UES BAUX COURANTES

a cru pouvoir substituer la vitesse moyenne à la vitesse du fond et écrire :

ûi=^(«U4-0ü*)' Ü vitesse moyenne.

« Il est cependant difficile, dit M. de Prony ( Recherches » phytico-iMthèmatiqucs , paye 79) de se persuader que ces » divers éléments , n’aient aucune influence sur les rela- » fions entre la vitesse du fond, la vitesse moyenne et la « vitesse à la surface. Mais il fallait pourvoir aux besoins *> de la pratique par. des règles Suffisamment exactes polir » les cas qu’elle a à traiter, et les recherches des lois géné- » raies et rigoureuses auxquelles les phénomènes sont as- » sujettis offrent encore un problème où les géomètres » et les physiciens trouveront à s’exercer sur dés sujets » dignes de leur attention et de leur intérêt. »

Ainsi ^illustre géomètre que nous venons de citer en substituant à l’équation :

Qt==X<j>(W) .. W vitesse du fond.

ût=X4>(ü) . U vitesse moyenne.

savait fort bien qu’il s’écartait de la vérité, pour satisfaire aux besoins de la pratique. Mais il nous semble qu’il aurait pu tirer des équations mêrfte qu’il avait posées la confirmation de ses conjecturés et des conséquences importantes, entre autres : la relation qui existe entre la vitesse à la paroi'et la vitesse moyenne. C’est ce que nous allons

essayer de faire maintenant.

a. Si au lieu de faire la somme des n équations d’équilibre (A) nous ne faisons la somme que des n— 1 premières, noOs aurons: * .

8 CMAP. l" — DU MOUVEMENT UNIFORME

Si nous rapprochons celte équation de l’équation (1) (N° 3) que nous avons obtenue en faisant la somme de toutes les équations (A), nous aurons, en remarquant que (H — A z) ne diffère pas sensiblement de H, l’équation suivante :

rw+m^w-v')

qu’on pourrait poser immédiatement en disant ; que la force /■(«') + F(r’), qui retient la couche contiguë à la paroi, est égale aux forces f (v" — qui l’entraînent, puisque le mouvement est uniforme; et en remarquant que le poids t’Az est négligeable par rapport aux deux autres forces.

Or il faut remarquer que v ' est une vitesse finie qui peutêtre de plusieurs mètres, tandis que (v"— »') est unjnfmiment petit, puisque c’eSl la différence de vitesse de deux couches consécutives. De plus nous avons déjà fait remarquer que la fonction f croissait avec sa variable. H est donc impossible que le terme f(v’) existe dans l’équatioii précédente. Ou- «' éUutl infiniment grand par rapport h v" — v', on ne peut avoir :

et à fortiori ' f{v " — v')=/'(i;')-f-F(»').

Or ce terme provient de l’hypothèse d’une couche d’eau adhérente à la paroi dont la vitesse serait nulle et sur laquelle glisserait la secondé couche avec une vitesse finie à / . Celte hypothèse, qui n’est d’ailleurs nullement nécessaire à l’explication du phénomène, est donc inadmissible (*). Si une paroi sur laquelle de l’eau a coulé reste mouillée, cela

(*) Ou du moins si cotte couche adhérente existe, elle a perdu , par rapport à la couche supérieure sa puissance de cohésion , et le calcul ne doit pas en tenir compte.

« DES BAt'X COIHUNTES.

Imnt à ce que nécessairement l’éaoulement s’y est terminé dans un moment ou l'épaisseur H jétait sensiblement nulle, car la nature des choses s’oppose à ce qu’un écoulement d’une hauteur finie puisse être interrompu brusquement. Or si nous avons posé sans y, introduire de terme constant l’équation : '

.v-* (**)— aW+AW*+cW,;....

c’est uniquement pour la mettre de suite d’accord avec l’expérience qui prouve que quand W est très-petit, Ht est sensiblement nul. Mais cela n’est pas rigoureusement vrai , et il y a nécessairement un terme constant dans le développement de la fonction, puisque un plan incliné reste, mouillé après l’écoulement. Nous insistori* sur ce sujet, noftseulement parce qu’il nqus parait important de débarrasser la question d’une hypothèse inutile quoique généralement admise (*), mais parce qu’on en tirait cette autre conséquence qui est loin d’être démontrée; c’est que l’eau éprouve la même résistance de la part d’une paroi quelconque, car quelle que soit la paroi, elle rie glisse jamais que sur de l’eaû H-

. Nous avons admis, il est vrai, dans ce raisonnement que la vitesse au fond v' était finie, ce qui est conforme à oc

(*) C'est sur un tel revêtement on enduit aqueux, fixé contre les (tarots du canal , que coule la masse fluide qu'il conduit. ( D’Jubmston ,

(**) Dubuat n’a trouvé aucune variation dans le frottement, pour les différente cas où t enu coulait sur du verre, du plomb, de l' étain , du fer, du boit et differentes espèces de terres.

Ce dernier fait (fourrait toutefois s'expliquer par l'observation' que dans tons les cas le frottement n’a lieu que sur la couebe aqueuse qui revêt la jaroi du lit. (Idem, p. 126.) ,

10 CHAP. I*1 DD HOUVMST UtHÏOiaB

que nous voyons tous les jours. Car si nous ne voyons jms la vitesse du fond des cotirants d’eau, nous voyons fort bien la vitfesse sur les rives, vitesse qui éprouve de la part de la paroi la même résistance.

6. Or de ces deux faits, que la vitesse du filet à la paroi est une vitesse finie, que la vitesse relative du filet supérieur est un infiniment petit, découle une conséquence très - importante qui distingue la résistance qu’éprouve le mouvement du liquide sur les solides «pie nous appelons adhérence, de la résistance qu’il éprouve en glissant sur luiméme que nous appelons cohésion. Nous avons en effet

entre ces deux résistances les équations :

Hi est un produit fini, e' une vitesse finie, ( v ” — v') une quantité extrêmement petite. Ponc pour que ces . équations puissent subsister, il faut que la fonction <I> soit d’une nature lôut-A-fail différente de celle de la fonction f.

Il suffit d’une très-petite vitesse du liquide glissant sur lui-même, pour faire naître une résistance, égale à celle qui est engendrée par une vitesse finie du liquide glissant sur la paroi solide et égale à la force accélératrice imprimée par la pesanteur à toute la masse supérieure. Ainsi la cohésion des molécules entre elles est infiniment plus grande que leur adhérence aux solides et que la force de la pesanteur. Si donc on développait la fonction f (v" — v '), elle aurait des coefficients infiniment grands, tandis que lq fonction 'Hv') n’en ,T <Illc de finis. Nous allons essayer d’éclaircir cette difficulté, qui tient à l’hypothèse admise par M. de Prony, sur la cause de la résistance due h la cohésion. ‘ • «

DBS HUI COUKAKTBS.

7. Ce géomètre a supposé, comme ou vient rte le voir, que les deux résistances qui sont en jeu dans le phénomène, croissaient avec la vitesse relative. Pour la résistance à la paroi, point de difficulté; la vitesse le long de cette paroi étant finie, on conçoit fort bien, qu’une fonction de celte vitesse fasse équilibre au poids du liquidg ; mais pour la cohésion cette supposition est inadmissible, ou du moins a besoin d’èlre rectifiée : en effet la vitesse relative de deux couches contiguës est un infiniment petit, et une fonction d’infiniment petit ne peut égaler une quantité finie. .

Remarquons en effet, que si nous faisons la somme des équations d’équilibre (A) non plus jusqu’il H, mais jusqu'il une profondeur quelconque z, à laquelle correspond la vitesse », nous avons :

. iz=f( Av) ,

car on a évidemment : •

Si nous développons la fonction f ( — Au) suivant les puissances ascendantes de sa variable, nous aùrons :

. iz=— (KA»+K’Av,+K"Au* )

Or A» étant très-petit, il est permis de négliger les puissances supérieures à la première et d’écrire :

iz= — KaV.

Ainsi M. de Prony, sans nuire en rien à la généralité de l’hypothèse qu’il avait posée; aurait pu simplifier ses équa- i

fions, en substituant simplement — K.AV à la fonction indéterminée /"(-*— Au). . • » ■

dbap.

MllvniKT UMFUKMF.

8. Mois l’équation précédente , dont un seul membre est affecté^ d’un facteur infiniment petit, tandis que l’autre est fini, reproduit, par son défaut d'homogénéité, la dilli— rulté que nous avons signalée et qui* nous allons encore faire ressortir par des chiffres, pour qu’elle soit parfaitement saisie./ . ;

Donnons au canal rectangulaire indéfiniment large, que nous avons considéré tout à l’heure, une pente de 0“001 ; drvisons-le on couches parallèles au fond du lit de l’épaisseur de un centimètre. Considérons d’abord la première couche entre la surface et le plan N° 1 . Un mètre curré de cette couche est entraîné par la pesanteur aveo une intensité proportionnelle à son poids 10k multiplié |«ir le sinus de l’angle d’inclinaison 0,001, ou 10 grammes; puisque le mouvement est uniforme, il faut en conclure que la résistance qu’oppose le plan N° 1 au glissement de la couche supérieure est de 10 grammes par mètre carré. Si nous considérons maintenant un mètre carré de la couche inférieure nous trouverons qu’il est entraîné :

' 1° Par le frottement delà couche supérieure

avec une intensité égale à. <■ 10

2° Par son poids avec une intensité égale

aussi à. \ .10

Nous en conclurons que la résistance est sur le plan N° 2 de. . . , . , . . . . . 20 On conclurait de même quelle est sur le plan N° 3 de 30

Parce qq’un mètre carré de colle troisième couche est entraîné avec une intensité dé 20 grammes par l'effet du frottement de la couche supérieure, et de 10 grammes par. l’effet de ■son poids.

DBS -EAUX COURANTES.

Ainsi, h mesure que l’on considère des plans de glissement plus profends, en a des résistances qui croissent comme? la profondeur à laquelle se trouvent ces plans, ür maintenant quelle est la cause de cette augmentation de résistance? Dans tous ces glissements, c’est toujours de l!eau glissant sur de l’eau , c’est toujours la même nature de surface; la pression varie il est vrai, mais nous avons déjà dit que cette circonstance n’influait pas sur la résistance,- il est d'ailleurs- facile de s’assurer que quand même la pression aurait une influence dans le phénomène, il ne faudrait pas moins chercher ailleurs la cause de la différence de résistance (pie nous signalons ici. La effet, si nous comparions les résultats que nous venons de trouver à ceux que donnerait un canal dont la pente, serait douille (0",002 au lieu de 0“,001), nous trouverions sur tous les plans situés à la même profondeur, et par conséquent soumis à la même pression, des résistances très-différentes, puisqu ejles seraient » précisément le double dans le canal qui aurait la pente la plus forte. On est donc amené à chercher uniquement dans la vitesse relative des couches la cause de la différence des résistances qu’elles éprouvent; puisqu'on -ne peut la trouver, ni dans la nature des surfaces de glissement, ni dans la différence de pression.

9. A partir d’une normale O F (Gg. 1), portons sur le plan de division de chaque couche élémentaire uné longueur horizontale proportionnelle à la vitesse de cette couche. Les différences de longueur de ces horizontales seront ce que nous avons appelé A v. Supposons qu’on détermine pour ce système de division, de 0m,01 en ü“,ül , la relation qui existe entre les différente» valeurs de A a et les profondeurs et qu’on trouve, comme conduit h le Sure

14 CHAP. l" Ml «UH VBMBPtT UMFGBMK

croire l'hypothèse de M. de Prony, que ces différences sont proportionnelles aux profondeurs. Ou aura alors l’équation :

. » .. tx=*= — KAv.

la valeyr de K étant donnée par l’expérience même. Ainsi pour une hauteur H=l" par exemple on aura une certaine différence : At=0,T)l et on en déduira, :

il! n, ooixi

Av ' 0,01

Mais il est évident, qu’au lieu de ce système de 0v,01 , on peut en prendre un antre moitié plus petit, et par ce système, on trouvera h très-peu près le Au , correspondant à

la profondeur 1“, égal fl la moitié du A» précédent, et on

aura

Kt=-^=°’e0t><i^)30.

^ Av 0,005 ’

Ainsi, suivant le système de division adopté, la valeur de K augmentera en raison inverse de la grandeur des divisions et deviendra infinie pour l’épaisseur réelle et iufiniinent petite des couches du fluide. Le coefficient K est

donc nécessairement de la forme , e étant une con-

stante, et la résistance fournie par la cohésion se trouve alors représentée non plus par eAc , epmme le supposait

M. de Prony, mais par £ — . C’est une conséquence à la-

• • Al» • •

quelle on pourrait d’ailleurs arriver plus directement que nous ne l’avons fait, en suivant pas à pas h» calculs de M. de Prony. Dès qu’on admet que -la résistance est pro-

DBS BAUX OOUBANTEt.

pdftionnelle à 'la vitesse infiniment petite des molécules les unes par rapport aux autfes, il faut pour exprimer celte résistance prendre une mesure de cette vitesse. Or il est bien claie que toute unité finie, comme le mètre, ne peut servir à cet usage et qu’il faut recourir à une unité de longueur de même ordre que cette vitesse. Une fraction de millimètre, si petite' qu’elle fitt, ne pourrait exprimer l’espace parcouru par la molécule de la couolie supérieure par rapport à celle de la couche inférieure. Pour exprimer cet espace par un nombre fini, il faut prendre pour unité la distance de ces deux couches. Alors on trouvera que la molécule supérieure a parcouru une fraction linie de cette distance, ou môme un certain nombre de ces distances. Si les molécules A et B (fig. 2) sont sur la même verticale, et qu’au bout de chaque seconde de temps, la molécule A ait

occupé les positions équidistantes a, a' * a" la vitesse

Av — X a sera dans un rapport fini avec la distance Ai, et ce rapport exprimera la tangente trigonométrique de l’inclinaison de la tangente à la courbe des vitesses (fig. 1). Si nous descendons sur cette courbe A une profondeur

telle que — 1 , nous en conclurons que sur cetlo cou-

che B/>, les molécules parcourent précisément une distance moléculaire par chaque seconde, et que le travail consommé par eetle vitesse, ou la résistance à la cohésion est la constante i. Faisons remarquer que celte expression t de la . dz

résistance de U» cohésion des fluides, ofTre l’analogie la plus complète avec celle qu’on emploie en mécanique pour mesurer celle, des solides. On sait en effet, que lorsqu'on écarte deux molécules solides, l’énergie de la cohésion qui tend i» les rapprocher, n’est pas 'mesurée simplement par

CHAP. I". Bll MOliVKMEIIT -UNIFORME

leur dislance, mais par le rapport -de leur distance actuOfie à leur distance primitive. * ■ *

Lorsqu’on substitue dans l’expression de la résistance à

la cohésion

r(ÿj J m,

il n’est plus permis de ne

conserver dans le développement de la fonction que la première puissance de la variable; mais lorsqu’on examine de plus près les conditions dans lesquelles le phénomène se- présente ordinairement dans la pratique, on reconnaît ipie si ee n’est pas là la loi naturelle qui exprime d’une manière rigoureusement exacte l’énergie de celte résistance, c’est du moins une valeur suffisamment approchée pour qu’on n’ait pas à craindre d’erreur appréciable.

En effet, imaginons au-dessus du canal de largeur indéfinie et de la hauteur H un canal symétrique placé audessus (fig. 3) ayant une paroi parallèle à la première. Nous formerons ainsi une conduite dans laquelle la courbe des vitesses se composera de deux branches symétriques perpendiculaires à l’axe du canal où la tangente est commune. En effet on peut imaginer que la vitesse des deux filets contigus à l’axe est la même, que par conséquent jls n’ont aucune action l’un sur l’autre, de sorte que les deux parties se comportent comme si elles étaient isolées.

Il suit de là que dans le développement général

il ne peut exister de terme à une puissance paire, .puisque la' cmirbe étant symétrique,^ doit changer de signe avec z,

•Mp t f W *

sans changer de valeur. De plus dans tout courant on nu

BBS 8m C00B4STBS.. i

jamais à considérer que la portion de la courbe dés vitesses voisine de l’origine, .dans laquelle la quantité ^ est toujours assez fajble, on peut donc négliger sa troisième puissance par rapport à la première et écrire :

dv-

. dz- ’ ■ *

On arriverait à une conclusion semblable en résolvant l’équation raPPort ^ jz- On aurait :

^=— (Air+A't»z»+A’,tV.8..)

• ■ 1 î • • dz

et on démontrerait de même (pie le terme en t*::* ne peut exister et que le terme en t *z’ est toujours négligeable, attendu que i, sinus de l'inclinaison, est non-seulement toujours plus petit que un, mais toujours très-petit dans les circonstances ordinaires • du mouvement des eaux courantes. .

... Ns *

Les deux équations . ■

Hi-=oW-f-6W* '

dont l’une donne la vitesse à la paroi en fonction de l’adhérence, et l’autre la vitesse d’un filet quelconque en fonction de la cohésion, peuvent servir à résoudre tous les problèmes du mouvement uniforme des eaux courantes, comme ou le verra 'tout à l’heure. Mais nous croyons devoit insister encore sur les considérations physiques dont nous, avons