Méthode mixte

34* Coordonnées obliques. «—Application à la Ctistallo*

graphie , 32

35« Application au sondage. — Formule pour déterminer Tangle avec Thorizon d*un plan dont on connaît troi»

points, ICI

36. Symétrie des équations relativement aux coordbïF* nées et aux quantités qui ont une certaine liaiton avec elles. — Théorème sur les courbes et surfaces qui ont pour équations x* t a* -f-y* l 6* = i

etar* ; a» +y :**•+•*•:«''— », ic4

— Connaissant deux tangentes à une parabole , lui en mener une autre par un point donné , 109

— Inscrire une ellipse disiiB.' uu parallélogramme , 1 10

— Mener une tangente commune à deux ellipses concentriques » pag. 111

— La développée de Tellipse est un cas particulier des courbes que noue considérons, son exposant

oi = f, lia

— Par un point donné mener une normale à Tellipse, ii5

— Inscrire un ellipsoïde dans un octaèdre symétrique donné, ii8

-^ Mener un plan tangent commun à trois ellipsoïdes concentriques, lai

— * Etant donnés trois points d'une 8uz£ace du second ordre et la direction de trois diamètres conjugué» » déterminer géométriquement la longueur de ces diamètres , laS

EXAMEN

DES

le GJcqI infinitésimal s'est enrichi du Calcul integnl. Pour isoler la multiplicité des solutions d'un problèmes Lagrange a fiiit paraître la théorie générale des Equations. Pour traduire en Géométrieles résultats de l'Analyse y "HL Monge s'est immortalisé en inventant la Géo^ métrie descriptive; el c'est encore pour mettre la dernière main à cette grande oeuvre des Mathématiques y que le même auteur nous a donné son Analyse appliquée«

2. Qu'on ne conteste donc plus aux mathématiciens le désir d'être utiles, puisque leurs principales décou-* vertes ont été fiâtes dans l'intention d'étendre les appËcations des sd^ices exactes. PTestH^e pas pour enn ployer 1. aicyl i„fiaiU«.«l à I. ^éJ^Ttion d« mouvemens célestes , que Newton di^ute à Leâbnits rhonneur de l'avoir invmté? N'est-ce pas dans les mêmes vues, que MM. Laplace, Legendre, Poisson ^ et tant d'autres, complètent cette riche partie de l'Analyse? N'est-ce pas à l'idée de perfectionner l'Architec* tm*e, la Mécanique pratique, la Peinture et plusieurs autres arts, que nous devons en grandepartie la découverte de la Géométrie descriptive?

3. Dans l'enseignaient des sdlences abstraites, la meilleure méthode à prendre neserait-elle pas de suivre la marche deFinvention? Aprèsavoir démontré les théorèmes, les rapports principaux qui existent entre les nombres, entre les lignes, les surfiices, les solides de la science de l'étendue, on devrait s'étendre sur l'application des r^es, des principes démontrés à la solution des prohibes, s'attacher à fidre remarquer l'insuffisance de ces connaissances premières, la nécessité d'en

créer d'autres; F Algèbre j soit pour généraliser rAritlimétique, soit pour écrire les relations dictées par la Géométrie, viendrait ainsi à sa place. Pour exprimer la coexistence des angles et des côtés des figures rectili-gnes , on ferait sentir l'utilité d'inventer «une Trigono^ métrie qui fit entrer dans l'Analyse des longueurs ou des rapports de longueur au lieu d'angles , afin de ne point détruire lliomogénéité du calcul. Lorsqu'en poursuivant l'étude de l'application de l'Algèbre simple à la €^métrie , on serait arrivé à considérer des lieux géométriques, aies chercber lorsqu'ils sont inconnus, on imaginerait alors l'application de l'Analyse à la Géométrie de Descartes , qui basée sur les découvertes précédentes , donnerait un plus vaste champ aux idées mathématiques , à la solution complète des problèmes de Géométrie. Enfin, après avoir considéré les sections coniques, les sur&ces du second ordre, la discussion des lieux géométriques de degrés supérieurs exigerait xm moyen général d'étudier les affections d'une courbe en un de ses points particuliers, par celle de toute ligne osculatrice en ce point, plus simple à considérer que la proposée ; c'est ainsi que l'étude du Calcul infinitésimal viendrait tout naturellement terminer celle de l'Analyse mathématique en général.

On ne ferait plus aux sciences abstraites le reproche quelquefois fondé de considérer des choses toujours nouvelles, sans &ire apercevoir ni le but vers lequel elles conduisent , ni la liaison naturelle de leurs par-

li<5S.

Cette coordination des diverses branches des Mathématiques en ferait mieux concevoir toute la richesse ,

toute Fimportance. Les nombéux pr<^làimd qu'on devrait proposer soit pour exercer les connaissances acquises, soit pour fidre sentir la nécessité d'en acquérir de Bouvellesi auraient encore rinunense avantage d'habituer le mathématicien à surmonter les difficultés de son ifft^ à inventer les moyens de renrichir, et c'est peut-être à la manière de présenter les découvertes passées , que la postérité devrait d'en voir ai]^[menter le nombre.

4. L'enseignement des Mathématiques devrait être uniforme dans toutes ses parties , et c'est ce qui n'a lieu que jusqu'à un certain point. Les élémens et les haules Mathématiques scmt présentés d'une manière bien différente. Dans les élémens je comprends l'Arithmétique, la Géométrie, l'Algèbre et l'application de ces deux dernières parties. Quant à la Géométrie descriptive, le Calcul in&iitésimal, l'Analyse appliquée, elles constituent les Mathéricitiques transcendantes. Chacune de ces deux branches distinctes a donc sa Géométrie, son Calcul, et l'application de ces parties princi^ pales. Dans la première on voit souvent la Synthèse pré^ férée; cette méthode énigmatique semble entièrement bannie de la seconde. File constituait la méthode des anciens 9 les modernes ont adopté l'analyse comme le plus sâr moyen d'augmenter leurs nombreuses décou-* vertes. Les propositions de la Géométrie proprement dite se succèdent àans aucun but évident d'utilité; la Géométrie descriptive au contraire a été inventée et conduite par la pratique. L'Analyse de Descartes, telle qu'elle est exiseigaée , offre les propriétés des lignes les plus simples , sans presque donner l'occasion de les uti«

Bser, tandis que TAnalyse de Monge ne volt que problèmes à résoudre et donne le moyen de trouver les lieux géométriques I plutôt que celui de les discuter*

Pour remédier & cette dissemblance qui est toute à l'avantage des découvertes récentes, ne pourrait-on pœ présenter, livec les élémens, qertain^ emplois de leurs théorèmes 9 qui pussent diminuer la sécheresse de leur étude? Ne pourraitron pas compléter l'application de r Algèbre à la Géométrie, par une foule de recherches curieuses qui conduiraient naturellement à cette discussion des lieux géométriques, dans laquelle on a &it c^ntièrement consister cette partie des Mathématiques?

On pourrait , en commençant par l'étude de la ligne droite , fidore voil* les constructions auxquelles peuvent donner lieu la position respective de deux lignes sur un même plan , leur angle , leur parallélisme , leur perpendieularité; considérer des longueurs déterminées, les partager en parties qui aient entre elles des rapports doniiés; combinant ensuite la ligne droite avec le oc»*cle, étudier leurs contacts , en construire de particuliers , &ire remarquer dans les segmens capable Fimmense avantage des lieux géométriques; passant à l'ensemble de plusieurs lignes , construire un triangle quand on a des données suffisantes, &ire entrer successivement parmi ces données les hauteurs, les côtés, les angles^ les lignes qui opèrent leurs bisections, les sommes, les différences, les produits, les rapports de ces difie* rens élémens de la figure proposée^ présenter des cas particuliei^ d^ la circonscription , de l'inscription des figures rectOignes . et circulaires ; en proposant des

lieux géométriques conduire à la discussion des lignes du second degré ; étudier les intersections , les contacts de ces nouvelles courbes, capables de jeter le plus grand jour sur leur théorie ; enfin ne rien négliger dans toutes ces applications pour fiiire remarquer Paccord constant de l'Algèbre avec la Géométrie, accord qui permet de confier au calcul le soin de découvrir de nouveaux théorèmes.

Il faudrait principalement s'attacher à donner quel* ques méthodes générales pour la solution d^un pro« blême , suivant la manière de l'aborder , de la conduire au résultat, et de traduire cette dernière partie dans te langage de l'énoncé. C'est sans doute ce qu'il j aurait de plus difficile; la multiplicité des moyens dont la Géométrie y dont rAlgâ>re même peuvent se servir pour arriver au but proposé, la variété des questions, tout contribuerait a élœgner les méthodes générales ^ mais on pourrait, il me semble, classer les problèmes suivant les ressemblances plus ou moins grandes de leurs moyens de solution, et l'on parviendrait peut^tre, si^ non à ime méthode unique, èsa moins à un compose fini de moyens difierens, que l'on pourrait regarder comme ^néraux vil leurs nombreuses applics^tions.

Tel est le but que je me propose dans le cours de cet Ouvrage. Je commencerai par récapituler les moyens de la Géométrie simple pour résoudre les problèmes ; je lui associerai ensuite le calcul. Je rendrai les principes ([ue je présenterai plus clairs , plus fi^ppans , par quelques exemples ; si les solutions que j'offi*e ne sont pas les plus simples, les plus élisantes, elles fourniront à mes lecteurs au moins un énoncé à travailler, et je

(7) m'applaudirai ea disant mal, dWoir procuré & d'au* ires Foccasion de bien fidre*

Analyse et Synthèse.

5. UArithmétique est une des sçieiices abstraites où Ton suit mieux la marche analytique; les règles, les opérations, se démontrent à mesure qu'on en a besoin, et Ton y voit toujours le but proposé. Dans la Géométrie au contraire on se dirige sans s'en apercevoir vers un but caché ; on démontre des propositions dont on peut avoir besoin dans la suite, mais dont on ne voit nulle application immédiate. Ce n'est pas ainsi que les premiers géomètres ont été conduits vers leurs découvertes; une analyse pure fut toujours le guide des inventeurs. La similitude de position de deux lignes pa* rallèles par rapport à une sécante fit sans doute naître cette théorie fondamentale de la science de l'étendue , dont on a déduit tant de théorèmes sur les angles, sur les sm^fdces, sur les solides. Mais c'est peut-être au peu de rigueur de l'Analyse en démontrant les découvertes primitives que nous devons l'invention de la Synthèse. On craignait de laisser subsister des doutes sur les premiers principes des sciences exactes, et l'on, a mieux aimé essayer de- détruii*e ces doutes nuisibles par la Synthèse quetie laisser entrevoir par l'Analyse les traces des vérités qu'on voulait démontrer rigoureusement.

11 existerait cependant un moyen de suivre partout là rigueur mathématique sans s'éloigner de la route supposée des inventeurs; ce serait de conduire au principe qu'cm veut fidre connaître par des raisonnemens Ibndésii sur qa^ques axiomes, et partant ensuite du

(8 théorème obtenu, démontrer son existence, aa géraràlilé par une méthode tout-à-iait synthétique; les vérités seraient ainsi doublemoit prouvées , et les pn>^ blêmes complètement résolus, puisqu'on jr répoiidrait en donnant et la recherche de la solution et sa vérification.

Quoi qu'il en soit, cette méthode doit toujours être suivie dans la manière de présenter la solution d'un problème. L'Analyse éclaire ainsi la Synthèse; la Syn^* thèse, de son côté, éclaircit les passages que l'Analyse n'a pour ainsi dire qu'effleurés.

6. La manière d'étudier les sciences abstraites sous le point de vue de leurs applications , consiste à récapituler les moyens qu'elles fournissent pour la solution d'un problème, pour la réponse à une question proposée. Elles doivent donc non-seulement démontrer les rapports des quantités qu^elles considèrent , mais encore apprendre à déterminer certaines de ces quantités inconnues, lorsqu'on donne les relations qui les lient à d'autres quantités de même espèce. La (géométrie s'attache plus particuUèrement à la première partie, l'Algèbre s'occupe principalement de la seconde.

Voila pourquoi la difficulté de résoudre \m problème par FAlgèbre, consiste seulement dans la manière de traduire l'énoncé dans son propre langage, ou, pour parler algébriquement, dans la mise en équation des données et des inconnues de la question proposée.

Yoilà d'où vient aussi que la solution d'un problème de Géométrie sans autre secours que la considération de ses figures, est souvent si pénible à trouva:. Cest que la science de l'étendue donne bien des propositions,

âes théorèmes qui expriment les rapports des élémens d^une figure quiconque, mais n'enseigne point directement à isoler les grandeurs inconnues, à les détermi^ ner par le moyen des données , que l'Algèbre au contraire commençant son ouvrage où la Géométrie semble avoir terminé le sien , part des équations primitives et au moyen de transformations générales, conduit à des équations finales qu'elle présente à la Ctéométrie pour traduire la solution, et la démontrant syntbétiquementi prouver l'exactitude du résultat obtenu.

La recherche d'un problème de Géométrie est en général composée de trois parties : la mise en équations, la résolution des équations , et la vérification de la solu^ tion. La Géométrie s'occupe de la première et de la dernière de ces partie?, l'Algèbre se charge exclusive* ment de la seconde.

7* Une solution est dite présentée synthétiquement, Iorsqu'énoncéed'abordonenprouvel'exactitude,soitpar une méthode inverse de celle qu'à suivie l'Analyse pour la trouver, soit enfin parla démonstration àl'absurde.

Il peut arriver qu'en énonçant géométriquement les relations qui existent entre les données et les inconnues d'un problème, la solution s'en déduise immédiatement ; mais bien qu'elle ait été trouvée sans l'intervention de l'Algèbre, la marche qu'on a suivie pour y arriver n'en est pas moins analytique.

L'habitudedenevoir queSynthèse dans la Géométrie, a &it penser que tout proMème résolu par la Géométrie simple l'était synthétiquement; mais il est constant qu'un problème quoiqu'il soit, ne peut être trouvé que par Une méthode analy tique« C'est toujours le raison^

nement qui conduit à la découverte, et non pas la Jecouverte qui conduit au raisonnement.

Pour prouver synthétiquement une proposition , on rénonce d'abord , et ai Ton en déduit une vérité déjà connue, il n'est plus permis de douter du principe d'où l'on est parti ; pu acquerrait la même certitude , si partant de résultats absolument contraires au proposé , on était conduit dans tous les cas à des conséquences évidemment absurdes. Mais de ce que la Syntbése suppose la chose existante et la démontre ensuite, ilne&utpas coU"* dure, comme on le ait quelquefois^ qu'une solution est synthétique lor&qne pour la trouver on a d'abord supposé sofi existence. Pour être en droit de lui donner ce nom , il Ëiut énoncer entièrement la manière de la construire, ou ce qui revient au même, la valeur de Tinconnue du problème; il faut de plus la démontrer im-* médiatement.

Proposons nous , par exemple, dé trouver lec6té du décagone r^ulier inscrit dans un cercle donné. Le problème sera résolu analy tiquement si , supposant d'abord connu le triangle ABC (6g. i), qui a son souunet au centre du cercle donné , et pour base le côté AB cherché, j'en déduis que chacun des angles à la base étant, double de celui du sommet . la ligne BM qui partagerait l'un de ces angles en deux parties égales , diviserait le rayon opposé en deux segmens, dont l'un CM serait le coté cherché; que ces deux segmens étant proportionuels aux deux côtés du triangle adjacens à l'angle divisé, la ligne qui opère cette biaection partage le rayon en moyenneet extrême raison , et que par conséquent Jecûlé iticounu est la plus grande de ces deux parties. Lit çolu-

tîon du même problème sera au contraire présentée synthétiquement si , énonçant d'abord que le coté in-ccNtmu y ou la base AB du triangle ABC , est la plus grande des deux parties qui composent le rayon AG divisé en moyenne et extrême raison y j'en conclus que la ligne qui joindrait le point M de cette division avec le somr met B opposé au rayon AG, partage Pangle B en deux parties ^ales, et que par conséquent dans le triangle isoscele ABG, les angles à la base sont doubles de celui du sommets

On voit donc que dans la recherche analytique d'un problème de Géométrie, on suppose ordinairement la figure construite, mais que Ton ne donne point dîïec-* teïnent Fénoncé delà solution. Cette simple rappositicm correspond à celle dePAnalyse algébrique . qui confiisteà combiner l'inconnue comme si sa valeur était déterminée* En un mot, dans l'Analyse on part de cette hypothèse , que la construction existe , pour U trouver , tandis que dans la Synthèse on donne la construction , on la prouve ensuite, et son existence est pleinement démontrée*

Marche à sidi^re dans la recherche de la solvtion.

8. II seroit impossible de donner une méthode géné^ raie, pour trouver complètement par une analyse purement géométrique, la solution d'un problème de Géométiie qud qu'il soit. La nature de la question, le& diverses circonstances qui peuvent exister entre les données, influent trop sur les résultats, pour ne pas. faire varier le moyen d'y sffriver. Gependant il existe des principes à suivre qui sans être généraux , ofirent

pea d'exceptions, des périodes qui sont communes à la recherche d'un grand nombre de problèmes, et qui dcHvent par conséquent être conduites de la même manière; c'est de la récapitulation de ces differens détails dont nous allons maintenant nous occuper.

Il &ut toujours commencer par eonçeToîr, ou tracer l'espèce de figure que l'on cherche à construire rigoureusement; de la considération de ses élémens, on déduit des relations entre les inconnues et les données, relations qui peuvent déterminer les premières par des constructions supposées prouvées en elle^mêmes. Tel est le problèmeprécédent sur le côté dudécagone régulier inscrit ; nous avons conclu de certaines relationsentie les angles du polygone dffloandé, que son côté serait trouvé si l'on savait diviser une ligne en moyenne et extrêmes raison. Si donc on suppose cette question résolu^, le problème proposé le sera paiement*.

9* C'est presque toujours en &isant dépendre la solution d'un problème de celle d'un autre plus simple, cette seconde d'une troisième , et ainsi de suite^ que Fou parvient à une question dont la réponse est évidente. On réduit ainsi la proposée à une plus simple expression, et l'on pourrait comparer cette marche méthodique à. celle que l'Algèbre emploie pour résoudre une équation à une seule inconnue , où par des transformations 8uc«cessives, elle parvient à isol^ l'inconnue. La seule différence, c'est que l'Algèbre donne les moyens généraux de diminuer ainsi la difficulté du problème, que la Géométrie va souvent au hasard pour en trouver de très particuliei^ , et qull arrive qudqudbis qu'elle compËque l'énoncé au Uea de le simplifier»

Pour fiore sentir les différens degi^es par lesqaels on descend^on problème assez compliqué, à une question dont la réponse est évidente y nous nous proposerons le problème suivant.

Problème. Dans le triangle ABC (fig. 2), mener une droite DE telle, que les deux segmens non €$dfacens entre eux DB et £G et la ligne DE eoient dans dea rap* ports donnés.

Soit DE la ligne demandée, soit menée parle point D, DF parallèle à AG; par le point G, GF parallèle a DE i par les points B , F k droite BF jusqu'à la rencontre de AC en Gj on aura