INTRODUCTION

t* O'est en partie dans k vue de perfisctioimer les problèmesde Géométrie^ (jae les uiathéniaticiensont en* richi l'Analyse des calculs qai composent aqjourd'hui les sciences exactes. Pour pouvoir âioncer analy tiquement les raj^rts qui existent entre les angles et les côtés d'une figure géométrique, on a inventé la Trigonométrie. Pour énoncer algébriquement les positions respectives d'un point particulier ^ de tous ceux d'une ligne, d'une surface; un Français, l'immortet Descartes^ a jeté les fondemens de l'application de FAlgâire à la Géométrie. Dans la vue d'exprimer le contact des lieux géométriques, de rechercher les propriétés d'une courbe en étudiaitf celles de sa tangente, Leibnitz a inventé le Calcul différentiel. Pour revenir des propriétés des tangentes aux courbes , à celles des courba elles-mêmes |

le GJctti mfinitésimals^est^nricld duC^culint^ral. Pour isoler la multiplicité des solutions d'un problème i La^^ange a &it paraître la théorie générale des Equa-* lions. Pour traduire en Géométrieltô résultats de l'Analyse^ M Monge s'est immortalisé en inventant la Géométrie descriptive ; el c'est encore pour mettre la der* nière main à cette grande oeuvre des Mathématiques , que le même auteur nous a donné son Analyse appli* quée.

2. Qu'on ne conteste donc plus aux mathématiciens le désir d'être utiles, puisque leurs principales décour vertes ont été fiâtes dans l'intention d'étendre les ap-* pKcations des sdeices exactes. M'estrce pas pour enn ployer le Calcul infinitésimal à la démonstration des mouvemens célestes, que Ne^Tvton dispute k Leibnits rhcmneur de l'avoir inventé? N'est-ce pas dans les mêmes vues, que MM. Laplace, Legendre, Poisson ^ et tant d'autres, complètent cette riche partie del'Ana* lyse? N'est-ce pas à l'idée de perfectionner l'Architec* ture, la Mécanique pratique, la Peinture et plusieurs autres arts, que nous devons en grandepartie la découverte de la Géométrie descriptive?

3. Dans l'enseignement des sciences abstraites, la mi^lleure méthode à prendre ne serait-elle pas de suivre lamarche del'iavention? Aprèsavoirdémontré lesthéo* rèmes, les rapports principaux qui existent entre les nombres, entre les lignes, les surfiices, les solides de la science de l'étendue, on devrait s'étendre sur Fapplication des r^es, des principes démontrés à la solution des problèmes, s'attacher à fidbre remarquer l'insuffi-* fiance de çeavCoiuiaissauces premières, la nécessité d'èa

créer d'autres; F Algèln^e, soit pour généraliser l'Aritlimétique, soit pour écrire les relations dictées par la Géométrie y viendrait ainsi à sa place. Pour exprimer la coexistence des angles et des côtés des figures rectili-* gnea , on ferait sentir l'utilité d'inventer une iTrigono^ métrie qui fît entrer dans l'Analyse des longueurs ou àe$ rapports de longueur au lieu d'angles , afin de ne point détruire l'homogénéité du calcul. Lorsqu'en pour* suivant l'étude de l'application de l'Algèbre simple à la CTeométrie^ on serait arrivé à considérer des lieux géo« métriques, aies chercher lorsqu'ils sont inconnus, on imaginerait alors l'appUcation del'Analyseà laGéomé^ trie de Descartes, qui basée sur les découvertes préoé* dentés , donnerait un plus vaste champ aux idées mathématiques , à la solution complète des problèmes de Géométrie. Enfin, après avoir considéré les sections coniques, les surfiices du second ordre, la discussion des lieux géométriques de degrés supérieurs exigerait un moyen général d'étudier les affections d'une courbe en un de ses pmnts particuliers , par celle de toute H-» gne osculatrice en ce point, plus simple à considérer que la proposée; c'est ainsi que l'étude du Calcul infinitésimal viendrait tout naturellement terminer cella de l'Analyse mathématique en général.

On ne ferait pliis aux sciences abstraites le reproche quelquefois fondé de considérer des choses toujours nouvelles, sans &ire apercevoir ni le but vers lequel elles conduisent, ni la liaison naturelle de leurs parties.

Cette coordination des diverses branches des Mathé** matiques en ferait mieux concevoir toute la richesse ^

toute I^pQrtantt. Les nombéux pit^lémed quVm devrait proposer soit poiir exercer les connaissances acquises, soit pour fidre sentir la nécessité d'en aoqoé*rsr de nouvelles, auraient encore l'immense avantage d'habituer le mathématicien à surmonter les difficultés de son ért^ à inventer les moyens de l'enrichir, et c'est peut-être a la manière de présenter les découvertes passées , que la postérité devrait ^en voir augmenter le nombre.

4. L'enseignement des Mathématiques devrait être uniforme dans toutes ses parties, et 't'^ ce quiu'a lieu que jusqu'à un certain point. Les élémens et les hautes Mathématiques scmt présentés d'une manière bien différente. Dans les élémens je comprends l'Aritlx* métique, la Géométrie, l'Algèbre et l'apphcationde ces deux dernières parties. Quant a la Geometne descriptive, le Calcul infinitésimal, l'Analyse appliquée, elles constituent les Mâithériiitiques transcendantes. Chet» cune de ces deux branches distinctes a donc sa Géométrie, son calcul, et l'application de ces parties princi* pales. Dans la première on voit souvent la Synthèse préférée; cette méthode énigmatlque semble entièrement bannie de la seconde. Elle constituait la méthode des anciens j les modernes ont adopté l'analyse comme le plus sàr moyen d'augmenter leurs nombreuses découvei*tes. Les propositions de la Géométrie proprement dite se succèdent Sans aucun but évident d'utilité; la Géométrie descriptive au contraire a été inventée et conduite par la pratique. L'Analyse de Descartes, telle qu'elle est enseignée , ofire les propriétés des lignes les plus Amples , sans presque donner l'occasion de les uti-*

lîser, tandis que l'Analyse de Monge ne volt que problèmes à résoudre et donne le moyen de trouver les lieux géométriques , plutôt que celui de les discu* ter.

Four remédier à cette dissemblance qui est toute à favantage des découvertes récentes, ne pourraiton pas -présenter, avec les élémens, certains emplois de leurs théorèmes, qui pussent diminuer la sécheresse de leur étude? Ne pourraitron pas compléter l'application de rAlgêbre à la Géométrie, par tme foule de redierdies curieuses qui conduiraient naturellement à cette discnissîcm des lieux géométriques, dans laqudle on a &it ^lièrement consister cette partiie des Mathématiques?

On pourrait , en commençant par Fétude de la ligne droite , Brîre voit* les constructions auxquelles peuvent "doxaier lieu la position req^ective de deux lignes sur un même plan, leur angle, leur parallélisme , leur perpendieularité; conddérer des longueurs déterminées, lès partager en parties qui aient entre elles des rappwts doniiés; combinant ensuitelaligne droite avec le cercle, étudier leurs contacts^, €n construire de particuliers , fiiire remarquer dans les segmens capables Fimmense Avantage des lieux géométriques ; passant à l'ensemble de plusieurs lignes , construire xm triangle quand on a des données sufiisantes, fiiire entrer successivement parmi ces données les hauteurs, les côtés, les angles j les lignes qui opèrent leurs faisections, les sommes, les différences , les produits, les rapports de ces difi^rens élémens de la figure proposée; présenter des cas particuliers dq la circonscription , de Pinscription des figures rectilignes. et circulaires ; en proposant des

lieux géométriques conduire à la discussion des lignes , du second degré ; étudier les intersections , les contacts de ces nouvelles courbes y capables de jeter le plus grand jour sur leur théorie ; enfin ne rien négliger dans toutes ces applications pour &ire remarquer l'accord constant de l'Algèbre avec la Géométrie , accord qui permet de confier au calcul le soin de découvrir de nouveaux théorèmes.

Il faudrait principalement s'attacher à donner quel* ques méthodes générales pour la solution d'un pro« blême, suivant la manière de l'aborder, de la conduire au résultat, et de traduire cette dernière partie dans le langage de l'énoncé. C'est sans doute ce qu'il y aurait de plus difficile ; la multiplicité des moyens dont la Géométrie > dont l'Algèbre même peuv ent se servir pour arriver au but proposé, la variété des questions, tout contribuerait a éloigner les méthodes générales j mais <m pourrait, il me semble, classer les problèmes suivant les ressemblances plus ou moins grandes de leurs moyens de solution, et l'on parviendrait peut^tre, si-« non à une méthode unique, du moins à un composé fini de moyens différens, que l'on pourrait regarder comme généraux valeurs nombreuses applics^tions.

Tel esfle but que je me propose dans le cours de cet Ouvrage. Je commencerai par récapituler les moyens de la Géométrie simple pour résoudre les problèmes ; je lui associerai ensuite le calcul. Je rendrai les principes que je présenterai plus clairs^ plus fi^ppans^ par quelques exemples ; si les solutions que j'oJ&e ne sont pas les plus simples, les plus él^ntes, elles fourniront à mes lecteurs au moins un énoncé à travailler, et je

(7) m'applaudirai en fiisant mal, d^ayoir procure i d*au«^ ires Foccasion de bien &ire.

Analyse et Synthàêe.

5. UÂrithmétique est uiie des sciences abstraites où Fon suit mieux la marche analytique; les règles, les opérations , se démontrent à mesure qu'on en a besoin, et Ton y voit toujours le biit proposé. Dans la Géométrie au contraii*e on se dirige sans s'en apercevoir vers un but caché; on démontre des propositions dont on peut avoir besoin dans la suite, mais dont on ne voit nulle application immédiate. Ce n'est pas ainsi que les premiers géomètres ont été conduits vers leurs décoor vertes; une analyse pure fut toujours ie guide des inventeurs. La similitude de position de deux lignes pa** rallèles par rapport à tme sécante fit sans doute naître cette théorie fondamentale de la science de l'étendue , dont on a déduit tant de théorèmes sur les angles , sur les sm£ices, sur les solides. Mais c'est peutrétrc au peu de rigueur de l'Analyse en démontrant les découvertes primitives que nous devons l'invention de la Synthèse. On craignait de laisser subsister des doutes sur les premiers principes des sciences exactes, et l'on, a mieux aimé essayer de- détruii'e ces doutes nuisibles par la Synthèse cpiede laisser entrevoir par l'Analyse les traces des vérités qu'on voulait démontrer rigoureusement.

11 existerait cependant un moyen de suivre partout là rigueur mathématique sans s'éloigner de la route supposée des inventeurs; ce serait de conduire an principe qu'oQ veut &ire connaître par des raiaonnemens fondés. sur< quelques axiomes, et partiqfit ensuite du

(8 théorème obtenu, démontrer son existence , st gêné* ràlité par une méthode tout-à-Mt synthétique; les vérités seraient ainsi doublement prouvées , et les pro» blêmes complètement résolus, puisqu'on y répondrait en donnant et la rech^t^he de la solution et sa vérifica^ tion.

Quoi qu'il en soit, cette méthode doit toujours être suivie dans la manière de présenter la solution d'un problème. L'Analyse éclaire ainsi la Synthèse; la Syn^ thèse, de son côté, éclaircit les passages que l'Analyse n'a pour ainsi dire qu'effleurés.

6. La manière d'étudier les sciences abstraites sous le point de vue de leurs applications , consiste à récapituler les moyens qu'elles fournissent pour la solution d'un proUème , pour la réponse à une question proposée. Elles doivent donc nonnseulement démontrer les rapports des quantités qu^elles conâdèrent , mais encore appr^idre à déterminer certaines de ces quantités inconnues, lorsqu'on donne les relations qui les lient à d'autres quantités de même espèce. La Géométrie s'attache plus particuhèrement à la première partie, l'Algèbre s'occupe principalement dç la sec<mde.

Voilà pourquoi la difficulté de résoudre un problème par l'Algèbre, consiste seulement dans la manière de traduire l'énoncé dans son propre langage, ou, pour parler algébriquement, dans la mise en équation des données et des inconnues de la question proposée.

Yoilà d'où vient aussi que la solution d'un problème de Géométrie sans autre secours que la considération de ses figures, est souvent si pénible à trouver. Cest que la science de l'étendue donne bien des propositions,

des théorèmes qui expriment les rapports des âémens d^une f^ure qudooiMpiey mais n'enseigné point directement à isoler les grandeurs inconnues ^ à les déterminer parle moyen des données, que FAlgèbre an contraire commençant son ouvrage où la O^métrie semble avmr terminé le sien, part des équations primitives et au moyen de transformations générales, conduit à des équations finales qu'elle présente à la Géométrie pour traduire la solution, et la démontrant synthétiquemeni, prouver Fexactitude du résultat obtenu.

La recherche d'un problème de Géométrie est en général ccnnposée de trois parties : la mise en équations, la résolution des équations , et la vérification de la solu* tion. La Géométrie s'occupe de la première et de la dernière de ces parties, l'Algèbre se charge exclusivement de la seconde.

7. Une solution est dite présentée synthétiquement, lorsqu'énoncée d'abord on enprouvel'exactitude, soitpar une méthode inverse de celle qu'à suivie l'Analyse pont la trouver, soit enfin parla démonstration àl'absurde.

n peut arriver qu'en énonçant géométriquement les relations qui existent entre les données et les inconnues d'un problème, la solution s'en déduise immédiatement; mais bien qu'elle ait été trouvée sans l'intervention de l'Algèbre, la maiche qu'on a suivie pour y arriver n%n est pas moins analytique.

L'habitudedenevoir queSynthèse dans la Géométrie, a fait penser <pie tout proUème résolu par la Géométrie simple l'était synthétiquement; mais il est constant qu'un problème quel qu'il soit , ne peut être trouvé que par une méthode analytique. C'est toujours le raison-

nement qui conduit à la découTerte, et non pas la découverte qui conduit au raisonnement.

Pour prouver synthétiquement une proposition , on rénonce d'abord^ et si l'on en déduit une vérité déjà connue, il n'est pliis permis de douter du principe d'où l'on est parti j pn acquerrait la même c^titude , si partant de résultats absolument contraires au prc^psé, on était eonduit dans tous les cas à des conséquences évidemment absurdes. Mais de ce que la Syntbése suppose la chose existanteetla démontreensuite, ilne&utpas conclure, comme on le &it quelquefois^ qu'une solution est* synthétique lorsque pour la trouver on a d'abord supposé son existence. Pour être en droit de lui donner ce nom , il faut énoncer entièrement la naanière de la construire, ou ce qui revient au même, la valeur de Un-* connue du problème; il faut de plus la démontrer im-* médiatement*

Proposons nous , par exemple , dé trouver le coté du décagone r^ulier inscrit dans iuic»t;le donné. Le problème sera résolu analy tîquement si , supposant d'abord connu le triangle ABC (%. i)^ qui a- son sommet au centre du cercle donné , et pour base le côté AB cher*ché, j'en- déduis que chacun des angles à la base étant, double de celui du soounet ; la ligne BM qui partagerait l'un de ces angles en deux parties égales ^ diviserait le rayon opposé en deux segmens, dont l'un GM. serait le côté cherché; que ces deux segmens étant proportionnels aux deux côtés du triangje adjacens à l'angle divisé, la }igne qui opère cette bisection partage le rayon en moyenneet extrême raison , et quepar canséquentiecèté inconnu est la plus grande de ces deo)^ parties* La solxir

tioii dn métae problème sera au contraire présentée synthétiquement si , énonçant d'abord que le côté in-ccHonu y ou la base AB du triangle ABC , est la plus gran de des deux parties qui composent le raycm AG divisé en moyenne et extrême raison, j'en condua que la ligne qui joindrait le point M de cette division avec le sommet B opposé au rayon AG, partage Pangle B en deux parties ^ales, et que par conséquent dans le triangle îsoscèle ABC , les angles à la base sont doubles de celui du sommet.

On voitdone que dans la recherche analytique d'un problème de Géométrie, on suppose ordinairement la figure construite, mais qiie Ton ne donne point dilee^ tement Fénoncé delà solution. Cette simple auppositiiw correspond à celle del'Analyse algébrique, qui consiste à combiner Hnconnué comme si sa valeur était déterminée. En un mot, dans l'Analyse on part de cette hypothèse , que la construction existe , pour hk trouver , tandis que dans la Synthèse on donne la construction , on la prouve ensuite, et son existence est pleinement démontrée.

Marche à suipre dans la recherche de la sohfthné

S. U seroit impossible de donner une méthode géné^ raie, pour trouver complètement par une analyse pu* rement géométrique, la solution d'un problème de Géométiie qud quHl soit. La nature de la question, lea diverses circonstances qui peuvent exister entre les données, influent trop sur les résultats, pour ne paa &ire varier le moyen d'y aniver. Cependant il existe des principes à suivre qui sans être généraux, ofirent

l îa )

peu d^exceptiotis, des périodes qui sont commîmes à In recherche d'mi grand nombre de problèmes, et qui doivent par conséquent être conduites de la même manière; c'est de la récapitulation de ces diiTérens* détails dont nous allons maintenant noms occuper.

Il &ut ioujom^s comxnencer par eonçevoir, ou tracer Véspèce de figure que l'on cherclie à construire rigoureusement; de la considération de ses élémens , on déduit des relations entre les inconnues et les données, relations qui peuvent déterminer les premières par des constructions supposées prouvées en elles-mêmes. Tel est le problèmeprécédent sur le côté dudécagone régulier inscrit ; nous avons conclu de certaines relationsentre les angles du polygone d^oandé , que son côté serait trouvé si l'on savait divisa: unç ligne. en moyenne et extrême raison. Si donc on suppose cette question résolue, le problème proposé le sera ^alement.^

9* C'est presque toujours en &isant dépendre la solution d'un problème de celle d'un autre plus simple, cette seconde d'une troisième , et ainsi de suite, que Fon parvient à une question dont la réponse est évidente. On.rédùit ainsi la proposée aune plus simple expression, et l'on pourrait comparer cette marche méthodique à. celle que l'Algèbre emploie pour résoudre une équation à une seule inconnue, où par des traiiisformations suc~ cessives, elle parvient à isoler l'inconnue. La seule différence, c'est que l'Algèbre donne les moyens généraux de diminuer ainsi la difficulté du problème, que la Géométrie va souvent au hasard pour en trouver de très particuliers , et qu'il arrive quelquefois qu'elle complique l'énoncé au lieu de le simplifier.

Pour &ire sentir les difierens clegi*es par lesquels on descend^un problème assez compliqué , à une question dont la réponse est évidente, nous nous proposerons la problème suivant.

Problème. Dans le triangle ABC (fig. a), mener une droite DE telle, que lee deux segmens non adjacens entre euxVI& et £G et la ligne IXEteoient dane des rap* ports donnés.

Soit DE la ligne demandée, soit menée par le point D, DF parallèle à AG; par le point G, GF parallèles DE} par les points B, F la droite BF jusqu'à la rencontra de AG en G; on aura