p =log. ( — ^ — p"(ai 2j....+an -n

Or le .dernier terme composé de quantités très-petites alternativement négatives et positives sera toujours nul si

la moyenne a été convenablement choisie. On a donc comme dans le cas du courant uniforme :

P désignant alors une profondeur moyenne du courant prise dans toute l’étendue considérée. Ce serait le volume d’eau contenu dans cette longueur du CanaJ divisé par la surface. On remarquera que la solution de tous ces problèmes repose sur cette seule donnée P ou U, qui exprimera hauteur du courant. Les coéllicieuts a et |3 de la formule

CHAP. III. DU ROUVEMliST VARIÉ

de RL de Prony, n’entrent pas dans notre formule du remous. Si b) courant considéré ne fournit pas directement oette jiautcur H, ce qui n’arrivera presque jamais, il faudra /aire sur cette donnée plusieurs liypothèses de manière à avoir les plus grands écarts de l’expérience, et cela suffira presque toujours dans la pratique.

08. Comme nous l’avons fait voir tout à l'heure, dans le cas des basses eaux, la formule du remous ne contient II (jue dans le plus petit de ses termes, une erreur sur cette donnée, pourvu qu’elle soit renfermée dans certaines limites, en donnera toujours une très-faible sur l’ordonnée totale du remous. Dons le cas des grandes eaux, la hauteur II inllue énormément sur le résultat, puisqu’il lui est proportionnel, mais alors il ne peut être question dans la pratique (pie d’obtenir une limite supérieure du remous. Ainsi, |>ar ^jiomple, l’Ingénieur obligé de se rendre compte de l’effet du remous sur la Loire en temps d’inondation dans une partie du cours du fleuve où -les crues ont 6“' de hauteur, fera mieux d’adopter ce chiffre, comme hauteur moyenne, que du le déduire d’observations, directes sur la vitesse moyenne et de calculs sur la formule Hi=«U-|-f3U* (formule qui dans le cas considéré ne serait sans doute pas applicable avec les valeurs ordinaires de a et de (3). Il mira ainsi une limite supérieure dont il pourra regarder les résultats comme exacts sans inconvénient.

Les modifications que de nouvelles expériences pourront apporter par la suite, à l’expression de ht résistance de l’eau, ne changeront donc rien à la formule du remous. <ar nous avons fait voir dans je premier chapitre de cés études, qu’on pourra toujours exprimer convenablement cette résistance par une simple correction. des coefficients a.

DANS UH CAJUt RKOULIBB.

et p, regardés jusqu’à présent comme constants. Or, ces coefficients, actuellement si incertains, n’entrant pas dans les formules que nous venons de donner, nous crôyons qu’elles peuvent satisfaire à tous les besoins de la pratique; bien entendu qu’il ne s’agit pas de cette précision mathématique que les abstractions , mathématiques peuvent seules donner, mais de cette exactitude qui est suffisante pour servir de guide, aux Ingénieurs, dans l’étude des questions relatives aux cours d’eau. ^ . \-V

Nous croyons môme devoir nous arrêter un instant peur examiner d’autres formules données pour le môme usage et qui pourraient conduire à des erreurs graves.

M. Daubuisson, dans un article des Annales (1&37, p. 78), reproduit à peu près dans son Traité d’Hydraulique à l’usage des Ingénieurs, a comparé les diverses formules données pour calculer la surface du remous, à des nivel-r lements faits sur le Weser, dans un endroit où l’eau de cette rivière se trouve relevée -par des barrages. 11 a conclu de celle comparaison : i" que la formule de M. Bélanger donnait des hauteurs d’eau notablement trop petites j a* que les indications de la formule de Funk , péchaient considérablement par excès, surtout vers l’extrémité du remous ; 3° que la courbe -indiquée par la formule, de M. de Sainl-Guilhem, Réparte peu de celle que présente en réalité la surface du remous. De cette comparaison, M. Daubuisson conclut que la courbe du remous, produite par un barrage, approche d’une hyperbole, dont l’équation diirère peu, au moins en ce qui intéresse la pratique, de celle qu’a donnée M. de Saint-Guilhem. Plus lard, M. de Saint-Guilhem, daqa les Annales (1838, p. 25$), après avoir indiqué la formule de M. Belanger, et la simplification introduite par M. Vaulhier, pair calculer la

118 CHAP. III. B8 MOUVEMENT VABlé

surface du remous, a de- nouveau donné sa formule, eu disant :

« Les calculs sont beaucoup plus rapides et paraissent » plus conformes à l’expérience par la formule empirique

* que je vais indiquer. »

Voyons donc quels sont les résultats de cette formule que la commission des Annales a accueillie avec tant de faveur, et comparons-les avec carte donnés par les formules établies précédemment. Pour rendre la comparaison plus complète, nous y joindrons ceux de la formule de Funk et ceux d’une formule de M. Poirée, donnée dans les Annales des> Ponts et Chaussées, par M. Chanoine (4839, p. 273), Mémoire dans lequel cet Ingénieur a comparé les résultats de cette formule avec ceux de l'expérience et a tiré de celle comparaison, la conclusion suivante qui termine son Mémoire.

« Il semble dès-lors que l’on peut conclure des exern- » pies précédents que, si l’exactitude mathématique de la » formule parabolique n’est pas rigoureuse, elle est néanr- » moins telle, que celte formule peut être- employée avec toute

* sécurité dans un grand nombre de cas, toutes les fois » surtout qu’il s’agira de calculer approximativement les » remous que pourront produire des barifeges en une ri- » vière dont le cours ne serait contrarié par aucun obstacle.»

Nous supposerons qu’un remous dp o",4o a été produit sur la Loire, dans un emplacement où sa pente est de o”,ao par kilomètre et nous chercherons ht courbe; du remous en ternes de crue, où la hauteur du cours d’eau est de 6m.

En mettant dans cas diverses formules' les mémos notations, elles deviennent : ^

Celle de Punk : Y (Y —

BAS8 (!* CANAL BKfil'I.rKR.

Celle (le M. de Sainl-Guilhem

Icelle de M. Ferrée : y— Y — «-f- IA.

Celle du mouvement varié qui convient à ce cas : Log. y=log.Y—

meltant dans ces' quatre formules : pour Y sa valeur om,4o; pour II, G" ; pour I’, 6",6o, et faisant tour-iV-toqr w=om,2o,

o",4o, om,6o on en déduira les valeurs correspondantes

de y à i, a, 3 kilomètres en amont du remous o",4o.

HAUTEUR DU REMOIS.

Watts aurons donc : ’

à ik, i

Suivant la formule de Funk

— la formule de M. de Saint-Guilhem.

— la formule dé M . Poirée. . . . : .

— la form. du mouvement permanent.

O ' OJ

Ou voit que les trois premières formules empiriques sont d’accord pour annoncer que la surface du remous s’est raccordée avec la surface naturelle de l’eau, à 3 kilomètres en amont du remous de om,4o.

• En comparant ce résultat ayec celui de la quatrième ligne, on verra combien cette conclusion est fausse. Suivant la formule du mouvement varié, ce remous est encore en ce point de om,3o. A 7 k. il serait encore de of,2*>;

1 20 l'.HAP. Mil, BC HKHTVümf.nt TMtlé -

certes ce ne sont pas là des hauteurs négligeables dans la pratique. Une erreur de cette importance peut occasionner les plus grands désastres. On en commettrait de bien plus considérables encore, si on supposait au remous une hauteur plfts forte que o”,4o.

Nous nous sommes arrêté à cet exemple, parce qu’il s’est présenté et qu’il a été calcul^ dans une question très-importante d’après la formule de M. de Saint-Guilhenj. t

70. La seule inspection de ces formules empiriques, dont l’usage est cependant recommandé par la Commission des Annales, suffit pour reconnaître qu’elles ne peuvent représenter la courbe du remous, lorsqu’on a un instant réfléchi sur ses propriétés. .

D’abord il est évident que dans l’équation de la courbe y et- Y, doivent entrer de la même manière, le point pris pour origine étant un point quelconque de la courbe, qui jouit des mômes propriétés que tous les autres.

Ces formules supposent que la tangente à la courbe est horizontale .près du point pris pour origine. Or cela n’est pas, car un point quelconque de la courbe peut être pris pour origine.

Aiusi , si nous supposions qn remous de o”,6o , nous trouverions un j>cu en amont le remous de o",4o. En amont de çe point les formules empiriques donneraient deux courbes; l’une ayant la tangente horizontale au remous. o*,6o , et l’autre au remous o"r40 , ce qui n’est pas possible.

Ces formules ne- contiennent pas la hauteur du courant naturel, de sorte que la courbe du remous se trouve' indépendante de cette dimension, dont la grande influence est cependant évidente à priori.