aCy 4- aC» + D =s o
les coordonnées du centre seront données par les équar fions
i.^=B'j:+A>+B*+C'-o^ (a) i.^=Br;r+By + A'»+C''=o
(40 elles représentent trois plans diamétraux de la surface j si elle est cylindrique, ils doivent se couper suivant l'axe ; l'une quelconque de ces équations doit donc être une conséquence des deux autres. Si donc on multiplie la première par m, la deuxième par m! et qu'on les ajoute, on pourra disposer des indéterminées m et m' pour que cette somme soit identique avec la troisième. Si donc on élimine m et m' entre les quatre équations ,
Am + Vm' = B", 3"m + A' m' = B , B'm. 4- Bmf = A", Cm + Cm' = C ,
on aura deux relations pour Fexpression demandée. . .
(AA' ~ B*») C + (fi'B" — AB ) C -f. (BB" — A'B') C = o, (A'A" — B» ) C + ( B'B — A"B")C' + (B'B — A'B') C* =:. o.
Problème II» Expriiner qu^Une surface du second ordre est conique.
Dans ce cas, lé centre est situé sur la surface, et il &ut que l'équation L ss= o , et les écpiation» (a) aient lieu en même temps^ la première peut se mettre sous la forme
X (Ax + B'^J' +B'24. C)4-j^(B''x'-+- A> + B« +C') 4-z(B'x+By+A"6+C0 4- Oc+Cy+ifz+D—o,
et en vertu des trois autres , se réduit à
de sorte que poc^r achever la solution , il suffit d'exprimer que les quatre plans (a) et (b) se coupent en un même point.
Problème m. Expnmer qi^ Une surface du secùfid degré est Vensernble de deux plans.
Dans ce cas , d^ quatre équations (a)et(b) , deux quelconques doivent être une conséquence des deux autres; ce qui donne quatre relatÎ0¥is«
Si les plans sont parallèles, deux quelconques des équations (a) sont des consécpieDkces die la troisième j on a B'B*=5AB, BB*=2A'B', BB'=iA"B% BC=B'C's=B'(r.
Problème IV. Exprimer qu'une surface du second ordre est de révolution.
Soit toujours Lsso, l'équation dé la surftce; soient Uyb^Cy les coordonnées du centre ; Téquation de la çur&ce poun^a se mettre sous la forme
(0 A(a?— a)*+A'(;^-.iV+A''(a-cy+aBO— &)(*--.c)
+flB'(x--^)(2>--<r)4.aB''(^ï>^)^~*)+l>'==o-
Si la sur&ce est de révolution, il &ut que la sphère qui aurait pour équation
(2) (x^a)*+(jf^i)* + («-0'==R% la coupe suivant deux cercles, dont les plans seront perpendiculaires à Taxe de révolutipn^ et situés à ^ale distance du centre. Soient
les équations de l'axe ; celle des deux plans perpéiKÎi- .culuircs seront de la forme
(^ — c) 4- ^ (^— «) + "Cy*^*) == •-• et leur ensemble sera représenté par l'équation
(3) mXx-^ay+n\y'^by+ (a~c)» + a/i(y— -i) («— c)
I^es ifois lieux» géométriques (x), (13), (3) doivent donc avoir même intersection j il Ê^ut donc qu'en multipliant la première par l'indéterminée P, la seconde par Q.et les ajoutant, le résultat puisseèlreidcxitifié avec la troi-
sîème; ce qui conduira aux équations
BP = /i, irPzsï II», B'P = mit;
la première mdique la relation qui doit exista entre R et ce ; et comme le résultat doit être indépendant de ces quantités, il suffira de considérer les six dernières; si donc on élimine P. Q, m, n, le résultat se composera de deux équations qui constitueront l'expression de* mandée
