SAUTEUR DU REMOUS

& kilom.

à t kilom.

à 2 kiloin.

3 kilom.

On voit que les trois premières formules empiriques sont d*accord pour annoncer que la surface du remous s'est raccordée avec la surface naturelle de Teau, à 3 kilomètres en amont du remous de 0"',40.

En comparant ce résultat avec celui de la quatrième ligne, on verra combien cette conclusion est fausse. Suivant la formule du mouvement varié, ce remous est encore en ce point de 0",30. A 7 kilomètres il serait encore de 0*,20; certes ce ne sont pas là des hauteurs négligeables dans la pratique. Une erreur de cette importance peut occasionner les plus graves désastres. On en commettrait de bien plus considérables encore, si Ton supposait au remous une hauteur plus forte que 0",40.

Nous nous sommes arrêté à cet exemple parce qu'il s'est présenté, et qu'il a été calculé dans une question très-importante, d'après la formule de M. de Saint-Guilbem.

70. Danger de l'usage de ces formules 9 causes nombreuses de leur inexactitude. — La seule inspection de ces formules empiriques suffit

DU MOUVEMEiNT VARIÉ DANS UN CANAL RÉGULIEP. 97

pour reconnaître qu'elles ne peuvent représenter la courbe du remous, lorsqu'on a un instant réfléchi sur ses propriétés.

D'abord il est évident que, dans l'équation de la courbe, y et Y doivent entrer de la même manière, le point pris pour origine étant un point quelconque de la courbe, qui jouit des mêmes propriétés que tous les autres.

Ces formules supposent que la tangente à la courbe est horizontale près du point pris pour origine. Or cela n'est pas, car un point quelconque de la courbe peut être pris pour origine.

Ainsi, si nous supposions un remous de 0"*,60, nous trouverions un peu en amont le remous de 0",40. En amont de ce point, les formules empiriques donneraient deux courbes; l'une ayant la tangente horizontale au remous 0*,60, et l'autre au remous 0",40, ce qui n'est pas possible.

Ces formules ne contiennent pas la hauteur du courant naturel, de sorte que la courbe du remous se trouve indépendante de cette dimension, dont la grande influence est cependant évidente à j^fwt. ;.

^ Malgré l'autorité des auteurs que nous venons de citer, nous croyons qu'on

ne doit se servir de ces formules dans aucune espèce de cas, parce que leur emploi peut entraîner dans des erreurs très-dangereuses.

Quant à l'objection qu'a faite M. Daubuisson, à la formule du mouvement varié, de ne pas se trouver d'accord avec un remous observé sur le \yeser, nous ferons remarquer que pour apprécier ce prétendu désaccord, il faudrait pouvoir vérifier les données du problème et principalement la hauteur du régime uniforme. M. Daubuisson, qui s'est servi de la formule et de la méthode de M. Bélanger, et qui en a même étendu l'usage aux parties supérieures du remous, ce qui l'a entraîné nécessairement dans des erreurs de calcul, ne parait pas avoir soupçonné l'importance de cette quantité essentielle, puisqu'il propose l'emploi d'une formule qui en est indépendante, et qu'il se borne à la déduire d'un calcul approximatif et de données assez vagues qui ne présentent aucune garantie d'exactitude {*). Il y a là probablement une erreur du genre de celle que M. Vauthier a signalée dans les calculs de M. de Prony, sur le Temous de la Seine. Rien ne serait si facile que de. faire cadrer les résultats de là formule cbi mouvement varié avec ceux du Weser, en prenant pour hauteur du régime uniforme une quantité plus grande que 0'",752 admis par M. Yau-

(*) La largeur du courant a varié de 71 mètres à 432 mètres... le fond étant supposé avoir partout une pente égale^ mais il est loin de l'avoir en réalité [M, Daubuisson, Mémoire cité p. 80).

thier. Cette expérience du Weser ne peut donc en rien diminuer la confiance que mérite cette formule, la seule, suivant nous, dont les résultats doivent être acceptés dans la pratique:

7i. Propriétés générales de la courbe du remous qu'il est utile de counattre. — Dans beaucoup de questions du métier de l'ingénieur, il est bon non-seulement, de pouvoir calculer par des formules simples l'étendue du remous, mais de connaître les principales propriétés de cette surface, qui dispensent dans beaucoup de cas de ces calculs, en permettant d'apprécier les conséquences immédiates de telle ou telle disposition.

La distance entre deux hauteurs de remous déterminées^ est en raison inverse de la pente du cours dCeau.

Cette propriété résulte de ce que l'équation de la courbe du remous se présente sous la forme is = f{y). Il suit de là que les remous s'allongent d'autant plus que les rivières ont moins de ^ente. Ainsi/ pour diminuer un remous d'une certaine quantité, il ne s'agit pas de s'éloigner d'une certaine distance, sur le cours d'eau naturel , mais de s'y élever d'une certaine hauteur. Ce qui peut s'exprimer ainsi :

La diminution du remous entre deux points est due^ non pas à leur distance, mais à leur différence de niveau.

Ces propriétés sont générales à tous les cours d'eau et à tous les remous. Mais les suivantes ne sont applicables qu'au cas où le remous est petit par rapport à la profondeur du courant, ce qui a lieu dans les crues. Dans ces circonstances :

La distance entre deux hauteurs de remous est proportionnelle à la profondeur du courant pour des pentes égales.

Ainsi, dans les rivières à grandes profondeurs ou à grandes crues^ les remous peuvent se faire sentir fort loin en amont, surtout si la pente est faible, ce qui a lieu en général dans la partie inférieure des grands fleuves. Tel remous, qui est sans inconvénient sur une rivière qui a peu de profondeur et beaucoup de pente, peut devenir très-dangereux sur une rivière, profonde et à faible pente- Ainsi, d'après les calculs que nous avons faits, un remous de 0"',8^sur la Loire est encore de 0",40 à 7 kilomètres, de 0'",20 à 14 kilomètres et de O-jlO à 21 kilomètres.

En remplaçant dans l'équation de la courbe du remous en grandes eaux la

pente t par sa valeur ^-rj- on obtient

DU MOLVEMENT VABIÉ DANS t^N CANAL nÉCULIEB. 99

«équation d'où Ton tire lès. propriétés suivantes :

La distance entre deux hauteurs de remous est proportionnelle au carré de la profondeur du courant pour des vitesses égales ; en raison inverse du carré de la vitesse pour des profondeurs égales.

En y remplaçant au contraire P par sa valeur, ^ on aurait

pu;

Si'

et l'on en déduirait les deux autres propriétés :

La distance entre deux hauteurs de remous est proportionnelle au carré de la vitesse pour des pentes égales ; en raison inverse du carré de la pente pour des vitesses égales.

On voit qu'en général, ce qui augmente la longueur du remous, c'est la profondeur^ et que ce qui la diminue, c'est la pente du courant. L'ingénieur appelé à projeter des travaux sur les cours d'eau à grandes profondeurs et à faibles pentes, doit donc porter son attention bien au delà des travaux qu'il est chargé d'exécuter. On voit en môme temps, par l'exemple numérique que nous venons de citer^ que l'exhaussement des crues peut avoir pour caase des

travaux situés fort loin à l'aval.

Il y a aussi à cet égard une importante observation à faire^ c'est que les grands remous produits par des travaux hydrauliques voisins sur les basses eaux, ne s'ajoutent pas entre eux. Le remous résultant en amont de deux étranglements successifs n'est pas la somme des remous partiels, parce que le remous d'aval en relevant sensiblement les eaux détruit la perte de force vive qui existait dans l'étranglement d'amont. Cela est évident pour les barrages, et un instant de réflexion fait voir qu'il en est de même poyr les étranglements.

Supposons que la profondeur du courant naturel soit de 1 mètre, que. la section ait été réduite à moitié par l'elTet d'un étranglement d'une étendue telle qu'il a occasionné un remous de 1 mètre de hauteur. Si, un peu à l'aval on fait un étranglement semblable, il sera bien loin de produire un remous de 2 mètres, parce que les eaux relevées, passant dans le premier étranglement avec une hauteur de 1 mètre en sus, n'y éprouveront peut-être qu'une résistance à'peu près égale à celle qu'elles avaient dans le lit naturel ; l'effet de l'é-

100 DV MOUVEMENT VAniÉ DAfiS UN CANAL UÉGULIER.

tranglement supérieur se trouvera donc à peu près détruit par celui de Tétran- ' glemenl inférieur.

En grandes eaux, ^u contraire^ i mètre de plus de hauteur n'augmenterait la s3ction dans Tétranglement d'amont que de ^, si la hauteur primitive était de 6 mètres, les forces retardatrices développées dans cet étranglement ne seraient donc pas sensiblement diminuées, et par conséquent Teau en amont devrait •conserver l'excès de hauteur nécessaire pour les vaincre:

Ainsi, dans les basses eaux, les remous inférieurs s'arrêtent et se fondent dans les remous supérieurs qu'ils soulèvent à peine ; dans les grandes eaux les remous se superposent les uns sur les autres en s'ajoutant.

Si, par exemple, dans l'intérieur d'une \ille on fait un pont qui produise, en grandes eaux, un remous de 0'",40 et qu'ensuite à peu de distance à l'aval ou en fasse un second, un troisième semblables, ce remous de 0'",46 deviendra sjccessivément 0'",80, l'",20, etc.

Telles sont les conséquences principales qui peuvent se déduire de l'équation de la surface du remous dans les cours d'eau naturels.

1% Equation de la courbe du remous dans les canaux étroits.

— Nous n'avons considéré jusqu'à présent que les cours d'eau dans lesquels la hauteur des bords est petite, par rapport à leur largeur. Dans les très-petits cours d'eau, dans les canaux artificiels,' il peut être nécessaire de faire entrer celte hauteur dans le calcul, il faut alors avoir recours à l'équation générale que npus avons donnée plus haut, qui même dans ce cas peut être simplifiée. En effet l'équation différentielle (2) (n* 60) peut s'écrire ainsi :

^ds ■ mHll i - 3(1— n)ff

dy 3n\y ^ . ( (y + ÎHr + {3n — ?)ff'

Nous avons dit que n était toujours compris entre - et 1 , ( 3n — 7 ) ®st donc

une fraction négligeable dans le dénominateur du dernier terme ; de plus la

DU MOUVEMENT VARIE DANS UN CANAL RËGULIEit. 101

fraction peut être considérée comme constante, car en appelant S sa

valeur, on a pour. ...........y=0 S=l

Or, dans toute question pratique, le remous est toujours limité, on pourra

donc remplacer, sans erreur sensible, dans l'équation ci-dessus par

une fraction S convenablement déterminée. Nous aurons donc en intégrant

entre les limites Y et y.

Telle est la formule dont on pourra se servir dans un canal rectangulaire quelconque. On reconnaît facilement, en examinant l'influence de la quantité n sur chacun de ses termes, que plus le canal est étroit, plus le remous s'allonge. On se rend parfaitement compte de ce résultat, en considérant que les bords, en augmentant le périmètre mouillé dans le remous, donnent une^ouvelle résistance qui exige un surcroit de hauteur dans la chute. Mais pour peu que les cours d'ieau aient de largeur par rapport à leur hauteur, cette influence devient

peu importante.

En posant m= it = 1 et en prenant pour S sa valeur moyenne - 1 on obtient

pour les cours d'eau ordinaires une formule

dont le calcul est très-facile et qui peut remplacer la table que nous avons

102 DU MOLVEMENT VikRUS DANS UN CANAL RÉGULIER.

donnée. En suppo^nt y très-petit par rapport à H, On aurait : S = l, log ( 1 + fî ) = ïî ^* P^'^ conséquent :

«=î(Y-y)+ïïiogQ,

équation qui convient aux remous peu considérables et qui se simplifie enc^re (n^" 66) comme nous l'avons vu.

73. Équation de la courbe des remous de dépression. — L'équation de la courbe du remous de dépression, se déduit de 1 équation différentielle générale (2) (n» 60), en changeant y en — y, dy en — rfy, on a ainsi

ids . mHH .

dy 3»