INTRODUCTION

1 . Cj’est en partie dans la vue de perfectionner les problèmestte Géométrie, que les mathématiciens ont enrichi l’Analyse des calculs qui composent aujourd’hui les sciences exactes. Pour pouvoir énoncer analytiquement les rapports qui existent entre les angles et les côtés d’une figure géométrique , on a inventq la Trigonométrie. Pour énoncer algébriquement les positions respectives d’un point particulier, de tous ceux d’üne ligue, d’une surface; un Français, l’immortel Descartes, a jeté les fondemens de l’application de l’Algèbre à la Géométrie. Dans la vue d’exprimer le contact des lieux géométriques, de rechercher les propriétés d’une courbe en étudiant celles de sa tangente, Leibnitz a inventé le Calcul dilFérentiel. Pour revenir des propriétés des tangentes aux courbes , à celles des courbes elles-mêmes ,

e Calcul infinitésimal s’est enrichi du CalculintégralL Pour isoler la multiplicité des solutions d’un problème > Hiagrange a fait paraître la théorie générale des Equations. Pour traduire en Géométrie les résultats de l’Analyse, M. Monge s’est immortalisé en inventant la Géométrie descriptive; et c’est encore pour mettre la dei> nière main à cette grande œuvre des ])^a thématiques, que le même auteur nous a donné son Analyse applifpiée.

2 . Qu’on ne conteste donc plus aux mathématiciens le désir d’être utiles, puisque leurs principales découvertes ont été faites dans l’intention d’étendre les applications des sciences exactes. PTest-ce pas pour employer le Calcul infinitésimal à la démonstration des mouvemens célestes, que Nevrton dispute à Leibnitz l’honneur de l’avoir inventé? N’est-ce pas dans les mêmes vues, que MM. La place, Legendre, Poisson, et tant d’autres, complètent celte riche partie de l’Analyse? N’est-ce pas à l’idée de perfectionner l’Architecture, la Mécanique pratique, la Peinture et plusieurs autres arts, que nous devons en grande partie la décou-» verte de la Géométrie descriptive?

3. Dans l’enseignement des sciences abstraites, la meilleure méthode à prendre ne serait-elle pas de suivre la marche de l’invention? Après avoir démontré les théorèmes, les rapports principaux qui existent entre les nombres, entre les lignes, les surfaces, les solides de la science de l’étendue, on devrait s’étendre sur l’application des r^les, des principes démontrés à la solution des problème», s’attacher à faire remarquer l’insulTiiance de ces connaissances premières, la nécessité d’en

créer d’autres j l’Algèbre, soit pour généraliser l’Arithmétique, soit pour écrire les relations dictées par lî^ Géométrie, viendrait ainsi à sa place. Pour exprimer la coexistence des angles et des côtés des figures rectilignes, on ferait sentir l’utilité d’inventer une Trigonométrie qui fît entrer dans l’Analyse des longueurs ou des rapports de longueur au lieu d’angles , afin de ne point détruire l’homogénéité du calcul. Lorsqu’en poursuivant l’étude de l’application de l’Algèbre simple à la Géométrie, on serait arrivé à considérer des lieux géométriques, à les chercher lorsqu’ils sont inconnus, on imaginerait alors l’application de l’Analyse à la Géométrie dè Descartes , qui basée sur les découvertes précédentes , donnerait xm plus vaste cliamp aux idées mathématiques, à la; solution complète des problèmes de Géométrie. Enfin, après avoir considéré les sections coniques, les. surfaqes du second ordre, la discussion des lieux géométriques de degrés supérieurs exigerait ^ un moyen général d’étudier les afiections d’une courbe ' en un de ses points particuliers, par celle de toute hgne osculatrice en ce point, plus simple à considérer que la proposée ; c’ést ainsi que l’étude du Calcul infinitésimal viendrait tout naturellement terminer celle de l’Analyse mathématique en général. ^ ,

On ne ferait plus aux sciences abstraites le reproche quelquefois fondé de considérer des choses toujours nouvelles, sans faire apercevoir ni le but vers lequel elles conduisent , ni la liaison naturelle de leurs parties. .

Cette coordination des diverses branches des Mathématiques en ferait mieux concevoir toute la richesse ,

toute l’iinporlance. Les norabeux problèmes qu’oîï de\rait proposer soit pour eijîrcer les connaissances acquises, soit pour faire sentir la nécessité d’en acquérir de nouvelles, auraient encore l’immense avantage d’habituer le mathématicien à surmonter les difficultés de son art, à inventer les moyens de l’enrichir, et c’est peut-être à la manière de présenter, les découvertes passées, que la postérité devrait d’en voir augmenter le nombre.

4. L’enseignement des Mathématiques devrait être uniforme dans toutes ses parties, et c’est ce qui n’a lieu que jusqu’à un certain point. Les élémens et les hautes Mathématiques sont présentés d’une mani ère bien différente. Dans les élémens je comprends l’Arithmétique, la Géométrie, l’Algèbre et l’application de ces deux dernières parties. Quant à la Géométrie descriptive, le Calcul infinitésimal, l’Analyse appliquée, elles constituent les Mathématiques transcendantes. Chacune de CCS deux branches distinctes a donc sa Géométrie, son calcul, et l’application de ces parties principales. Dans la première on voit souvent la Synthèse préférée; cette méthode énigmatique semble entièrement bannie de la seconde. Elle constituait la méthode des ancieup ; les modernes ont adopté l’analyse comme le plus sûr moyen d’augmenter leurs nombreuses découvertes. Les propositions de la Géométrie proprement dite se succèdent sans aucun but évident d’utUité; la Géométrie descriptive au contraire a été inventée et conduite parla pratique. L’Analyse de Descartes, telle qu’elle est enseignée, offre les propriétés des lignes les plus simples , sans presque donner l’occasion de les uü-

User , tandis que l’Analyse de Monge ne voit que problèmes à résoudre et donne le moyen de trouver les lieuv géométriques , plutôt que celui- de les discuter. • • ‘ i •• •

• Pour remédier à cette dissemblance qui est toute à l’avantage des découvertes récentes, ne pourrait-on pas présenter avec les élémens, certains emplois de leurs théorèmes, qui pussent diminuer la sécheresse de leur étude? Ne pomrait-oü pas compléter l’application de l’Algèbre à la Géométrie, par imê foule de recherches curieuses qui conduiraient naturellement à cette discussion des lieux géométriques, dans laquelle on a &it «nlièreftient consister cette partie dès Matliéma tiques?

On pourrait , en bommençant par. l’étude de la ügne droite, faire voir les (xmstructioiis auxqüeUes peuvent donner Heu là position respective de, deux lignes sur un même plan , leur angle , leur p^allélisme , leur per- * pendicularité j considérer ^déa ' longueurs déterminées -, les partager en parties qui aient entre elles des rapports donnés ; combinant ênsuilela lignedroité avec le cercle, étudier leurs contacts^ en construire de particuliers, faire remarquer dans les segmens . capabks l’immense avantage des lieux -géométriques ; passant à l’ensemble de plusieurs Egnes., construire unstrkngle quand on a des données fcffisantes, faire «entrer successivement ^armi ces, données les bautours, les côtés, les angles , les lignes qui opèrent. 'leürs Hsections,. les sommes,

. les différences , les produits , les.rapport% de ces difio- . rens élémens déjà figure pressée; [présenter des cas paMiculiers de, la, circonscription,, de rinscriptiôn des figures rectilignes et< circvüaires j, en proposant, des

lieux géométriques conduire à la discussion des lignes du second d^ré; étudier les intersections, les contacts de ces nouvelles combes , capables de jeter le plus g^'and jour sur leur théorie; enfin ne rien négliger dans toutes ces applications pour Élire remarquer l’accord constant de l’Algèbre avec la Giéométrie, accord qui permet de confier au calcul le soin de découvrir de nouveaux théorèmes;' ■

> 11 Éiudrait principalement s’attacher à donner quelques méthodes générales pour la solution d’un problème, suivant la manière de l’aborder, de la conduire au résultat, et de traduire cette dernière partie dans le langage de l’énoncé,' C’est sans doute ce qu’il y aurait de plus difficile; la mviltiplicité des moyens dont la Céométrie, dontl’ Algèbre même peuvent se servir pour arriver au but propose, la variété des questions, tout ■>eontribuerait à éloigner les méthode^ générales; mais on pourrait, il me semble, classer les problèmes suivant les ressemblances plus ou moins grandes de leurs .moyens de solution,':et l’on parviendrait peut-être, si- .non à une méthode Unique, du' moins à un composé Éni de moyens différens, que l’on pourrait regarder comme généraux vu leurs nombreuses appbeations.

• . Tel est le butqileje me propose-dans le cours de cet Ouvrage. Je commencerai par récapitWer les moyens de la Géométrie simple pour résoudre les problèmes • j§ .lui associerai ensuite lé calcul.' Je réndiui les principes que je présenterai plus clairs, plus fi'appans, par qyxelques exemples ; si les solutions que j’offi^ ne sont pas •les plus simples, les plus élégantes, elles fournirorit à •mes lecteurs au moins un énoncé à travailler, et je

m^pplàudirai en faisant mal,, d’avoir procuré’à d’an* très l’occasion de bien faire. .

Analyse et l^nthèse.

5. L’Arithmétique est une des sciences abstraites où l’on suit mieux la marclie analytique; les r^les, les opérations, se démontrent à mesure qu’on en a besoin, et l’on y voit toujours le but proposé. Dans la Géométrie au contraire on se dirige sans s’en apercéVoir vers un but caché; on démontre des propositions dont on peut avoir besoin dans la suite, mais dont on ne voit nulle apphcatibn immédiate. Ce n’est pas ainsi que les premiers géomètres ont été conduits vers leurs découvertes; xme analyse pure fiit toujours le guide des inventeurs.Xa similitude^e position de deux lignes parallèles par rapport a une sécante fit sans doute naître cette théorie fondamentale de la science de l’étendue , dont on a déduit tant de théorèmes sur les angles , sur les surfaces, sur les sohdes. Mais c’est peut-être au peu de rigueur de l’Analyse en démontrant les découvertes primitives que nous devons l’invention de la Synthèse. On craignait de laisser subsister des doutes sur les premiers principes des sciences exactes, et l’on a mieux aimé essayer de détruire ces doutes nuisibles par la Synthèse que de laisser entrevoir pari’ Analyse les traces des vérités qu’on voulait démontrer rigoureusement.

U existerait cependant un moyen de suivre partout la rigueur, mathématique sans s’éloigner de la route supposée des inventeurs; ce serait de conduire au principe qu’on veut &ire connaître par des raisonnemens fi»ndés sur quelques axiomes, et partant ensuite du

théorème obtenu, démontrer son existence, sa géné^ ralité par une méthode lout-à-fait synthétique; les vérités seraient ainsi doublement prouvées , et les problèmes complètement résolus , puisqu’on y répondrait en donnant et la recherche de la solution et sa vérification.

Quoi qu’il en soit, cette méthode doit toujoxirs être suivie dans la manière de présenter la solution d’un problème. L’Analyse éclaire ainsi la Synthèse; la Synthèse, de son côté, éclaircit les passages que l’Analyse n’a pour ainsi dire qu’effleurés.

6. La manière d’étudier les sciences abstraites sous le point de vue de leurs applications, consiste à récapituler les moyens qu’elles fournissent pour la solution d’im problème , pour la r^o0e à ime question proposée. Elles doivent donc'nén-seulement démontrer les rapports des quantités'qu’eUes considèrent , mais encore apprendre à déterminer certaines de ces quantités inconnues, loïsqu’on donne les relations qui les lient à d’autres quantités de même espèce.^ La Géométrie s’attache plus pSrticulîèrement à la première partie, l’Algèbre s’occupe principalement de la seconde.

‘ Voilà pourquoi là difficulté de résoudre un problème par l’Algèbre, consiste seulement dans la manière de traduire l’énoncé dans s<m propre langage, ou, pour parler alg^wiquemeHt, dans la mise en équation des donnécÜ'^ des inconnues de la question proposée.

Voili d’où vient aussi que la solution d’un problème de Géométrie sans autre secours que la considération de ses figures, est souvent si pénible à trouver. C’est •^e la science de l’etendue donne bien des pr^wsitions.

Digilized by Googk

des lliéorcmes qui expriment les rapports des élémens d’une figure quelconque , mais n’enseigne point directement à isoler les gi-andeurs inconnues, à les déterminer par le moyen des données , que l’Algèbre au contraire commençant son ouvrage où la Géométrie semble avoir terminé le sien , part des équations primitives et au moyen de transformations générales, conduit à des équations finales qu’elle présente à la Géométrie pour traduii’e la solution, et la démontrant synthétiquement, prouver l’exactitude du résultat obtenu.

La recherche d’un problème de Géométrie est en général composée de trois parties : la mise en équations, la résolution dès équations , et la vérification de la solution. La Géométrie s’occupe de la première et de la dernière de ces parties, l’Algèbre se clia^e exclusivement de la seconde. ’

7. Une solution est dite présentée synthétiquement, . lorsqu’énoncée d’abord on en prouvel’exact itude, soit pa r une méthode inverse de celle qu’à suivie l’Analyse pour la trouver, soit enfin parla démonstration àl’absurde.

11 peut an’ivcr qu’en énonçant géométriquement les relations qui existent entre les données et les inconnues d’un problème, la solution s’en déduise immédiatement; mais bien qu’elle ait été trouvée sans l’intervention de l’Algèbre, la marche qu’on a suivie pour y arriver n’en est pas moins analytique.

L’habitude de ne voir queSynthèse dans là Géométrie, a fait penser que tout problème résolu par la Géométrie simple l’était synthétiquement; mais il est constant qu’un problème quelqu’U soit, ne peut être trouvé que par une méthode analytique. C’est toujours le raison-

élément qui condliit à la découverte, et non pas là de^ couverte qui conduit au raisônnement.

Pour prouver synthétiquement ime proposition, on* l’énonce d’abord, et si l’on en déduit une vérité déjà-, connue^ n’est plus permis de doutèr du principe d’où l’on^parti 5 on acquerrait la même certitude, si partant ^irrésiiltats absolument contraires au proposé^ on était ♦l iconduit dans tous les cas à des conséquences évidem- - • ment absurdes. Mais de ce que la Synthèse suppose lachose existanteetla démontreensuite, ünefautpas con~ dure, comme on le &it quelquefois, qu’une solution est synthétique lorsque pour la trouVa- on a d’abord, supposé son existence. Pour être en droit de lui donner ee nom, il. faut énoncer entièrement la manière de la.construire, ouce qui revient aumême, la valeur de l’in-coimue du problème 3 il faut de plus la démontrer im-^ médiatement;. - . j '

Proposons nous, par «temple, dè trouver lècôté du» décagone régulier inscrit dans un cercle donné. Lepro-blèmesera résolu analytiquement si, supposant d’abord' connu-le triangle ABC (fig. 1), qui. a son sommet au.-, ceptre du cercle donné, et pour base le côté AB cherché, j’en déduis que chacun des angles à la base étant double de celui du sommet , la ligne BM^pii partagerait l’un de ces angles en deux parties égales,. diviserait lerayon opposé en deux segmens, dont l’un CM serait lecôté cherché; qneces deux segmens étant proportionnels aux. deux côtés du triangle adjacens à l’angle divisé, la . ligne qui opère cette bisection partage le rayon eu moyenne et extrême raison , et quepar conséquentlecôté ipconnu ^t la plus grande de ces deux parties..La solu-^

lion du même problème sera au contraire présentéesynthétiquement si, énonçant d’abord que le côté inconnu , ou la base AB du triangle ABC , est la plus grande des deux partie^prf composent le rayon AG divisé en moyenne et extrênjje raison, j’en conclus que la ligne qui joindrait le point M de cette division avec le sommet B opposé au rayon AC, partage l’angle B en deux parties ^^es, et que par conséquent dans le triangle isoscèle ABC , les angles à la base sont doubles de celui du sommet, »

On voit donc que dans la recherche analytique d’un problème de Géométrie, on suppose ordinaiix'ment lafigure construite, mais que l’on ne donne point directement l’énoncé de la solution ..Cette simple supposition correspond à celle de l’Analyse algébrique , qui consisteà combiner l’inconnue comme si sa valeur était déterminée. En im mot, dans l’Analyse on part de cette hypoüièse , que la construction existe, pour la trouver, tandis que dans la Synthèse on donne la construction , on la prouve ensuite, et son existence est pleinement, démontrée.

Marche à suivre dans là recherche de la solution.

8. 11 seroit impossible de donner une méthode générale, pour trouver complètement par une analyse pu- , rement géométrique , la solution d’un problème de. Géométiic quel qu’il soit. La nature de la question, les. diverses circonstances qui peuvent exister entre les. données, influent trop sur les résultats, pom* ne pas. faire varier le moyen d’y arriver. Cependant il existedes principes à suivre qui sans être généraux, offrent

peu d’exceplions, des périodes qui sont communes à Ta recherclie d^un grand nombre de problèmes, et qui doivent par conséquent être conduites de la même manière; c^est de la récapitulation de ces dilFérens détails dont nous allons maintenant nous occuper. -f

11 faut toujours commencer par concevoir, ou tracer l’espèce de figure que l’on cherche à construire rigoureusement; de la considération de ses élémens, on déduit des relations entré les inconnues et les données-, relations qui peuvent déterminer les -premières par des constructions supposées prouvées en elles-mêmes. Tel' est le problème précédent sur le côté du décagone régulier inscrit ; nous avons conclu de certaines relations entre les angles du polygone demandé-, que son côté serait trouvé si l’on savait diviser ime ligne en moyenne et extrême^ raison. Si donc on suppose cette question résolue, leproblème proposé le sera également.

g. C’est presque toujotus en disant dépendre la solution d’un problèime dé celle d’un autre plus simple, cette seconde d’unetroisième , et ainsi de suite, que l’on parvient à une question dont la réponse est évidente. On réduit ainsila proposée aune plus simple expression, et l’on pourrait comparer celte marche méthodique à celle que l’Algèbre emploie pour résoudre une équation, à une seule inconnue , où par des transformations successives, elle parvient à isoler l’inconnue. La seille différence, c’est que l’Algèbre donne les moyens généraux de diminuer ainsi la difficulté du problème, que la Géométrie va souvent au hasard pour en trouver de très partiodiers , et qu’il arrive quelquefois qu’elle complique rénoncé au lieu, de le simplifier.

Pour faire sentir les diflërens degrés par lesquels ou descend d’un problème assez compliqué , à une question dont la réponse est évidente , nous nous proposerons le problème suivant.

Problème. Dans le triangle ABC (fig. 2), mener une droite DE telle, que les deux segmens non adjacens. entre eux DB et EC et la ligne DE soient dans des rapports donnés.

■ Soit DBla ligne demandée, soit menée par le point D, DF parallèle à AC; par le point C, CF parallèle à DE ; par les points B , F la droite BF jusqu’à la rencontre de AC en G; on aura