AC :BC'::AX;BX

d’où l’on déduit aisément

AX AC ÂX*

BX*BC'~t'»~BX**

d’où enfin

t AX ? ” BX‘

L’Analyse algébrique indique ici à la Géométrie la solution la plus directe de la question proposée. On pour* rait en efîét trouver d’autres moyens de constructioir, en faisant remarquer l’identité du point demandé avec celui de contact d’un cercle tangent au cercle donné,, passant par les points A et B. Mais cette transformation de l’énoncé ne donnerait qu’une solution indirecte.

Le plus souvent , l’étude des équations finales ne fait qu’indiquer le moyen de simplifier la construction de» lignes dont les intersections doivent donner le point

demandé. C’est ordinairement par des considérations; géométriques, que l’on vient à bout de cette simplification. On peut donner un exemple de eette simplifie** tion , sans s’écarter de la question précédente. Suppo^iis en effet qu’il faUle que la droite CC', au fieu d’ètre parallèle à AR, aille passer par un troisième point D Dans ce cas, nous résoudrons ce nouveau problème:: Inscrire dans uu cercle donné un triangle dont les côtés soient assujétis à passer chacun par un point donné. Ce n’est qu’un cas particulier du problème dela page 58, et cependant on ne peut arriver qu’à simplifier de même la construction de l’équation finale..

Les opéra lions que l’on fait subir auxéquationsfinales,, pour simplifier la construction des lieux géométriques,, ne les laissent pas toujours tels qu’ils se présentent.. Très souvent au contraire', une certaine combinaison des différentes parties du résultat, donne une nouvelleligne plus facile à construire que les primitives.. C’est ainsi qù’en traitant par l’Analyse algébrique le problème de mener une tangente à un cercle donné par un point extérieur, on obtient d’abord outre celle de la circonférence donnée , l’équation d’une ligne droite autre lieur géométrique des points de contact j combinant ensnitecette nouvelle équation avec celle du cercle donüé, om parvient à trouver un autre cercle facile à déterminer de grandeur et de position, sur lequel doivent aussi sa-' trouver les mêmes points de tangence. . , ^

Transfprmaiims.dosddordbnriées.

3o. Si les constructions à effectuer, malgré toutes lè». iecfierches que l’on pourrait faire pour les abréger,.

. ï^ïetil encore Irop compliquées, on pourrait placer les données par rapport aux axes coordonnés, de manière â faire disparaître le plus grand nombre de lignes relatives à leur position arbitraire. Mais alors la construction n’a beu que d’après ces seuls axes principaux ; il est vrai ' qu’Us ont souvent des positions tellement béesà la figure proposée, qu’une construction par les ordomiées et lesab» scisses, peut quelquefois se démontrer synthétiquement.

La position la plus avantageuse n’est pas toujours évidente. On ne sait pas toujours quelles lignes il faut supposer nuUes ou égales en grandeur, quelles directions doivent être perpendiculaires , parallèles aux axes coordonnés, ni même quel doit être l’angle de ces axes. U faut alors chercher par la transformation des coordonnées dont les formules contiennent des indéterminées , quelles sont les valeurs de ces constantes arbitraires qui correspondent au but proposé.

Le changement du système des axes est d’une grande utilité pour dévoiler les secrets de l’Analyse. La discussion complète des beux géométriques, la détermination de certains points particuliers, la démonstration de l’identité de certaines lignes, enfin beaucoup de recherches précieuses, ne sauraient s’effectuer sans le secours de la transformation des coordonnées * il est même des problèmes qui semblent ne pouvoir être résolus analytiquement que par son emploi. Tel est celui qui suit.

Problème. Trouver le lieu géométrique du point d'intersection de deux droites tangentes d une courbe du second degré, et perpendiculaires entre elles.

Je suppose d’abord que la courbe ait un centre j son çcpiation, rapportée à deux axes rectangulaires, sera de

la forme ■ • * . .

(l) mx* + ny* = -

Soient a et 6 les coordonnées du point I d’intersection des deux tangentes que je désignerai par T et T'jX, Y les cosinus des angles que forme la droite T avec les axes AX et AY; X', Y' les cosinus de ceux que la deuxième tangente T' forme avec les mêmes axes; x',y' les coordonnées variables par rapport aux tangentes, IT, IT' rectangulaires considérées comme axes ; toutes ces quantités seront liées entre elles par les relations

x — Xif + Yiy + a', y^Ya' + Y'y + b (a), X‘-f-X'»=i, XY-f-X'Y' = o (3).

Si l’on élimine x et y entre les équations ( 2 ) et (i), l’équation résultante 1 ,. '

y* (mX'*-t- nY'*) + x'»(mX* -J-nY») -f- axy(nrX'» + nV) -I- ay(/naX'4-niY')4-ax' (nwiX-j-niY)+(ma*-f-ni* — i) = 0 , exprime la courbe rapportée aux axes TI, TT. Puisque cette courbe doit être tangente aux nouveaux axes , il faut qu’en feisant dans son équation^ s:^o , ces valeurs de x' correspondantes soient égales, ce qui donnera l’équation de condition

mn ( i*X* -f- o*Y* — suxfcXY) = mX* •+■ nY* ; ü faut aussi qu’en y faisant x'=so, les deux valeurs de y' soient égales, ce qui donne une nouve^ équation de condition symétrique de la précédente

mn ( i‘X'* 4 - a*Y'* — aabX'Y ' ) =mX'* + nY'»; en ajoutant ces deux équations , l’équation résultante se réduit, en vertu des relations (3),' à

cette dernière résout le problème. On y voit que le lieu

l^ométriqDe demande est un cercle concentrique à la courbe donnée par l’équation (i). Si cette courbe est

mie elbpse, les quantités ^ seront positives et égales

à A*, B*, A et B étant ses demi-axes , en sorte que le rayon du cercle sera lliypot^use d’un triangle rectangle dont A et B seraient les côtés. Si l’équation (i) représentait un cerde , le cerde (4) aurait pour rayon la diagonale du quarré du rayon donné, ce dont U est aisé de s’assurer à priori par la Géométrie simple. On verra aisément que si l’équation (i) représentait une

hyperbole, une des quantités étant négative, suivant que l’angle des asymptotes dans lequel se trouve la courbe , sera plus petit , égal ou plus grand qu’un droit , le lieu géométrique sera im cercle, se réduira à un point, ou n’existera pas.

Si l’on répétait les mêmes calculs , en supposant quela courbe donnée fût une parabole, on trouverait sa directrice pouLT le beu géométrique demandé; d’aUleurs, en considérant la parabole comme une elbpse dont les

axes A et B sont infinis , et le rapport ^ fini et égal à p,

cm prouve aisément que le cercle (4) se réduit à une ligne droite, c’est-à-dire à un cercle de rayon infini, ou dont la courbure est nuUe. En effet, l’équation du cercle rapportée au sommet de l’eUipse est

et donne p-f-3ar=o lorsque ^ =p. Ainsi on

peut conclure généralement que si le lieu géométrique

demandé existe , c’est un cercle concentrique à la courBe du second degré donnée.

Par des calculs identiques auxprécédens , on peut résoudre les deux problèmes suivans.

Trouver le lieu géométrique de l’intersection de trois plans rectangulaires tajigens d une surface du second degré. ,

Trouver le lieu géométrique de l’intersection com^ mime de trois droites rectangulaires tangentes à une surface du second degré.

Si l’on suppose que la suriàce soit représentée par l’équation

mx* + njr* + pa* = 1 , ces lieux géométriques seront

pour le premier ^ • " r

fl* +1) + i* (l' + i\ + C* ~ .

\n p/ * \m P J \m nj mn'pn pn

pour le second. En sorte que si la surface du second degré était un ellipsoïde aux axes aA, aB, aC, les lieux géométriques lui seraient concentriques; le premier représenterait une splière de rayon et»

le second l’ellipsoïde qui aurait pour axes : <

L’ellipsoïde donnp pourrait se réduire à une sphère de rayon R ; alors les deux lieux géométricpies seraient deux sphères concentriques entre elles et là'proposéey l’une ' de rayon R y'S^l’autre de rayon R V^l. . - - - ^

Symétrie,

3i. Î1 faut remarquer dans la solution précédente, que la symétrie de quatre écjuations entre les quatre inconnues X , Y, X', Y', a suffi pour les éliminer toutes, 'et obtenir une équation finale indépendante de ces inconnues.

En général, la symétrie entre les données d’un problème abrège, diminue, les travaux du calculateur; on ne savu*ait rejeter un principe qui fournit des moyens d’élimination si rapides, qui simplifie les immenses résultats de l’Algèbre, et sert à les démontrer, à les énoncer de la manière la plus él^nte.

• 11 arrive quelquefois qu’vm problème mis en équation , étabbt une symétrie réelle entre les données et les inconnues. Cette symétrie remarquée, étudiée avec soin , met la solution demandée sous la puissance du calcul , pour ainsi dire au moment où il s’y attend le moins.

Pour donner tm exemple de ces heureuses rencontres, je me propose de résoudre le problème suivant par la Trigonométrie.

Probi-ème. Construire itn triangle équilatéral qui ait ses sommets sur trois circonférences concentriques de rayÿ>n donnés. .

Soit ABC (fig. a5) le triangle demandé, x son côté, O le centre commun des trois cercles donnés, OA =«', OB=ô, OC=c leurs rayons. L’im des angles égaux du triangle équilatéral, l’angle BAC par exemple^ est égal à la somme ou à la différence des deux angles CAO, BAO, dont les cosinus sont

CO» CAQ = ■ ' ,

aax

COJ BAO =

aax

on a donc l’équation

arc I cos

uax

^ d: arc ^cos

aoj;

Cette équation est symétrique en a et x. On dédviit de cette remarque , que si les trois circonférences concentriques avaient pour rayons b,c,x, a serait le côté du triangle équilatéral demandé; si donc on inscrit entre les deux circonférences de rayon ô et c, une droite MN = a , que l’on construise sur cette ligne un triangle équilatéral MNP, la ligne inconnue x sera égale à la distance OP du sommet isolé de ce triangle équilatéral au centre commun des cercles donnés. Il est aisé de voir qu’il y a deux solutions, c’est-à-dire, que l’inconnue x est susceptible de deux valeurs. Deux constructions semblables auraient encore été indiquées si l’on avait considéré l’un des angles ABC, BCA; et comme les trois triangles MNO de ces trois constructions ont les côtés ^ux, on en déduit la proposition suivante.

Théorème. Si sur les trois côtéfi d’un triangle ABC (fig. 26), on construit des triangles équilatéraux ABM, ACN, BCP, les lignes AP, BN, CM semnt égaies.

Et en effet , par un raisonnement semblable à celui dont on fait usage dans la proposition du quarré l’hy-

poténuse , on prouverait que les triangles ABN, ACM sont égaux ainsi que les triangles ABP, MBC, que par conséquent BN = AP =;CM.

U est d’ailleurs très aisé de voir que ces droites se coupent enunmêmepoint. En effet, si nous considérons la droite AP, elle coupe en un point O le cercle CPB, partage l’arc CPB, et par suite l’angle BOC=^ d’angle droit en deux parties ^ales; d’où il suit que BOA'

=COA=-j, que les lignes CO, BO opèrent pare^ement la bisection des angles AOB , AOC , qu’elles passent donc par les points M et N milieux des arcs ’ AMB, ANB appartenans aux cercles AOB, AOC. Les droites AP, Bj\, CM se coupent donc en vm même point O. D’après cela, ü est aisé de résoudre le proÛème suivant.

Problème. Trouver sur le plan d’un triangle un point d’où ses trois côtés soient vus sous un même angle.

C’est ainsi que la Synthèse en démontrant un théorème que l’Analyse à trouvé , en fait une proposition jbolée, d’où peuvent encore découler plusieurs autres propositions. . - i

Méthodes indirectes.

3a. Une des preuves les plus incontestables de la richesse , de la généralité de l»Oéométrie , c’est sans contredit le secours qu’elle tire des sciences qui lui doivent sinon leur naissance, du moins letlr accroissement et leur clarté; car si la science de l’étendue prête ses figures aux autres sciences exactes et naturelles qui les considèrent à leur manière, soit avec la rigueur des démonstrations, soit avec l’incertain de l’expérience, elle peut souvent déduire de ces nouvelles considérations qu’on lui croit absolument étrangères, des principes à démontrer, quelqu^ois même les points de départ des plus belles théories.

La Mécanique est sans doute la science qui promet le plus de découvertes à la Géométrie; la Statique emprunte souvent sa synthèse, ses principaux théorèmes,

et lui donne en échange, soit une nouvelle démonstration d’un principe déjà connu , soit la solution d’vm problème dont elle a traduit l’énoncé dans son propre langage. C’est ainsi que la recherche du centre de gravité d’un triangle , prouve que les lignes qui joignent les sommets et les milieux des côtés opposés, se coupent toutes trois en un même point. Quelquefois la science de l’équilibre se lait un jeu des problèmes les plus difficiles de la Géométrie, et va quelquefois de pairaVee les calculs les plus élevés de l’Analyse algébrique.' i Lés TTiaxima etminima des distances ou des sommes de distances, sont souvent l’écueil de la Géométrie, de l’Algèbre même; et beaucoup de problèmes sur lesextrêmes grandeurs resteraient sang solution , si le calcul infinitésimal ne s’en était occupé. Un des grands avantages de la Statique dans ces sortes de questions , si toutefois elle peut les traduire, c’est defairéconnaîtreles relations que les conditions etrtre les longueurs établissent entre leurs directions respectives, car il n’éstpas d’érpiilibre qui ne soit dd autant à la direction des forces , qu’aux rapports de leurs intensités. Gomme cette transformation des Ugnes aux angles est souvent très difiîcilc à trouver parla Géométrie simple, il n’est pas étonnant qu’elle se présente alors inférieure à la Statique, comme on peut le voir dans la solution suivante.

I^OBLÈME. Trouver un point tel, que la somme des distances de ce point à trois points ' donnés soit un minimum. ’■

Si l’on suppose trois anneaux fixés aux points A, B, G (fig. 37) , et un quatrième attaché au point O extrémité d’une corde , laquelle passera successivement par

les anneatix fixe B, A, par l’anneau mobile O, et enfîn^ par le quatrième fixé en Cj il est évident qu’une force , quelconque qui tirerait le cordon stdvant CM, sera en équilibre avec la résistance des anneaux fixes, lorsque la somme des cordons partiels sera un minimum ; le point demandé est donc la position de l’anneau mobile O, lorsque l’équilibre à lieu. Mais les cordons partiels AO, BO, CO doivent être tendus paiement 3 l’anneau O est donc tiré suivant ces trois directions par des forces ^alesj si donc l’équUibre à beu entre ces forces, il feut que la direction de l’une quelconque d’entre elles divise l’angle des deux autres en deux parties égales , ou ce qui revient au même, que les angles AOB, AOC, BOC soient égaux entre eux el aux quatre tiers de l’angle droit. Le point demandé sera donc l’intersection de deux'segmens capables de j d’angle droit, constisiits sur deux des côtés du triangle ABC. Le dernier problème du chapitre précédent donne encore un moyen de déterminer le point O.

U pourrait arriver que l’un des angles du triangle, l’angle A par exemple, fût plus ^and que f d’angle droit, alors la construction ne serait plus possible. Mais il aisé de voir que le point demandé serait le sommet A lui-même. En eflet, si l’on conçoit que ce point soit toujours situé sur la ligne AO , le point O intérieur au triangle ABC satisfera toujours au problème, même si le point A se confondait avec lui, c’est-à-dire si l’angle A était égal à ^ d’angle droit; à plus forte raison ce point A sera-t-il encore la solution du problème, lorsque l’angle A sera plus grand que | d’angle droit.

Par une supposition entièrement semblable , on prou-

verait que le point qui jouit de la propriété de donner , un minimum pour la somme de ses distances , à autant de points fixes que Ton voudra, est celui autoiu' duquel seraient en équilibre autant de forces égales dont les directions serait assujéties à passer chacune par un des points donnés. On peut exprimer analytiquement que l’équilibre a lieu relativement à ces mêmes directions, car on doit avoir en désignant par X, Y, Z les angles que forme l’une d’entre elles avec trois axes rectangulaires quelconques, parX', Y', Z' les mêmes angles pour une seconde direction , et ainsi de suite

(i) cos X+cosX'-l- cos X" -f- etc. = O , cos Y -4- cos cos Y" +. . . = O , cos Z cos Z' -}-*cos Z' -f-, . . = O.

Si les points donnés sont situés dans im même plan , l’équilibre sera entièrement exprimé par les deux premières équations. Si de plus les points se réduisent à trois, on aura

cos X -f- cos X' = — cos X*, cos Y -f- cos Y' = — cos Y". Ajoutant les carrés de ces équations et observant que

cos*X -f- coi*Y = 1 ,