CHAPITRE IV

79. Du remous occasionné par on jétranglemenf parallèle indéfini.

'-^ Dans le chapitre précédent, nous avons exposé les ressoprces que présentait

• . rétat actuel dé la science pour déterminer dans un caifel régulier la surface dé

Teau en amgnt d'un étranglement ou d'un élargissement de ce canal. .Nous

allons thercher maintenant à déterminer cette surface dans la partie ftiême dli

canal qui est étranglée ou élargie. -* . .

Il peut se présenter plusieurs cas, que nous allons examiner successivement.

Le plus simple e.st Tétcanglenient ou Télargissement parallèle continu sur une grande étendue: On peut^lors calculer la' hauteur de Teàu dans les deux . canaux considérés, dont les demi-largeurs sont L. et U, par les formules du mouT^ment uniforme (n* 20). En eifet, il est évident que l'étranglement indéfini ne change pas la pente génçrale.' On a alors, pour déterminer dans le nouveau canal la hauteur H', les vitesses W, V et V', les qualre équations suivantes :*

Wi=^aW+bW\ ' U==W +

2n + 1 Ve

L'HTI' = LHU;

mais comnie^ dans la plupart des cas pratiques, les longs étranglements n'ont pas pour résultat de diminuer la largeur du cours d'eau dans un rapport considérable, on pourra. presque toujours leur appliquer la formule siitiplifiée de M. de Prony : Hï= pU" qui^ combinée avec la dernière des équations précé-

dentes,, donnera:

~ Ht i?'

DU MOUVEMENT VARIÉ DAIJS UN CANAL IRRËGULIER. iiS

d'où H'=Hiy^ et Y==H'— H = H(tytl— iV

Ainsi le remous produit par un long étranglement est proportionnel à la profondeur primitive de la rivière. On doit donc procéder avec d'autant plus de circonspection aux travaux d'endiguement, que la rivière sur laquelle on les établit est sujette à des crues plus élevées. En réduisant la section à moitié^ on aurait Y == 0,60 H. Une réduction aussi considérable est fort rare sans doute ; cependant la levée de la Loire, sur une partie du cours de ce fleuve, a certainement enlevé aux grandes eaux plus de la moitié de leur lit. On voit par la formule précédente quel surcroit de hauteur un pareil travail a dû amener dans les crues. Là où l'on a 7 mètres aujourd'hui, on n'avait probablement autrefois que 4"", 40 environ.

Il est rare maintenant, surtout sur les grands fleuves, qu'on rétrécisse le lit des grandes eaux dans une proportion aifssj considérable; mais il arrive plus fréquemment qu'autrefois que par l'établissement de travaux publics, canaux, chemins de fer, routes, digues, chemins de halage, etc., etc., on empiète plus ou moins sur leur lit. Un empiétement d'un cinquième seulement (et dans combien de travaux cette proportion n'est-elle pas dépassée ?) donne :

Dans une rivière qui a i mètre de profondeur, un remous de 0",16

3 mètres, ' 0*,43

7 mètres 1"*,12.

On voit quelle énorme influence peut avoir un étranglenoent de cette nature, et à quels grands désastres il pourrait donner lieu, si le résultat n'en était pas prévu.

On voit aussi, au contraire, que les étranglements ne peuvent relever sensiblement le niveau des basses eaux qu'autant qu'ils sont très-considérables. Si un étranglement à moitié ne soulève les eaux que de 0,60 H, il s^nsuit qu'en resserrant une rivière qui n'aurait que 0'",50 de tirant d'eau par une digue qui prendrait la moitié de la largeur l'on n'obtiendrait encore que O-'jSO de profondeur d'eau. Et encore, pour obtenir un pareil résultat, il faudrait que l'endiguement eût lieu sur une grande longueur. De plus la formule qu'on vient d'établir suppose que la section est régulière, que la profondeur et la vitesse sont sensiblement constantes dans toute la largeur. Or il arrive ordinairement que l'étranglement se faisant par les bords où la vitesse et la profondeur sont moindres, le rétrécissement réel n'est pas proportionnel à la largeur.

i^k W MOUVEMENT TARIE DANS UN CANAL IRRÈGOLIEB.

Supposons que dans la section AGB {fig. 11) de profondeur variable; on construise une digue CD, qui retranche de la section ACB la partie ÂCD, de profondeur beaucoup moindre, le remous n'est plus exprimé par la différence H'— H des profondeurs moyennes des sections avant et après Fétranglement , car n'y eût*il pas de remous, H' hauteur moyenne de la partie restante DCB, serait encore beaucoup plus grand que H. Le remous n'est en un mot que la différence entre la profondeur moyenne de la partie DCB avant et après la construction de la digue. Pour tenir compte de cette circonstance, il faut considérer les changements comme s'opérant, non pas par l'effet d'un rétrécissement sur la largeur, mais par l'effet d^un changement de volume dans la partie DCB. On a alors en appelant q le volume avant l'étranglement, et Q le volume après l'étranglement,

'=Pf^=P

aiï/j»

d'où H' = H^, Y=H'-H=H^y/|-iJ.

et par approximation, lorsque Y est petit par rapport à H,

c'est-à-dire que ce n?est ni par la largeur ni même par la surface que doit se mesurer Tétranglement, mais par les volumes, ce qu'il était d'ailleurs facile de pressentir. Au reste, il ne faut pas perdre de vue que tous ces résultats ne doivent être considérés que comme des approximations plus ou moins exactes, suivant la différence plus ou moins grande qui doit avoir lieu entre les sections, et suivant la régularité de leur profil transversal. S'il s'agissait de canaux parfaitement réguliers, les formules du chapitre premier de ces études, résoudraient facifement le problème, mais pour des cours d^eau ordinaires à sections irrégulières, il n'y a plus de possibles, dans l'état actuel de la science, que des calculs approximatifs.

80. De la hauteur des crues d'a|»*ès la section. — La formule qui précède, donnant le remous produit par une augmentation de volume, peut servir à déterminer la loi que doit suivre la hauteur des crues, d'après le volume des eaux qu'elles entraînent. Comme on le veiTa plus tard, ce volume n'est pas un chiffre fixe et déterminé. En dehors des cas prévus et déjà obser-

vés^ le hasard peut aulener, et le temps amènera successivement un concours de circonstances qui produira une crue extraordinaire supérieure à celle dont les populations ont gardé le souvenir. Aussi, lorsqu'on a à se défendre contre les grandes eaux, a*t-on soin d'élever des digues à une certaine hauteur audessus des limites connues. Cet excès de hauteur a aussi pour but, nous le savons, de protéger les digues contre Teffet du vent et des vagues qui s*élèvent au-dessus du niveau moyen ; mais on ne contestera pas que la considération de se mettre à l'abri des crues plus élevées que celles qui sont observées n'entre pour beaucoup dans la détermination de leur hauteur, et, sous ce rapport, la formule apprend comment cet excès de hauteur doit être fixé. En effet, si au lieu du volume ^ on a le volume Q, le surcroît de hauteur, pour des points ou la hauteur primitive des grandes eaux était H et H', sera exprimé par

donc Y'^W'

Si la rivière que vous endiguez présente dans son parcours des hauteurs de crue différentes, telles que 5, 6, 7, 8 et 9 mètres, et que vous ayez jugé prudent de vous tenir à 0",50 au-dessus des grandes eaux, là où la rivière a 5 mètres de hauteur, il faut donner 0",60, 0",70, 0*,80, 0*,90 dans les autres parties, proportionnellement aux hauteurs primitives de la crue observée. Ou si cet excès de hauteur n'a pas été donné, et qu'une crue survienne, attendezvous à ce que les points les plus menacés seront ceux oii la crue primitive était la plus forte ; c'est là qu'il faut préparer et porter vos moyens de défense. Nous pourrions citer des exemples qui confirment pleinement cette théorie, mais il nous semble qu'elle peut s'en passer, le simple raisonnement peut en effet conduire à ce résultat Si le même volume passe à un point donné avec 5 mètres de hauteur et un peu plus loin avec 7 mètres, c'est que dans le premier point la pente, la largeur, les circonstances locales favorisent beaucoup plus l'écoulement que dans le second; si une augmentation de volume survient, les mêmes circonstances agissant donneront évidemment une augmentation dans le même rapport.

81. De rétranglement graduel latéral. — Avant de passer à l'étran-* glement ou à l'élargissement brusque, il importe de considérer les effets d'un

116 DU MOUVEMENT VARl£ DANS UN CANAL IRRÉGULIER.

étranglement ou d'un élargissement graduels, produit soit par le relèvement ou l'approfondissement du lit, ou par une altération du parallélisme des rives. C'est ce dernier cas que nous examinerons d'abord.

Considérons trois sections du courant {fig. 27) : iMa section À, située à l'aval de Tétranglemeiit^ là où le lit a repris son profil. Dans cette section, la hauteur H et la vitesse U sont celles qui conviennent au régime uniforme; 2*" la section B, là où a lieu le maximum de l'étranglement, dans laquelle, la hauteur H' et la vitesse moyenne U' sont à déterminer; S"" la section C, située en amont au point où le canal a repris son profil uniforme, mais dans laquelle le liquide se trouve déplacé et où par conséquent la hauteur H'^ et la vitesse U^ sont aussi à

déterminer.

udu L'équation générale du mouvement varié d(, = h çrf^ résoudra immé-

diatement le problème. En effet,, en substituant, dans cette équation, pour dC, sa valeur dy + ids^ et intégrant entre B et À, on aura pour expression de la hauteur du liquide comptée à partir de la surface naturelle

en appelant X la longueur BA. U' = U — rj ;, il ne reste donc à détermi-

ner que le dernier terme qui exprime Texcès de résistance, de À en B, du lit rétréci sur le lit ordinaire. On peut facilement avoir la valeur de cette intégrale en supposant que dans l'étranglement la résistance est toujours exprimée par

^ (ati 4- ^u^\j mais nous avons fait voir que l'effet de l'étranglement était d'abord de troubler complètement la distribution des vitesses, et ensuite de produire une pénétration des filets fluides (§ 50 et 51), ce qui amenait une résistance nouvelle ; de sorte qu'on]ne doit regarder cette hypothèse que comme une approximation dont le calcul rigoureux ne conduirait pas à un résultat plus exact que celui de la formule que nous allons donner.

Nous supposerons que dans l'étranglement le rapport-^ reste constant et égal

par conséquent à ce qu'il est dans la section naturelle ^, (nous négligerons,

comme nous l'avons déjà fait souvent, 4e coefficient a par rapport à P). Enfin nous supposerons que la surface co d'une section quelconque varie propor-

tioDDellement à sa distance aux sections exirêmes (o' et ft, de manière qu on a

, ft — ai'

iO = (ù'] r S'y

on a de même, pour la vitesse moyenne d'une section quelconque, u = U — .

En faisant ces substitutions dans l'expression de la résistance, il vient

m = 'LQu' = -J- SU' — ■ = t "'

^ «P pU'P / , n— <o' V / , "— w' \'

Mettant cette valeur de ç dans l'expression \ (ç — i)rf^ et intégrant,

Jo

on

aura

OU en mettant pour U'* sa valeur, U' -;7= -q- -7, ;

OU

• »'=<iÂ^-')h-'*'"'0-^E^)!-« '=»

Sous cette forme il est très-facile de reconnaître les circonstances qui influent sur le signe et la grandeur de j^ : en effet, tant que X est plus petit

que 140 H ( 1 + — j ), y' est négatif; c*est-à-dire qu'il y a dépression en B, et

cette dépression est d'autant plus considérable pour un étranglement donné, que la hauteur H du régime uniforme est plus grande, et que la pente du coui^s

(^) Pour avoir réquation de la courbe dans rétranglement, il suffirait de remplacer dans

réquation (3) 1/ par y, X par s, et U par L r^^> ^^'^ dans la pratique il suffira presque

toujours d'avoir Tordonnée t/ qui correspond au maximum de l'étranglement.

DU MOUVEMENT VARIÉ DANS UN CANAL mRËGULIER.

d'eau est plus forte. Lorsqu'on a X = 140H ( 1 4- -7), il n'y a dans l'étranglement ni exhaussement ni dépression. Enfin quand X > 140H(1-1 — ^jyily

a un relèvement. Cette discussion fait voir que , suivant qu'un étranglement est plus ou moins long , suivant que la hauteur des eaux est plus ou moins grande, suivant que l'étranglement est plus ou moins prononcé, il y a abaissement ou relèvement de la surface naturelle.

Supposons un cours d'eau avec un étranglement graduel qui en réduit la largeur à moitié, et voyons les effets de cet étranglement pour deux états difiTé*rents de ce cours d'eau. Soient H = l mètre pour les eaux basses, H = 5 mètres pour les grandes eaux, et t = 0,0003, la formule se réduit alors à

^ = «,„003(gfj:-l){x-l«0H(. + gf^)}.

et l'on trouve par tâtonnement les valeurs suivantes de y' :

Pour un étranglement de 100" de longueur

de 200-

de 420-

de 1,000"

de 2,100"

de 3,000"

de 4,000"

HrsS»

O'-jOO

o-.oo

O-jSe

Ainsi, en grandes eaux comme en basses eaux, il y a pour un étranglement court, dépression d'autant plus forte que les eaux sont plus grandes, à mesure que l'étranglement s'allonge, la dépression diminue et devient nulle beaucoup plus promptement pour les basses eaux que pour les grandes eaux ; de manière que pour certaines longueurs intermédiaires d'étranglement, il y a relèvement en basses eaux et abaissement en grandes eaux ; et enfin à partir d'une certaine longueur d'étranglement, il y a relèvement pour les deux cas. Ce relèvement, d'abord plus fort pour les basses e^ux que pour les grandes, l'est ensuite plus

DU lk!OUVEMENT VÂRli DAMS UN CANAL IRRÉGULIER. 119

pour ces dernières et se trouve limité au-dessous de (=-, — I )H, quantité qui

se réduit à H dans l'exemple numérique précédent. Ces résultats et d'autres analogues, dont nous nous occuperons tout à l'heure, sont très-importants sous le rapport pratique.

Appelons y" la hauteur a/ qui est le remous apparent, nous aurons, en répétant, le calcul fait plus haut,

la valeur de y" est toujours positive puisque U' est plus grand que U". En appelant Y la hauteur Cr, qui est le remous réel occasionné en C par Tétranglement, on aura de même

•IKê-O-K;^--')!-

équation qu'on peut obtenir en faisant la somme des valeurs de y' et y".

Quoique le second terme contienne des quantités qui dépendent de Y, cependant il est facile de déterminer cette hauteur par tâtonnement. Pour première approximation, on peut supposer que les vitesses en C et en À sont sensiblement égales, et l'on obtient

De cette équation il serait facile de déduire des valeurs très-approchées de U'' et de^co" qui, mises dans l'expression de Y, en donneraient une valeur plus exacte que celle déduite de l'expression de Y'. Mais cette dernière suffit pour signaler les caractères généraux de l'étranglement sur lesquels nous voulons surtout insister.

On voit d'abord que cette valeur de Y', toujours positive, puisqu'elle représente l'excès de force retardatrice du lit étranglé sur le lit naturel, ne dépend que d'une manière très-secondaire de la hauteur H des eaux. En effet, si l'abaissement ou le relèvement qui a lieu en B n'est pas tel qu'il modifie sensiblement

le rapport -;, la valeur de Y ne changera pas, quelle que soit la hauteur H. On

130 DO MOUTEIiraT VARIÉ DANS U!f CAHAL UBÊOCUEft.

peut d'ailleurs la mettre sous la forme

qui met en évidence cette propriété. Ainsi dans l'exemple numérique considéré plus haut, on aurait pour un étranglement de X=X'^ 100", Y=i0",078en basses eaux, Y = 0",09 en hautes eaux. Pour un étranglement de X=X'=1000*, on aurait Y = 0",44 en basses eaux, Y=.0*,72 en grandes eaux. Il va sans dire qu'on suppose que la forme du lit est telle que l'étranglement conserve le même rapport dans les deux situations du cours d'eau ; car il arrive souvent que des digues qui resserrent le lit des grandes eaux n'altèrent en rien le lit des eaux basses et même des eaux moyennes. Alors le remous Y qui a lieu en grandes eaux disparaît lorsque ces eaux baissent.

82. De rélargiMement gradael latéral. — Les formules précédentes s'appliquent au cas de l'élargissement graduel {fig. 28); il suffit de donner à co' et à n les valeurs spéciales qui conviennent à ce cas. Par le fait de cette substitution les valeurs de y' et de Y changent en général de signe et s'atténuent, c'est-à-dire que dans le court élargissement, on a un soulèvement yf moins fort que l'abaissement donné par le court étranglement. En tète de Télargissement long ou court il y a toujours abaissement. Un exemple numérique fera de suite comprendre Tiniluence de la longueur de l'élargissement sur la hauteur des remous.

Nous aurons, en effet, sur le cours d'eau dont la pente est 0,0003 et en

admettant pour r-; le rapport - :

Les longueurs X qui rendent j^ nul sont moitié de ce qu'elles étaient dans Tétraoglement; pour H = l" onaX = 210* pour H =5", X = 1050**. (Voir page 118.)

On aura pour un élargissement de 100" y'

. de 210"

de 400" -

s de 1,050" -

* de 2,000" -

'- de 3,000" .

^ de 4,000" .

o-,oo

o-,io

— o-,ii

o-,oo

Les exhaussements et les abaissements sont beaucoup plus faibles, et dans un ordre inverse, que dans le cas de l'étranglement précédent. Il en est de même des valeurs de Y. Un étranglement de 200 mètres de longueur occasionnait, dans le cours d'eau qui sert d'exemple, un remous de 0",078 en basses eaux, et de 0'",09 en hautes eaux; Télargissement dans les mêmes circonstances n^ amène un abaissement que de 0"*,03; cet abaissement ne serait que de 0",29 pour un élargissement graduel de X=X'=1000'". La dépression en basses eaux ne diffère pas sensiblement de ce qu'elle est en hautes eaux.

83. De l'étranglement on de l'élargissement de la section par soul^èvement ou abaissement graduel du fond du canal. — Résultats contraires à ceux annoncés par H. Daubuisson. — Si Tétranglement ou l'élargissement de la section a lieu par un soulèvement ou un abaissement du fond , on peut établir les valeurs de y* et de Y, c'est-à-dire la hauteur de Teau en B et en C {fig. 29 et 30), par des considérations et des calculs entièrement semblables. On a toujours :

la valeur de ç, en remarquant que la quantité / est constante, peut se mettre sous la forme :

ç=^p«.=-pu'

ft*

/ , n— to' \'

enr faisant les mêmes transformations que d^ns le cas de rétranglement latéral

122 DU MOCrVKMENT TARllT DANS UN CANAL ntRÉGCLIEH.

(§ 81), on trouvera :

.i- /il il

{ \bi' 2w'

On aurait de même pour valeur approchée de Y :

Dans le cas où le soulèvement ou l'abaissement du fond est peu considérable, « *

^ diffère peu de 1 . Alors les valeurs de y' et de Y deviennent entièrement

semblables, à celles qui sont relatives à l'élargissement et à l'étranglement latéral, et Ton peut en conclure que les effets du soulèvement ou de l'abaissement du fond sont les mêmes que ceux d'un étranglement ou d'un abaissement latéral. Ainsi quand sur une petite étendue le fond s 'abaisse ^ la. surface de Teau- se relève vis-à-vis le maximum de hauteur; quand le fond se relève, la surface s'abaisse. En général pour de courtes inflexions du plafond du canal les inflexions de la surface de l'eau sont en sens inverse.

Nous insistons sur ces conséquences immédiates et directes du mouvement variée parce qu'elles sont précisément contraires à ce qu'on trouve sur ce sujet dans quelques traités d'hydraulique.

Citons celui de M. Daubuiason^ page 167.

«. Par exemple, qu'un banc étroit et épais soit déposé transversalement ou « en écharpe sur le lit d'un fleuve, le fluide le franchira en vertu de sa vitessô^ « acquise; à la rencontre du banc sa surface surélèvera conskiémblemeat, et a de suite après^ elle redescendra; de sorte que dana cett« partm eUe préaenr « tera un exhaussement pareil à une forte ondulation. Mais son élévation au- « dessus du plan général du lit du fleuve sera phis petite que celle du banc « au-dessus du plan général du fond ; habituellement l'inégalité à la surface «t sera d'autant plus petite comparativement à celle du fond, que Ton aura plus c< de vitesse et plus de profondeur. »

Dans cBtte citation toutes les influences du fond sont prises à contre-sens, au lieu de dire : à la rencontre du banc, la surface de Ceau se relèvera considérablement et puis après descendra^ il aurait fallu dire : la surface de l'eau s^ abaissera considérablement et puis après elle se relèvera^ ainsi de suite. L'influence de la vitesse n^est pw mieux a^M^iée»

4)U MOUVEMENT VARli &AMS UN CANAL mBÉGULIER. 128

L'application numérique des formules précédentes ne présente d'ailienrs aucune difficulté. SiTon suppose — = 2 elles deviendront :

y=2»XX— 210H), "ï = 2i(X+X'), «oit 1= 100-, H=5", 1=0,0003, nous aurons, y' =— 0,57. Ainsi dans le

cas de la figure 29, un atterrissem^it de la forme Â'^'C ayant en b' une saillie sur le fond de l'",93 ferait baisser la surface de .l'eau de O'^J&l^ s'il avait 100 mètres de longueur. Maison C il y .aurait un remous de 0'°,12 pour X'=X. Si la longueur Mb^ était de dO&O mètres, y' serait nul, pour B'6'=:2?,50» et le remous Y serait égal à l'",26. Si la saillie B'6' était donnée, on résoudrait les

équations précédentes par tâtonnement en substituant au rapport — le rap-

iù

port

Sk. Infloenee Ses élari^flMnieBts et des étranglements qui ont He« à la Ibis par le fond -et sor les oôlés. — Dans les cours d'eau naturels, les étranglements peuvent être à la fois latéraux et de fond, il peut y avoir élargissement latéral et étranglement de fond; quelles <|u tes

circonstances particulières qui se présen'teront^ la question se résoudra toujours facilement par les équations générales :

\f XJ" f^

Il suffira de mettre dans les valeurs de i/ et de Y celles de U' et de U'', et «î l'étendue sur laquelle k cours deJa rivière est modifié n'est pas rtrès-grande, on pourra prendre po4ir (f la résistance calculée dans une section moyenne. Quant aux valeurs de U' et de U^',. vitesses en B «t en €, on les calculera d'à-

i(*) .Dans la:ca« où .le remous Y est petit par rapport à la hauteur H du cours d'eau, celte

fvilesrrfe Y peut se metijre sws k foraie ¥ s= râ ; le .signe ^- correq^ondant à

UH'

la dépression et le signe — au gonflement. Car Tr^= .

bord sans avoir égard à la dénivellation de la surface, ce qui donnera une première valeur de ^ et de Y, à Taide de laquelle on pourra les calculer de nouveau.

Ce que nous venons de dire sur les étranglements et élargissements graduels peut se résumer ainsi : si ces étranglements et élargissements ne sont pas d*une grande étendue, ils produisent da^s l'endroit où l'étranglement est au maximum un abaissement de la surface naturelle, et au contraire un exhaussement dans le cas d'un élargissement. Mais en tête de rétranglement il y a toujours un exhaussement de la surface naturelle ou remous, et en tète de l'élargissement une dépression. Ce remous, dans Tétranglement, est l'excès de hauteur nécessaire pour vaincre l'excès des forces retardatrices qui a lieu dans la longueur de l'étranglement, et dans l'élargissement, rabaissement de la surface correspond à la diminution des forces retardatrices dans la longueur de l'élargissement.

Les formules que nous venons de donner nous paraissent résoudre d'une manière complète, et aussi exacte que le comporte la nature de la question, le problème de la détermination de la surface de l'eau coulant dans un canal irrégulier, lorsqu'on fait abstraction des forces retardatrices qui se développent dans les changements de section. Cependant nous croyons devoir nous arrêter encore sur un cas particulier qui, théoriquement, se trouve résolu par les formules précédentes, mais qui se présente souvent sur les cours d'eau naturels, et produit dans la surface de l'eau des changements de hauteur auxquels où ne s'attend pas généralement; nous voulons parler des étranglements et élargissements par digues parallèles de longueiMimitée.

85. Des étranglements partiels par digues parallèles. -^ Supposons que la hauteur d'un cours d'eau, en eaux basses, soit de 1 mètre (/!^. 31), que pour en relever le niveau on établisse sur une certaine, étendue deux digues parallèles qui en réduisent la largeur à nioitié, et cherchons à déterminer la hauteur de l'eau dans la partie étranglée.

Si l'étranglement était d'une longueur indéfinie, l'eau s'y élèverait à 1",60, ainsi que nous l'avons calculé plus haut. Traçons dans le nivellement cette ligne mn qui sera la limite* supérieure de l'exhaussement de la surface de l'eau; le fluide ayant dans la partie large en aval une vitesse U, et dans la partie étranglée en amont une vitesse U', la différence de niveau 1^ = ^ des deux surfaces sera exprimée par la valeur de y', donnée par les équations (1) (3) du n** 81, dans lesquelles on fera X= 0. Ainsi l'on aura

ig tg

U' étfmt plus grand que U, il est clair que la valeur de \ est négative. Si l'on

pose U = 0'",87, — = 2, on trouvera par tâtonnement que î= — 0",20

satisfait à la question. Ainsi de D, fin de Tétrangleraent, à A, commencement de Télargissemeut^ aura lieu un ressaut de 0°'920. L'eau sera plus basse dans la partie étranglée que dans la partie large.

L'équation (1) étant du troisième degré, a deux autres racines réelles, 5= — 0",43, ^ = — 1™,33. Ainsi Teau peut prendre dans le canal étranglé une seconde position d'équilibre d!c\ telle que Drf' = 0,43. M. Vauthier, dont le corps des Ponts et Chaussée déplore la perte récente^ a fait connaître^ peu de temps avant sa mort , une série d'expériences fort curieuses (*), dans lesquelles il a réalisé ces deux positions d'équilibre qui peuvent se produire dans tous les changements de largeur, et il a fait observer avec beaucoup de raison que^ de ces deux positions, la position supérieure était seule stable; c'est la seule qui puisse se rencontrer dans les canaux naturels. Nous ne nous occuperons donc pas de la seconde. Quant à la troisième valeur, Ç= — 1",33, qui indique que l'eau descendrait au-dessous du plafond du canal, il est évident qu'elle ne peut se produire. C'est une solution purement analytique. Cependant c'est la seule que donne la formule pour certaines valeurs de la vitesse et du rapport des largeurs. En effet, si le canal supérieur est tellement étroit et la vitesse de- l'eau tellement considérable, qu'un ressaut de la hauteur du canal, qui est ici de 1 mètre, ne puisse suffire pour la faire descendre à la vitesse U, il y aura nécessairement de D en A une forte dépression avec chocs, tourbillons, etc., etc., qui feront perdre à l'eau toute la force vive qui ne lui sera pas enlevée par le ressaut. Il sera alors impossible d'en calculer la hauteur par les procédés d'analyse que nous venons d'indiquer, et qui supposent que dans le passage de l'étranglement à l'élargissement il ne se développe aucune force retardatrice. Il ne faut donc appliquer les résultats dé ces formules qu'aux cas où les variations de section sont renfermées dans certaines limites que le calcul indique lui-même, et qui sont, au reste, celles que présentent ordinairement les cours -d'eau naturels.

(*) Indication sommaire des résultats d'expériences faites à Roanne pour Tétude de quelques conséquences du mouvement permanent (Notice lithographiée).

126 DU MOUVEMENT VAKIÉ DANS UN CANAL IRRËCUIilER.

Passons maintenant à la détermination de la surface de Teau dans le canal étranglé en amont de d. Ce point de la surface étant à 0"*,20 au-dessous de A, se trouve à 0",80 au-dessous de m. Il s'agit donc de déterminer la courbe de dépression en araorit d'une ordonnée connue, problème que nous avons résolu dans le chapitre précédent (n** 74). Si le canal est assez large pour qu'on puisse ,négliger la résistance des bords, on peut se servir de la table qui se trouve à la fin de cet ouvrage. Pour trouver, par exemple, la distance Tip du point où la nouvelle surface coupe la surface naturelle, on cherchera dans la table du remous de dépression :

La distance à lorigine de l'ordonnée -7—7- = --^ = 0,50. . . 1,0037

et Ton en retranchera la distance à l'origine de l'ordonnée "f^ =?4? = 0,375 . 0,975»

La diiférence 0,0278

exprimera la quantité— jr, et l'on en déduira, en -mettant pour 1= 0,0003,

valeur qui correspond aux données du problème, 5 = D/? =1 148".

Si donc les levées d'étranglement n'avaient que cette longueur, elles ne produiraient dans toute leur étendue qu'un abaissement, résultat probablement contraire à celui qu'op aurait espéré en les construisant. Si elles sont plus longues, elles donneront une augmentation de hauteur de plus en plus considérable, mais qui ne pourra pas dépasser O^^^OO. Si on leur suppose une longueur de 1300 mètres, par exemple, on trouvera qu'en amont du canal d'étranglement, l'eau est encore à 0"*,20 (*) de la ligne mn du régime uniforme de ce canal ; de sorte que la hauteur sur le plafond cy n'est que de 1°,40.

Si en amont de C le canal reprend sa largeur, Teau se relèvera d'une quantité \ qui sera donnée par la formule (1), dans laquelle on remplacera Upar

(^) 11 suffît.de retrancher de la distance tabulaire de roidoanée md 1,0037

h distance tabulaire entre les ordonnées, rr=-^ — €,f4y7

Jl 1.60 «

Pour avoir la distance à rorigine de Tordonnée cherchée 0,7600

qui correspond à rordonnée tabulaire 0,125 et donne enfin y= 0^125 X i960 = 0",20.

DU MOUVEMENT ViUllË DANS UN CANAL IRAËGULIER. 127

-j— , H par 1",40, jiPSir-. On trouvera ainsi ^ = 0",06, c'est-dire qu'en B,

extrémité inférierure du canal large, Teau se trouvera élevée d'une quantité B^ = 0*,46> au*-dessu6 de la hauteur du régime uniforme de ce canal. Vers l'amont la nrfoce de l'eau se rapproche de la surface naturelle suivant la courbe du remous de gonflement bg.

Voyons maintenant quelles modifications apportera dans cette série de dénivellations de ht sur&tce, une augmentation de la hauteur de Teau. Si dans

Ei

l'équation (1) on remplace U' par -^ , elle pourra se mettre sous la forme :

=HF(t,^,)j

donc Ç croît proportionnellement à H. Pour H = 1", nous avions ^ = — 0*", 20;* pour H = 3", nous aurons Ç = — O^^^ôO. Ainsi, dans cette hypothèse, le ressaut Wd^^ serait de 0"',60. De même, la propriété de la courbe de remous^

=F ( rj j, nous conduira à conclure que Dy= 3D;; == 444". Un calcul semblable à celui que nous avons fait pour les^ eaux basses donnera tic" =:• i'*y26 C^) et par conséquent C'c''=0,54, er"7=3",54. Ici il n'y a plus de proportion, parce que la longueur 1 300 mètres des deux canaux est la même en basses eaux qu'en grandes eaux.

Quant à kt chute qui aura lieu de V^ en. ^^ elle se déterminera, comme nous l'avons fait en basses eaux, an moyen des vitesses d'amont et d'aval* Ainsi la vitesse U au point A'; correspondant à la pente i = 0,0003 et H =? 3", étant l", 54, on en déduira qu'en d^ elle est de :

Mettant cette \aleur de U dans l'équation (1) et faisant H = 3"',54, on en

(*) Retrancher de là distance tabulaire de Pordonnée d'aval 1,0897

1 j- * * u 1 • * 1 A ji ^^ 0,0003X1300 AAQjd

la distance tabulaire entre les ordonnées, = = 0,0812

On a la distance à l'origine de la donnée cherchée^. 0,9925

à^kmcUe eanresj^d dans la. table 0,262, d'où y = 0^262, 4,80 = 1^,26.

iî8 DU MOUVEMENT VARIÉ DANS UN CANAL IRRÉGULIER.

tire ^ = 0^,27. Le ressaut a crû ici dans une plus grande proportion que la hauteur des eaux. Gela tient à ce que le canal étroit n^est pas assez long pour que la hauteur sur le plafond y atteigne celle du régime uniforme. On peut donc dire que dans les crues les dénivellations qui se produisent aux changements de section sont au moins proportionnelles à la hauteur des crues, pourvu toutefois que le rapport des largeurs des sections consécutives ne varie pas avec cette hauteur.

Cet exemple fait voir combien il est important de se rendre compte de Tin fluence de la largeur du lit sur la hauteur de Teau. Nous avons déjà fait remarquer tout à l'heure qu'en basses eaux Tétranglement court pouvait ne produire qu'un abaissement dans toute son étendue. Supposons maintenant que la , partie ADC du canal étranglé représente le passage d'une ville à travers laquelle coule la rivière entre des quais trop resserrés. Si pour débarrasser du danger des crues les terrains précieux qui se trouvent de P en A, si pour diminuer la vitesse de Teau qui gêne la navigation, si pour des besoins quelconques, on ouvre de nouveaux bras qui donnent à la rivière la section qu elle, a en rase campagne, le résultat d'un semblable travail sera de soulever les grandes eaux de O^jôO en D, précisément peut-être dans le point où Ton aura voulu les faire baisser. Nous n'avons pas besoin de dire à quels désastres un pareil résultat pourrait exposer les terrains endigués s'il n'avait pas été prévu. On n'oubliera pas que, dans cet exemple numérique, nous nous sommes tenu pour la hauteur des crues dans une limite qui est dépassée par presque tous les grands cours d'eau, que par conséquent on doit rencontrer souvent des résultats beaucoup plus prononcés que ceux que présente la figure 31 . C'est ce qu'on reconnaîtra d'ailleurs par l'exemple suivant.

86. Des élargissementa partiels par digues parallèles. — Un élargissement partiel de la section d'un canal donne des résultats qui se détermineront de la même manière et par là même formule. Nous avons déjà fait ce calcul pour obtenir la chute de B en C dans la figure 31. Nous croyons donc inutile de le répéter ici. Nous nous bornerons à faire voir, sur un exemple, que ces dénivellations peuvent atteindre de^s hauteurs considérables.

Supposons qu'un cours d'eau, dont le plan est représenté par la fig. 32, ait été endigué jpar des levées BCDÂ et LM qui en ont régularisé la section, autrefois divisée en deux bras dans cette partie. Le nivellement des eaux pendant une crue sera alors représenté par une ligne droite BÂ. Supposons maintenant que la levée BCDÂ vienne à être emportée et que le cours d'eau prenne dans

celte partie sa largeur primitive, et voyons quel sera dans le nivellement l'effet de ce changement de section. Soit U vitesse dans le canal endigué = 5"», U' vitesse dans la section élargie = 2"*, 50, nous aurons :

5=: ^::^ := { mètre.

Ainsi, par Teffet de la rupture de la digue de la rive gauche, le niveau de Teau va se relever de 1 mètre en D. En amont, cette hauteur ira décroissant suivant la courbe de remous de gonflement dc^ dont on calculerait les ordonnées au moyen de la table, en les rapportant à la ligne mn du régime uniforme de Teau dans la partie élargie. En c on aurait un ressaut à peu près de même hauteur, et en amont de B, une courbe de remous de dépression.

Dans le cas de h figure 32, la rupture de la digue ne produit donc qu'un relèvement dans le canal élai^i, mais la longueur de ce canal peut être telle que vers l'amont il y ait abaissement. C'est ce que le calcul indiquera toujours d'une manière facile. Cet abaissement est d'ailleurs limité à la hauteur de la ligne mn. Quoi qu'il en soit, il y a toujours à l'aval un relèvement qui peut avoir les conséquences les plus funestes, car les eaux atteindront des propriétés qui étaient à Tabri avant Tendiguement, et qui, par conséquent, n'ont pas été construites en vue de pareils désastres. La digue de la rive droite LM peut être emportée aussi, et le résultat de cette destruction serait encore un léger exhaussement dans le niveau de la crue. Car si la vitesse 2", 50 est réduite à l'^jSO, le relèvement sera porté de 1 mètre à i",15. Ce relèvement est d'ailleurs évidemment limité à 1*^,26, hauteur correspondant à la vitesse 5 mètres. On doit remarquer que la vitesse joue ici le rôle principal. Ainsi, dans un cours d'eau dont la vitesse ne dépasserait jamais 3 mètres, des circonstances semblables à celles que nous venons de représenter ne pourraient donner lieu à un relèvement de plus de 0'",45. Si la vitesse atteignait 8 mètres, le relèvement pourrait, au contraire, dépasser 3 mètres. La vitesse, qui dans les cours d*eau est un effet de la chute, peut être à son* tour cause d'un relèvement égal.

87. Des approfondissements ou des relèvements partiels du fond.

— Des approfondissements ou des relèvements partiels du fond du canal donneraient des résultats semblables et qui se calculeraient de la même manière. Nous ne nous sommes arrêté sur ces exemples numériques, qui, sous le rapport du calcul, ne présentent aucune espèce de difficulté, que pour faire voir que de la formule du mouvement varié découlent une foule de conséquences d'une

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importance extrême pour la pratique, conséquences pour la plupart en contradiction complète avec les idées reçues sur ce sujet. Aussi que d'erreurs commises dans les questions de cette nature ! Combien de digues construites qui ont fait baisser les eaux là où Ton voulait les relever l que d'endiguements exécutés de manière à inonder le pays qu'on, voulait protéger ! que d'opinions erronées émises sur la hauteur des grandes eaux et sur les moyens de s'en préserver !

 l'aide des formules précédentes, il sera toujours facile de tracer dans un eanal, dont la section sera donnée, la haateur de l'eau en amont ou en aval d'un

U' — U" point déterminé; à chaque changement de section, la formule Ç = —

donne la différence de niveau qui les sépare. Si ensuite, ms une certaine étenr due, le canal consemet sa» aectiony ou a.,, oui une courbe de remaus de gûttfiement ou tmecouirbe de dépresûon^, suivanli qu'on se. trouve.^ au*Aeasus ou au-dessous de la hauteur' du régime uniforme dans catte section ;. si la aeclioo change' d'uaoe manière graduelle, des formules spéciales donsent pour ce cas le relèvement ou l'abaissement qui en résuite dans la surface àe l'eau.

88. De» étrangksflMMB bvuflqueifr — Tous ces calculs reposent sur cette hypothèse, que le changement cie section du canal n'introduit aucune nouvelle force retardatrice. Nous af?oiis* Aéjà.vu qu'il n'en pouvait être ainsi. D'ua changement de section^ même graduel,, résulte toujours une pénétration ou uoe division de filets fluides qui amène nécessairement de nouvelles résistauees.; mais les changements de* section oat lieu souvent d'une maniëre brusque- qui modifie tout à coup la vitesse de certains filets, la section du fhiidâ se partage en deux parties dont l'une est stagnante ou tourbillonne sur elle-même, et dont l'autre prend seule part au mouvement de translation. De là des forces retairdatrices complètement différentes de celles que nous avons considérées jusqui'à présent. La question de savoir quel sera le remous occasionné par un étranglement brusque se présente dans une foule de travaux hydrauliques, et principalement dans les ponts; aussi a-t-elle fait l'objet des recherches de plusieurs ingénieurs qui ont été unanimes pour donner la même formule, quoiqu'elle soit complètement et radicalement fausse. Elle a été trop généralement employée pour que nous ne nous arrêtions pas un instant pour signaler la singulière méprise qui a été commise à cet sujet.