BB" (A" — A ) = B' (B*— B"0, B'B ' (A" — A') = B (B'* — B

Ce résultat étanlindépendant des coordonnéesducentr^ a encore lieu pour exprimer qu'un paraLoloïde est de révolution.

TJiéorie den Transversales.

s3. Dans toutes les applications précédentes nous avons nommé ligne du second degré , tout lieu géométrique indiqué par une équation à deux coordonnées x ^ly élevées seulement aux deux premières puissances, et sur&ces du second ordre , toute sur&ce qu'une équation du deuxième degré à trois variables pourrait représenter. U suit de là, que l'ensemble de deux lignes droites est compris dans la première dénomination, que l'ensemble de deux plans est une sur&ce du second ordre. C'est peut-^e pour ces réunions de lieux géométriques du premier degré , que l'Analyse a le plus besoin des tbéorèmes que nous venom de démontrer. Les problèmes les plus utiles qu'on puisse lui pi-oposer^ r^ardent souvent la ligne droite et le plan ;

elle ne doit àont ]>as n^liger tout ce qu'elle peut ap» prendre sur la transformation de leurs équations.

En général , quand ou doit considérer les intersections d^tm ensemble de deux lignes droites avec des lieux gécmiétriques du second degré, il est plus simple d'exprimer cet ensemble par une même équation ; on dinû** nue par ce. moyen le nombre des éliminations; souvent même cette conformité du degré des équations à combiner peut seule conduire à un résultat prompt et satiâ&isant} on dirait que l'Analyse se plaît à mettre en rapport des lieux géométriques d'une même classe ^ et qu'elle montre a u contraire de la répugnance à rap-» procber des classes différentes.

Pour donner unepreuvefirappante de l'utilité de cette remarque, nous ferons voir avec quelle &cilité FAnalyse peut démontrer les principes de la théorie des transversales.

Problèmk. Siparunpointfixepriêsurleplanâ^une section conique donnée, on mène deux sécantes à cette courbe, que Von joigne par des droites les extrémités réciproques des cordes résultantes, quel sera le lieu géométrique de V intersection de ces nouvelles sécantes? La ligne du second degré donnée peut , dans tous les cas, être représentée par l'équation

Soit ce, C les coordonnées du point M donné, ft\ C

celles du point M' dont on cherche le lieu géométrique j;

l'ensemble des deux premières sécantes aura ime équa*

tion de la forme

(a) (y-.C)»4 3A(ar-4)(jr-.C) + B(x~#y=.o;

tes deux autres seront représentées par une autre équa-

ne y

tion analogue,

(3) Cy-C^r+aÀ^(x-ctO(y-.C) + B'(x-iO*«o.

Les lignes (i), (2), (3), devant avoir mêmes points d^intersection , on devra avoir entre les cœfixciens des équations qui les représentent, et les constantes arbitraires m et m'y les six relations

mff+mT+mA*+ m'AV s=: o , 7nJB*-f-m'BV4-mAC+m'A'ff' :=r ^, mC*4^V«4-fl7nAiiC4.am'AVC4^iiB#«+m'BV»== o.

Si Ton substitue A' et B' en fonction de A et B dans les trois dernières, elles deviendront

7iiC-f- m'? «4- «A («—*') c=o,

+ mB(« + «')(«—•') 4- p»'» =0;

l'élimination de A et B entre ces trois équations con* duità

(i» + m')flr + (p*'— ç)(- + 0)— P«'*=o;

considérant que (m -f- m') £=: i en vertii de la première des équations (4)9 on aura

(5) fl?' + p-' = ç(«+*'); on en déduit que le lieu géométrique demandé est ime ligne droite. Si le point donné tf , € , est extérieur à la courbe (i), la droite (5) joint les points de contact des deux tangentes menées par ce point à la section conique. Cette réponse à la question proposée fournit un moyen de mener des tangentes à une section conique donnée par un point extérieur, sans autre usage que celui de la règle. Par le point donné M (fig. 8) , on ntè^ nera deux sécantes ouelconciues MAB, MA'B^ on ioin*

Aa AÀ', BB'; A$' et A'B, le point d'intetscfction des deia premières droites , celui des deux deruières devant être situés Sus la ligne qui joint les points de contact^ cette ligne est déterminée y et son intersection avec la courbe donnée détetininera aussi les points de contact ^ et par suite les tangentes.

Si la section conique était Tensenible de deux lignes droites, la nouvelle droite que Pon obtiendrait pour le lieu géoniétrique y irait nécessairement passer par l'in*» tersection des deux premières. On peut déduire de cette remarque une solution graphique de ce problème. Par un point donné, mener une droite qui aiUe passer par le point de concoms de deux autres droites données qu'on ne saurait prolonger.

L'im des points M , M' pouvant être supposé situé à l'infini, on peut regarder comme démontrées les deux propositions suivantes, dont la première nous sera très utile pa f la suite.

Teqsorème. Si Pon Joint deux à deux les extrémités réciproques de deux cordes parallèles dPune section conique, les points à^intersection de ces nouvelles sé^ cantes seront situés sur le diamètre qui divise ces cordes en deux parties égales.

Théokème. Si les deux ligneshcy b^c'(fig. 9), sontpa^ rallèles à la base BG du triangle ABG^ les droiteshc' ^ hd se couperont sur la ligne qui joint le sommet A et le milieu de la base du triangle.

La réponse à la question précédente pourrait se déduire de la solution du problème suivant , analogue,

PaoBLÈME. Deux cônes du second degré et une surface du mém^ ordre j ayant une intersection communes

( 48 ) 61 le êommet de Pun des cônes reste fixe, que la trop- 6ièms surface soit aussi constante déforme etde po* sition, quel sera le lieu géométrique du sommet du second cône?

Les équations des troSà surfiices seront, en représen** tant par a;', y'^ z\ ar*', y, «*', les coordonnées des sommets des deux cônes ^

(0 (x--xy+«0'-y)^+*(*-^T + ac(x-.«^)(^— y)

+ 2cf(x-a0(«-O+a€^(y-y )(*-*') = O, {3) ^x* -f- qy^ + /j&* 2= a^x -f» aïy.

Chi expximcm ({ue ces trois sur&ces se coupent suivant une même ligue , au moyeu de dix relations entre les cùéSSLCieasa^byCjQ\c.^e^yb\c\ etc.,/1,7, r, Sj i^ et deux indéterminées m et m'y si l'on âimine entre ces dix équations neuf des ^ coeffidens a , & , c, etc., a\ h\c' ...\ le résultat sera indépendant du dernier et des constantes m et 77»', et Téquation finale

(4) pa^x*+^y + r»V=*(x'+x^)+^(j'4.y);

indiq[ue que le sommet ^y^y x'' est constamment situé sur un même plan. Lorsque le sommet fixe (x', y\ z') est extérieur à la surface (3) , ce plan est celui de contact avec la sur&ce (3) du cône de tangence qui aurait sou sommet au point (x^, y y z'). En efiet, si Ton désignait par x'y y y z' les coordonnées courantes; par oi\y\ z*' celles d'un point de la surfiice (3)^ son pkn tangent en ce point aurait pour équation y Féquation (4) ; si au contraire x'^y^ z' sont constans, poiu* exprimer que le plan tangent doit passer par un point fixci cette équa^

(49) lion exprime le plan sur lequel se troure&t tous les points de contact «"^ y^\ J\

L'un des cônes pouvant se réduire à FensemLIe de deux plans, on peut regarder comme démontré que :

Si un cône du deuxième d^é ayant son sommet en un point m, coupe une sur&ce du même ordre suivant deuxcourbes planes, les plans de ces deux courbes et celui de contact du cône de taiigence, à la sur&ce donnée ^ ayant son sommet au point m , se couperont tous trois suivant une même ligne droite.

D'ailleurs ou sait que si le sommet d'un cône tangent à une sur&ce du second ordre, se meut sur une ligne droite donnée, le plan de la courbe de contact passera toujours par la droite qui joint les points de contact des plans tangens à la sur&ce menés par la dix)ite donnée. î)n peut donc encore r^arder comme démontré par la solution précédente, i*. que si le sommet (:i;',j^', z') du cône (i) se ineut sur une droite donnée , le sommet («", y\ z") du cône (a) se mouvra sur une seconde droite , laquelle passera par les points de contact des plans tangens à la surfitoe (3) menés par la première droite.

3*. Que si l'intersection d'un cône du second d^ré^ et d'une surface du même ordre se compose de deux courbes planes, que les plans de ces courbes passent par une droite donnée, le sommet du cône sera situé sur la droite qui joint les points de contact avec la surface des plans tangensmenés par la ligne fixe. Enfin , dans ce dernier cas, si parla droite qui joint ces points de contact, on conçoit un plan quelconque, qui couperait la sur&ce suivant une section conique, le cône suivant

deux arêtes 9 les plans sécans et tangens suivant des lignes droites passant par un même point, on pourra conclure aisément la solution du problème analogue ^ relatif aux courbes du second d^é qui est résolu direo tement ci-dessus.

Toutes les fois qu'il s'agit de résoudre deux problèmes analogues y Fun dans L'espace y l'autre sur le plan , il vaut mieux commencer par résoudre celui de l'espace ; souvent on en déduit rigoureusement la solution demandée sur le plan, tandis qu'en résolvant d'abord la question la plus simple, on ne ferait que deviner l'autre par analogie* U y a même quelquefois de l'avantage à traiter d'abord le problème de l'espace analogue à un pro* blême proposé seulement sur le plan ; par exemple , on ignorerait beaucoup de solutions élégantes du problème du cercle tangent à trois autres , si leurs inventeurs ne les avaient été chercher dans les sphères. 11 est vrai qu'en généralisant ainsi un problème, on peut le rendre plus compliqué ; mais aussi cette généralité donne-t-^lle une solution plus applicable à tous les cas particuliers de l'énoncé. C'est , pour ainsi dire , une question d'A rithmétique résolue par l'Algâ>re, pour obtenir ime &rmule où se trouve écrite la réponse à toutes les questiens semblables.

Détermination des courhee et surfaces par la Géome^

trie descriptipe.

:tJ^. En appliquant aux lignes et sur&ces du second degré, le moyen d'élimination que nous avons indiqué, nous avons déduit de la simple considération de quelqueséquations, la démonstration de plusieurs théorèmes

qui peuvent servir à la solution complète des problèmes suivans.

Problème I. Fêtant donnés quatre pointa sur un

plan, déterminer graphiquementtousleséUmens d'une parabole assujétie à passer par ces quatre points.

Soient A , B , C , D (fig. i o) les qoatre points donnés ; les droites AfiM, CDM peuvent être considérées dans leur ensemble comme une section conique , ayant avec la parabole à déterminer quatre points co^mmuns ; il en sera de même des droites AM), BNG D'après le tbéo^ rème du Problème IJ (page 82), les diamètres conju-* gués à un système quelconque de cordes parallèles^ appartenant à ces deux réunions de lignes droites, et à la parabole demandée , devront se couper en un même point. H suit de là, que si l'on pouvait déterminer la direction des cordés , pour lesquelles les trois diamètres conjugués sont parallèles, la direction de ces diamètres aérait celle du grand axe de la courbe chercbée«

Soit donc proposé de mener par le point B une droite BX, coupant AD en X, DC en Y, telle qu'il y ait parallélisme entre les lignes qui joignent les sommets M et I^, avec les milieux respectif des cordes BY, BX. Supposons le problème résolu; Considérons le parallélogramme BI^Q, les lignes P(Q, BX en seront les dia^ gonales, par conséquent, l'angleGBG^DNCet la ^dite BX partage en deux parties ^ales la corde RjN et toutes celles qui lui seraient parallèles* On devra donc avoir PEi=PP, E et F étant les points de rencontre de MP, parallèles àNQ, avec les deux côtés de l'angle GBG; la figure BFYE sera donc un parallélogramme. On aura alors les proportions

ey:fc:;my:MC, eg:fy:;mg:my.

(50 maîsEY=BFetEY:FC::EG:FY;onadonc

bf:fc:;my;mc, bf:fc::mg:my;

ces deux nouvelles proportions multipliées Tune pat l'autre 9 donnent

MF*:Pc^:5ïG:MC;

on pourra donc à priori déterminer le point P, et par suite la direction MP qui doit-4tre celle du grand a^^ ou de tout autre diamètre delà parabole cherchée. Le point F pouvant être situé sur BG ou sur son prolongement y on voit <{u'il existera deux directions MP^ et par suite deux paraboles assujéties à passer par les quatre points donnés \ c'est un résultat que le calcul nous avait offert dans une autre circonstance. {Problème II, pag. Ztk).

Ayant ainsi déterminé la direction des diamètres de la parabole I proposons-nous de mener une tangente à cette courbe, en un des points donnés , par le point D^ par exemple* Cette tangente doit-être parallèle aux cordes que le diamètre DE (fig. i k) divise en deux par-» ties ^ales« Si d'un point qudconque de ce diamètre ^ on pouvaitmenei deux tangentes àla parabole , la drbitft qui joindrait leurs points de contact serait conjuguée à ce (Ëamètre ^ par conséquent parallèle à la tangente au point D. Or, si l'on prolonge BA jusqu'à la rencontre de DE en F, il sera aisé de déterminer la position de la ligne de contact des tangentes menées par ce point. En efiet, la ligne FBA est une sécante ainsi que la ligne FDE, pour laquelle un des points d'intersection avec la courbe est situé à ]i'infini ; si donc on joint deux à deux les intersections réciproques de ces deux sécantes avec la section conique cherchée par les droites AMD et BM

parallèles a DE , et encore par les droites D^ et NA aussi parallâes à DE^ les points M et N d'intersection de ces noirrelles sécantes j devant être situés sur la ligne de contact des tangentes , à la parabole menée par le point F^ elle sèrsi déterminée par cette construction | ainsi que la tangente au point D qui doit lui être paral<» lèle»

D'après ceh^ il sera aisé de trouver la position du ibyer, le grand axe, et le sommet de la parabole cherchée. En ^et, la tangenteen un point D étant construite^ pour trouver celle en tout autre point , au point B, par exemple, il suffit d'observer que ces deux tangentes doivent se couper en unmémepointK(fig. 1:3) , intuésur ledistmètreconjugnéàlacordeBD. Les lignes menées des point de contact au foyer sont autant inclinées sur les tangentes que les diamètres; si donc on les construit au moyen de cette propriété, leur point d'intersection sem le foyer F, et donnera un des pointa du grand axe dont on connaît la direction. Pour trouver la position du sommet, on prolongera le diamètre GB deBNs=:BF; la droite I^, perpendiculaire au grand axe, sera la di^ rectrice, et le milieu SdeFL le sommet de la parabole.

Problème II. Déterminer graphiquement tous les élémens d^une section conique assujétie d passer par cinq points donnés sur un plan.

Soient A,B, G, D,^E (6g. i3) les cinq points donnés^ les lignes AB| GD peuvent être considérées dans leur en^ semble comme ime section conique , ainsi que les droites AC, BD;cesdeuxHeuxgéométriquesdudeuxièmedegi*é ayant quatre points A, B,.G, D communs avec la courbe cherchée^ les trois diamètres conjugués aux systèmes

de cordes parallèlesàDE, secouperontenunmêmepoîiit P, qu'il est aisé de construire, puisque Ton peut déterminer les deux diamètres conjugués correspoodans aux deux lieux géométriques du deuxième degré (AB , CD) et (AC, BD) : la droite qui joindrait ce point Pet le milieu Q de la droite DE sera donc le diamètre conjugué appartenant à la section conique demandée. Par une construction entièrement semblable, on construirait la direction d'un autre diamètre de cette même courbe conjugué à la corde A£. L'intersection de ces deux diamètres sera le centre de la section conique cherchée^ S^ils étaient parallèles , la courbe du second d^ré qui pas^rait par les cinq points donnés serait une parabole^ dont on déterminerait les autres élémens comme dans le problème précédent.

Si le centre n'est pas situé à l'infini, la courbe sera, une ellipse ou ime hyperbole; son centre O et trois de ces points A , B , C (fig. x 4) suffiront pour la déterminer entièrement^ Pour y parvenir, nous nous proposerons d'abord de trouver la position de deux de ses diamètres conjugués. Soit prolongée la ligne AO de ODs;; AO; D sera la seconde extrémité du diamètre AOD« Si d'im point fixe pri^ sur ce diamètre on suppose menées deux, décantes à la courbe , qu'on joigne deux à deiix les ex'-^ trémités réciproques des cordes qu'elles déterminent; ces nouvelles sécantes se couperont sur une droite con-* pguée au diamètre AD (pag^ 4^). Si donc on prend pour point fixe > le pcôntMderencontrede BG avecDA^ et pour sécantes ces mêmes droites , le point P d'inter^

section des droites ABv^>^^l^P^^^Qd'ùitei*^c^îoQ de AC et DB détermineront la direction PQ du diamètre

OE conjugue à AD. Une parallèle BR à OE assignera la nature de la section ccmique; si eUe vient rencontrer le diamètre AO entre A et D , la courbe demandée sera tme ellipse, et une hyperbole dans le cas contraire*

Si la section conique doit être une ellipse , on pourra déterminer lalongueur dudiamètre conjuguéà AO , connaissant AD, la direction OE(fig. i5) etlepoint Bseule* ment. En effet, soit AO=:m, £0==7z=Ie demi*diamètre inconnu; on observera que dans l'ellipse proposée rapportée à ces deux diamètres , et dans celle qui aurait pour axesrectangulaires ADs=:2m, etHOILs: a/^ des ordon* nées d'égales grandeurs correspondent aux mêmes abscisses. Sidonc onélève PQ=PBperpendiculaireà AD^ tl suffira de trouver le demi-axe n d'ime elHpse dont le second demi-axe OAcsm serait donné, et dont on connaîtrait de plus un point Q. Pour cela on décrira du rayon A un cercle concentrique a la courbe proposée ,

leqael viendra couper PQ en un point R, tel <pe^

PR

fera égal à p^. Pour construire 0E:= n quatrième proportionnelle à m, 1^, PR, soit pris OS ss m ; la droite SR viendra couper OA prolongée en un point Y, et YB devra passer par le point £.

G)nnaissant ainsi les grandeurs et les directions de deux diamètres conjugués de l'ellipse proposée, on peut déterminer les deux axes principaux de cette section conique. En effist, la tangente TAT' (fig. i6) parallèle à OE, doit couper les deux directions OT, OT' <le ces axes en des points T et T/, tels que l'on ait AT X AT^

S3= OE s=: 71* (ce qu'il est fiicilede vérifier par l'Analyse); H donc au point A on élève AFsOE perpendiculaire

à la tangente AT, il suffira pour déterminer les points Tetl', de construire un cercle qui passerait par les points F et O, et qui aurait son centre sur la tangente, ïl ' étant le diamètre de ce cercle d'après cette construction, AT X AT'= AF'=:DE* et Tangle TOT' sera droit. Enfin, pour trouver la longueur des axes de l'ellipse, sur 01', comme diamètre , on décrira un cercle qui rencontra AP, parallèle à OT, en u^ point Q, de sorte que T'Q sera tangent au cercle de réy on OQ qui aurait son centre en 0} il sera aisé , d'après cela , de démontrer que OQest le demi-axe A dont OT' serait la direction ; le second demi-axe B sera ensuite donné par la

proportion r= =s-r-, et tous les élémens de l'ellipse

font connus.

Si la section conique doit être une hyperbole, on pourra se proposer de déterminer les asymptotes de la courbe. Soit AO (fig. 1 7)undemi-diamètre , AT la direction de son conjugué j AT sera la tangente au point A, et si Tet T'sont les deux points de rencontre avec les deux asymptotes, on devra avoir AT= AT', Soit B un autre point de la courbe , C le point milieu de la corde AB ; si A', B' sont les points d'intersection de cette sécante avec les asymptotes, on devra encore avoir B'C = A'C, Supposons menée TS parallèle à AB ; elle coupera OC en mi point Ftel,queFTs=:FSa=:AA',puisqucTA=?=T'A et A'Css= B'C. Soit encore D le point d'intersection de AT et CO^ les lignes AT, AD seront parallèles ainsi que A^O et AF, ce qui donnera les proportions

CA: CA'::rD:CF, CA: CA';:CP:co,

(57) qtii multipliées Funepar l'autre ^ donnent enfin

ca:ca*::cd:co;

on pourra donc aisément déterminer le point A^ e^ par «uite les asymptotes. Opérant la bisection des angles qu'elles font entre elles, on aura la direction des axes principaux de l'ii^rperbole. Si Ton suppose ce lieu géo* métrique rapporté a ses deux asymptotes comme axes coordonnés , le produit des coordonnées correspondantes a un point quelconque, doit être égal au quarré de la demi-distance du centre à Fan des foyers ; on pourra donc aisément déterminer cette distance entière. Con-* naissant ainsi les fcyers, la distance du centre au pied de la perpendicidaire abaissée d'un des foyers sur une asymptote, sera la longueur du demi-grand axe de l'hyperbole , et les éltmens de cette courbe seront tous déterminés.

Problème UL Déterminer le sommet d'un cône dont on donne huit points, suçoir, cinq sur un plan, et trois dans Vespace.

Soient A, B, C, D, E les cinq points situés sur un même plan , F, G , H les trois autres ; les cinq premiers déterminent ime section du cône proposé (fig. 18), dont il est &cile de déterminer le centre et par suite tousles ëlémens. Soit S le sommet demandé j les droites SF,SG, SH étant des génératrices du cône, viendront rencontrer en F', G', H' la courbe ABCDE. Les trois côtés du triangle inscrit FG'H' rencontreront les cÀtés correspondans du triangle FGH, en des points M, N, P situés sur la commune intersection des plans ABC, FGH: comme ces points sont Êiciles à déterminer à priori, la

(59) détemiinnt'u»! du triaDgle FG'H' ne dépendra que dé la solution de ce prohlème.

Inscrîredam unesectionconigue donnée untriangle éont les côtés soient assujétis à passer ptir trois points donné» sur unaméme droite.

Ce problème étant toujours susceptible de deux solutions, on pourra par la construction que nous Indiquerons plus bas, déterminer deux triangles F'G'H', F'G"H", dont les côtés passeroot par les trois points M, N,P, et de là les sommets S de deux cônes passant par les buit points donnés..

Hemarguei Un de ces c6nes est dét^miné par son eonunet S et sa base ABCIffi. Avec ces données on peut aisànent construire son plan diamétral conjugué à un système de cordes parallèles donné. Soit par exemple SL la direction de ces cca-des ; on mènera par cette ligne deux {dans quelconques ; cbacun d'eux coupera le cône suivant l'ensemble de deux droites, ligne du second degré dont il est facile de déterminer le diamètre conjugué à la direction SLj on aura ainsi deux diamètres conjugués à cette direction; le pkn qui les contiendra sera le plan diamétral demandé.

Revenons maintenant à la solution du problème dé Géométrie plane que nouin'avons £iit qu'indiquer. Afin de ne rien emprunter d'aucune théorie étrangère , j'exposerai ici une construction de ce problème, déduite . d'une analyse qui semble devoir au premier abord conduire à des résultats craupliquéa, mais qui se simplifie nngnlièronent.

Supposais que la section conique proposée soit une

dlîpse, son éqiuitioxi sera de la forme

Soient a, €, a\ C\ J\ Ç\ les coordonnées des pointa M, N , P j x\ y celles du point G' inconnu^ liées par la relation

les droites MG'^ MG' auront pour équations

(y-y) (^ — ')- (^-^ (y -C^ =ô; leur ensemble pourra être représenté par Téquation

(3) (j.~y)^(x'-.a)(y-«0~(*~^)Cy-y')

lies coordonnées de tout point d'intersection des deux lieux géométriques (i) et (3) devront satisfidbre à ces deux équations , et à toute combinée de ces mêmes équations. Les équations (i) et (2} donnant par leur soustraction

et par la substitution de ce rapport dans l'équation (3)

liCS lieux géométriques (3) et (4) passent tous deux par les points F'^ H^ Si l'on ajoute ces deux équations après avoir divisé la première par a*6*, on aura, toute réduction feite, en vertu des équations (i) et (3),

G^est l'éqaation d'ime ligne droite qui devant passer par les points F', H', n'est autre que F^'. Si cette di oite devait être parallèle à MTf , c'est'«Klire si le point P était litué à l'infini but cette (droite , réquatlon ^5) mise sous la forme 7n-H-nv=î pdevrait donner -^^-7'+'--=t^ ou bien en substituant les valeurs de nt et de n ,

«l' tfy' «V 1^/

(6) jr-^= W'—^'

c*est en x^^ y', l'équation d^une droîteqni, par son intersection aTecl'ellipse proposée, donnera le point G'; on peut aisément k construire d'après les considératioDS suivantes..

Les droites T, T' qui joignent les pointb de contact des tangentes à la courbe (i) menées par lès points M^ K, ont pour équutions

mx ^ "'* y '•

ent-pt q les peipendiculaires abaissées du poiut G'^ n celles abaissées des points M, N sur ces droites

it T'; l'équation (6) se réduira à -^ = - ^ilsulfitdonc, ir construire la droite (6), de mener lUELparall^e à NK à T' et de joindre K avec le point I d'intersectiou T et T'. Cette construction s'mple devient indépennte de la nature de Ift courbe proposée ^ elle a donc

Mea lorsque celte courbe est une liyperl>ôle ou une pa« rabole.

Si le point P est placé d'une manière quelconque par rapport aux points M, N^ l'équation (5) devra être sa^f tis&ite en j fidsant x^ssa^^yssC^ l'équation résul«» tante en x^^y, sera celle d'une ligne droite qui, par sua lutersection avec l'ellipse proposée, donnera fe point 6^; on pouna aicore la construire par des considérationi analogues aux précédentes.

Soient en effet T, T', V les droites de contact des {loints M , N , P j p , //, p^ les perpendiculaires abaissées du point G' sur ces trois droites ; A et B'ceiles abaisséies de N et P sur T, A' et B' deM et P sur V^ l'équation en x',^ deviendra

(5) p-'lf+^f-

Soient encore m , m\ m!' les trois côtés du triangle formé

par les droites T, T% T'^ soit -— sa sur&ce; on doit a^v^oir

si on éBmine p^^ entre (6) et (5), on aura entre p et p' la relation

elle représente eapeip^ une droite que l'on peut con* struire aisément dans l'angle des deux droites T et T'.

Lorsque le point P est sur MN, on sait que les droites T, T^, T"^ passent par un même point ï; on a dono /t = o, in=so, m'sso, m^'=o; mais les rapports

^,^, sont finis et égaux àj^^^i ^, en représentant par

M, M', M?, les longueurs des trois côtés d^un triangle dont les directions seraient parallèles à T, T', T' j d^s ce cas l'équation (7) se réduit à

et la droite G'G'^ passe aussi par le point I. La construo* tion des équations (7) et (8) devenant indépendante de la nature de la section conique proposée ^ sera la même poiir l'ellipse, la parabole et Fhyperbole.

Problème lY. Déterminer le centré et par suite trois diamètres conjugués d^une surface assujétie à passer par cinq points sur un plan, et quatre points dans Vespace.

Soient A, B, C, D , E les cinq points situiés sur un même plan, F, G, H, K les quatre autres; on déterminera par le problème précédent les deux cônes passant par lès huit premiers poiats. En vertu du Scholie du Problème VI j pag. 38, les plans diamétraux de ces deux cônes et de la sm^face, conjugués à un système quelconquede cordes parallèles, secoupentsuiyant une ^nêmé droite. Soit doue L la droite d'intersection des plans diamétraux des cônes conjugués à la direction FK; le plan qui la contiendra , ainsi que le point milieu de FK , passera par le centre de la surface demandée. Si Ton construit de la même manière les plans diamétraux de cette sur&ce conjugués aux directions GK et HK; on aura trois plans dont le point d'intersection sera le centre O de la sur&ce demandée.

Pour déterminer con^lètemeut la sur&ce proposée ^ nous considérerons successivement les différentes natives de la courbe ABCDE.

t^. SI cette cotirbe est une ellipse (Cg. 19), soitCV son centre ^ 00' est la direction du diamètre conjugué au plan ABC ; le plan OOT <iétermine une section MNF de la sur&ce aisée à construire, puisque l'on connaît deuxdecespointsM, F, lecentreOet les directions 00', MN de deux de ses diamètres conjugués ; cette section MNF est une ellipse ou ime hyperbole. Si c'est une elUpse , la surfiice proposée est un ellipscû'de dont on peut construire le système de trois diamètres conjugués. Soient à cet effet , PQ y MIS' les longueurs des diamètres de la section MNF, dont 00', MN sont les direclicms; soit sur le plan ABC, SO'R le diamètre conjugué de MOINT, PQ et S'O'R' les diamètres conjugués de la $ec-^ tion PSQ &cile à déterminer ; les trois diamètres PQ, WJU'y S'R' seront conjugués entre eux. Si la section MNF est une hyperbole (fîg. 30) , la sur&ce proposée est un hyperboloïde; cet hyperbolotde n'a qu'une nappe si les points M et N sont sur deux branches différentes de l'hyperbole MNF, il y en a deux au contraire lorsque ces points sont smr une même Inwiche de la courbe ; quoi qu'il en soit , on pourra construire les asymptotes ON^, OM^' de la courbe MNF qui viendront couper le. plan ABC en M'' et N''; la courbe menée par ces deux points semblable et concentrique à ABC appartiendra au cône asymptotiqae de la surfiice ayant son sommet au centre O , lequel sera complètement déterminé par cette construction.

3^ Si la courbe ABCDE est une hyperbole (fig. ai) dont O'S, O'S' sont les asymptotes^ la sur&ce proposée ne peut-être qu'un hyperboloïde; les parallèles OT et OT' à 0^5 et O^S' sont des généritrtçes de son cône

Qsymptotiqne. SI parla droite OT l'une d'elle et le point F on &it passer uu plan , il coupera la courbe ABC en un poîntunique M ; la section MOF est luie hyperbole dont OT est une asymptote. Soit Tle point de rencontre de MF et de OT; on prendra sur MF, MR=TF, et RO sera la seconde asymptote de Fhyperbole MOF : cette nouvelle génératrice du cône asymptotique viendra rencontrer le plan ABC en un point Y; selon qu'il sera à l'extérieur ou à l'intérieur de la courbe ABC , Hiy perboloïde n'aura qu'une seule nappe ou en aura deux ; dans tous les cas, la courbe menée par ce point Y semr* blable et concentrique à l'hyperbole ABC, pourra être considérée comme la base du cône asymptotique dont O est le sommet.

3*. Enfin, si la courbe ABCDE est une parabole , la 8ur&ce proposée est un hyperboloïde ; une parallèle OT aux diamètres de la courbe ABC est une génératrice du cône asymptotique de la surfitce. Le plan OTF coupe la parabole ABC en un point M , cette section est une hyperbole dontOT est une asymptote; on peut done déterminer le cène asymptotique comme dans le cas précédent.

I^s trois plans qui, par leur intersection déterminent le centre O de la surface demandée, peuvent être tels^ que l'un cpielconqne d'entre eux soit parallèle à l'intersection des deux autref^. Dans ce cas , le centre est situé à l'infini sur cette droite qui est un diamètre , et la sur* face est un paraboloide.

I*. Si la courbe ABCDE est une ellipse, le paraboloïde est elliptique. Soit O' (fig. 22) le centre de ABC, O'O un des diamètres de la sur&ce j le plan O'OF cou*

pera la e<mrl>e ABC en deux points M , N ^ cette section MDKF est une parabole aisée à construire , connaissant trois de ces points M, N, F et la direction O'O de ses diamètres; soient PO, RO'S les diamètres des courbes MINF et ABC conjugnés à BfN ; la section PUS sera une autre parabole de la surface conjuguée à la Courbe MjNP et au plan ABC.

a"*. Si la courbe ABCDE est une hyperbole , la surface doit être un paraboloïde hyperbolique. Soit toujours (V le centre de ABC (lig. 2 3) , O'O là direction dCvS diamètres de la surface; par la ligne FO parallèle à O'O, on peut toujours &ire passer un plan qui coupe Fhyperbole en deux pmnts M et M situés sur une même branche, la section résultante M]NF est une parabole dont on peut fiicilem^it déterminer les élémens. Soit RO' le diamètre de ABCconjuguéà MHS, leplan RO'Ocoupera les courbes ABC, BIPfF en des points R, S et F; la section RSP sera ec<x)re une parabole facile à construire. Soit Q le point où elle coupe CVO; si Ton fliit descendre en ce point Q comme homologue à Pla parabole MPNF, son plan sera» le conjugué des deux autres ABC , RSP.

3*. Enfin si la courbe ABCDE est une parabole, son Qjce doit être nécessairement parallèle à la direction FO des diamètres du paraboloïde. Si donc on mène un plan par deux des points donnés F et G, et par la ligue FQ, il coupera la courbe ABC en un point M, la section MFG sera une parabole Êicile à construire. Par un troi« sième point H on mènera un plan qui coupera la para* bole ABC en deux points L et N , la parabole MFG en deux autres P et Q; çt soiyant que la section HLINTQ

âem <m tme eUipêe ou une hyperbole, ou adieverai la oonstructiou comme dans un des cas précédens.

Les plans qui par leur intersection déterminent le entre O, peuvent se couper suivant une même droite, alors la sur&ce est un cylindre dont cette droite est Faxe ; dansoe cas, la courbe ABLDEdoit necessairemair avoir im centre, et peut être considérée comme la direc* trice du cylindre*

Enfin si ces plans sont parallèles, k smrfiice ne peut étrequ'un cyfindre parabolique. Alors la courbe ABGDE ne peut être qu'une parabole dont l'axe est paralli^e aux plans diamétraux de la sur&ce. On aura la génératrice de ce cylindre, en menant par le point K un plan parallèle aux plans diamétraux; il- viendra couper la courbe ABC en un point M,MK. sera la génératrice

Dans tous les cas , les âémens de la sur&ce que nous avons déterminés suffiront pour construire son plan 4iamétral conjugué à une direction donnée.

x^ Quand la sur&ce est un ellipsoïde, on connaît trois de ses diamètres conjugués PQ, WjU'y ÎCS^ (fig« 19). Soit XOY le diamètre dont on demande le plan dia-* métrai conjugué. La section M'OX a pour diamètres conjugui^ M'O et OT, intersection des plans R'OPj M^OX-; dlle est donc connue entièrement ; on peut y construire un premier diamètre OV conjugué à Oî ; par une construction entièrement semblable, on aura. OU autre diamètre conjugué à OX situé dans la section R'OX ; le plan TOU sera le plan diamétral demandé*

a^. Quand h, sur&ce est un byperboloîde, on conniât tcm cône asymptotique, lequel a le même plan diamé'*

(67> faml oonjugoié à la direction donnée qae la suriace de* mandée; alors la remarque du proLlème précédent donne le moyen de construire ce plan diamébral.

3^. Quand la sur&ce est un paraboloïde^ on connaît en un point S deux paraboles conjuguées , et une section ABCDE parallèle au plan tangent de la sur&ce au point S, et dont le centre est sur le diamètre SO de la surface. Soit SX la direction donnée, on mènera un plan paral«ièle à OSX qui coupera la courbe ABGDÈ en deux points M et rï, et l'une des paraboles conjuguées en un point P , on déterminera le diamètre de la section MNP conjugué à la directionSX. On répétera ensuite la même construction pour un autre plan toujours parallèle à OSX* L'ensemble des deux diamètres conjugués a SX ainsi obtenu, déterminera le plan diamétral demandé.

4*. Quand la sur&ce sera un cjlindre, on fera deux sections dans la surface parallèles à la génératrice et à la direction donnée ; chacune de ces sections sera l'en-^ semble de deux droites parallèles j leurs deux diamètres détermineront le plan diamétral demandé. Si le cylindre n'est pas parabolique , une seule section suffit y tout plan diamétral devant passer par l'axe.

Problème Y. Déterminer le centre et par suite trois diamètres conjugués d'une surface du second ordre assujétie à passer par quatre points sur un plan et cinq dans Vespace.

Soient A, B, G, D les quatre points qui sontsur un même plan; E^ F, 6, H^ K les dnq autres. Soient £', E" deux points quelconques du plan A, B, G, D; par les neuf points A, B, G, D^ ^\^y ^9 H, K, on fera passer une sur&ce (Problème IV)^ une autre par les

(68) neuf autres A, B^G, D, t!^j F, G, H, K. On détenrn^ ctera les phns diamétraux de ces deux surfaces conjugués à la direction EF. Soit L leur droite d'intersection 5 le plan qui , k contenant, passera par le nûËeu de EF, sera un plan diamétral appartenant à la surface demandée. On construira de la métne manière les plans diamétraux de cette suHàee conjugués aux cordes £G, EH; on aura alors trois plans dont l'intersection sera le centre O de la surfece. Le plan ABCD coupera cette surface suivant une courbe dont le centre O' sera l'intersection de ce plan et du diamètre 00' conjugué à cette section ; Im droite OO' est l'intersection de deux plans diamétraux conjugués à deux diamètres parallèles au plan ABGD, plans qu'il est &cilede construire au moyen des surfaces auxiliaires. Le centre O' étant connu , la section ABCD s'en déduira aisément. On achèvera ensuite la solution comme dans le Problème IV.

Problème VI. Déterminerle centre et par suite trois diamètres conjugués d*une surface du second ordre assufétie d passer par neuf points donnés éPunemanièï^ quelconque dans P espace.

Soient A, B,C,D,E, F, G, H, K les neuf points donnés. Soient encore D', D" deux points quelconques du plan ABC. On fera passer une suriàce par les neuf points A^ B) Gj D\ £, F, G, H, K, une autre par les neuf points A, B, G^ D", E, F, G , H^ K. Attmojren de ces deux surfaces auxiliaires, on construira les plans diamétraux de la surface proposée conjugués aux oordea DE;^ DF, DG; leur intersection donnera le centre O de la sur&ce demandée. Le plan ABC coupera cette sur^ &ce vivant une courbe dont le centre O' se construira

comme dans leproblème précédent ; ce centre (Y et trois points A , B, C, suffiront poar déterminer complètement cette section f le reste de la solution se fera alors comme dans le Problème IV.

Telle est la question la plus générale que Ton puisse pn^pesersurks surfaces du second ordre. La Géométrie n^ &it usage que de la ligne droite et du cercle; et cela devait-être ainsi , puisque la solution algébrique dé«* pend delà résolution de neu^équations du premier degré i neuf inconnues»

:35. Il est à remarquer que, dans le problème dont nous venons de nous occuper, il n'est peut-être aucune des propriétés des lignes et sur&ces du second degré que nous n'ayons énoncée ; aussi n'est-ce pas ime solu** tion totalement géométrique, puisqu'elle s'appuie sur des propositions que l'Analyse seuleapu&ire connaître.

Ne pourrait-on pas conclure de là y qu'tin des principaux buts de l'étude des propriétés des lieux géqmé* triques 9 est d'acquérir assez de con naissances sur les courbes et sùr&ces pour pouvoir les construire , ou du moins les déterminer complètement par la Géométrie | lorsque l'on en donne un nombre sufUsant de points»

Résolution graphique des équations finales.

36. Uuautre but non moins important de l'élude des propriétés des courbes et sur&ces, c'est la construction des racines des équations. Une équation à une seule inconnue peut être considérée comme le résultat de Télimination ^uiie ou de deux variables, entre des équations représentant des lignes ou des sur&ces.

Par exemple; si Fon &it le quarré «* de l'inconnue ,

^I an rectangle j9^, dans une équation du troisième ou du quatrième d^ré, elle sera du second degré en » et j^; et puisque Félimination dejr entre cette équation et x^^=py conduirait à Téquation proposée, si Poix construit les deux sections coniques représentées par les équations entre lesquelles se ferait cette élimination^ les abscisses de leurs points d'iatersectipn seront les racines de l'équation proposée.

Pareillement) si Voa&dt »^'=s:py^jr*^^aeqs dans une équation du cinquième, sixième, septième ou huitième degré , on aura trois équations du deuxième degré entre trois variables; et puisque rélimination de j^ et de j( entre ces trois équations conduirait a Féquation proposée en «, en construisant les points d'intersection des trois sur&ces du second ordre qu'elles représentent, leurs abscisses seront les racines de l'équation proposée^ Pour pouvoir résoudre ainsi graphiquement l'équation générale du huitième degré , d est nécessaire de &ire disparaître son deuxième terme; car x^ ne pourrait de» venir du second degré en aç^ y y x , par la supposition de »'=/jy et de^^ssegx, Ptireillement pour que cette substitution puisse réussn* à transformer l'équation gé<nérale du septième d^ré, en une autre équation du second degré à crois variables, il faut aussi fiire dispa-^ raître son second terme et la multiplier par x.

^']. Toute équation du quatiième degré peut être ramenée à la résolution d'une équation du troisième ; c'est ce que le calcul démontre de plusieurs manières. Cette tran^ormation algébrique correspond au changement d'une des sections coniques qui construisent Véquation en un ensemble de deux lignes droites. En

(71) eflfef , si Ton coiiâ>uie les équationB ies deux sections

coniques par voie d'addition, après avoir multiplié la

première par une indéterminée m, la seconde par m\

l'équation résultante sera de la ferme

+ a (md-hm'if) x +a(me + m'e)y +a(m/+m'/)=o,

et représentera en général une nouvelle seetion conique passant par les points que l'on se propose dte Gonstruire; si L'on e:iiprinie que ce nouveau lieu géométriqile est l'ensemble de deux lignes droites, on aura une équation*

de condition du troisième degré en —7 élémentdela combinaison. Lorsque ce rapport sera connu y les deux lignes droites donneront par leurs intersections avec une des sections coniques primitives, les quatre points dont les abscisses sont les racines de l'équation proposée.

Nous verrons par Ëi suite un exemple de ce diange* ment , en nous proposant de mener une normale à Tel*lî|>8e par un point extérieur.

On peut trouver immédiatement la relation qui doit fier les coefficiens d'une équation du second degré à dieux variables, pour qu'dlle représente l'ensemble dé deux lignes droites, en observant qu'alors le centre du lieu géométrique est un de ses points; c'est-a-dire qœ les trois équations

jU+By + DTSio, &c+Cjf + Ei?:;o,

doivent avoir lieu en même temps. La première peut se mettre sous k forme

(70 et se réduit, en vertu des deux autres, & Dx + E^ -f- F = o ;

en sorte que réquation de condition demandée , sera te résultat de rélinimaliondewetde^entre trois équations du premier degré. Par rapport aux coefticieus, cette relalion sera du troisième d^-é.

28. Pareillement pour exprimer qu'une sur&ce du second ordre est an cône, il suflit d'exprimer que le centre est sur la surlàce, c'est~À-dire que les quatre équations

Aje* + \'y + A V 4- oByz + siB'xz + ah'ay -f aC«+ 9C'y + aC» H- D = o ,

Ax 4- ^y + B'a -t-C ï= o^

B"jr + Xy 4- Bs + C=: o,.

B'jc + hj 4- A'» +€•= o, ont lieu en même temps j et commela première se réduit

Cx 4 C;y 4- C'a 4- D = o^ ertn des trois autres, pour trouver la condition dedée , il sulHra d*é)iminer les \ ariables x,yyX, entra re équations du premier dc^é. L'équation resul- : sera du quatrième de^ré par rapport aux coelli-

donc on combine par l'addition les équations de L swlàces du second ordre, aprèii les avoir multi" (S par les indéterminées^, m', i'étpiatioa résultante celle d'une troisième suriace , passant par la courbe :ersection des deux premières; et le rapport —7 dé-

Ira de la résolution d'une équation du quatiième é,'si l'on veut que cette troisième surËice soit une ice conique.

La Géométrie descriptiTe donne nn moyen fiicîfe de construii^ par points , les projections de la courbe d'intersection de deux cônes, et par suite^ celles des points^ d^intersection de trois surfaces coniques. La résolution graphique des équations des huit premiers degrés sera donc complètement résolue^ si l'on peut ramener ta recho'che des points d'intersection de trois sur&ces do second ordre, à ceUe des points d'intersection de trois cônes. Or, c'est ce que la remarque précédente rend possible, au moyen d'équations du quatrième degré.

sg^ Après avoir exprimé analytiquement les conditions qui peuvent exister entre les dcmnées d'un problème, des raisonnemens justes indiquent toujours quelles sont les éliminations à efiectuer, les quantités à obtenir ; et comme les méthodes données par TAIg^re ne sont jamais incertaines quaind il s'agit d^effectuer des élimina* tiens, nous pouvons dire que c'est h partie la moins embarrassante dans la recherche d/une sohitioxl. Elle est Tintermédiaire entre deux po'mts plus épineux pour le mathématicien , savoir, la mise en équation et la lecture géométrique des réniltats de l'Analyse.

Les équations finales expriment des relations entre les données et les inconnues. Pour parvenirà les démê^ 1er, il y a des fecleurs communs àrétabHr, des tenues qtu ont disparu à ajouter, des expressions géométriques à reconnaître. Souvent même les transformations qu'elle £iit subir aux équations , ne peuvent se prouver que par une sorte de Synthèse. U fiiut partir de l'équation transformée pour démontrer son identité avec la primitive. C'est par de semblables moyens, tpe l'Algèbre indique quelquefins l'endrmt sur lequel on doit interroger la

(74) Géométrie, pour obtenir une solution déduite de la seule considération de ses théorèmes. Pour en donner un exemple , proposons-nous de traiter par FappUcation de l'Algèbre à la Géométrie le problème suivant*.

Problème. Trouver sur une circonférence donnée un point X ((ig. 2^) tel^ qu^ en joignant ce point à deux autres A ^< B donnés, les lignes AX , BX coupent la circonférence en deux points C^C^ situés sur une pa^^ rallèle à AB».

Dans le problème de la page 5& nous avons résolu cette question d'une manière plus générale ^ puîsqu'au lieu du cercle, nous avons considéré l'ellipse; nous sommes arrivé à une équation finale qui^ dans le cas particulier du cercle , se réduit à

a^Cy ai! y C sont les coordonnées des points A et B» Cette équation indique une ligne droite à construire pour un nouveau lieu géométrique du point demandei dont les coordonnées sont x'^y'.

On peut déduire de cette équation une solution syn^ thétique du problème. £n effet, si l'on suppose AX=^^y BXsssc^, que l'on désigne par ^ et ^ les longueurs des tangentes au cercle donné , menées par les points A et By on aura

•• + C* — R^srl*, V*rf-C^»— R* = <'»

et par suite

yC+xV = i(R» + /*+C» — J'»> La substitution de ces différentes valeurs dans Téqua

tion (6) y dorni^^a

fl^=L^, d'où f^^jr eu ^«j-

Le rapport des longueurs AX, BX est ainsi détenwné; d'ailleurs une proposition géométrique connue, donne un cercle fecile à construire, pour le lieu géométrique

AX de tous les points X, tels que le rapport ^ soit constant. Le point demandé sera donc donné par l'interaection de deux cercles.

Des considérations purement géométriques conduitrient au même résultat que l'analyse précédente , car oiia,soit d'aprèslanaturedes données, soit d'après celle de l'énoncé,

AXxAC=:f, BXXBC=?(r>,

AG :B(7::aX:BX,

d'où l'on déduit aisément

AX AC g AX*