

Cette série sera presque toujours assez convergente pour qu'on puisse négliger

le second terme. L'intégrale se réduit alors à

„ wH I 1 ,

3n\2 °\y'+my + ZhB!

3 g Kl-») 2 m

Dans le cas de cours d'eau naturel», l'équation de la courbe du remous (2) (57)

prend une forme excessivement simple, puisque en posant ^ — r-Tî==^» ^t

négligeant —, elle se réduit à

ids =

(H + yy

(H + yy - ff

rfy-

HH-y

Si Ton pose " ' ^ =;= z, et qu'on développe la fraction

il vient en intégrant :

(3) par la division^

DU MOUVEMENT VARIÉ DANS UN CANAL nËGUUER.

2(H + yy 3(H + yy

61. Propriété remarquable des courbes de remous sur les cours d'eau naturels qui permet de les ramener toutes à un même type.

— On voit que celte série est toujours convergente; elle présente d'ailleurs, ainsi que l'équation différentielle dont elle dérive, une propriété remarquable qu il est essentiel de signaler; c'est qu on a

D'où il suit que, si l'on construit la courbe .représentée par cette équation dans riiypolhèse de H == 1 , ses abscisses et ses coordonnées seront dans un rapport constant avec les abscisses et les ordonnées du remous sur un cours d'eau quelconque, de sorte que les premières étant connues, on peut en déduire les autres par une simple proportion ; ou calculant les premières dans une table, on peut par une simple multiplication trouver les secondes. C'est ce que nous allons faire voir sur des. exemples numériques.

62. Soluticn numérique d'un problème de H. Bélanger par la formule du mouvement uniforme. — Supposons qu'un barrage établi sur la rivière .que nous allons définir, en exhausse la surface, prise à quelques

'mètres de distancé en amont, de l'",50 au-dessus du plan du régime uniforme, de sorte qu'on ait Y = l",50, on demande la forine de la surface jusqu'à Ten- * droit où l'influence du barrage est réduite à O'^fôO.

La rivière prise pour exemple a le profil {fig. 24). Sa pente est i = 0,0001 1 5 ; sa dépense est de 40 mètres par seconde.

Tel est le problème que M. Bélanger s'est proposé (p. 25 de son ouvrage cité).* C'est par une série de substitutions dans l'équation différentielle complète où il introduit successivement le contour mouillé, la surface de la section, la vitesse moyenne pour des sections de hauteur décroissantes de 0,10 en 0,10, que cet auteur résout ce problème. C'est la même marche, la même longueur de calcul que pour le problème précédent. C'est encore à l'aide d'un tableau à quatorze colonnes de chiffres, dont chacun est le résultat de plusieurs opérations, que M. Bélanger trouve que* le remous ne sera réduit à 0",60 qu'à une distance de 9245 mètres.. Faisons remarquer d'abord que dans toutes les

circonstances où Ion peut négliger la quantité*-^ par rapport à 1, et où les

hauteurs de remous sont assez grandes, il est inutile d'avoir recours à Téquation du mouvement varié pour résoudre les problèmes relatifs au remous. Leur solution dérive immédiatement et très-simplement de la formule du mouvement uniforme.

En effet, puisque la vitesse est petite dans la portion de remous considérée, la variation de vitesse peut être négligée, et par conséquent le mouvement considéré comme uniforme et la pente H du remous comme égale à la résis-4 tance moyenne du lit ou à la résistance dans la section moyenne

.t'=i.(aU'+pU"), . .

équation qui résout le problème, car H'=Hh — — — et U'=U ==-, sont connus. On peut d'ailleurs la mettre sous une forme plus simple en la divisant

par t = ^ (aU +PU'); on a alors :

H"( 14-lÇU,

Mettons dans cette équation les données dû problème de M. Bélanger :

mais comme nous avons confondu par approximatibn cette quantité avec le

fl 74 ' • . • .

rapport — = — = 1,06, nous prendrons la moyenne H = l",05, et nous en

déduirons

en substituant ces valeurs, il vient

Y — V Pour achever le problème; on tirerait s de l'équation 5 = -: 7- =

OOOOQSq"^^*^^ mètres, au lieu de 9245 mètres, dilTérence insignifiante

eu égard aux nombreuses inexactitudes admises nécessairement, soit dans le» données du problème, soit dans les formules qui servent de base aux calculs. On peut donc résoudre numériquement les problèmes de ce genre par Içs anciennes formules, d'une manière excessivement simple. Dans le cas où Ton voudrait tenir comple du frottement des parois latérales, il suffirait de multi-

plier la valeur de i[ par le facteur

. Mais cette formule, comme la mé-

thode de M. Bélanger, se trouverait en défaut si ou l'appliquait à des parties où la courbe du reûious se rapprochant de la surface naturelle n'en est plus qu!à une distance petite par rapport à fa hauteur du cours d'eau, ou du moins il faudrait alors rapprocher de plus en plus les sections. C'est ce qu'a,' du reste, reconnu M. Bélanger.

« Si l'on voulait, dit-il [page 26), continuer les calculs du tableau n* 4, « pour déterminer l'influence du barrage à une plus grande distance en amont, « il conviendrait, pour plus d'exactitude, de prendre les valeurs successives de « la hauteur du remous, plus rapprochées que de décimètre- en décimètre, et « d'autant moins différentes entre elles qu'elles s'approcheraient davantage de « la hauteur du remous. » Cette nécessité de subdiviser la hauteur du remous existerait, même pour les hauteurs qu'il a considérées, s'il avait pris son exemple sur un cours d'eau dont la profondeur moyenne eût été plus considérable» trois ou quatre mètres par exemple. Il faut remarquer de plus que cette méthode ne donne directement que la distance entre deux remous; lorsque l'inconnue du problème est une hauteur du remous, il faut opérer par tâtonnement.^

63. Solution par la table des remous. — La table des remous, qu'on

trouvera à la fin de cet ouvrage, résout directement ces deux natures de pro-

blêmes. Voici comment on doit s'en servir; nous prendrons pour exemple les données du problème précédent. Nous commencerons par les transporter sur le cours d'eau dont la profondeur normate est 1 mètre, en divisant les hauteurs de remous données par 1 ,05, hauteur du régime uniforme, nous aurons

Nous chercherons dans la lable le nombre qui correspond au gonflement

!, 43 (*) et nous trouverons. 2,7586

Ce nombre exprin^ie la distance, à Torigine de la table, du re-

mous l'jiS.

Nous trouverons de mênîe pour 0,57. ....... .^ ...... . 1,7579

' La différence. ... ; :...........:.... 1,0007

exprime la dislance entre les deux remous sur le cours d'eau qui sert de base à la table. Pour l'avoir sur le cours d'eau du problème, il suffit de p'oser

is • 1 OS

- =^ 1,0007 d'où s = 1,0007 ^ 'a,,^ — 9137 mètres.

Comme nous lavons déjà dit, le calcul de M. Bélanger lui donne 9245 n^àtres.

6!|. Solution, par les 'tables de remouSf d'un problème proposé par H. de Prony et résolu par M. Vauthier. — Second exemple. De quelle hauteur faudrait-il qu'un barrage construit à Poissy *y relevât le niveau de Tétiage de h Seine pour que la surélévation de ce même niveau fût de 0"*, 89 1 sur la surface d aval du barrage de Maisons [ problème proposé par M. de Prony, dans une note insérée aux Annales des Ponts et Chaussées^ premier semestre 1 835, et dont s'est occupé aussi M. Vauthier {Annale^, 1836, p. 2^79)]. La hauteur du régime uniforme, dans cette partie de la Seine, est. 1",59

La différence de niveau entre Poissy et Maisons Bst de .l'",737

Ces deux données suffisent, car, ainsi que nous le ferous remarquer tout à rheure, la diminution du remous entre deux points ne dépend que de leur distance verticale et non pas de leur distan/^e horizontale. La distance à l'origine de la table de l'ordonnée de Maison^ se trouvera en

cherchant le nombre qui. correspond à -j-^== 0,56. ....... 1,7444

is 1 737 Ajoutant la distance de Poissy à Maisons rj = --^—-. . 1,0924

Nous aurons pour distance à l'origine de l'ordonnée cherchée. . . . 2,8368

(*) Pour ne pas allonger inutilement la table, on ne Ta faite dans la partie supérieure que de O5IO en 0,10 ; on trouve les.valeurs intermédiaires en ajoutant un nombre proportiûnnei aa;c difiTérences. La distance à rorigine du remous 1">43 se compose :

Dç la distance du remous i",40 2,7204

Augmentée des 3/< Ode la distance 0^1073 entre (%40 et l'^^SO. . 0,0322

El se trouve être ainsi .......: * . 3,7586

La table donne en regard de ce nombre l^^^SOS ; multipliant ce chiffre, qui

exprime rr, par H=l'",59, nous avons Y=2",39. C'est la solution du problème, c'est-à-dire que les eaux. étant soulevées de 2", 39 à Poissy, le seront de 0"',891 à Maisons. M. Yauthier, par une méthode analogue à celle de M. Bélanger, avait trouvé 2", 385. M. deProny était arrivé à un résultat sensiblement différent, 2'",15y parce qu'il avait pris une hauteur du régime uniforme qui n'était pas admissible aveô le débit de la Seine. C'est ce qu*a parfaitement expliqué M. Yauthier.

On voit que toute espèce de problème relatif à une question de remous se réduit à la recherche de deux nombres dans une table, et à une addition ou à une soustraction de ces nombres, selon que l'inconnue du problème est une hauteur de remous ou une distance entre deux remous.

65. Influence de la hauteur du canal sur la longueur du remous dans le cas des deux problèmes précédents. — L'emploi de la série que nous avons donnée plus haut conduirait aux mêmes résultats, puisque la table ne fait que reproduire les valeurs de cette série, dans l'hypothèse d'une hauteur de 1 mètre pour le régime uniforme. On y substituerait successivement les deux hauteurs de remous données par le problème, et les différences entre les deux sommes donneraient la distance entre les remous ; si un des remous était inconnu on le déterminerait par tâtonnements. ^11 pourrait arriver que le cours d'eau fût dans 1 étendue considérée de largeurs et de pentes très-sensiblement différentes^ de manière que les valeurs de H et de i éprouvassent de grandes variations. Il faudrait alors le diviser en plusieurs parties et déterminer le remous séparément dans chacune d'elles. Cependant si ces variations étaient comprises dans des limites peu étendues, une valeur moyenne de H suffirait, car dans les problèmes de la nature de ceux que nous venons d'examiner, c'est-à-dire où les hauteurs de remous sont assez grandes par rapport à la profondeur du cours d'eau, le terme qui contient H et qui exprime la pente du remous est toujours très-petit, de sorte qu'une erreur, même assez forte sur ce terme, n'en produirait qu'une assez petite sur le résultat final. En effet, si l'on prend seulement les deux premiers termes de la série, Téquation du remous pourra se mettre sous la forme

(H + yf (H + Y)'

Le premier terme Y — y donne la hauteur m, comme si le "remous était

horizontal. Ainsi dans le problème de M. Bélanger Y — y'=0%90 et le terme

qui exprime la pente du remous se réduit à 0'",163

Dans le problème de M. de Prony Y — yz=0",50

Et le terme qui exprime la pente du remous se réduit à. 0",23

On voit donc que, dans ces circonstances, le second terme de l'équation est

toujours très-petit par rapport au premier, ce que démontre d'ailleurs la for-

Y + V mule. Car si Ton pose— J-^= y' et (H + y) (HH-Y)=(H + yO\ le terme

Y — « qui exprime la pente du remous pourra se mettre sous la forme ^r-j,

fraction d'autant plus petite que y' est plus grand par rapport à H.

66. Cas où la hauteur du remous est petite par rapport à celle des cours d'eau. Simplification de la formule. — Dans ces sortes de problèmes, Tanalyse n'est donc pas appelée à rendre de grands services à la pratique, puisque la partie inconnue de la question se réduit à l'addition de quelques centimètres à une quantité connue beaucoup plus considérable. Ce n'est que dans le cas oii la hauteur du remous devient petite, par rapport à celle du courant, qu'il est indispensable d'avoir recours au calcul pour se rendre compte de la manière dont le, remous diminue. Or c'est précisément dans ce cas que l'emploi de l'équation différentielle conduit à des calculs impraticables, tandis que le développement en série se simplifie au contraire. En effet, si dans l'équation différentielle (3) (n* 60)

■^^ CH + yy-H- "" = (' + (H+tf-H- )""

on développe le facteur de dy, et si Ton fait la division en ordonnant le dénominateur par rapport à H, on aura, en intégrant, le résultat suivant :

|.c=i.„,,.,(x).(^y-(x)Vf(xy-|(0

Cette série est très-convergente lorsque y est petit par rapport à 3H , et c'est elle qui nous a servi pour calculer la première partie de la table. On peut faire disparaître la constante en prenant pour origine un remous donné.

Ainsi, si Ton appelle Y le plus grand remous et y le plus petit, et si Ton convient de compter les distances à partir de ce dernier, on aura

9ff 27ff "*"

formule très-commode pour le calcul, et qui le devient davantage encore lorsque les remous sont assez petits par rapport à 3H pour qu'on puisse négliger le carré

de la fraction ^. En effet, la formule connue

permet d'écrire, lorsque z est une petite fraction ,

Il Y + yj

En substituant la valeur de Y — y^ tirée d.e cette équation, dans la série précédente elle se réduit, pour les deux premiers termes, à

La somme des trois hauteurs H H- Y + y exprime à peu près la profondeur P du cours d'eau dans l'étendue du remous, de sorte qu'on a

log(y)=log(Y)-ii-.

Si l'on veut se dispenser de l'usage des logarithmes, il suffit de développer en

séries l'équation

il»

et Ton obtient

-, /, 3m 1 (ZisV - 1 /3w\' ^ \

^=^(*— f-^oIt) -o:3(t) +^S-

93 DU MOUVEMENT VARIÉ DANS UN CANAL i'iÉGUUER.

Â ràide de ces équations rien ne serait si facile à résoudre que les problèmes relatifs au remous^ si, sous ce rapport, la table qui est à la fin de cet ouvrage pouvait laisser quelque chose à faire.

Ainsi, par exemple, un remous de 0",60 a été produit dans un fleuve profond, on demande à quelle distance ce remous sera réduit à moitié, O'^SO. Nous avons

j = — log2 = 0,231-- Il ne reste plus, pour déterminer cette distance, qu'à connaître la profondeur et la pente du fleuve.

Supposons qu'on ait, comme dans certaines parties du cours de la Loire, P= 6 mètres, t = 0,0002, nous aurons ^ = 6930 mètres. Ainsi ce n'est qu'à 7 kilomètres que, sur la Loire, un remous en grandes eaux est réduit à moitié;

car on remarquera que la valeur du facteur log (- j ne dépend que du rapport

qui existe entre les deux hauteurs de remous.

Pour ces sortes de problèmes, la table des logarithmes hyperboliques ou celle des logarithmes ordinaires, en se servant de Téquation

KJ'

i5 = 0,77Plog

peut remplacer celle que nous donnons et qui n'a d'autre mérite que de réunir toutes les solutions dans un même cadre.

67. Cas où le canal en amont du remous éprouve des variations de pente et de profondeur. — Le calcul de l'ordonnée du remous, lorsque le courant en amont est soumis au régime uniforme, ne présente donc aucune difficulté. Si le régime en amont n'est pas uniforme, on remarquera que les variations de t n'ont aucune influence sur les résultats du calcul.

En effet, l'ordonnée du remous n*cst fonction que de la pente absolue i>, de sorte que si l'on appelle Z cette pente absolue on a

Si maintenant on divise le courant en amont en plusieurs parties, qui dans leurs étendues diverses 5,, s^, j,, ^^ pourront être considérées comme ayant

la même profondeur, on aura pour les enlre-profîls consécutifs

faisant la somme de ces équations^ nous aurons

Supposons que la profondeur n'éprouve pas de très-grandes variations, de manière .qu'on ait — = - (1 + a^), a«, étant une fraction tantôt positive, tantôt négative. Nous aurons, en appelant Z la somme ^, 4- ^^ ^«,

Or le dernier terme, composé de quantités très-petites alternativement négatives et positives, sera toujours nul si la moyenne — a été convenablement

choisie. On a donc, comme dans le cas du courant uniforme, .

P désignant alors une profondeur moyenne du courant prise dans toute l'étendue considérée. Ce serait le volume d*eau contenu dans cette longueur du canal divisé par la surface. On remarquera que la solution de tous ces problèmes repose sur cette seule donnée P ou H, qui exprime la hauteur du courant. Les coefficients a et p de la formule de M. de Prony n'entrent pas dans notre formule du remous. Si le courant considéré ne fournit pas directement cette hauteur H, ce qui n'arrivera presque jamais, il faudra faire sur cette donnée plusieurs hypothèses de manière à avoir les plus grands écaris de l'expérience, et cela suffira presque toujours dans la pratique.

68. Influence de la hauteur du canal et des coefficients de la résistance sur la longueur du remous. — Comble nous l'avons fait voir tout à l'heure, dans le cas des basses eaux, la formule du remous ne contient H que dans le plus petit de ses termes ; une erreur sur cette donnée, pourvu qu'elle

9i^ DU MOUVEMENT VAniË DANS UN CANAL UÉGULIER.

soit renfermée dans certaines limites^ en donnera toujours une très-faible sur l'ordonnée totale du remous. Dans le cas des grandes eaux, la hauteur H influe énormément sur le résultat, puisqu'il lui est proportionnel, mais alors il ne peut être question, dans la pratique, que d'obtenir une limite supérieure du remous. Ainsi, par exemple, l'ingénieur obligé de se rendre compte de l'effet du remous sur la Loire en temps d'inondation dans une partie du cours du fleuve oii les crues ont 6 mètres de hauteur, fera mieux d'adopter ce chiffre, comme hauteur moyenne, que de le déduire d'observations directes sur la vitesse moyenne et de calculs sur la formule H« = aU + pU' (formule qui, dans le cas considéré, ne serait sans doute pas applicable avec les valeurs ordinaires de a et de P). Il aura ainsi une limite supérieure dont il pourra regarder les résultats comme exacts sans inconvénient.

Les modifications que de nouvelles expériences pourront apporter par la suite, à Texpression de la résistance de Teau, ne changeront donc rien à la formule du remous. Car nous avons fait voir dans le premier chapitre de ces études, qu'on pourra toujours exprimer convenablement cette résistance par une simple correction des coefficients a et p, regardés jusqu'à présent comme constants. Or ces coefficients, actuellement si incertains, n'entrant pas dans les formules que nous venons de donner, nous croyons qu'elles peuvent satisfaire à tous les besoins de la pratique; bien entendu qu'il ne s'agit pas de cette précision rigoureuse que les abstractions mathématiquies peuvent seules donner, mais de cette exactitude qui est suffisante pour servir de guide aux ingénieurs dans l'étude des questions relatives aux cfurs d'eau.

G9. Comparaison des formules précédentes avec les formules empiriques de Funk» de M. Poirée et de H. de Saint-Guilhem. —

Nous croyons même devoir nous arrêter un instant pour examiner d'autres formules données pour le même usage, et qui pourraient conduire à des erreurs graves.

M. Daubuisson, dans, un article des Annales^ 1837, p. 78, reproduit à peu près dans son Traité d'hydraulique à l'usage des ingénieurs, a comparé les diverses formules données pour calculer la surface du remous, à des nivellements faits sur le Weser, dans un endroit où l'eau de cette rivière se trouve relevée par des barrages. Il a conclu de cette comparaison : 1"* que la formule de M. Bélanger donnait des hauteurs d'eau notablement trop petites ; i!" que les indications de la formule de Funk péchaient considérablement par excès, surtout vers l'extrémité du remous; 3* que la courbe indiquée par la formule de M. de

DU MOUy£MENT VARIÉ DANS UN CANAL RÉGULIER. 95

Saint-Guilhem s'écarte peu de celle que présente en réalité la surface du remous. De cette comparaison^ M. Daubuisson conclut que la courbe du remous, produite par un barrage, approche d'une hyperbole dont l'équation diffère peu, au moins en ce qui intéresse lapratique, de celle qu'a donnée M. de Saint- Guilhem. Plus tard, M. de Saint-Guilhem, dans les Annales^ 1838, p. 255, après avoir indiqué la formule de M. Bélanger, et la simplification introduite par M. Yauthier, pour calculer la surface du remous^ a de nouveau donné sa formule en disant :

a Les calculs sont beaucoup plus rapides et paraissent plus conformes à « l'expérience par la formule empirique que je vais indiquer. »

Comparons donc les résultats de cette formule avec ceux donnés par les formules établies précédemment. Pour rendre la comparaison plus complète, nous y joindrons ceux de la formule de Funk et ceux d'une formule de M. Poirée, donnée dans les Annales des Ponts et Chaussées par M. Chanoine (1 839, p. 275), mémoire dans lequel cet ingénieur a comparé les résultats de cette formule avec ceux de l'expérience, et a tiré de cette comparaison la conclusion suivante qui termine son mémoire :

<x II semble dès lors que Ton peut conclure des exemples précédents que, « si l'exactitude mathématique de la formule parabolique n'est pas rigou- « reuse, elle est néanmoins telle ^ que cette formule peut être employée avec toute <K sécurité dans un grand nombre de cas, toutes les fois surtout qu'il s'agira de « calculer approximativement les remous que pourront produire des bar- « rages en une rivière dont le cours ne serait contrarié par aucun obstacle. »

Nous supposerons qu'un remous de 0"940 a été produit sur la Loire, dans un emplacement où sa pente est de 0'°,20 par kilomètre, et nous chercherons la courbe du remous en temps de crue, où la hauteur du cours d'eau est de 6 mètres.

En mettant dans ces diverses formules les mêmes notations, elles deviennent

celle de Funk, y = 2Y — j is + i/y(y— ^ i^ j ,

celle de M. de Saint-Guilhem,

celle de M. Poir^e,

fs'

celle du mouvement varié qui convient à ce cas,

logyF=logY— -ji-.

Mettant dans ces quatre formules, pour Y, sa valeur 0",40; pour H, 6 mètres;

pour P, 6-,60, et faisant tour à tour w = 0-,20, 0-,40, 0-,60 , on en

déduira les valeurs correspondantes de y à 1, 2, 3 kilomètres en amont du remous de O'^jiO.

Nous aurons donc :

Suivant la formule de Funk

— la formule de M. de Saint-Guilhem .

— la formule de Poirée

— la formule du mouvement permanent.