DES EAUX COI'BANTES

mémo équation que pour le cas d’un eylihdre (JS"* La Vitesse moyenne sérail donnée par l’équation :

udo

Or l’éqyation «= — r' donne du— — rdr. Ôn a donc

relation très-remarquable en ceaqu’elle est indépendante de la figure de la section et qu’plie est complètement d’accord avec la loi dç Dubuat; Remarquons que V désigne ici la vitesse maximum à la surface et W la vitesse moyenne à la paroi. Or, si la paroi est telle que les vitesses ne soient pas trop différentes, cette vitesse sera donnée par l’équation

»: " : i tlfh i .

^irrxfflW’+tW'*

ainsi

i en ajoutant à cette équation les deux suivantes : .

v=w,-|-i;-|R«MfA ... * *.

. ae . .. . »•.

U^V-fW’

le problème se trouve résolu pour une section quelconque.

CHAP. I. BU HOUVBHNT OKIFORHE

Les formules que nous avons donnés» plus haut résol- * vent d’une manière suffisante le cas des sections larges; en réservant ces dernières, formules pour le cas des sections qui affectent la figure circulaire, c’est-à-dire dont les rayons, à partir du point O, 'varient peu entre eux, on en conclura que Rcr«u peut y être remplacé par la proton- ♦ deilr P de la section. Car si la figure affecte une forme circulaire, R variera très-peu et cosu sera urie fraction peu différente de l’unité.

Nous avons donc :

£i=aW'+éW'*

. Vf=W'+— “ P

si dans ces formules on pose û = 7rR!1, *= u R , on retrouvera les formules qui appartiennent à la section circulaire. Si on pose û = LH, x=L-f-H, P = 11, on retrouvera celle qui a été donnée pour la section rectangulaire allongée, sauf en ce qui concerpe la vitesse moyenne qui sera plus petite de % (V— W'), quantité fort petite. On peut donc, sans erreur sensible, considérer les formules précédentes comme s’appliquant à une section quelconque.

31. Nous avions besoin d’en généraliser l’application pour en comparer les résultats à ceux des formules actuelles de l’hydraulique. * ;

DES BAUX COOArSTXS.

Si on élimine V des trois* équations ci-dessus, il ne reste plus que *

. §«=aW'+6W'* (.)

qui doivent remplacer la formule unique aujourd’hui pn

usage

qui donne immédiatement la vitesse moyenne sans passer par la vitesse -du fond. Pour que cette dernière fût exacte,

il faudrait que le rapport — fût constant. Car l’équation exacte (i) peut s’écrire sous la -forme

wdVfwbl]t

Or si - -

est constant, cm peut poser

et on retrouve l’équation (x) , mais-

CHÂP. I" DU MOl'rEMKMT l'SIFOKME

et on mettant pour — i sa valeur approchée i\V’ on a :

. + JlpW'

Or nous verrons tout à l’heure que b — o,ooo3 1 h peu près, et que — est beaucoup jvlus petit que 3aoo. On a donc en admettant ces chiffres : •

TT~ i -f- o,a5P\V '

cette équation fait voir d’abord, que dans un môme cours d’eau ce rapport varie peu, car la vitesse W' diminue quand la profondeur P augmente, puisque le débit est constant; qu’ensuite dans les cours d’eau à faible vitesse, ou peu profonds, comme dans ceux où Dubuat a recherché la relation qui existe entre les vitesses et où la profondeur ne dépassait pas 0,27, ce rapport est aussi trèspeu variable; que par conséquent, dans toutes ces circonstances, en prenant pour a et (3 des valeurs moyennes, les résultats du calcul ne pourront pas s’éloigner beaucoup de ceux de l’expérience. C’est ainsi que M. de Prony a pu être conduit à conclure la généralité de sa formule de la concordance des valeurs que donnaient les expériences pour les coèfficients a et fi. Plus tard M. Eytelwein réunissant urf plus grand nombre d’expériences, dans lesquelles les vitesses moyennes de l’eau, le périmètre et les sections atteignirent des limites plus étendues, en- déduisit des coefficients sensiblement différents.

4 DBS BAS* COURANTES. 49

M. de Prony avait proposé :

a = o,oooo4.$4i999 P = 0,000^093 i4 M. ÇylelWcia leur substitua : •

«=io,ooopa42&5i P‘= o,o*o365543'

et ces dernières valeurs ont été adoptées par tous les hy-, drauliciens. Il suffit de jeter yn coup d’œil sur cas chiffres pour voir combien dn çst loin d’un résultat précis, et nous ne concevons pas éonjment avec de pareilles différences on petit avoir la' patience inutile d’employer dans les Calculs des nombres qui .contiennent autant de chiffres signfficatifs. Puisque on ne sait pas si a — 24 ou 44» si p = 3o ou 36, il est évident .que' les décimales qu’on ajoute à ces nombres n’ajoutent rien à leur exactitude. On a, k ce qu’il nous semble, complètement méconnu la signification et la portée de ces coefficients sur lesquels lés considérations que nous avons exposées nous sembledt donnef des notions précises. Nous avons fait voir d’abord qu’on avait entre la vitesse à la paroi, la surface' et le périmètre" d’dne section une relation de la forme

*]Li=aV!+-bW+

et qu’eu supposant avec Dubuat"W=/'(l]), cette relation se changeait nécessairement en' 1

ÿ*V=«U+pU’+ ....

les coefficients » et b, « et p, étant simplement les premiers coefficients du développement en série de la fonction in-

conuue — i '== 4> (U) coefficients qu’ôn peut déterminer par » *

CBAP. l" ' — BU ItOUVEMÉNI .UNIFORME

expérience.. Ainsi présentée la forirçple ordinaire n’est susceptible que de deux objections.

32. Elle suppose que la vitesse dé tous les filets contigus à la paroi est la même, ce qui n’est vrai quo pour certaines sections particulières; elle suppose comme nous venons de le dire qlie la vitesse U— F (W) est indépendante de lu pentp i, du périmètre x et de la surface de la secliou ce qui est impossible, ainsi que nous Pavons vu.

Pour le\er ces deux objections et autoriser l’usage de cette formule, il faut, lorsque la section est telle que les vitosses à la paroi ont des différences' très-sensibles, comme dansda Dg. i 1 , . décomposer ces sections eu plusieurs parties auxquelles on appliquera la forniule, et de plus faire

varier convenablement les coefficients « et fl, suivant la

pente et ]a grandeur de la seetioü. . . . ’ .

Ce n’est pgs ca qu’on a fait: « parlant d’idées-émises par » Couiomb, dit M. de Proüy’(§ >38), M. Girard considë- » rant que Peau qui glisse sur la paroi mouillée, ou plus » exactement sur la couche d’eau adhérente à cette paroi, » est d’abortl retardée par la viscosité .qui tend à la rele- •» nir sui; celle couche, il conclut de ce fait une première » fbrpe retardatrice proportionnelle il la vitesse. Mais outre » la’ viscosité, dont l’effet est indépendant des aspérités sur <> la paroi qui l’end à la retenir sur cette couclie, il faut » encore avoir égard il ces aspérités, qui donnent lieu à » iine s'econde résistance ou force retardatrice, analogue à » celle du frottement du corps solide dont elle diffère néan- »- moins, en ce que, sa valeur ne varie pas avec la pression. » Cette résistance suit la raison composée de la force et du » nombre, peudant un temps donné, des impulsions que « reçoivent les aspérités, ce qui la rend proportionnelle au » carré de la vitesse. » ‘

r>*S BAUX «HWANTES. . fil

. Sur des notions qu’aucun principe de mécanique Oe justifie, ainsi que l’a- déjà fait remarquer M. Poncelet (JHreantque industrielle / p. 550) , on a admis que la formule «U^jSU* n’était pas simplement, 'une formule d’inlerpolalion, mais une loi-naturelle que.le terme en «U .représentait la résistance due à la cohésion des molécules entre elles et la terme (3lJa la résistance due à l’adhérence à la paroi solide ( Dauhumon , p . 128), (Poncelet, p. 550). Cependant M. de Prftnv, dans ses Recherches Mathématiques alait déjàihit voir que, quftnd même ont eàt été assez heureux pour connaître la loi exacte par rapport à la vitesse à la paroi, on n’ava'it plus pour la relation avec la vitesse moyenne, qu’une formule d’interpolation, susceptible d’é-i Ire représentée par C-f- «U ou par C-f- « U -f- (3U* bu par C-f- a U-f- p 1 i’-f-yl J*, et qu'il [allait recourir aux examen* physique* et aux épreuves pour connaître jusqu' (r quel degré de vitesse les trocs ternies pouvaient conduire (pt 60); mais on perdit de vue celte distinction, et entraîné, comme nous l’avons dit, par la masse des expériences calculées par Eytelwein, sur la formule de M. de Prony, on considéra les deux coefficients a et (3 comme deux quantités constantes

que pouvaient donner les expériences.

• • * * j it +

33. En effet, M. de Prony, pour déterminer ces coefficients s’était servi de trente et une expériences dans lesquelles : .

La vitesse n’avait pas dépassé. o",tf8 par seconde;

Le périmètre i6m,oo du développement;

La section. .. . '. . . . 39"', oo carrés.

Les différences entre les vitesses moyennes observées et les vitesses moyennes' calculées étaient comprises entre

82 CBAP. !*'• BU BOUVEMENT ,U»IFOBME

• 8 p. % en plus et 16 p. % en moins {Voir le tableau n° 3). Sur ces trente et une expériences, vingt-trois -avaient été faites dans <les canaux artificiels n’ayant pa» 9*, i carré (Je seelion et n’ayant pas r" de périmètre; huit seulement avaient été observées sur, des canaux naturels, et ericorte d’assez petite dimension, comme on vient de le voir. Or il faut remarquer que pour les canaux naturels la vitesse moyenne n’est pas une donnée d’expérience, mais un résultat de calcul; Si, de Prony ayant donc appliqué In formule de Oubliât, pour obtenir les vitesses moyennes, il arriva ( p . 81) : • Que les cinq premières dp ces;huil valeurs, » ainsi calculées , étaient hors de ligue par rapport aux

* vingt-trois conclues d’observation. » Alors M. de Prony substitua dans le calcul de la vitesse moyenne, sa formule empirique .et obtint des valeurs moins discordantes. Mais nous avons vu que cette formule empirique, qui fait croître

le rapport à contre Sbns était inadmissible. Ces huit expériences que Si. de Prony n’avait ajoutées aux vingt-trois de Oubliât, que parce quïon pourrait vsoupçonncr les conclusions tirées ■ du mouvement de l’eau dans dp petits canaux factices de n’ftrc pas applicables à de grands, canaux y ont donc nécessairement plutôt altéré que corrigé les résultats.

Eytelwein appliqua les mêmes formules à cinquante-une aujres expériences .recueillies dans divers ouvrages d’hydraulique et faites dans des limites beaucoup plus étendues :

La vitesse s’élevait jusqu’A .... i"4 1 Le périmètre mouillé jusqu’à. . . 5a4" *

La section jusqu’à a6o 1“ •»

Le rapport — représente la hauteur moyenne de

DES BAUX COUSANTES. 53 '

l’eau d<ans ces grandes sections, atteint la- limite do 5" dans • quelques-unes de ces expériences qui embrassent par conséquent la plupart des cas que "peut présenter la pratique.

Si les données de ces expériences et les -formules qui leur furent appliquées pour déterminer la vitesse moyenne avaient été exactes, Eytelwein aurait drt en déduire des * coefficients plus faibles que ceux de M. de Pmny, c’est oe . que démontrent les formules que nous avons données plus liaut; or c’est le contraire qui pst arrivé (*), du moins pour le coefficient (3 qui dans les grandes vitesses influe à peu près seul sur les résultats. Peul-on en faire une objection contre les .formules qui reposent sur une distribution rationnelle des vitesses? Nous croyons, au contraire, qu’il en résulte une preuve de plus que ces expériences ne méritent aucune espèce de cofinancent qu’il est impossible d'en tirer autre chose que do très-vagues indications..

34. Ün effet, lorsqu’au lieu de prendre un canal artificiel dé forme et de pente régulière on applique les fomu-* les du mouvement uniforme à un cours d’eau naturel de • grande section et de grande vitesse, voici ce qui arrive :

D’abord la formule ^t=ral)-f- (31? n’est plus applicable qu’entre deux sections ayant la même vitesse moyenne.

Partout ailleurs, il faut ajouter 4 cette formule un terme,qui peut en changer complètement le résultat, s'il s’agit

(*) Crltc anomal»' ne s'est point présentée dans Tes expériences sur les loyaux. M. de Prony avait trouvé 6=0,00034'. Eytrlwieo, qui a expérimenté sur de plus forts diamètres, a trouvé b=o,oao?é, et on a reconnu depuis qu’eflectivement ce coefficient étah préférable pî>ur les grands diamètres , ce qui est conforme’ à la tbéofie précédente de’ la distribution des vitesses. ■

54 CHAT. 1" ‘—'®H MOI VKMKPiT HMFOHMK

iltt Actions rapprochées, comme. nous 1& ferons voif dans Ig chapitre suivant. Or, lorsque les expériences calculées par Eylelwein ont été faites, la formule • du mouvement varie n’était pas encore employée jwr les hvdrauliciens. Première cause d’erreur.

Si les sections étaient un peu éloignées, seul cas où la formule du mouvement uniforme est applicable sans erreur trop grossière, alors on ne sait plus quelle est la section ft, quel est le périmètry /, qu’il faut introduire .dans le calcul. Eu prenant des moyennes entre les diverses .valeurs de ces quantités dans la partie du cours d’eau considérée, on n’a plus, comme dans le caual régulier, des. chiffres exacts,- c‘est une approximation plus ou moins grossière. Seconde cause d’errenr.

Ensuite,, comme nous venons de le dire tout à l’heure, la vitesse moyenne, la quantité la plus importante à introduire dans la formule, parce qu’elle y entre au carré, n’est pas un résultat immédiat d’observations, il faut la déduire de forrrtules inexactes et de données extrêmement dillieiles à obtenir, il y a donc là une cause d’incertitude énorme pour tout observateur consciencieux. Troisième cause d’erreur.

Enfin, la fqrmule du mouvement uniforme suppose que la section et le périmètre du cours d’eau sont constants ; lorsque celte circonstance n’existe pas, il en résulte que les divers filets du courant n’ayant pas des vitesses parallèles éprouvent de nouvelles forces retardatrices, dont nous parlerons plus tard. 11 y a alors des remous, des tourbillons qui absorbent une grande .partie de la force vive dont le cours d’eau est animé" De’ plus les inégalités transversales et longitudinales de la paroi augmeuteul nécessairement la résistance due à l'adhérence qui n’est plus

* . , . DBS BAUX COCUAKTES. 55

proportionnelle ni if, son périmètre donné par 1411 sondage transversal,. ni au oltfeuxin parcouru compté sur l’axe, «lu courant .De cet ensejnble de circonstances surgit- une qua- . thème cause d’erreur qui domine tellement toutes les «mires, que nous lui attribuons l’exagération des coefficients d*v duils des expériences calculées par Eytelwgin. lin appliquant la formule de M. de Prony de grandes sections, on aurait dû trouver dot^ vitesses trop faillies, parce que cette formule ne tient pas compte de la vilesse relative que prennent les molécules eu s’éloignant de la paroi, oirn au contraire trouvé des vitesses trop fortes v parce qu’en s’adressant h de grandes sections, on â’tssl adressé- en même temps il • des sections irrégulières et qu'ou n'a , pas tenu eomple des perles de force vive dues à cos irrégularités.

Nous regardons donc celte phrase, qu’-on trouve dans plusieurs traités d'hydraulique (.¥. Belauger, paye 6. M. Genieys , paye 13), comme une erreur et comme une injustice. 1 . • .

. «Selon M. Eytelwein, qui a suivi les traces de M. de » Prony, pour la tliéorie du mouvement de l’eau dans fes » canaux, mais qui a eu l’avantage de réunir un plus grand » nombre d’expériences »

Suivant nous, ce u’gsi pas marcher sur les traces de M. de Prony, qui' a fait faire de si grands [tas » la science de l’hydraulique, que d’entasser expériences suj- expériences, sans ordre et sans méthode, pour faire sortir, de ce mélange incohérent des chiffrés qifi n’ont d’autre mérite que d’ètre déférents.

Des expériences,- si -nombreuses qu’elles soient, loin d’ètre un avantage, sont un inconvénient; lorsqu’elles ne sont pas guidées par une saine théorie; elles., ne font -alors que donner l'apparence de- la- vérité à des erreurs graves.

chap. i" — nu MorirEmirr inifoimb *

Au reste, jl s’en faut encore beaucoup que les coefficients «TEy telvt ein représentent d’une manière satisfaisante toutes les expériences dont on les a déduits. Si on jettèdes yeux sur la seconde table de M. de Prony, où se trouve la comparaison entre lëâ vitesses calculées et les vitesses observées, on y trouvera de nombreuses anomalies qui s’élèvent. jusqu'il 33 p. °/\ et qu’on remarque que si M. de Prony avait mis en comparaison, non pas les’ vitesses qui se trouvent à peu près proportionnelles aux racines carrées des coefficients , mais ces coefficients eux-mêmes, ou le périmètre, mouillé, nu la pente, ces erreurs se seraient élfivées-à Ho p. •/. Ainsi, à part toute considération théorique, on voit que les résultats de ces expériences' ne devraient être acceptés rpi’aVec une extrême déliauce.

du. D après ce que nous venons de dire, il y a maintenant |Hiur les physiciens géomètres, qui voudraient faire faire un progrès réel à la science hydraulique, de nouvelles expériences à faire, dont nous concevons ainsi le programme* *

Rechercher dans une série d’expériences distinctes et spéciales la loi qui donne la vitesse à la paroi en fonction de la pente, du périmètre. et de la section; autrement, déterminer les coefficients a et b -de la formule t v

~i = a\\+bw:.

If *

nr

Reoowfidtre jusqu’à quelle limite de vitesse ces coefficients peuvent être considén'S comme constants; et à ce sujet nous (erens' observer que jusqu’à présent on n’a fuit entrer dans le calcul que dés vitesses aa-dessus de o", 1 1.