DR L’ACADÉMIE DES SCIENCES

' (Payr 150).

Hychodusawiooe. — Mémoire sur le mouvement rectiligne et uniforme dck caui en ayant égard aux différences de vitesse des filqfs ; par Mv Sonnet.

(Commissaires : MM. Poncelet, Piobert, Lamé, Morin).

La question du mouvement des eaux, dit l’auteur dans la lettre jointe à son Mémoire , peut être regardée comme résolue au. point de vue pratique (*) depuis les travaux de MM. de Profly, Eytehvein, Poncelet, Bélanger, de Saint-Guilhem, Vanthier «t Corioüs. Mais la théorie ordinaire ne considère que la vitesse moyenne, et M. Navicr est le seul géomètre qui ait tenta d’avoir égard aux différences de vitesse des filets. Malheureusement il' n’a donné qu’un petit nombre de résultats qui no »’ accordent pas tous avec l’observation. . •

Je me suis proposé de modifier les hypothèses et l’analysa de M. Navier, de manière it pouvoir, sans prétendre expliquer

(*) Nous croyons qu'au point de vue pratique la question' n'est pas plus résolue qu'au poirit de vue théorique. Nous avons signalé dans cet ouvrage de nombreuses lacunes qu'il serait essentiel de combler.

EXTRAITS no TOME 20 DES COÎtrTBS-HENDUS , HTC. 359

le phénomène molécnlalrc de la résistance , le présenter du

moins d’une manière satisfaisante. J'indiquerai en peu de mots les principaux résultats auxquels je suis parvenu.

La résistance des parois serait représentée par line fonction impaire de la vitesse (*), l’expression ordinaire uv + 6t>*.ne serait qu’une formule d’interpolation.

Dans les courants à section circulaire, la vitesse des différentes couches irait en décroissant dé l’axe à la paroi , comme les ordonnées d’une parabole. La vitesse moyenne serait , comme l’a trouvé Dubuat , une moyenne arithmétique entre la vitesse centrale et la vitesse près de la paroi. Il en résulte que

le rapport entre la vitesse moyenne et la vitesse la. plus

grande , serait compris entre — et i. Bn appelant W U vitesse près de la paroi , on .aurait pour déterminer W et D, les deux équations :

aW+tW^yRt et li=W+

dans lesquelles t est la pente ou la charge , II le poids <ju mètre cube du fluide, et a, b, — des constantes. Ces équations ap-

pliquées eux expérientes de Couplet sur les conduites de Versailles en prenant o — 0,0000194, 6=0,00037 et -i-=3, 2,

donnent des erreurs proportionnelles inférieures à ; tandis que , par les formules ordinaires , elles s’élèvent à pins de On représente les expériences de Bossut et de Dubuat, en

(*) Nous ignorons par quelles considérations M. Sonnet & pu conclure que la résistance des parois doit être représentée par une fonction impaire. de la vitesse, tl nous semble que l’cspértcncc seule |)cut décider cette question.

260 EXTKAITS DC TOME 20 UES COMPTES— ftEHOCS

prenant : arz 0,000024 et b — 0,000286. Ces coefficients ont été obtenus par la méthode des moindres carrés. Si la section du courant ‘est rectangulaire , les résultats sont moins simples ; mais je fais 'voir qu’on peut représenter approximativement la loi générale des vitesses par une équation de la forme :

V /«’ (jy‘

dont je fais l'application aux quatre séries d'expériences de M. Defouiainc sur ttne section du Rhin. Cette forme indique que la loi des vitesses soit dans une même verticale , soit à une même profondeur peut être représentée par une parabole , et que les molécules animées des mêmes vitesses sont sur des ellipses concentriques et semblables. On prouve que la vitesse moyenne s’obtient eri prenant deux fois la vitesse au milieu de la ligne d’eau , ajoutant la vitesse de fond près des rives et di-

visant la somme par

compris entre

et i.

Ces valeurs moyennes de — s’éloignent peu de 0,8, adopté par i\l. de Prony.

J’ai recherché également la valeur du. coefficient par lequel il faut multiplier la force vive due à la vitesse moyenne pour obtenir la force vive totale , j’ai trouvé que ses limites extrêmes

étaient i et Son expression dans le cas d'une section circu-

, / V Y laite serait !.+ —( — 1 1

K n fin dans le cas où le courant a une section quelconque , j'indique comment, ayant observé la loi dés vitesses sur la ligne d’eau, on pourrait crj déduire toutes les circonstances du mouvement.

DES.SBASCKS UE I.'aCAO^MIE UES SCIEMCBS. 361

{Paye 786). . ■ "

Hi dhallkjib. — Rapport sur un Mémoire de M. Sonnet.

(Commissaires : MM. Poncelet ,'Piobert, Morin, Lamé rapporteur).

L’Académie nous a chargés , MM. Poncelet , Piobert , Morin et moi , de lui faire un rapport sur un Mémoire présenté par M. Soqnet, et relatif au mouvement rectiligne' et uniforme des eaux, en ayant égard aux différences de vitesse des filets. Un grand nombre d’ingénieurs se sont occupés du mouvement des eanx , soit dans les tuyaux de conduite , soit dans les canaux et les rivières. Dès 1804 , de Prony, profitant des essais et des expériences de Colomb, de Couplet, de Bossut et de Dubuat, résolut empiriquement le problème pour lè cas du mouvement uniforme et rectiligne. En 1816, les formules de Prony fiirent modifiées par Eytehvein , qui détermina les constantes avec plus de précision, en s’appuyant sur un plus grand nombre

d’expériences (*).

La question du mouvement permanent fut successivement traitée en 1828 par l'un de nous , M. Poncelet , et par M. Bélanger, qui étendit sa solution au cas des remous; en 1854 , par M. de Saint-Guilhem ; enfin en 4836 , par M. Vautbieret par M. Coriolis. Par suite de ces recherches, les Ingénieurs possèdent ajourd’hui des formules empiriques (**), suffisamment exactes pour la plupart des cas qui peuvent s’offrir dans les applications.

Mais, sous le point de vue théorique-, la question des eaux cour vantes ést loin d’être aussi avancée, car les formules en 'usage

(*) Selon nous les constantes déterminées par Kytelweia ne soiil pas plus exactes que celles de M. de Prony. (Voir le N" 34.)- *

(**) Ces formules sont complètement fausses et leur usage doit être banni de la pratique. (Voir p. 117 et suivantes.;

262 EXTRAITS DU. TOME 20 DES ÇONPTBS-RBBDUS

i/ont égard qu’à la vitesse moyenne et laissent complètement inconnue la loi suivant laquelle varie la vitesse d'un filet à un autre , même dans le cas simple du mouvement permanent rectiligne. Dans un Mémoire inséré au. tome VI des Mémoires de l’Académie , M. Navier a traité la question générale du mouvement des fluides dits incompressibles, en ayant égard aux forces d’adhcrence. Mais ce savant géomètre n’a déduit du calcul qu’un très-petit nombre de résultats applicables ; tels que la vitesse moyenne pour un tuyau de ^rès-petile section , et le rapport numérique ,de la vitesse moyenne à la plus grande vitesse .pour un canal ouvert à section rectangulaire, rapport qui diÇTère notablement de celui donné par l’expérience.

M. Sonnet dans son Mémoire, a modifié l’hypolbèse adoptée, par M. Navier (*), et , se bornant au cas du mouvement permanent rectiligne , a obtenu plusieurs résultats analytiques trèssimples faciles â vérifier par l’expérience. M. Navrer avait supposé que l’action mutuelle de deux molécules, soit toutes les deux fluides, soit l’une fluide et l’autre sur la paroi, augmente ou diminue proportionnellement à la vitesse relative de ces molécules. M. Sonnet élargit le principe et prend, pour représenter l’action mutuelle, une fonction de la vitesse relative développable suivant les puissances entières de sa variable, et.dont il conserve , suivant l’application, tantôt un seul, tantôt deux termes.

Les équations aux différences partielles obtenues par M. Navicr sont de deux sortes : les unes du second ordre, appartiennent aux filets intérieurs et se réduisent à une seule pour le mouvement permanent, rectiligne, les autres du premier ordre appartiennent aux filets de la surface libre du liquide ,

•oir à ceux qui sont voisins des parois. M. Sonnet déduit de son %

(*) Voir les N** 10, 11, 13 relativement aux diverses hypothèses admises pour représenter les résistances au mouvement des fluides.

DES SÉANCES UK l'aCADÉMIR 'DES SCIENCES. 265

hypothèse les mêmes équations pour les filets intérieurs, mais pour la surface des équations différentes et qui ne sont plus linéaires. L’auteur établit ces équations à l’aide de deux méthodes distinctes , de celle qu'a suivie M. Navier et d’une méthode plus élémentaire employée par M. Ponoélet, l'une, et l'autre conduisent aux mêmes résultats.

Lfe premier cas, traité par M. Sonnet est celui d’un courant rectiligne à section circulaire en admettant que les filets également éloignés du filet central soient animés de la même vitesse. L'auteur trouve , par l’intégration , que la vitesse va en diminuant depuis l’axe du tuyau jusqu’à la paroi, en suivant la même loi que les ordonnées d'une parabole ayant pour axe celui du tuyau , et dont la convexité serait tournée dans le sens du courant, la vitesse moyenne qui est à trcs-peu près égale à celle du filet distant de l’axe des -jj- du rayon , est exactement une moyenne arithmétique entre la vitesse du filet central et la vitesse pfès de la paroi. »

En adoptant • deux termes pour la fonction qui représente l’adhérence, ot se servant des équations intégrales données par son analyse , M. Sonnet obtient pour la vitesse moyenne une formule contenant trois coefficients Constants, dont les valeurs doivent être spécialement déterminées pour chaque série d’expériences en faisant nsage de la méthode des moindres carrés. Appliquée aux expériences de Couplet sur les conduites de Versailles,- cette formule donne des nombres plus exacts que ceux déduits par Eytehvein. L’auteur applique encore sa formule à quarante-quatre expériences de fiossut et de Duhnat, et la comparaison des diverses valeurs obtenues pour les coefficients le conduit a de» conséquences vérifiées par les faits.

Dans son Mémoire sur l’écoulement de l’eau par des orifices , publié en 1839, M. Poncelet a démontré que la somme des forces vives d’une veine ftuide quelconque surpasse la force

264 KXTmtm du tome 20 bits comptes-seisoi s

vive doe à la vitesse moyenne , c’eei-à-dire que eette dernière doit être multipliée par un coefficient plus grand que l’unité, pour donner ta première somme (*); M. Sonnet donne l’expression analytique de ce coefficient dans le cas d'nnc conduite à section circulaire , on voit qne sa valeur surpasse d'autant plus l’unité que la vitesse du filet central est plus grande par rapport à la vitesse moyenne. ’ * > ■ •

La seconde application traitée par il. Sonnet, concerne un canal découvert et rectiligne , dont la section est rectangulaire. , ,

L'auteur suppose d'abord que les parois latérales n’apportent aucune résistance au mouvement du fluide. Dans ce cas hypothétique la vitesse ne dépend que de la profondeur au-dessous de la surface libre et diminue de cette surface au fond , comme les ordonnées d’une parabole ayant pour axfe le filet supérieur, son plan vertical , et sa convexité tournés dans le sens du courant. La vitesse moyenne est une moyenne arithmétique entre .trois quantités dont deux égales à la vitesse à la surface et la troisième à la vitesse de fond.

M. Sonnet aborde ensuite, le cas où les parois latérales exercent sur le fluide une résistance analogue à celle du fond. Pour simplifier les équations différentielles qui appartiennent aux filets voUips de ces parois, l'auteur observant que la vitesse toujours très-petite en ce lieu y varie entre les limites peu éloignées, substitue à la fonction qui exprime la résistance un simple binôme du premier degré , ce qui revient à remplacer approximativement un arc de faible courbure par une ligne droite. Les deux coefficients du binôme substitué peuvent être déterminés , soit par la méthode des moindres carrés qui rend ici

(*) Mais ce coefficient étant variable , il arrive qu’en appliquant le même

rof (Vicient h deux sections voisines, on exagère la différence des forces vives qni au contraire devrait être diminuée. (Voir les N** 30 et suivants.)

DES SIUSOf.S DR L'iUlÜlI DES SC1KSCBS. 265

égales entre elles. les plus grandes erreurs absolues en plus et en moins; soit mieux encore en faisant usage de la méthode enseignée par M. Poncelet, pour, obtenir l'égalité des plus grandes erreurs proportionnelles.

Après avoir ainsi modifié les équations différentielles, M. Sonet procède à leur intégration complète devenue possible. La

vitesse du fluide dans le canal à section rectangulaire est alors exprimée par une fonction composée d’une partie algébrique et d’une partie transcendante. D’après cette expression les vitesses sur une même verticale décroissent de la surface au fond comme les ordonnées d’une courbe qui diffère d'autant plus d’une parabole que la verticale considérée est plus voisine des parois latérales. -Les vitesses des filets situés à une même profondeur sont représentées par les ordonnées d'une charnelle qui tourne sa copvexïlé dans le sens du courant. €es résultats sont en général confirmés par l’expérience.

Pour rendre plus commode- l’usage de -l’équation que donne la vitesse , l’auteur ne conserve que les deux premiers termes du développement de sa partie transcendante. La vitesse est alors exprimée par trois termes , l’un constant et les deux autres respectivement proportionnels aux carrés des deux coor-, ( données. Ainsi simplifiée, la formule représente très-bien quatre - * „

séries d’expériences faites par M. Défontaine , sur le Rhin, dans un lieu oit la section du fleuve s’éloigne peu d’un rectangle de 1“,50 de profondeur et d’environ 30 mètres de largeur. D’après cette formule approximative, la vitesse moyenne est égale %-

à la moyenne arithmétique entre la vitesse du filet principal , la vitesse de fond au milieu du courant et la vitesse à la surface près de la paroi. Les filets d’égale vitesse forment des cylindres à base elliptique semblables entre eux, et ayant pour axe de similitude le filet principal.

Le cylindre qui se meut avec la vitesse moyenne contient deux filets symétriquement placés qui eonservent les mêmes