AG:AB::DF:BD:;EG:BD

Ce rapport étant donné| ileslaisé daconstraiiacipnori le triangle ABG| etla problème proposé semblera dé^ pendre de la question suivante :

Le triangle ABC étant donnée et un point G sur la base AG, meneruneligneïHF parallèle d la base, telle, qu'en joignant FG onait DF : FC ;: m : n^ ou dans un rapport donné.

Maintenant si par le point ù on conçoit GX parallèle à FG jusqu'à la rencontre de BG en X, on aura

GX: FC::BG: bf::ga :fd, tfoù GX:GA;:FCiFD::ED:EC.

Ce denier rapport étant connu , la solution cberchée dépendra de nouveau de celle de ce 3* problème ;

Trouper sur la ligne BG un point X tel, que GX soitdGA dans le rapport de deux lignes'p etq.

Enfin cette dernière question est facile à résoudre lors* qu'on sait construire une 4* proportionnelle à 3 lignes données.

En effet , on construira une 4^ proportionnelle aux lignes Çy GA^ et jp; du point G comme centre avec celte ligne pour rayon , on décrira un arc de cercle qui coupera la ligné BG en deux points X et X' satis&isant au S^problème; joignant GX ^ menant CF parallèle à cette droite, FD à AG^lea'problèmeserarésolu; enfin menant DE parallèle à GF, le problème propose le sera pareille^ ment Puisqu'il existe deux points X satisfiasant au 3* problème , il existe aussi deux manières de répondre k la question primitive. De ces deux solutions ^ la première DE sera comprise dans l'angle BAG, la seconde D^Ë' dans son opposé par le sommet. D'après cette con-* struction les li^es DE^ DB, EG sont dans les rapports donnés ainsi que les lignes D'E^, D'B, E'G, comme il serait d'ailleurs aisé de le démontrer synthétiquement*

Le problème général de la détermination des sur&ces du second ordre par la Géométrie descriptive^ nous donnera par la suite im exemple encore plus frappant du principe que nous venons d'énoncer.

10. Il arrive assez souvent que le problème auqud on descend, n'est qu'un cas particulier du problème à résoudre. On sait par exemple que pour trouver le centre d'ifii cercle tangent à trois autres dont les centres seraient c, c\ c"y et les rayons R, R', R'', il suffit de cberçher le centre d'un cercle passant par le point o^ et tangent à deux autres ayant pour centres c et c'y et pour rayons (Rd=R'')(R'dbR"); nouy eau problème qui n'est qu'un cas particulier du premier, puisque le point c" peut être considéré comme un cercle de rayon nuL lïous pouvons en donner un autre exemple dans la so» lution suivante.

PsOBiicME. Élant donnés les deux côtés adfacens à T angle A du triangle ABC (fig. Z)yetla ligne AD dont la direction partage cet angle en deux parties égales t construire ce triangle.

Soit ABC le triabgle demandé ; si Ton conçoit par le point D, DF perpendiculaire sur AD jusqu'à la rën» contre de AB en F; par le point G une parallèle CE à €%tt;e ligne^^ on aura A£= AG, par conséquent BE=3 AB~AG; et comme on a deplusEF:FB:iDG:BD :: AC : AB, le point F est aisé à déterminer d priori t cette ligne AF étant connue, pour trouver l'angle A et par suite le triangle ABG , il suffit de résoudre ce nouveau problème, cas particulier du proposé :

Pkoblèbib. Étant donnés le côté J^ d^un triangle isoscèle FAF' et la perpendiculaire AD du sommet sur la base, construire ce triangle.

D'après cela, l'angle 7 A sera déterminé en construisant im triangle rectangle dont AF serait l'hypoténuse^ AD un des côtés , Tsuigle total s'ensuivra , et le problème proposé sera résolu. La Synthèse donnerait aisément là vérification de cette solution.

II. U y a des problèmes de Géométrie où l'on est analytiquement conduit à construire une figure semblable à celle que l'on cherche , et dont les élémens sont pris parmi les données. Par exemple , si connaissant les troishauteorsd'un triangle, on proposait deleconstruire^ on pourrait être ainsi conduit à la construction.

Soient A, h\Ji' les trois hauteurs ya^a\ cl^ les trois côtés inconnus : les rectangles aA, çlJil^ ci^K\ reprasen** tant chacun le double de la surfiice du triangle demandé, sont égaux entre eux. On en déduit les proportions

ala' llh' l hy ala^'llA^' \ h; on peut donc constroire un triangle semblable au proposé, si h^ est dans cette

figure le côte homologue ka^heit-p seront les horno^

logues de a' et de a*'. G>nnais8ant ainsi les angles du

triangle demandé , le reste de la solution n'offre plus de

difficulté.

Méthode inverse.

ia« Il ne &ut pas confondre ce cas particuHei* a?ec cette méthode connue sous le nom àUnperêê, qui con* siste à renverser Ténoncé, à prendre pour données les inconnues, et réciproquement. En résolvant ce nouveau problème, on construit une figure semblable à celle que Ton dierohe ; si Ton connaît ensuite une seule ligne de cette dernière, il sera fiicile de la construire elle-même

C'est sur-tout quand il s'agit d'inscrire dans un poly*> gone donné une figure semblable à une autre aussi don* née, que l'on préfère la méthode inverse à la méthode directe. La circonscripticoi des figures semblables ayant l'avantage d'oflSrir par les segmens capables, des tieux géométriques, des sommets du polygone à construire.

S'il s'agit, par exemple, d'inscrire un quadrilatère dont on connaît les angles et le rapport des côtés dans un autre quadrilatère donné, on pourra renverser l'é« nonce et se proposer de circonscrire à un quadrilatère donné, un autre quadrilatère aemUable à une figure aussi donnée.

Svq^posons qu'il fiiille cii'conscrire à ABCD (fig. 4) un polygone a'b'c^it semblable à abcd. Le sommet a' devra se trouver sur le segment capable de l'angle a , construit sur l'un des côtés du quadrilatère ABCD sur

( 17 ) le côte AB par exemple , et si de plus Pangle V=ib doit correspondre au côté AD, on pourra construire sur le^i côtés DA, AB, BG, des segmens capables des angles b o , c du second polygone , sur lesquelles circonférences devront se trouver les sommets inconnus du polygone cherché. Si Ton pouvait déterminer de nouveaux lieux géométriques de ces mêmes points, le problème serait résolu* Or soient b\ c\ a\ les points satisfaisant à la question; la droite a'^' passera par le point A, la ligne

A'C par le point B, de plus on doit avoir -7-7= -^i»

Soit A' le second point d'intersection des deux, cercles AD6^, ABa', tous les triangles qui auraient leur sommet en A', et pour base une double corde teUe que a'Ab' seront semblables, puisque leurs angles en a! et V auraient tous pour mesure la moitié des mêmes arcs AA^;

le rapport -r^ que nous représenterons par ^ pourra donc être r^rdé comme connu; par la même raison , le rapp<»l —r» ss - sera &cile à déterminer; on en déduira ^^ ss- * " * f > ^^^ ^^ ^^^ partage Tare A'B' en

deux parties égales au point M, et que Ton conçoive a'M , cette ligne partagera l'angle ^'a'Af en deux par-< ties égales^ et par conséquent la base A'fi' en deux par*^ ties A'N et B'N, proportionnelles aux deux côtés A'a\ h'a'y ce rapport étant connu , il sera &cile de trouver d priori le point N , par suite la ligne MNa^, nouveau lieu géométriquedu point a^; joignant a'Bc', a'Ab'j 6^D, c'Qy le problème sera résolu. L'iaverse s'en déduirait aisé-* ment. Ce problème est susceptible de huit solutions^

( i8 ) 4leux pour lesquelles Fangle a ooiresponâ au coté AB^ et deux pour chacun des autres côtés du quadrilatère ABGD.

On résoudrait encore par Tinverse ^t de la même manière , la question suivante.

Problème. Quaùv droites étant données sur um même plan, mener unetransuersale telle, que les trois parties interceptées soient dans des rapports donnés.

i3. Dans l'exemple précédent, le rapport des deux âgures semblables exigées par la méthode inverse, est absolument indéterminé ; mais on peut lier quelquefois ces deux parties, de manière à &ire disparaître cette indétermination ; la construction n'en est que plus élégante , et il n'existe plus, pour ainsi dire , xieai d'indirect dans Fanalyse de la question proposée. Soit proposé de construire un cercle assujéti à passer par deux points donnés , et a couper une droite sous un segment capable d'angle connu. .

Si M et M sont les deux points doimés (fig. 5), AB la ligne donnée, que MNAB ^t le cercle qui satis&it à la question; on pourra construire sur MPi un sèment ca* paUe de l'angle connu ; et si l'on conçoit prolixigées les lignes BN, AM jusqu'àlarencontre de ce lieu géométrique en A' et B', il sera aisé de prouver que les quadrilatères MNAB, MNA'B^ sont semblables, et les lignes AB, A'B' parallèles. Soit C le centre du cercle inconnu , C celui du cerde MNA'; ils se trouveront tous les deux sur la perpendiculaire élevée sur le milieu de MN, laquelle droite viendra couper la ligne ABen im point P, aitué dans la figure MNA , de la même manière que le point P' d'ijL\tersecti<m de CP' perpendiculaire sur AB

(«9) et de MN, Test dans la figure semblable MMA^ Otj les points P, F' sont faciles à déterminer; le point AMe la figure A'B^ri ^ homologue au point M de la figure MN A y sera connu , en faisant l'angle C'P'A' 25= QPM. Connaissant le point A', la ligne A'fi' parallèle à AB, et les droites J^NLAy A^B achèveront la solution.

Avantage de la Géométrie*

1 4- S'il n'est aucune marche tracée pour la recherche

de la solution d'un problème^ par la simple considéra*^

tion des figures y cette inicertitude est peut-être une des

grandes richesses de la Géométrie. Il arrive souvent en

efict, qu'en suivant une certaine route pour aller à la

découverte, on rebcontrela solution d'un problème

différent du proposé y qu'on n'eût sans doute pas trouvé

aussi facilement, s'ilse fiiSlt agi dele résoudre directement.

Qui doitH)n donc le plus admirer, ou du calcul qui

commence ses travaux avec confiance, et finit presque

toujours par répondre à la question , ou de la Géométrie

qui paît sans rien promettre, et revient quelquefois

c^rir avec la solution du problème,, celle de plusieurs

autres qu'on ne lui demandait pas, et qu'elle a recueilli

sur son passage?

Dans ja proposition précédente, la similitude des deux quadrilatères ABMN , A'BOMN et le parallélisme des Ugnes AB et A'B', fournissent un moyen très simple de construireun quadrilatère inscriptible dans un cercle lors(|u'on en connaît les quatre côtés.

Soient les quatre côtés ]MA==sa, AB;b£^ BNso; M]X=::d D'après les considérations précédentes, on

pour les quatre côtés du trapèze A&A'B^, à la oonsttlie* tion duquel se réduit le problème proposée. On peut trouver directement ces quatre lignes en fonction des données, par une construction très simple; il suffit de former un quadrilatère quelconque y avec les quatre Ion** gueurs données , sur le côté d comme homologue au côté bj constiTiire un quadrilatère semblable; les lignes

a ïjCrydr seront les homologues de a, c, d^ pour

trouver le trapèze ABA'B', soit conçue B'Q parallèle à A'B, AQ sera la différence AB~ A'B', AB' le côté a

-+- r-, B'Q le côté c -|- •^., on pourra donc construire

â priori le triangle AB'Q , par suite le trapèze , et enfin le quadrilatère inscrit proposé.

On déduira aisément de la solution précédente ^ la démonstration de ce théorème.

Théorème. Dans tout quadrilatère inscrit , les dia^ gonales sont entre elles comme les sommes des rec^ tangles, des côtés qui aboutissent à leurs extrémités.

En effet, les triangles A]\B', A'MB sont semblables et donnent les proportions A]M : MB :: AB^ : BA' ;: a

jLieux géométriques.

1 5. Les questions de Géométrie se réduisent presque toujours à la recherche d'un ou de plusieurs points. Un point est ordinairement déterminé par l'intersection de deu\ lieux géométriques , sm* lesquels il jouit de deux propriétés différentes et réunies. Ce n'est guère que lorsque ces lieux géométriques peuvent se réduire à la ligne

droite ou au cercle, qu'il est possible d'employer une analyse purement géométrique , pour déterminer le point demandé, attendu que les constructions synthétiques ne sont regardées comme rigoureuses^ qu'avec l'emploi de la règle et du compas. Or, comme les pro* priétés de tous les points d'un lieu géométrique , sont les seules qui puissent donner lieu à son emploi, et que les propriétés de la ligne droite et du cercle sont très limitées, on conçoit aussi une limite pour la quantité de problèmes de Géométrie qu'on pourrait résoudre avec la ligne droite et le cercle , du moins dans ce qui concerne la détermination d'un ou de plusieurs points j il est même beaucoup de ces problèmes que l'on pourrait attribuer à la Géométrie piu'e, parce que leur construction ne suppose que la con oaissance de ses premiers élémens, et qui n'en ont pas moins été déduits de l'Analyse algébrique. U est vrai que la Géométrie conduit aux mêmes résultats ; mais dans ce cas, son analyse participe un peu des propriétés pour ainsi dire enigmatiques delà synthèse ; c'est le grand défautde la Géométrie quand elle veut concourir avec l'Algèbre.

i6. En un mot, parmi les lieux géométriques, il n'est guère que la ligne droite et le cercle, considéré surtout comme segment capable, dont on puisse attribuer la découverte à la Géométrie. C'est en étudiant leurs applications à la solution des problèmes , sur-tout à la construction des triangles, qu'on a dût remarquer Fimmense avantage des lieux géométriques , et c'est sans doute cette remarque qui a donné naissance aux re* cherches faites sur les sections coniques, et enfin à cette analyse sublime de Descartes, où d'une popriété çom-

miine à tons les points d'une courbe , on déduit son expression analytique.

Pour donner cep^idant un exemple de la découverte d'un lieu géométrique, par la seule considération des données , soit proposée la question suivante :

PROBLÈmE. Trouver le lieu géométrique décrit par un anneau pesant M (fig. 6) mobile sur unecorele QMC de longueur constante ly dont une extrémité C est fixe, et Vautre Q assujétie à descendre suivant une verti" cale AV.

La direction verticale d^une force imprimée à l'anneau mobile , doit diviser en deux parties ^ales l'angle QMG, fwmé par les deux Qordons partiels QM , MG ; c'est-'à-^dire que si on prolonge la ligne CMQ^ jusqu'à la rencontre en Q' de la verticale AV, le triangle QMQ' sera isoscèle ; on aura donçQM saQ'M et CXJ^= QM -4- ÇM 3= /; le lieu géométrique demandé est donc la droite CQ' hypoténuse du triangle rectangle ACQ', &cile à coJQLStruire^.puisquq AC çt GQ^=:isont connus.

U arrive souvent qu'en étudiant les propriétés d'une figiffe, les cas particuliers d'un théorème, on découvre comme par hasard un Ueu géométrique ; la méthode qui l'a ainsi déterminé est toujours analytique , puisque le raisonnement seul y conduit. Par exemple , en étudiant les propriétés des tangentes communes à deux cercles, on pourra conclure la réponse à la question suivante :

Problème. Etant donné un point et un cercle, trou* per le lieu géométrique du point qui partagerait en deux parties j dans un rapport constant, la ligne menée du point donné, à Vun quelconque des points de la çir^ conférence.

Quoi qu'3 en soit , coniœe il ne fiiit pas toujours s'at* tendre à ees découvertes du hasard, lorsqu'à]^ lieu géo^ métrique est proposé, il vaut mieux leohercher d'abord par Fï^plication dé TAlgèbre à la Géométrie; et s'il participe de la ligne droite ou du œrde, en pourra ensuite interrogar la Synthèse pour vérifier la solution. Toute propriété du cercle ou de la ligne droite , trouvée par l'Analyse algébrique, et mise au nomlMre des propositions géométriques, soit par la Synthèse, soit par toute autre méthode purement géométrique, doit reculer les bornes de la science de l'étendue, dans la solution des problèmes, puisqu'elle lui fournit de nour veaux lieux gé(»nétriques, ou pour ainsi dire de noù* Telles coordonnées pour déterminer les points inconnus. Si on voulait conserver à la Géométrie l'h<mneur apparent de la découverte , il faudrait laisser entrevoir kiroute qu'elle eût pu suivre pour y arriver; mais cette nouvelle méthode: analytique serait peut*-étre aussi loin de la route naturdfe de l'inventeur, que la Synthèse même.

Par exemple^ l'Algèbre seule à dà trouver que le lieu géométrique du point dont les distances à deux points donnés, seraient dans un rapport constant, est une cir-*conférence de cerde; la. Géométrie pure n'a &it que le prouver ; et si l'on voulait forcer son analyse à donner le même résultat , elle conserverait toujours une certaine apparence énigmatique, qui dévoilerait son impuissance.

On pourrait en effet aborder ainsi qu'U stiit, la reohwche de ce lieu géométrique : soit M (fig. 7) , un de$ points du lieu géométrique , AetB les points donnés tels que l'on ait AMl MB IZalC rapport donné ; la ligne MN qpi opère kbisection de l'angle M, passe constaltnment

(a4) pArle pointTÏ , qaipartage ABen deiixsegmens AN elBN^ proportionnels auxlignesa et Ç. Si l'on conçoit Nl^ pdralr lèle à BM, ISQ à AM, le parallélogramme MPNQ sera un losange; la diagonale PQ sera donc perpendiculaire sur le milieu deMN; si donc O est son point de rencontre avec AB , on aura ON=sOM; d'ailleurs le parallélisme des lignes AP et NQ, QB et PN donne ON:OB :: PN ; QB :: AN: BN; la ligne ON ou OM ne dépend donc que des segmens constans AN et BN , elle est donc constante. Le lieu géométrique demandé est donc vax cercle Êicile à déterminer. On pourrait sur AN et BN construire des triangles équilatéraux ; la Hgne qui join^ drait leurs sommets irait passer par le centré O du cercle cherché, dont ON est le rayon.

Si l'on proposait 9 étant donnés quatre points A , B^ C, D en ligne droite, de trouver hors de cette ligne unt point X tel, que les lignes AB^ BG, CD, y soient vues sous un même angle, la recherche du lieu géométrique précédent donnerait pour la construction de ce problème, l'intersection de deux cercles*

Algèbre^

1 7. Concluons cependant que , lorsqull s*âgit de déterminer un Ueu géométrique, la position d'une certaine ligne, d'une certaine surface, par rappoipt à d'autres lignes, d'autres surfeces données^ on doit préférer l'ap? plication de l'Algèbre à la Géométrie. Cette méthode consiste principalement à mettre les problèmes en équation, c'est-à-dire, à l'énoncer algébriquement. Il faut ensuitemanier leséquations, les données primitives, deÊi* çon à obtenir des résultatsprompts et satis&isans, but que

l'on n'atteint pas aisànent. Cependant la marche sftreet méthodique de cette analyse, la aymétrie , la variété des éliminations ) conduisent à des équations finales où la réponse à 1a question se trouve écrite. Ainsi parvenu au résultat algébrique, il reste à le traduire dans le langage de l'énoncé proposé; ^est la le terme, le fini de l'ouvrage } mais souvent l'écueil du Mathématicien, un obstacle que la solidité du raisonnement peut seule sur^ monter*

Il ne &ut pas croire cependant , que cette partie soit toujourslapierredetoudKe de la sagacité mathématique. n est des résultats extrêmement simples , des problèmes dont rAnalyse semble se joiier, et poiu* lesquels elle ne croit pas nécessaire d'avoir des secrets; c'est snr^tout quand la Géométrie simple peut répondre d'eUe^éme a la question, que l'Analyse est si docile ; cette dernière est en efiet le guide du Géomètre ; et quand il s'avise de marcher sans elle vers un but quelconque , elle semble lui prouver, par sa simplicité, qu'il serait arrivé plus vite s'il eût suivi ses conseils.

U fiiut étudier l'énoncé d'un problème de Géométrie, avant de l'exprimer en Analyse; commencer par écrire les données , par les mettre en équation. S'agit-il d'un point? deux conditions, deux coordonnées suffisent pour le déterminer sur un plan ; il en faut trois lorsqu'il est situé d'une manière quelconquedans l'espace. S'agitil d'un lieu géométrique continu ? il sera exprimé par une ou deux équations entre trois variables. Si c'est une ligne plane, il suffit d'une seule équation qui établisse une relation entre les deux coordonnées de chacun de ses points. C'est ainsi que l'Algèbre traduit un énoncé géo*

mélrique dans son propre langage, pour fe présenter^ pour le trayailler ensuite à sa manière.

Viennent ensuite des éliminations, dès transformations, dont Fulilité n'est point incertaine ; il ne Êiut jamais perdre de vue le résultat désiré, chercher constamment le plus court chemin pour y arriver. I«a Gréométrie,lorsqu'elleestseule employéeà la recherche d*unc solution, dévie souvent de sa route, pour aller à la découverte; la bonne Analyse au contraire, connaît l'endroit où elle doit frappa:, et s*y dirige sans détours.

Après avoir tracé lesdifférentes périodes de la solùti<m des problèmes par FAlgébre, je vais les parcourir ayec plus de détails , et chercher à lever les difficultés, à résoudre les cas particuliers qui pourraient se présenter.

Notation.

i8. IHms le calcul , il faut toujours choisir ks notations les pliis avantageuses ; soit pour aider la mémoire,, soit pour abréger les éliminations^ Autant il serait ridi*^ cule de &ire consister dans de simples conventions , la majeure partie des Mathématiques , autant il serait eiiLagéré dé les en bannir entièrement. Elles détruisent quelquefois Faridité du calcul, et l'on pourrait dire que la notation est à l'Analyse, cç que l'arrangement. «t le choix des mots est à la clarté du style. Avec sqr secours, les calculs les plus longs deviennent une somme de transformations semblables , et il ne &ut plus pour achever le tout, que la patience de répéter la partie principale. C'est avec de pareilles inventions que l'Analyse algébrique 2 si.péniUe dans son origine^ est parvenue

( ^7 ) au point de donner des leçoii9 de shnplicité à la Géo^ métrie même.

19. Quand les données d'un problème peuvent être placées par rapport aux axes coordonnés^. de manière à simplifier les équations , sans en trouI>ler la symétrie ^ U&ut toujours en profiter; mais si cette simplification de position anéantit cette même symétrie > en détruisant les quantités qui pourraient la iaire apercevoir, elle n'est plus, qu'apparente , et il vaut mieux placer les axes coordonnés d'une manière arbitraire. Si l'équation fi-« nale est plus longue , la similitude de ses termes , non sjeulement donne le moyen de la retenir plus facilement quand l'importance de son usage l'exige, mais encore procure l'immense avantage de pouvoir y lire plus faci* lement la réponse à la question proposée. C'est xsne pbrase longue sans affectation , qu'on doit préférer aune plus coiirte , mais souvent moins intelligible.

Expression analytique de la communauté d^ntersee^

tion des lieux géométriques^. ^

m U mise en équation d'un problème de Géométrie ne se réduit pas toujours à la récapitulation des données.^ souvent il existe des relations à exprimer, des équations de condition à obtenir, avant d'aborder la recherche de la solution. On ne surmonte pas toujours avec une ^ale &ciUté ces obstacles préliminaires ; sou^ ventla longueur et le nombre des éliminations à effectuer, pour exprimer une partie d'un énoncé, le fait rejeter entièrement j et il arrive en cela , comme dans beaucoup d'autres circonstances, qu'un abord peu flatteur iail mal soupçonner du reste.

Une de ses difficultés premières , est d^exprîmer qu^un point ordinairement donné par l'intersection de deux lignes;^ se trouve en même temps sur un troisième lieu géométrique; qu'une ligne toujours déterminée par Fensemble de deux sur&ces, leur est commune avec une troisième.

J'essayerai de lever cette difficulté, en m'appuyant sur ce prindpe évident ; que si Ton combine les équations de deux lieux géométriques d'une manière quelconque, l'équation résultante exprime un troisièn^e lieu géométrique, sur lequel se trouve l'intersection des deux premiers. De ce que cette combinaison peut se &ire d'une infinité de manières, je concliu*ai que si l'intersection de deux courbes, de deux sur&ces, doit se trouver sur une troisième courbe, une troisième surface donnée, il doit exister une équation combinée de celles des deux premières courbes, des deux premières sur&ces, qui exprimera la dernière courbe, la dernière sur&ce donnée. Tout se réduit donc, dans tout les cas, à trouver de quelle manière doit s'effectuer cette combinaison.

Je supposerai d'abord que lés trois lieux géométriques soient du même degrés D, je désignerai par E=o, E'=o, E''==2 leurs équations. Si ou multiplie respectivement les deux premières par deux indéterminées m et m', et qu'on lès ajoute ensuite, l'équation /^lE ^m/E' s=: o , résultante de cette combinaison , sera du même degré que les équations proposées, et pourra représenter, vu l'indétermination du rapport -7» tout lieu

géométriqpae du d^é D^ passant par les intersections des lignes ou sur&ces , représentées par les équations

{ ^9 ) E=o, E'ssro. Mais puisque le lieu géométrique du degré D, dont l'équation est E''s=:o, doit aussi passer par ces mêmes intersections, il doit aussi pouvoir être représenté par Féquation mE + m%' = o ; on peut donc disposa et du rapport et de Tuine des deux indéterminées m et m^, pour identifier les polynômes mE -f- m'ISl et Ef'; ce qui conduira en général à autant de relations entre m, m% et les coefficiens des équations proposées y que l'équation du d^ré D entre deux ou trois variables ^ peut admettre de coefficiens. Si on éUmine ensuite les indéterminées m et m! y on aura les relations définitives qui doivent exister entre les coefficiens des équations proposées , pour exprimer analy tiquement la commu* nauté d'intersection des lieux géométriques qu'elles représentent.

Il est aisé de voir que dans le cas de trois lignes du degré D, situées sur un même plan, on parvient à [^(D-+- 1) (D+aj— 2] équations de condition, et que pour exprimer que trois sur&ces du même ordre ont même ligne d'intersection , il fiiut [77^(0+ 1) (D -f- a) (D-f^3)— -a] relations entre les constantes qui les de** terminent analytiquement.

Si l'on voulait exprimer que quatre surfaces du d^ré D, ont mêmes points d'intersection , en supposant que leurs équations fiissent E=o, E'=o, E''=o, E'"=o^ on démontrerait par des raisonnemens semblables aux précédens , qu'il doit y avoir identité entre les polynômes mE4-m'E'H-m''Ë" et E%m, m'y m" étant indéterminées. L'élimination de ces trois constantes entre les équations qu'exigerait cette identité conduirait à [î^(DH-i)(D4-3)(D+3)— 3] relations entre les

( 3o ) eoefRciens des quatre équations propo&ées , lesquelles devront être satisÊûtes, pour qu'il y ait communauté d'intersection entre les quatre sur&ces qu^elles représentent.

Le principe d-dessus énoncé, n'exige pas , pour être appliqué, que les lieux géométriques proposés soient du même degré. On peut encore exprimer les rencontres communes de lieux; géométriques de ËimUles différentes. Par exemple, lorsque deux sections coniques doivent ftvoir leurs points d'intersections sur une seule ligne droite, on peut cherdher la combinaison de leurs deux équations, qui pourrait être identifiée à une équation représeutant la ligne droite j l'élimination de l'élément indéterminé de cette combinaison, conduira à des relations analytiques, entre les constantes qui déterminait la forme et la position respective des deux courbes ; cénditioxis qui existeront nécessairement, toutes les fois que deux courbes du second degré devront avoir leurs points communs situés sur une même ligne droite. On peut effectuer cette combinaison, soit en faisant des*cendre le degré de l'équation combinée à celui de la ligne; droite^^ par la nullité des quarrés et rectangles des coordonnées*^ soit eniaisant^u contraire monter le degré de l'équation de la ligne droite, par uiie composition nulle de dqux &cteurs égaux aussi nuls par eux-^mêmes. Ces di^entes manières de combiner les équations proposées^ pour exprimer les conditions demandées, conr> duisentà des résultats diffîrens, ce qu'on explique aisé^ ment en résolvant la question sous ces deux points de vue*

at. Tel est le moyœ d'élimination que l'on peut

employer , potir exprimer analy tiquement la t6nùùù*^ nauté cf intersections de j^usieurs lieux géométriijaes, £n traitant ce sujet, mon principal but est de ÊcUiter la traduction analytique de divers éoioncés; si je ne réusais pas complètement, je crois dumoins cpeles pro^ positions suivantes, qui en dérivent aisément, peuvent conduire à la solution d^un grand nombre de problèmes curieux jet que dWprincipequin'estrienenlui-m^e^ jedéduisdescorollaires dont l'utilitan'est pas incertaine*

Problème h Trouver les condiUonanêcessaires pour ^ue trois droites passent par un mime point.

Solution. Soient les équations des traisdit)ites^ ainsi qu'il suit :

dx+Vy^c'r=.ol (0;

l'élimination de jtetj^ entreelles, donnera sm>IeKiiampi pour la condition dierchée , l'équation

Mais on peut parvenir au même résultat, par un pro* cédé un peu différent qui, à la vérité'^ n'a dans le cas présent aucun avantage marqué sur celui4à, mais qui nous sera fort utile pour les autres recherches auxqudles nous aurons ensuite à nous livrer.

En prenant la somme des produits des deux première» éc|uations (x) par deux multiplicateivs indéterminéi m , m^ il viendra

équation qui,^à^ause de l'indétermination des multiplia œteui'S m , m\ est propre à représenter toutes IesdroitG|

qui passent par rintersection des deux premières droites (i).

Si donc on veut <jue ces droites se coupent en un même point, il devra être possible de disposer des indéterminées m et m'y de manière à &ire coïncider la troi^ sième équation (i) avec Féquation (3). Cela donnera

am -j- ciw! =; a', bm -J- b'm! =s 6*, ct» + c'mf'ss c" (4) ; et, en éliminant m et mf entre ces trois équations, on retombera de nouveau sur Féquation (û).

Problème IL Trouver les conditions nécessaires pour que trois lignes du second ordre se coupent suiifant les mêmes points.

Solution. Soient les équations des lignes dont il s'agit ainsi qu'il suit :

Soit prise la somme des produits des deux premières équations, par deux multiplicateurs indéterminés m et m* ; on aura ainsi

Idm+dni) x+ a (em 4- ^ni') y + (fin +fm') = (a) , équation qui, dans sa généralité, représente toutes les lignes du second ordre qui passent par les intersections des deux premières lignes (i).

Remarquons, avant d'aller plus loin , que cette équa-^ tion pourrait fort bien, en général, appartenir à une parabole; mais de deux manières seulement, puisque la condition ( 6m -f" f>^^' )* = {'^'^ + «''w' ) {cm •+• c W )

détcrraine le rapport —, , et ne lui assigne uniquement

apc^ + ^l^'^ + ^* + a^^ + a«y -f-/'=o

que deux yaleors. Remarquons encore qae cette équation ne saurait généralement appartenir à un cercle. U &udrait en effet , pour cela y qu'on eût en même temps^

équation d'où Fon tire

et par suite

Telle estdcme la condition nécessaire et suffisante, pour qu'un cercle puisse passer par les intersections de nos deux courbes.

Bfais cette même équation (2) pourra représenter une infinité d'ellipses et d'hyperboles; et si l'on reut en. particulier, qu'elle représente la troisième courbe (i) on, ce qui revient au mémei si l'on veut que les trois courbes (i)aientles mêmes intersections, il fiiudra qu'on ait à k ibis,

«m -J- aW = a^, bm + i W = b\ cm+c'm^s=s c" \ .-.

L'élimination de m et m! entre ces six équations, conduira à quatre autres qui exprimeront les conditions cherchées.

Les équations

sont (Problème I) celles qui exprimeraient que les trois droites

concourent en im même point. Mais on sait d'ailleurs

que cliacune de ces dernières équations est celle do. diamètre de chaque courbe, qui coupe eu deux parties égales les cordes parallieles à i'axe des j?; et puisque la direction de cet axe est quelconque > on en peut con*clure le théorème suivant :

Théorème. Si plusieurs sections coniques ont quatrû points communs^ dans quelque direction qifon leur mène des diamètres parallèles^ les conjugués de ces diamètres concourront en un même poinU

Problème IIL Trouver les conditions nécessaires pour que trois plans se coupent suivant une même droite^

Solution. En supposant que les équations soient

on parviendra aux conditions cherchées , en exprimant que la somme des produits des deux premières équations, par deux multiplicateurs m, m', est la même que la troisième^ on obtiendra ainsi les quatre équations

cm + a vfi = a!\ bm -f- 1 /n =::: b ,

entre lesquelles il Ëiudra éliminer m et m! y ce qui donnera deux conditions.

Deux quelconques des trois premières équations (2) jointes à la quatrième , prouvent que les traces de nos trois plans sur un des plans coordonnés, c'est-à-^ire, sur un plan quelconque , doivent concourir en un même point j ce qui est d^ailleurs évident.

Problème IY. Trouver les conditions nécessaires

pour que trois surfaces du second ordre se coupent suivant une même courbe.

Solution. En supposant ^ pour les équations des sur^ Êices dont il s'agit y

et exprimant que la dernière est la somme des produits des deux autres par deux multiplicateurs indéterminés m^ m! y on olitiendra les dix équations

iim+a^m^=:2a!', fm +f^m^r=:f bm -4- Vm! ac: é*, gm '{-^w! = g"i cm + c'm! =3 c% hm + Vni — A'V (a) ^

entre lesquelles éliminant m et ni^ on obtiendra les conditions cherchées ^ lesquelles conséquemment seront au nombre de huit.

La première, la quatrième et la cinquième équation de la première colonne, jointes à la deuxième de la se- Gonde^ prouvent quelestroisplansdontles équations sont

se coupent suivant une même droite ; mais ces plans sont les conjugués des diamètres de nos trois surfaces parais lèlesà Taxe des x, c'est-à-dire à une droite quelconque; on a donc le théorème suivant.

Thêokème. Lorsque plusieurs surfaces du second ordre se coupent suivant une même courbe, les plans diamétraux conjugués à des diamètres parallèles de ces surfaces, se coupent tous suivant une même droite^

S la troisième équation (i) représentait une sphàre> il &udrait qu'on eût à la fois

dm -^^m'^ssem -f- è'j»' 5=^ '+'f^Tn^ = o ^

entre lesquelles éliminant —7, il viendrait

II — & g— c d __ f

conditions au nombre de quatre , qui expiiment que la commune section des deux premières surfaces (i) est sur une sphère.

PnoBLÈBOB V. Trouver la condition nécessaire pour que quatre plans concourent en un même point.

Solution, En supposant que les équations de ces quatre plans soient

«•«+ h'y+ c'z^ ir= o f ^*^' «•«+ Vy'^ c*a+ if*=s o j

on pourrait d'abord parrenîr à la condition cherchée, en éliminant x^y^z entre ces quatre équations; mais on y parviendra également en expiimant que la somme des produits des trois premières , par trois multiplicateurs indéterminés m , ni^ rri^ est la même que la qua« trième; cela donne les quatre équations

bm+bW^b''m'z=2b^, dm + drm'+d''m'=:drS^^^' entre lesquelles éliminant m, m\ ni\ on parviendra également à la condition cherchée.

Pro:blème YI. T7X}uver les conditions nécessaires pour que quatre surfaces du second ordre aient les mêmes points d^ intersection.

^37) Solution. En supposant pour faces dont il s'agit ,

il faudra e&primer que là quatrième est la somme des produits des trois autres par les multiplicateurs indé-* terminés 77») m'y m^y ce qui donnera les dix équations

am + t^m' + cft»' = n*, fm +fwf +fm'' =/•,

|An+dW+dW==:A Am+feV + *''»*=*•.

entre lesqueUes éliminant m, m', m^ on parviendra aux conditions cherchées , lesquelles seront conséquemment au nombre de sept.

Ji^s première ) quatrième et cinquième équations de la première colonne , jointes à la seconde de la deuxième, prouvent (Problème V) que les quatre plans dont les équations sont

</ jc Hh rfy + e'« -f- g' =2 o ,

conc*onrent en un même point * mais ces plans sont les plans diamétraux conjugués aux diamètres qui, dans nos sur&ces, se trouvent parallèles à l'axe des x^ c'està-dire à une droite quelconque ; on a donc le tliéorème

que voici,

THÉoateE. lj>r$que dès surfaces du second ordre -passent toutes par les mêmes points d* intersection ^

leurs plans diamétraux conjugués à des diamètres parallèles, concourent tous en un même point.

Si la <piafcnème des équations (i) appartenait a une sphère, il &udrait qu'on eût cm 4- t^rn' '^c^m''=zbm + Vm' + b'w!^'= cm 4- c'm' + c'm%

ce qui donnerait en élimitiant—,—, les trois conditions

dey''^dfe'-hfdt''^isdr + efd''~f^d'=o,

qui expriment que les huit points d^interseclionde trois surfaces dusecond ordre, se trouvent situés sur une même spLère.

Scholie. PuÎJsque la condition de passer par la même couii)e établit huit relations entre les coefScîens des équations de troi^ sur&ces ^ que là condition de passer par les mêmespoints n'i^ établit que sept entre les coefiiciens des équations de quatre autres siir&ces du second ordre; on peut en conclure que les huit points dHntersection de trois sur&qes ne sont pas. placés d'une manière arbitraire, que le huitième dépend des sept premiers, et enfin que trois sur&ces qui seraient aàsujéties à passeï parhuitpoints quelconques, doiventavoirmémq courbe d^înter section. Le thé(n:énie du problème lY a donc lieu pour trois sur&ces assujéties à passer par huit points quelconques.

PftOBïifeBiE VÏI* Exprimergue deux sections caniçues ont leurs points d'intersection situés sur tme fnéme ligne droite.

Solution, Le» deux sections coniques seront en gé^

( 39 ) nér&I représentées par les deux équfttions

tcmte combinaison de ces deux équations qui n'en augmenterait pas le degré sera de la forme

(a) (flm + i/m') a:* -f- ^ (*m + b'mT) xy + (cm + c'^')y^ 4. s (jdm-^-dfmf) X +û(em + eW) y+{fm"^fm)'=sio\

die représentera un lieu géométrique des points d'interseètîon des courbes ( i ) ; mais si tous ces points doivent ^ trouver sur une même ligne droite^ il feut que l'équation (2) puisse se réduire au premier degré, par la dis-^ parition àsB termes en ^, ^9 J^? ce qui donne

(3) am •+• dm* 'Si bm -f- b'm =€m + (ftdtsz o ,

OU bien encore, se déecmiposer en deux facteurs égaux en rc,^, ce qui exige que l'on ait les équations de condition

1(am + dm") (cm + c'm') = (bm + lfm')% (am + afm') (fm+fm") = (dm^d^fny, (cm + c'mO (fm +fm') = (em 4- eW)».

Dans le premier cas^ Félîmination du rapport -7 entre

les équations (3) conduit à deux relations ^ ss ^=77

entre les trois premiers coeificiens des équations des sections coniques proposées; elles indiquent qu'elles doivent être de même nature et semblables; leurs axes principaux étant de plus parallèles entre euxii Mais cea conditions ne déterminent nullement la distancerespeotive des centres ou des axes de ces courbes , en sorte que cette manière de résoudre la question démontre ce théorème.

Deux sections coniques 4e même nature, dont les

axes sont proportionnels en grandeur, parallèles en direction y n'ont et ne peuvent avoir que deux points communs.

Dans le second cas au contraire^ l^élimination du

rapport —7 conduirait à des relations eutrelescoefïicieos

des équations (i) exprimant que les sections coniques qu'elles représentent ont un double contact* Eji effet l'équation (a) peut d'abord être coiisidérée comme Ven^^ semble de deux lignes droites, qui finissent par se confondre en une seule quand le premier membre dei'équation qui les représente devient un quarré parÊtît. Tant que ces 1 ignés sont différentes , elles joignent deux à deux lesquatre points communs aux deux sections coniques, et l'on concevra aisément d'après cela , que ces courbes doivent avoir un double contact quand les dreites se confondent en une seule; cette réunion ne pouvant avoir lieu sans que les quatre pcmUs d'intersection se confondent aussi deux à deux*

Cette dernière manière d'envisager la question, four* lût une méthode pour trouver la position des axes prinr cipaux d'une section conique En effet, si l'une des sec* lions coniques proposées est un cercle de rayon E, dont le centre ait pour coordonnées a,é^^ on pounsi éliminer

entre les équations de condition (4) > le rapport -^etle

rayon R, la çlemière équation en a , ff, représentera le ï\eïi géœnétrique des centres de tous les cercles qui pourraient avoir un dçuble contact avec la section co-* nique donnée, et ce lieu géométrique est, comme on le sait d'ailleurs, l'ensemble des deux axes principaux. On résoudrait deux problèmes analogues aux précé*

dens, en chercbant les conditions nécessaires pour quo deux 8urfiice9 du second ordre se coupent suivant une com be plane. Si l'on exprime que la combinaison des éc|aationsde ces deux sur&ces doit se réduireà une équa^ tion du premier degré , parla disparition des termes d*an degrésupérieur, on démontrera cetliéorème, que, Deux rar&ces du second ordre de même naturey dont lesaxes seraient proportionnels en grandeur , parallèles en di« rection, quelle que soit d'ailleurs la distance respective de ces mêmes axes, ne peuvent se couper que suivant une courbe plane. Si au contraire on veut que la cornbinabon du second degré des équations proposées, se réduise à Fensemble de deux plans confondus, on aura des relations analytiques exprimant que les deux surfaces sont tangentes suivant une courbe plane, ou plus généralement tangentes entre elles.

2a. Cette manière de combiner les équations peut encore servir à exprimer la nature particulière de certains lieux géométriques. C'est une partie d'un éconcé qui exige souvent de longues recherches.

PnoBLÈxE I. Exprimer qyfune surface du second vrdre est cylindrique.

Soit l'équation de cette surface