SS

cette méthode mixte, les principes que nous avons énoncés en traitant séparément des méthodes simples qu’elle renferme. ,

Je ne ferai que citer pour exemple la théorie de la ’ cristallisation si él^amment traitée par son auteur. De simples considérations géométriques l’ont conduit à ses calculs, et cette méthode ofire ici ce grand avantage, qu’en ne perdant pas , pour ainsi dire, la Géométrie de vue, il est plu^facile d’interpréter à sôn profit les résultats de l’Algèbre.

34. Ce n’est pas que cette théorie ne puisse se calculer par abscisses et ordonnées; cette manière d’aborder la question ofire même de son côté de grands avantages. Mais peut-être serait elle insufiisante si l’on cherchait' à connaître les rapports des longueurs, plutôt que les angles des cristaux. Peut-être aussi ce nouveau calcul exigerait-il des* connaissances mathématiques un peu plus grandes, du minéralogiste qui voudrait étudier cette théorie, et que pour remédier à cet inconvénient les méthodes les plus élémentaires sont toujoiirs préférables,

’ Cependant , pour prouver que l’Analyse de Descartes n’est pas incapable de traiter une des plus belles applications du calcul à la Géométrie , je vais indiquer la marche que l’on pourrait prendre. Si je réussis à donner une analyse simple et facilement applicable, je m’applaudirai d’avoir fiiit rentrer sous le domaine d’un calcul qui doit être général, tm sujet qui semblait le fuir. Et si, malgj’é mes tentatives, ce calcul se trouve compliqué, on ne pourra du moins rien conclure contre la généralité de son application.

Préliminaires.

Les axes que nous considérons seront obliqpies j nous désignerons par > les angles YAZ, XAZ, XAY. ' L’équation du plan sera toujours mise sous la forme

les quantités p que j’appellerai les paramètres

du plan, représenteront alors les distances de l’origine des coordonnéés aux points où le plan 'vient rencontrer les axes des x, des et des js.

Dans ce système d’axes , la distancé' d’un point dont les coordonnées sont x , x à l’origine , est exprimée par la formule

D* = X* + ayz cos « ■4- axz cos f -f- axy cos y ;

et pour avoir la distance entre deux points dont les coordonnées soient x, y, z pour le’ premier, x', y, J pour le second , ü suffit d’y changer x, en (x — x'),

Cette formule peut se démontrer ainsi qu’il suit. '

Supposons par le point M (fig. 28), MP parallèle à AZ, PQ à AY et menons AP A'. Le triangle APM donnera

D» = Z* + AP*+ a* . AP cos MPA'.

Mais le triangle APQ donne

• ft

AP =x“ cos y ,

et la projection de AP sur AZ étant égale à la somme des projections de AQ et de QP, on a AP cos MP A' s= X cos ê -|-j' cos a.

Substituant ces deux valeurs dans D*, la formule précédemment énoncée sera démontrée.

La foi’inule qui donne le cosinus de l’angle que forme les deux droites , dont les équations sont x = az^ y = bz peur la première, et x^sut^z^y^^Vz pour la seconde, est alors

i+a*+i*-t>aa6co«y+aacosC+a6cos«V^ i + a'* + i'* -f-elc.

Pour la démontrer, soit pris sur la première droite un point M aux coordonnéés x,y,z, et dont la distance à l’origine soit l’unité ; soit également pris sur la seconde droite un point M' aux coordonnées x', y' y tel

que AM' = AM = i . Le triangle MAM' donnera cos V

SS - . Substituant la valeur de MM' en fonction

de x,y,z, x', y' y z'y et observant que AM^=AM'= ï, on aura

tosS:=^[v^ -\-xx' (ay'+^x)cosy-4'