RemoQS' occasionné par un éfranglemenf brmqoe^ formulé

DU MOUVEMENT VâRlË DANS UN CANAL laRËQULIBa. 131

ilHnëe ^par dML Gaathey ei générttlemeiii adoptée. — Voici comment M. Gauthey {Gansinwtion de$ p<Ms, j^. 191, 1. 1*'), pose le problème : « Étant « données la section du lit d'une rivière et la vitesse de Teau, déterminer la « nouvelle vitesse que prendront ses eaux et la hauteur du remous qui se force mera, en supposant que le lit se trouve resserré parla construction des piles « et des culées d'un pont.

u Ce problème n'est point susceptible d'être résolu rigoureusement; mais « nous allons, en négligeant quelques circonstances dont les effets sont peu <K sensibles et se compensent même en grande partie, en donner d'après Du* « buat, une solution qui peut être utilement employée dans la pratique. »

M. Gauthey divise le remous tatal en deux parties représentées dans la %nre 33 par IR et lE. La partie IK qui correspond à Taugmentation de la vitesse a pour expression

U '— U' iT m'

iK=^^;^=^^^-i). (i)

Quant à 'la partie lE, M. Gauthey fait remarquer que les pentes des cours d'eau sont proportionnelles aux carrés des vitesses ; on a, en aval du pont^ HI = pU^ ; sous la largeur AB = ^ du pont, on aura Ht'- ='PU" ; on a donc

lE et en Tésmné

IK + lE^ï^d + M) (^-l)-, , (1)

La ^antité «r ait toujoucs ioct petite par rapport à — ; on remarquera , en

eïïet, que c'est en grandes eaux qu'on calcifle le remous, que, par conséquent,

en supposant seulement U = 2",00, a^= 0",2Û; lampante t n'est, «dans les

Muifi<id'etti3wtiiielfii, qu'une fraction. de .millimètre;.» ne Jiera donc, pour un podtidîiifiB Jacgeur de 10 À 12 màties, qu'une fcactkai de centimètre toutii lait négligeable dans une question -semblable. On peut donc.se dispenser de conserver le terme is de la formule précédente (*); c'est ce qu'ont fait tous les

(*) Il est vrai que Gautjiey, dans «son calcul, a supposé que sous le poift, le contour mouillé était le même qu'en amont, etifu'en réalité la résistance due à la paroi serait sensi-

auteurs qui ont traité la question depuis Gauthey. {Voir t)aubuisson, Traiié d* hydraulique y p. 204; voir Navier, Leçons d* hydraulique ^ p. 16.)

90. Application de celte formule à un pont sur la Durance, par M. de Prony. — M. de Prony a fait dans les Annales des ponts et chaussées (1835, 1" semestre, page, page 237), une application de cette formule.

« J'ai eu occasion, dit-il, de m'occuper des remous produits par des piles « de pont, dans une note remise au mois de septembre dernier à M. le secré- « taire du conseil général des ponts et* chaussées, à propos des projets pré- « sentes pour le pont de Pertuis, sur la Durance. MM. les ingénieurs, auteurs a du projet, ont calculé le remous, en employant une formule tirée du cours « de mécanique, professé par M. Navier, à TÉcole des ponts et chaussées, j'ai « vérifié leurs calculs en rectifiant quelques interprétations inexactes, etj ai c< trouvé une hauteur de reçious un peu plus faible que la leur, c'est-à-dire, « l'",82 au lieu de l'»,92. »

La formule de M. Navier, dont parle M. de Prony, n'est, comme celle de M. Daubuisson, que la valeur de IK, calculée par M. Gauthey, dans laquelle on remplace, comme nous l'avons fait pour l'équation (1) (n^ 86), U, li, to' par leurs valeurs en fonction de la hauteur H et des deux largeurs L et V du courant.

Nous ne reproduirons pas ici les données numériques du pont de Pertuis, fournies par M. de Prony, parce qu'elles nous paraissent incomplètes, en ce qu'elles ne contiennent pas la largeur de la rivière avant l'étranglement, ou du moins la largeur qui résulte des données n'est pas d accord avec le calcul. Nous n'avons d'ailleurs cité cet exemple numérique que pour faire voir que la formule de Gauthey était généralement suivie. Car la formule que M. de Prony propose de lui substituer, dans l'article cité, n'est pas une formule nouvelle , mais une simple transformation destinée à éviter les tâtonnements qu'exige Téquation du troisième degré, à laquelle on est conduit par la considération de la différence des forces Tives.

91. Application de cette formule au pont de Hinden, sur le Weser, par M. Daubuisson. — M. Daubuisson a appliqué la même formule à des observations faites au pont de Minden sur le Weser et données par

blement augmenlée pour certains ponts, si Ton avait égard à cette considération, mais le ternie is resterait toujours très-faible par rapport à ~.

Funk. Les résultats de l'expérience cadrent assez bien avec ceux du calcul pour que cet auteur puisse dire :

« En comparant les hauteurs de remous données par le calcul avec celles « de l'observation, on voit que notre formule rend les effets des rétrécissements « produits par les ponts, aussi bien qu'on peut l'espérer dans une matière où <( ioute détermination rigoureusement exacte est à peu près impossible. »

M. Mary, ingénieur en chef des eaux de Paris, professeur à l'Ëcole des ponts et chaussées, dans son cours de construction à l'Ecole centrale des arts et manufactures, donne pour déterminer le remous la formule de M. Daubuisson. Il l'applique aussi à une expérience du Weser et trouve pour hauteur du remous 0",362 au lieu de 0'",382 donné par l'expérience, en mettant pour m = 0,90.

« Si au lieu de prendre 0,90, dit M. Mary, pour le coefficient de contraction, « tel qu'il est généralement admis, nous avions pris 0,91, nous serions arrivés a à 07 = 0,385. On voit donc que la formule que nous avons donnée est très- « exacte. »

92. La formule donnée par jGauthey et admise jusqu'ici n'exprime pas le remous; erreur commise à ce sujet. — Si 1 on n'a pas perdu de vue les considérations que nous avons exposées au commencement de ce chapitre, on a dû reconnaître que non-seulement cette formule n'est pas trèsexacte, comme le suppose M. Mary, ni môme approximative, comme le suppose M. Daubuisson, ni même satisfaisante, comme le pense M., de Prony (voir l'article cité page 240), mais qu'elle représente tout autre chose que le remous à déterminer.

On démontre bien, en effet, que, pour que la vitesse U" en amont devienne U'

' U" — U"' dans l'étranglement, on doit avoir une chute 5 = -^ ; mais on ne complète pas l'explication du phénomène, on ne dit pas comment la vitesse U' redevient U, et puisque, dans toutes les formules qu*on vient de rappeler, on néglige les forces retardatrices qui ont lieu dans l'étranglement, il faut néces-

U" — U' sairement dans cette hypothèse qu'il y ait un relèvement, 5' = — , U élant

la vitesse du cours d*eau naturel. Or' il est bien clair qu'au delà de la section étranglée 6D, il ne peut y avoir de ressaut au-dessus de la surface naturelle , puisque la section ayant repris toute sa largeur, ce ressaut donnerait à la partie inférieure, ou une hauteur, ou une pente plus grande que celle qui convient au débit. U faut donc nécessairement admettre qu'effectivement il y a une chute

iZU DU MOUVEMENT VikBtË DAT4S UK CANAL HmfiGfULtER.

en E, mais que cette chute n'est pas produite par un exhaussement de la surface d'amont, mais par une dépression de la surface qui s'abaisse dans l'étranglement, pour se relever ensuite d'une quantité égale. C'est absolument ce qui se passe dans l'étranglement graduel de peu d'étendue (fig. 27).

Ainsi, dans l'hypothèse admise par MM. Gantbey, Navier, Daubuisson, etc., qui consiste à négliger les forces rétardatnœs qui se développent dans l'étranglement, la formule qu'ils ont donnée exprime, non pas la quantité dont T^au se relève en amont de l'étranglement, mais la quantité dont elle s'abaisse dans l'étranglement, ce qui est bien différent (*) ; car l'eau se relevant d'une quantité égale à l'aval, le remous réel qu'il importe à l'ingénieur de connaître se réduit à «éro dans cette hypothèse. Si les expériences du Weser ont paru confirmer l'exactitude de l'ancienne formule, cela tient à ce que, dans ces expériences, on a pris pour hauteur' de remous oelle 4e la chute qui se produit dans Tétranglemont, «ans tenir compte du i^elèvement qui se fuît à Tarai, relèvement dont on ne soupçonnait pas l'existenoe.

93. Zhéorie xadonoelle de l'étra^lcament Imicmue. — La théorie exacte de l'étranglement brusque ne diffère pas de celle de l'étranglement graduel et les mêmes formules générales lui sont ajpplicables. Seulement on manque de données précises pour calculer la force retardatrice f dans chaque point de l'étranglement.

fki effet, l'étranglement brusque est une abstraction mathémalifue que l'expérience ne peut réaliser. Le rétrécissement du lit, c^éré en un point par des travaux d'art, a nécessairement pour effet d'augmenter les forces retarda* trices qui avaient lieu dans le lit naturel sur une étendue X à l'aval, et V en amont ; et en appelant toujours U, U', U'', la Vitesse normale , la vitesse dans Pétranglement eft la vitesse en amont, nous aurons les mêmes équations que dans le cas de l'étranglement graduel (n"" 81). Ainsi en B maximum de l'étran^ glement (fig. 34), on a :

•)rf«,

pour la distance de la surface de remous à la surface naturelle ; nous aurons de

{*) Et encore dans ce sens^ la formule est inexacte, attendu que dans la partie étranglée, la hauteur de Peau est B — y ^t non pas H comme le supposent tous les auteurs que nous venons de citer. ED étant la surface naturelle du cotn*atft, celte du remuas e^ m'jV eft non tnlD.

* ou MOUVEMENT VARIÉ DANS UN CANAL IRRÉGULIEB. 136

mdne en C en amont de rétrunglement :

enfin «i annit :

^ — ij P^'

pour la cataracte qui se formera de Fàmont à Taval au passage chi pont. Supposons que Tétranglement soit tel que les longueurs X et X' ne soient pas considérables, et que <p, résistance dans l'étranglement, ne dîifëre pas beaucoup de #, alors Ja quantité 2^ sera négative, de plus, U^ ne cKffiérant pas beaucoup de U, on aura, en négligeant dans les valeurs de y' et de y^^ Feffet des forces retardatrices :

Cest-à-dire que le remous réel Y,, en amont du pont, pourra être très-faible pendant que la cataracte aura une hauteur sensible (profil 1); c'est ce qui a lieu probablement au pont du Weser.

Si l'on suppose, au contraire, que U force ç soit très-considérable, qu'à l'aval du pont, par suite de circonstances particulières se forment de nombreux tour-

billons, la quantité i (ç — i)dSy pourra devenir plus grande que — 5 , et

la quantité j^ être positive» ce qui donnera au remous la forme du profil 2, et alors le remous réel Y sera beaucoup plus considérable que la quantité y'. U n'y a donc aucune espèce de relation entre y" et Y, et la confusion que tous les auteurs qui ont traité de cette question ont faite entre ces deux quantités repose sur une erreur fondamentale.

9ft. Réfatafion de la tbéorkiiie ée M. Bélanger ^ — M. Bélanger est le seul qui ne l'ait pas commise. Dans ses leçons lithographiées à l'Ëcole des ponts et chaussées, cet ingénisur a reconnu qu'à l'aval de l'étranglement, devait avoir Neu un relèvement qui, lorsqu^on le retranchait de Ta^baissemeiit donné par la formule ordinaire, faisait à peu près disparaître le remous. Nous disons à peu prèSj parce que M. Bélanger calcule la contre-pente au moyen d'une formule difiCérente qui, selon nons^ repose sur des considérations physiques et mécaniques tout à fait inexactes, et qui donne pour le relèvement une hauteur un peu plus âôble;» Ainsi, dans Fexemple numérique choisi par cet ingénieur, la

136 DU MOUVEMENT VARIÉ DANS UN CaNAL IRRÉGULIER.

différence entre la cataracte (0"*,18) et le relèvement (0",16) n*est que de 0,02, quantité insignifiante dans la pratique. Pour éluder cette difficulté et arriver à un chiffre qui s'écarte moins des résultats connus, M. Bélanger multiplie la

chute — qui est ici égalé à 0",18 par un coefficient K qui dépendra de la

figure des avant-becs des piles. Puis, dans l'exemple numérique, il fait K = 1,50, c'est-à-dire, qu'il suppose gue^ comme dans les ajustages-cylindriques^ la perte de charge ou de chute serait de moitié de la hauteur due à l'accroissement de vitesse. C'est ainsi que la chute 0",18 multipliée par K devient 0", 27, auxquels M. Bélanger ajoute 0",02, pour les forces retardatrices développées sous le pont, ce qui lui donne 0",29, desquels retranchant la contre-pente 0"',16, reste pour remous définitif O^jlS.

Il est peut-être inutile de faire remarquer que tout ce calcul ne repose sur aucune base rationnelle' et qu'on ne peut en tirer parti ni au point de vue théorique ni au point de vue pratique.

Ce n'est pas, en effet, résoudre le problème que de représenter la cataracte qui se forme au passage du pont par une expression de la forme :

car de ce que cette cataracte doit être plus grande que — , il ne s'ensuit

pas qu'on puisse la rectifier en la multipliant par un coefficient. Supposons, en

effet, que U = U'; beaucoup de ponts présentent cette circonstance, à cause des

affouillements qui se forment sous les arches. Alors, quels que soient le nombre

et la largeur des piles, la forme des avant-becs, le remous sera toujours nul.

Conséquence inadmissible. On met d'ailleurs la formule en contradiction

complète avec Texpérience, car si, comme on Ta vu, la formule — se vé-

rifie parfaitement avec les expériences du pont de Minden, citées par MM. Dau-

buisson, Prony, Mary, la formule 1",50 — ne se vérifie plus. La chute

n'est pas

K-^^, mais-^^+K,

et K ne dépend pas seulement de la figure des avant-becs, mais encore des vi-

tesses U et ll\ mais de l'épaisseur des piles, mais de la grandeur et de la former des arches, mais de la position du pont par rapport aux rives, de la distance des rives, du profil du fond, etc. Certes de toutes les circonstances que nous venons d'énumérer, la figure des avant-becs des piles est neut-être la moins importante. La seconde partie de la formule de M. Bélanger, le terme qu'il faut retrancher du précédent, pour arriver au remous, est encore plus inexact, car ce

terme ne dépend absolument que du rapport r-, entre les débouchés, il n'y a

plus de icoefficient qui tienne compte des circonstances locales. Or, c'est précisément dans cette partie, après le passage du pont, que s'effectue la plus grande perte de force vive. L'eau ayant à la sortie du pont une grande vitesse y produit une agitation et des tourbillons qu*on ne remarque pas à Tamont, ce qui diminue le relèvement théorique et augmente le remous.

95. De la distribution des vitesses dans l'étranglement brusque.

— Dans l'état actuel de l'hydrodynamique, on ne peut donc que se rendre compte des effets généraux d'un étranglement brusaue, mais il est impossible de les mesurer par le calcul. Nous venons de faire voir que le problème consiste dans l'évaluation des forces retardatrices qui se développent dans l'étranglement. Or, si l'on se reporte à ce que nous avons dit sur les résistances qui se manifestent dans les canaux oîi la section varie graduellement , on reconnaîtra qu'au point de vue * théorique, le problème est pour ainsi dire insoluble. Les divers filets de la masse liquide animés de vitesses qui né sont plus sensiblement parallèles se mêlent, se divisent, s'entrechoquent, attaquent les obstacles solides qui se trouvent sur leur passage d'une manière si différente, qu'il nous paraît impossible de représenter la résultante de mouvements si divers par une formule applicable à la pratique. Voici selon nous comment les choses se passent.

Considérons un canal régulier, dont la largeur uniforme A'A {fig. 34) se trouve étranglée par deux levées Bb^ Vb\ Il est clair que vers l'amont nous trouverons une section CC, et vers l'aval une section AA', dans lesquelles les filets auront une vitesse sensiblement parallèle à l'axe du canal. Si l'on imagine dans la partie Cbj où les filets ont des vitesses convergentes et dans la partie bX, où ils ont des vitesses divergentes, des sections intermédiaires, on pourra les séparer en deux parties. La première, composée de tous les filets qui prennent part au mouvement général de translation du liquide; la seconde, des filets qui

restent immobiles ou ont un mouvement giratoire périodique qui ramène leurs

inolécules à la même pliace, au bout d'un certain intervalle de temps-. Cette seconde partie joue, par rapport à la première, le rôle d'une pa^rôi, le long d^ laquelle celle-ci glisserait, en y éprouvant une certaine résistance, résistance* tout à fait différente de celle d^ne paroi solide, puisqu'il- s'agit d» l'eau glissant sur de l'eau. On pourra donc considérer le courant dans la partie CA comme s'opérant dans un canal. dont le fond serait solide et les parois latérales C^nA, C'ftVA' seraient liquides. Le frottement sur la paroi solide qui forme le fond, peut être assimilé, jusqu'à un certain point, à celui qui a lieu dans le mouvement uniforme, c'est-à-dire, que si la vitesse des filets inférieurs en* contact avec la paroi était connue, on pourrait supposer qu'ils éprouvent la résistance due à leur vitesse aW-l-éW"; mais le long de cette paroi latérale, qui tour*billorine sur elle-mêBne, a lieu un frottement tout à fait diflRérent, car il est du genre de celui de la cohésion, c'est-à-dire qu'il est proportionnel à la différence infiniment petite des vitesses des filets transportés et des filets tourbillonnant sur place; enfin dans la masse fluide, les filets ayant des vitesses non-seulement très-inégales, mais non parallèles, leur glissement les uns sur les autres, leur contraction et leur pénétration , donnent lieu à de nouvelles résistances. Or comment saisir, dans cette masse agitée de mouvements si divers, le filet qui a la propriété de représenter les résultats moyens? Mais si la théorie est impuissante pour résoudre le problème par des formules exactes, elle peut guider Texpérience dans la recherche d'une solution empirique suffisante pour les

besoins de la pratique.

96. Extension des formules de rétranglement graduel au cas ée Tétranglement brusque. — Remarquons d'abord que, quoique nom ne connaissions pas les forces retardatrices développées d'ans Téti^nglement, nous pouvons cependant tonjours représenter (fig. 34, profils 1 et 2) la hauteur dtes points bel c, au-dessus de la surface naturelle, par des équations parfaitement semblables à celles que nous avons posées pour l'étranglement graduel.

Il est clair, en effet, que dans le canal- CBA, on peut imaginer des cloisons verticales CM, C'iyA', dont on réglera l'éeartement de manière qu'en B et en C, la dénivellation soit précisément égale à cecpi'èHe est dans l'étranglement brusque, sauf à avoir dans la section BV une proportion d' étrangement toute différente. Il suit delà que l'étraraglement brusque peut présenter en B toutes les circon^ stances que nous avons signalées pour l''étranglement graduel C'est-à-dire, qu'il peut y avoir en B abaissementou relèvemeirt de la swrftce' suivant les eir-

constùBces de l!étraJQglemesit ;- en €. il y a: ttoujours relèvement. Dte*^ plu* fes

DU MOUVEMENT VARIÉ DAMS DM CANAL IBRËGCUœK. 13»

môjBies formules (2) et (4) (§ 81) sont applicaUes. Oa aura :

en appelant s la longueur du cours d'eau dans laquelle le courant ne coule pas à pleine section, et mnj^ la surface de l'étranglemeat graduel qui produit le même remous que rétranglement brusque. Maintenant, pour rendre cette formule applicable à la pratique , il faudrait connaître les valeurs de s et de m, qui conviennent à chacune des circonstances de retraitement. Or c'est ce que des observations bien faites et nombreuses peuvent seules donner.

Il faudrait qu'un grand nombre de poiUs fussent soumis à des observations semblables à celles dont le pont de Minden a été l'objet Bien entendu qu'il fau* drait que ces observations fussent plus complètes, que le nivellement s'étendit à une certaine distapce en amont et en aval^ ce qui se ferait par des échelles placées de distance ^n distance et sur lesquelles on lirait la hauteur de Teau à des époqijes simultanées; on joindrait à ce renseignement la coupe et le plan du pont et de ses abords, le plan et le nivellement du oours d'eau, sa vitesse et son produit aux hauteurs observées. En classant ensuite tous les résultats dans un ordre méthodique, rapprochant les cas analogues ou peu difSérents et arrivant aux cas extrêmes par l'observation d'un grand nombre de cas intermédiaires, on mettrait en évidence l'influence des diverses circonstances locales sur les hauteurs de remous produites, et on déterminerait d'une manière approximative les valeurs que doivent prendre les quantités qui entrent dans la formule précédente.

Ces expériences demandent de la part de l'observateur non-seulement une grande exactitude, mais de& coiinaissaiioes théoriques aussi étendues que pos-sîble, et iine attention toute particulière dans l'oliservation des faits, pour ne négliger aucun de ceux qui peuvent avoir une influence notable sur les résultats. Ainsi, par exemple, la formule du remous des ponts, telle qu*elle est donnée dans tous Les traités d'hydraulique, saas exception, ne demande que deux données pow en délerminar la hauteur : la vitesse du cours d'eau, et le rapport de la section naturelle à la section étraoglèe, cette dernière étant d'ailleurs légèrement corrigée au moyen d'un coefficient de contraction. Or, à part ias coQ&idéraUoQS thécKiqiies qia doive»! faire rc^er cette lidrauile, il suffit d'avoir

considéré ce qui arrive au passage de quelques ponts, pour être convaincu que ces données sont conoplélement insuffisantes. Ainsi, par exemple, un cours d'eau a une largeur de 200 mètres, on se propose de calculer le remous que donnera un pont de 120 mètres, la vitesse du courant étant de 2 mètres par seconde. Pour ce cas particulier, l'ancienne formule donnerait un remous d'environ 0",36. Or il est bien clair que le remous sera totalement différent, suivant les dispositions qui seront adoptées. On peut avoir un pont suspendu de 120 mètres, 1 2 arches de 10 mètres, 5 arches de 24 mètres, etc.; on peut placer le milieu du pont sur l'axe du courant, ou retirer une culée sur une des rives dé manière à avoir à l'amont et à l'aval de la culée opposée des espèces de gares oi^^ des cales pour la navigation; le courant des grandes eaux peut être perpendiculaire au pont ou plus ou moins oblique; on peut exécuter à lamont et à l'aval du pont des travaux accessoires qui modifient complètement la nature du débouché, etc. De plus il est bien clair, que si au lieu d'un cours\d'eau de 200 mètres et d'un pont de 120 mètres, il s'agit d'un cours d'eau de 400 mètres et d'un pont de 240 mètres ou d'un cours d'eau de 800- mètres et d'un pont de 480 mètres, l'effet sera encore complètement différent quoique le rapport de l'étranglement soit le même. Supposons, en effet, que la disposition adoptée, soit un pont susperfHu placé au milieu du courant et que les localités comportent ou exigent quatre levées de raccordement qui transforment l'étranglement brusque. en étranglement graduel, alors la formule que nous avons donnée plus haut (4) (§81) devient immédiatement applicable :

la longueur s des levées de raccordement tant en amont qu'en aval sera d'ailleurs proportionnelle à la largeur de la rivière. Si dans celle, qui n'a que 100 mètres de largeur, il faut 150 mètres de longueur de levées en'amont et en aval, il en faudra le double, le triple^ dans une rivière deux fois, trois fois

Cï 200 H

plus large. La pente étant de 0,0003 par mètre et le rapport, — ^= — -= -,

on aura : ¥ = 0,0002^, et par conséquent Y = 0'",06 dans une rivière de 100 mètres de largeur ayant des levées de raccordement de 300 mètres, et Y=.0'",60 dans une rivière de 1000 mètres de largeur, ayant des levées de 3000 mètres. , On voit que la largeur de la rivière, quantité qui ne figurait même pas dans

DU MOUVEMENT VARIÉ DANS UN CANAL IRRÉGULIER. iàl

les anciennes formules, a, dans ces circonslances, une influence considérable sur le résultat; et pour peu qu'on cherche à se rendre compte de Teffet d'un étranglement, on reconnaîtra àpriori qu'il doit en être ainsi, même dans l'étranglement brusque. Un cours d'eau de quelques mètres de large, resserré même dans une forte proportion, ne peut évidemment altérer la direction des filets fluides que dans une petite étendue en amont et en a\al ; les filets des bords extrêmes sont trop voisins du filet central, pour que la communication latérale du mouvement ne leur imprime pas à tous une vitesse sensiblement parallèle après un court intervalle de temps. Mais dans une rivière très-large, les filets des bords, ne recevant Faction des filets centraux, que par de nombreux filets intermédiaires qui atténuent cette communication de mouvement, ne sont entraînés dans le mouvement commun qu'après un bien plus grand intervalle de temps. Ainsi telle disposition, tel étranglement, ne produiront qu'un remous insignifiant dans une petite rivière et pourront en produire un énorme dans un grand fleuve. . *

En résumé, les formules données jusqu'à présent pour calculer les remous produits par un étranglement brusque ne méritent aucune espèce de confiance, c'est une des nombreuses lacbnes de l'hydraulique actuelle; en attendant qu'elle soit comblée, les considérations générales sur les propriétés des liquides, les formules de Tétranglement graduel que nous avons exposées plus haut, pourront peut-être fournir quelques indications utiles à la pratique. Nous reviendrons d'ailleurs sur la question si importante du débouché des ponts dans le chapitre YI.

Ce que nous avons dit de l'étranglement brusque s'applique à l'élargissement brusque ; on peut se rendre compte de ses effets généraux par ce qui se passe dans l'élargissement graduel, mais il est impossible de les apprécier exactement par le calcul. Nous croyons inutile de nous arrêter davantage sur ce cas, qui a beaucoup moins d'importance pratique que le précédent.

97. De la distribution des vitesses dans les sinuosités des cours d'eau naturels. — Pour compléter Tétude des effets des diverses natures d'étranglement, nous croyons devoir examiner ce qui doit se passer dans les coudes ou sinuosités des cours d'eau.

Si l'on cHferche à déterminer d'une manière expérimentale la vitesse des divers filets de la surface d'un grand cours d'eau dans les parties où sa direction générale présente des sinuosités, on reconnaît de suite de grandes différences entre les vitesses de ces filets. Sur certains points la vitesse est très-

forte et très-rapide; sur d'autres, elle est faible et même nulle souvent. Nous pourrions citer de très-grands ponts qui, sous certaines arches, n'ont aucune espèce de débit, mêrae pendant les crues (*). Limitons par la courbe pgr{fig. 35) la portion d'eau stagnante qui se trouve le long d'une rive convexe. Puisque cette eau est immobile, sa surface est.de niveau; tous les points de la courbe p^ 9, r, sont à la même hauteur. Un filet voisin, dont la vitesse est nécessairement fort petite, a très-peu de pente; le filet suivant en a davantage;, ainsi de suite. Traçons la courbe mno, qui passe par tous les points dont la vitesse est un maximum dans chaque section, puisque la section Q se trouve rétrécie par le fait des eaux stagnantes, la vitesse moyenne et la vitesse maximum y sont nécessairement plus considérables que dans les sections antérieures et postérieures. Si, dans les différentes sections, on trace la courbe des vitesses pour les filets de la surface, *on lui trouvera nécessairement les formes pab, qa'l/, ra"b'\ que nous indiquons dans la figure. Par l'effet du oonde il se t)roduit donc un étranglement en q, quoique la section ne change pas de superficie; or l'excès de vitesse (nécessaire pour franchir rétrangl»ment ne peut être donné que par une dénivellation de la surface liquide, le point n «'abaisse au-dessous de m de la quantité nécessaire pour produire Texcès de vitesse, et le point €f se relève au-dessus de fi , de manière à ramener la vitesse à. la valeur qu'elle doit avoir. Tout se passe comme dans Télranglement graduel, si ce n'est qu'un des côtés de la section étant assujetti à rester de niveau, la dénivellation dont nous parlons se produit au moyen» d'une autre dénivellation dans le sens du profil en travers. Donc la surface de Teau, dans un pareil courant, n'est pa« horizontale, la vitesse se répartit entre les divers filets d'une manière très-in^ale dans chacune des sections; de plus la vitesse des molécules de chaque filet varie sans cesse en passant d'une section à l'autre. U ne :faudrait pas considérer, en effet, la courbe mao, qui passe par les points où la vitesse est un maximum, comme représentant un filet particulier; cette courbe, qui va d'une vive^ à l'autre, appartient évidemment à plusieurs filets. Ceux-ci, tout en se pénétrant et en se séparant suivant ce qu'exige la largeur de la section courante, suivent une direction sensiblement parallèle à l'axe du canal. Animés d'une grande vitesse en q, et attaquant la rive concave dont ils emportent les débnif, ils«e

(*) Cette circonstance se présente surtout dans les ponts-obliques^ au courant^ et dans'ceux dont les culées font saillie sur les rives^'au moyen de levées qui rétrécissent le débon<sbéna* turel.

DU MOUVEMBNT YAIUÊ DÂJVS UN CANAL IRI^GULIER.

ià3

ralentissent en marchant vers R et laissent les troubles dont ils sont chargés sur la rive convexe RS'T où la vitesse diminue sensiblement.

Les principes que nous avons posés précédemment rendent donc parfaitement compte des effets des sinuosités, mais ne sont pas suffisants pour les calculer. Ou reconnaît, dans l'explication que nous venons de donner, une foule de causes de pertes de travail donl il est évidamment impossible d'apprécier l'importance en chiffres.

Nous ne nous souraies arrêté un instant sur cet ememple que pour faire comprendre toutes les anomalies apparentes que pouvaient présenter les cours d'eau naturels, anomalies qui expliquent les résultats étranges auxquels on est parvenu en essayant de vérifier, au moyen du nivellement de leur surface, les formules du mouvement uniforme ou du mouvement varié, résultats que nous avons cités à la fin dç notre premier chapitre. Quand il fallait obtenir 26 mètres, les formules répondaieat 28 mètres, 11 mètres, 30 mètres^. 39 mètres, 4 mètires à divers poinis du même cours d'eau. Non-seulement on a. demandé aux formules des résultats qu'elle» ne pouvaient pas donner, mais on a admis, dans les calculs, des données évidemment erronées» Ainsi, par exemple, l'expérience (M. Minârd, Navigaiion des rivièreSy^^^ 41) qui donne 4 mètres pour Le produit de la Meuse au lieu de, 26 mètres^ su^ose que cette rivière n'a qu'une, pente de 0,01 sur une longueur de 535' mètires; si le nivellement est exact. Veau marche donc en vertu da^sa vitesse acquise, il y a donc en anuml un étranglement qui motive une forte cataracte. Or^ si l'on examine la colonne des sections, on ui'y trouve pas de traces, de» ee. changement brusque de section,, ou plutôt il se ferait en sens inverse de celui qui doit avoir lieu. Nous l'avons dit souvent dans ces Études, l'état die l'hydrodynamique laisse encore beaucoup à désirer, il y a de nombreuses lacunesqui appellent de nombreuses recherches thjéoriques et expérimendales ;. mais quelque arriérée que soit cette science^ ce n'est pas une raison pour marcher au hasard. L'ingénieur guidé par des notions saines sur les pro{>rié(jés mécaniques de& fluides,, par des formules dont il connaîtra la portée^, pourca presque toujours non pas arriver à une solution exacte,, mais k une salutioni approchée,, en évitant ces grandes erreurs qui seules sont à nedoutec.

ikU ' DU MOUVEMENT DES EAUX A DÉBIT VARIABLE.