CHAP. 1" DO MOUVEMEEE UNIFORME
» le lil n’est qu’une suite de fortes inégalités et demi lu pro- » fondeur excède -souvent 3 et 4 mètres, etc. »
Nous verrons toufoà-l’beure que les canaux de Dùbuat, ayant à peine o,5o de large, se trouvaient dans les plus mauvaises conditions pour révéler la loi des vitesses.
20. Si on met dans l'équation de la courbe la valeur de la vitesse moyenne, on en lire :
ri ^=0,5811
C’est là du teste uft résultat déjà annoncé par l’expérience. (Le filet doué de la vitesse nmyenne a été habit licitement trouvé un peu au-dessous de la moitié, vers les 3/5 de la profondeur .) (Dadbcisson, p. 179.)
21. On voit d’après cette analyse»que la vitesse au fond étant donnée par une équation de la forme,
Hi=et\V+àW*
on aura la vitesse moyenne et la vitesse à la surface par les équations suivantes : »
Ce qui résout le problème d’une manière complète pour k .pratique; car on peut déterminer une quelconque des quantités W, U, Y, II, i,- en fonction dns deux autres.
DES BABX COUSANTES. -
SS
22. Voyons maintenant comment les résultats que nous venons d’obtenir se modifient dans urtei autre section.
Dans un tuyau' cylindrique, un quelconque des “cylindrée concentriques, dont le rayon est r, a pour équation d’équilibre (Fùj. 6) : . .!
. • • . dv
rr’j^ajrrx — e-f- • dt
car il éprouve de la part de la pesqnteyr unè forée accélératrice proportionnelle à rr*i, et de la part delà couche extérieure une force retardatrice proportionnelle à son contour ■ et à. sa vitesse relative.
Cette équation se réduit A :
; pnofine mii' b mutenu ni andsqqi ojf
. dv t
* —3= -r '< a-, m il., cm
, dr ae \ •
('■({nation tout-à— |ait semblable à celle que nous avons obtenue pour le "rectangle* en changeant .» en i t (N* 15).
En appelant W la vitesse à la paroi, V la vitesse dans l’axe et K le rqyon du tuyau cylindrique, nous avons de même pour équation de la courbe : . ‘ - b
e=V — —r1 on tt=:W-f-^-(hs — r*)bu «fe=»V — — ’■
Nous en conclurions de mémê, que tôirtcs les fois que te diamètre change, ta courbe ne change pas, eifc fié fhit prie se prolonger jusqu’à la nouvelle paroi, et qyo.l’efiQl de l’angle d’inclinaison, » se borne à changer le paramètre, de la parabole. ( i représente aussi la charge ou la différence de niveau entré les bassins, divisée par la longueur du tuyau, en vertu de laquelle le mouvement uniforme et* établi.) •bbnottrj ijŸliavuft* nu -■fine’ ri* , (DS? *7)
54 C.Ukt. DI! «OUTBDIUn UNIFORME
23. De cette similitude de la courbe des vitesses, il ne faudrait pas conclure que la vitesse moyenne est donnée par. la même formule que dans le cas dû rectangle. Les couches d’égale vitesse n’étant pas dans le cylindre de surface égale, il en résulte que la couche animée de la vitesse moyenne se trouve plus près de la paroi que dans le rectangle. ' * ,
En ayant égard à cette considération, on a, pour déterminer la vitesse moyenne de la. section, l’équation':
En appelant «rfr lu surface d’un anneau d’égale vitesse; ou en mettant pour ü, v, &>, leurs valenrs :
d’où
qui-est la formule générale dê Dubuat. Ainsi dans le cylindre, la vitesse moyenne est une moyenne arithmétique entre la vitesse à. la paroi et la vitesse du filet central. On détermine la distance de cette couche à l’axe, en faisant dans
Kéquation de la courbe e»— — et on trouve :
•la vitesse moyenne èst plus près de la paroi que dans le rectangle (N0 20) , -comme on devait s’y attendre.
BIS BAjUX COUJUNTSS.
24. Pour le tuyau cylindrique, les équatious qui doivent servir à déterminer, les quantités -W, U,. V; Ji, », en fonction des deux autres, sont donc : ,
£Ri=aW-frçW*
On doit remarquer qpe ces Quations, ont lieu pour le deini-cyfindre comme, pour le cylindre eolier, que par conséquent on pourrait observer à la surface la forme d<| la courbe dé* vitesses, ce qui est beaucoup plus facile .que dans l’intérieur du liquide. Ces équations sont d’ailleurs d’une application plus générale encore, comme on le verra tout à l’heure.
y * ' • 4.»} ff ^
25. Considérons. maintenant, un filet m, .animé ëe fa vitesse v, .dans un canal rectangulaire (flg. )). Prenons pour axes des Z fet des Y, dans une section , la Surface naturelle du courant O Y et la verticale O Z. Il est clair qde ce filet dont les dimensions sont d'z et dy est soumis à une fort* accélératrice idzdy Hé la part- dé la pesanteur, qu'il esy entraîné par le filet supérieur et retardé par le filet inférieur avec une intensité proportionnelle à sa largeur dy et À sa vitesse relative, et que par conséquent la résultante de ces
deux forcés est — comme nous l’avons fait vôir.
9X IIS* ;i#sylÎY Jil 4 :
Il est de même entraîné par là filet de droite et retardé par filet de gauche, et la résultante de ces deux forces est proportionnelle à -^et^dz.'
CHiP. l'f »ll MOUVglUült' DKIPOltHE
Là surface des vitesses est donc représentée ici par résiliation aux différences partielles : .
eJ?'
dy ’
' qui est identique avec relie donnée par M. Navier (p. 417 du Mémoire cité), et dgnt H a donné une solution complète dans le cas général du mouvement varié. Mais les résultats sont inexacts, én ce que la résistance à la paroi esf représentée dans le calcul tomme simplement proportionnelle Ü 4a vitesse. * * . ’ ' * • ** *
Fl est évident qu’une équation quelconquê du second degré en z et y, résout l’équation aux différences partielles que nous venons de poser; de plus, si on suppose, audessus dy canal rectangulaire inférieur dans lequel l’écou- ' lement # lieu, uu rectangle égal dan* une position renversée AA’ IV. ft, -il est clair que cela ne changera la vitesse d'aucun des lilefs du ruclnngje primitif, les courbes $jluées duos .des sections verticales et liorixon taies sont donc symétriques et ont une tangente verticale ou horizontale perpendiculaire à leur axe. D’où il suit que l'équation dd second degré qui satisfait à l’équation ci-dc6sus est de la forme.: , . •
c=rC — Ai’ — By2 (i)
Soient : V la vitesse centrale en O. .
‘ . W là vitesse au fond en Ç.- < • ’ r •
* V„ W, les vitesses à la paroi en A et en C. • H la hauteur du rectangle.
I, sa demi-largeur. - ’
DBS ÏAUX COURANTES.
"w In vitesse variable des filets contigus à la paroi horizontale PC.
w, la vitesse variable des filets contigus à la paroi
<# verticale AC. • . . '
On remplÉcera les constantes A, B, C do l’équation- (a)
par les vitesses V, W, V„ en y faisant tour-à-lour et à Ja
fois z et y nuis," et elle pourra se mettre sous la forme* :
if
AÎtV
v Pour déterminer les trois vitesses inconnues \ , W, V„ ojl a trois éqnationsde condition qui expriment que lesforcçs qui agissent sur lé système seJont équilibre : la première qui correspond à l’équation (i), s’obtient en exprimant que chaque filet est en équilibre par rapport- aux’ forces qui proviennent du glissement des quatre filets contigus :
■ V-VW . V— V,
