AG:AB::DF:BD::EC;BD

Ce rapport étant donné , il est aisé de construire d priori le triangle ABG| et le problème proposé semblera dé^ pendre de la question suivante :

Le triangle ABG étant donné, et un point C sur la baseAG, mener une ligneUF parallèle d la base, telle, qu'en Joignant FG onait DF llPCllmln,ou dans un' rapport donné.

Maintenant si par le point ù on conçoit GX parallèle à FG jusqu'à la rencontre de BC en X, on aura

GX: FC ::BG: bf ::ga :fd, tfoù gx:ga::fc»:pd::ed:ec.

Ce dernier rapport étant oonnu, la solution cherdiéc dépendra de nouveau de celle de ce 3^ problème ;

Trouver sur la ligne BG un point X tel, que GX soit d GA dans le rapport de deux lignes p et q.

Enfin cette dernièrequestion est &cile àrésoudrelors* qu'on sait construire une 4^ proportionnelle à 3 lignes données.

En effet , on construira une t^ proportionnelle aiix lignes qy GA^ et p; du point G comme centre avec celte ligne pour rayon , on décrira un arc de cercle qui coupera la ligne BC en deux points X et X' satis&isant aa S^problème; joignant GX ^ menant CF parallèle à cette droite, FD à AG^lea^problèmeserarésoluj enfinmenant DE parallèle à CF, le problème proposé le sera pareille-* mentv Puisqu'il existe deux points X satis&isant au 3^ problème , il existe aussi deux manières de répondre it la question primitive. De ces deux solutions, la preipière DE sera comprise dans Fangie BAC, la seconde D'Ë' dans son opposé par le sommet. D'après cette con-* struction les li^es DE, DB, EC sont dans les rapports donnés ainsi que les lignes D'E', D'B, E'C, comnre il serait d'ailleurs aisé de le démontrer synthétiquement«

Le problème général de la détermination des sur&ces du second ordre par la Géométrie descriptive^ nous donnera par la suite un exemple encore plus frappant du prinâpe que nous venons d'énoncer.

lo. H arrive assez souvent que le problème auqud on descend, n'est qu'un cas particulier du problème à résoud|*e. On sait par exemple que pour trouver le centre d'iûi cercle tangent à trois autres dont les centres seraient c, c\ d'j et les rayons R, E^ R'', il suffit de cherçber le centre d^un cercle passant par le point <P et tangent à deux autres ayant pour centres c et c^, et pour rayons (R sb R'^) (R' db R'Q ; nouveau problème qui n'est qu'un cas particulier du premier, puisque le point c'' peut être considéré comme un cercle de rayon naL I^ous pouvons en donner un autre exemple dans la so« lution suivante.

PftOBiJsME. É^ant donnés les deux côtés ad/acens à Vangle A du triangle ARC{î^. 3), etla ligne AD dont la direction partage cet angle en deux parties égales^ construire ce triangle.

Soit ABC le triabgle demandé j si l'on conçoit pat le point D, DF perpendiculaire sur AD jusqu'à la rencontre de AB en F; par le point G une parallèle CE à c^tte ligne, on aura A£= AG, par conséquent BEsa AB-— AC; etcommeonadcplusEF:FB:îDC:BD :: AG : AB, le point F est aisé à déterminer à priori : cette ligne AF étant connue, pour trouver l'angle A et par suite le triangle ABG, il suffit de résoudre ce nouveau problème, cas particulier du proposé :

Problème. Étant donnés le côté AF d'un triangle isoscèle FAF' et la perpendiculaire AD du sommet sur la base, construire ce triangle.

D'après cela, l'angle f A sera déterminé en construisant un triangle rectangle dont AF serait l'hypoténuse, AD un des côtés , l'angle total s'ensuivra , et le problème proposé sera résolu. La Synthèse donnerait aisément là vér^Bcation de cette solution. *

lu II y a des problènves de Géométrie où l'on est analytiquement conduit à construire une figure semblable à celle que l'on cherche , et dont les élémens sont pris parmi les données. Par exemple , si connaissant les troishauteorsd'un triangle, onproposaitdeleconstruire, on pourrait être ainsi conduit à la construction.

Soient A, h\X' les trois hauteurs ; a, a', a" les trois c6tés inconnus : les rectangles ahj a'h\ ci^W^ représen*^ tant chacun le douUe de la aur&ce du triangle demandé, aont ^ux entre ev». On eu déduit les proportions

ala^ Il h' l hy al a^' i: h^' Z h; on peut donc construire un triangle semblable au proposé, si h' est dans cette

figure le côté homologue à a, A et -p seront les homo*

logues de a' et de a". Connaissant ainsi les angles du

triangle demandé , le reste de la solution n'offi*e plus de

difficulté.

Méthode inverse.

13. 11 ne Êtut pas confondre ce cas particulier avec cette méthode connue sous le nom àHnverse, qui con* siste à renverser Ténoncé, à prendre pour données les inconnues, et réciproquement. En résolvant ce nouveau problème, on construit une figure semblable a celle que l'on cherche ; si Ton connaît ensuite une s^e ligne de cette dernière, il sera 6cile de la construire elle*méme

C'est surtout quand il s'a^t d'inscrire dans un polygone donné une figure semblable à une autre aussi don* née, que l'on préfère la méthode inverse à la méthode directe. La circonscripticm des figures semMaUes ayant l'avantage d'oflBrir par les scgmens capables, des Heux géométriques , des sommets du polygone à construire.

S^U s'agit , par exemple , d'inscrire un quadrilatère dont on connaît les angles et le rapport des cotés dans un autre quadrilatère donné, on pourra renverser l'é« nonce et se proposer de circonsoire à un quadrilatère donné, un autre quadrilatère semblable à une figure aussi donnée.

Supposons qu'il fiiille cii*conscrire à ABGD (fig. 4) un polygone a'b'c'd! sraoblable à abcd. Le sommet a' devra se trouver sur le segment capable de l'angle a , construit sur l'un des côtés du quadrilatère ABGD sur

le côté AB par exemple , et si de plus l'angle 6' = ô doit correspondre au côté AD, on pouiTa construire sur le^ côtés DA, A6, BG, des segmens capables des angles b o ) c du second polygone , sur lesquelles circonférences devront se trouver les sommets inconnus du polygone cherché. Si l'on pouvait déterminer de nouveaux lieux géométriques de ces mêmes points , le problème serait résolu. Or soient h\ c\ a Vies points satisfaisant à la question ; la droite a'b^ passera par le point A , la ligne

A'C par le point B, de plus on doit avoir -7-7= -^== t«

Soit A' le second point d'intersection des deux cercles AD^', ABa', tous les triangles qui auraient leur sommet en A', et pour base une double corde telle que a'A6' fieront semblables , puisque leurs angles en af et b^ auraient tous pour mesure la moitié des mêmes arcs A A^;

le rapport -rp que nous représenterons par ^ pourra donc être r^rdé comme connu; par la même raison , le rapport —r7 ^=3: - sera fitcile à déterminer; on en déduira— /g? as - • - • ?; ïnais si Ton partage Tare A'B' en

deux parties égales au point M, et que Ton conçoive a'M, cette ligne partagera l'angle Va! A! en deux parties ^ales^ et par conséquent la base A'B' en deux par^^ lies A'N et B'N, proportionnelles aux deux côtés A'a', Va! y ce rapport étant connu , il sera &cile de trouver à priori le point N , par suite la ligne MNa', nouveau lieu géométriquedu point a'; joignant a'Bc', a'A6', 6'D, c'C^ le problème sera résolu. L'inverse s'en déduirait aisément. Ce problème est susceptible de huit solutions^

( i8 ) deux pour lesquc^Ues l'angle a oorresponcl au coté Â&^ et deux pour diacun des «lutres eôtés du quadrilat^^

ABGD.

On résoudrait encore par Tinverse et de la même manière 9 la queatitm suivante.

Proklèjie. Quatre droites étant données sur un même plan, mener unetranspersale telle, que les trois parties interceptées soient dans des rapports donnés.

i3l. Dans l'exemple précédent , le rapport des deux figures semblables exigées par la méthode inverse, est absolument indéterminé ; mais on peut lier quelquefois ces deux parties, de manière à fidre disparaître cette indétermination ; la constractton n'en est que {Jus âégante, et il n'existe plus, pour ainsi dire, rien d'indirect dans Fanalyse de la qilestion proposée. Soit proposé de construire un cercle assujéti à passer par deux points donnés , et à couper une droite sous un sèment capable d'angle xx>nnu.

Si M et N sont les deux points donnés (fig« 5), AB la ligne domiée, que MNAB^t le cercle qui satis&it à la question; on pourra construire sur MU un sèment capabie de l'angle connu ; et si l'on conçoit prolongées les lîgnesBN, AM jusqu'àlarencontredece lieu géométrique en A^ et B', il sei^ aisé de prouver que les quadrilatères MINAB, WSA'V sont semblables, et les lignes AB, A'B' para Hèles. Soit C le centre du cercle inconnu , G' celui du cercle MNA'; ils se trouveront tous les deux suï* la perpendiculaire élevée sur le milieu de MN, laquelle droite viendra couper la ligne AB en un point P, aitué dans la figure MNA, de la même manière que le point P' d'ii^itersectikm de GP' perpendiculaire sur AB

et de BIN, l'est dans la figure semblable NMA^ Or, lès points Py P' sont iàdles à déterminer; le point A' de la figure A'B^ y homologue au point M de k figure MNA ^ sera connu , en &isant Fangle CP'A' as QPM* Connaissant le point A', la ligne A^B' parallèle à AB, et les droites BIIAA, AONB achèveront la solution.

Avantage de la Géométrie.

1 4- S^il n'est aucune marche tracée pour la recherche de la solution d'un problème^ par la simple considéra*^ tion des figures, cette incertitude est peut-être une des grandes richesses de la Géométrie. Il arrive souvent en efiet, qu'en suivant une certaine route pour allée à la découverte, on r^conire la solution d'un problème difierent du proposé , qu'on n'eût sans doute pas trouvé aus^ ÊLcilement , s'il se f&t agi de le résoudre directement. Qui doit-on donc le plus admirer, ou du çakiil qui commence ses travaux avec confiance, et finit presque toujours par répondre à la questicm , ou de la Géométrie qui paît sans rien promettre, et revient quelquefois oSrÎT avec la solution du problènie,/ celle de plusieurs autres qu'on ne lui demandait pas, et qu'elle a recueilli sur son passage?

Dans JLa proposition précédente, la similitude des deux quadrilatères ABMN , Afh'MN et le parallélisme des lignes AB et A'B', fournissent un moyen très simple de construire un <piadrilatère inscriptible dans un cercle lorsqu'on en connaît les quatre côtés*

Soient les quatre côtés MA=a>ABss£,BN=:o; MN=::d D'après les considérations précédentes, on

aura AB=6, AB'=ii4- j^, A'B'ss j,A'B= c+^

pour les quatre côtés du trapèze ABA'B', à la constrttc« tien duquel se réduit le problème proposée» On peut trouver directement ces quatre lignes en fonction des données, par une construction très simple; il suffit de former un quadrilatère quelconque , ayec les quatre Iongueursdonnées , sur le côté d comme homoli^e au côté -. by construire im quadrilatère semblable; les lignes

A il d

a Ty Cry d-r seront les homolc^es de a, c, dj pour

trouver le trapèze ABA'B', soit conçue B'Q parallèle à A'fi, AQ sera la difféi*enœ AB— Â'B', AB' le côté a

•4- T-, B'Q le côté c -+- -x-,j on pourra donc construire

à priori le triangle AB'Q , par suite le trapèze , et enfin le quadrilatère inscrit proposé.

On déduira aisément de la solution précédente, la démonstration de ce théorème.

Théorèmb. Dana tout quadrilatère inscrit, les dia-^ gonales sont entre elles comme les sommes des rec^ tangles, des côtés qui aboutissent d leurs extrémités.

En effet, les triangles ANB', A'MB sont semblables et donnent les proportions AN : MB :: AB' : BA' :; a

jLieux géométriques.

1 5. Les questions de Géométrie se réduisent presque toujours à la recherche d'un ou de plusieurs points. Uu point est ordinairement déterminé par l'intersection de deux lieux géométriques , sur lesquels il jouit de deux propriétés différentes et réunies. Ce n'est guère que lorsrque ces lieux géométriques peuvent se réduire à la ligue

(ai)

droite on au cercle, qu'il est poBsihle d^employer nçe analyse purement géométrique, pour déterminer le point demandé, attendu que les constructions synthétiques ne sont regardées comjtne rigoureuses^ qu'avec l'emploi de la règle et du compas. Or^ comme les pro« « priétés de tous les points d'un lieu géométrique , sont les seules qui puissent donner lieu à son emploi, et que les propriétés de la ligne droite et du cercle sont très limitées , on conçoit aussi une limite pour la quantité de problèmes de Géométrie qu'on pourrait résoudre avec la ligne droite et le cercle , du moins dans ce qui. concerne la détermination d'un ou de plusieurs points ; il est même beaucoup de ces problèmes que l'on pourrait attribuer à la Géométrie pure, parce que leur construction ne suppose que la con naissance de ses premiers élémens, et qui n'en ont pas moins été déduits de l'Analyse algébrique. U est vrai que la Géométrie conduit aux mêmes résultats ; mais dans ce cas , son analyse participe un peu des propriétés pour ainsi dire enigmatiques delà synthèse ; c'est le grand dé&utdela Géométrie quand elle veut concourir avec l'Algèbre.

i6. En un mot, parmi les lieux, géométriques, il n'est guère que la ligne droite et le cercle, considéré surtout comme sèment capable, dont on puisse attribuer la découverte à la Géométrie. C'est en étudiant leurs applications à la solution des problèmes , sur-tout à la construction des triangles, qu'on a dû remarquer l'immense avantage des lieux géométriques , et c'est sans doute cette remarque qui a donné naissance aux recherches feites sur les sections coniques, et enfin à cette analyse sublime de Descartes, où d'une propriété corn-

(aa)

miine k Umâ les points d'une courbe^ <m déduit son eiLpre8iBi0n analytique»

Pour donner cependant un exemple de là découverte d'un lieu géométrique, par la seule considération des données, soit proposée la question suivante :

Problème. Trouver le lieu géométrique décrit par un anneau pesant M (fig. 6) mobile sur une corde QMC de longueur constante l, dont une extrémité € est fixe, et T autre Q assujét^ à descendre suivant une verti" cale AV.

Lia direction verticale à^tme force imprimée à l'anneau mobile , doit diviser en deux parties égales Fangle QMQx formé par les deux cordons partiels QM, MG; c'est-^-^lire que si on prolonge la ligne GMQ' jusqu'à la rencontre en Q' de la verticale AV, le triangle QMQ' sera isoscèle ; on aura donçQM ssOTML et CXJ^= QM + CM = /; le lieu géométrique demandé est donc la droite GQ' hypoténuse du triangle rectangle AGQ', Êicile à construire ^puisque AG et CCyss./ sont connus..

Il arrive souvent qu'en étudiant les propriétés d'une figure, les cas particuliers d'un théorème, on découvre comme par hasard un heu géométrique ; la méthode qui l'a ainsi déterminé est toujours analytique , puisque le raisonnement seul y conduit. Par exemple, en étudiant les propriétés des tangentes communes à deux cercles, on pourra condure la réponse à la question suivante :

Problème. Etant donné un point et un cercle^ trou* uer le Ueu géométrique du point qui partagerait en deux parties, dans un rapport constant, la ligne menée du point donné, d Vun quelconque des points de la cir^ conférence.

Quoi qu'fl en sait , cofnnae il ne fiut pas toujours s'a t* tendre à ces découvertes dnfaasard, lorsqu'un Heii géo^ métrique est prorposé^ il vaut mieux leoherclier d'abord par Piapplicatton àé FAlgebre à la Géométrie; et s'il participe de la ligne droite ou du cerde, en pourra ensuite interrogar la Synthèse pour vérifier la solution^ Toute propriété du cercle ou de la ligne droite, trouvée par l'Analyse algébrique, et mise au nombre dés propositions géométriques, soit par la Synthèse, soit par toute autre méthode purement géométrique, doit reculer les bornes de la science/de l'étendue ^ dans la solution des problèmes, puisqu'elle lui fournit de nour V^eaux lieux gé<»nétriques , ou pour ainsi dire dé noû- Telles coordonnées pour déterminer les points inconnus. Si on Toulait conserver à la Géométrie l'honneur apparent de la découverte , il &udrait laisser entrevoir lajroute qu'elle eût pu suivre pour y arriver; mais cette nouvelle méthode analytique serait peut^tre aussi loin de la route naturelle de l'inventeur, que la. Synthèse même. Par exemple, l'Algèbre seule à dà trouver que le lieu géométrique du point dont les distances à deux points donnés, saraient dana un rapport constant, est une circonférence de cercle; la> Géométrie pure n'a &it que le prouver ; et si Ton voulait forcer son analyse à donner le même résultat , elle conserverait toujours une certaine apparence énigmatique^ quidévoilerait son impuissance. On pourrait en effet aborder ainsi qu'il suit, larc^ cherche de ce lieu géométrique : soit M (fig. 7), un de$ points du lieu géométrique , AetB les points donnés tek que Von ait AM:MB:: a: ^ rapport donné; la ligne MN ifoi opère labisection de l'angle M, pa^se constamment

pur le pomtK,qaipartageABendeuxsc^ens ANetBNy proportioimelsauxlignesAet C. Si Foneonçoit^NI^parallèleà BM, NQà AM, le parallélogramme MPNQ sera un losange; la diagonale PQ sera donc perpendiculaire sur le milieu de MN; si donc O est son point de rencontre avec AB , on aura ON = OM ; d'ailleurs le parallélisme des lignes AP et NQ, QB et PN donne ON:OB ::PN:QB::AN:BN; la ligne ON ou OM ne dépend donc que des segmens constans AN et BN , elle est donc constante. Le lieu géométrique demandé est donc un cercle Êicile à déterminer. On pourrait sur AN et BNf construire des triangles équilatéraux ; la ligne qui join-^ drait leurs sommets irait passer par le centre O du cercle çberché, dont ON est le rayon.

Si Yon proposait y étant donnés quatre points A , B^ Cy D en lignée droite, de trouver hors de cette ligne un point X tel, que les lignes AB, BC» CD, y soient vues sous un même angle, la recherche du lieu géométrique précédent donnerait pour la construction de ce pro-* blème^ l'intersection de deuic cercles*

1 7. Concluons étendant que , lorsqu'il s*àgit de déterminer un heu géométrique, la position d'ime ceilaine ligne, d'une certaine surface, par rapport à d'autres lignes, d'autres surfeces données^ on doit préférer Fapr plication de l'Algèbre à la Géométrie. Cette méthode consiste principalement à mettre les problèmes en équation, c'est-à-dire, à l'énoncer algébriquement. Ufaut ensuite manier les équations, les données primitives, de fa» çon à obtenir des résultats prompts et satisÊusans, but que

Von n'atteint pas aisément. Cependant la marche sâreet méthodique de cette analyse ^ la aymétrie y la variété des éliminations y conduisent à des équations finales o& la réponse à la question se trouve écrite. Ainsi parvenu au résultat algébrique^ il reste à le traduire dans le langage de l'énoncé proposé; c'est la le terme^ le fini de l'ouvrage ; mais souvent l'éçueil du Mathématicien, un obstacle que la solidité du raisonnement peut seule surmonter.

Il ne fiiut pas croire cependant , qae cette partie soit toujourslapierrede touchede la sagacité mathématique. n est des résultats extrêmement simples , des problèmes dont l'Analyse semble se jouera et pour lesquels elle ne croit pas nécessaire d'avoir des secrets; c'est sur-tout q[uand la Géométrie simple peut répondre d'elle-même a la question, que l'Analyse est si docile ; cette dernière est en effet le guide du Géomètre; et quand il s'avise de marcher sans elle vers un but quelconque , elle semble lui prouver I par sa simplicité, qu'il serait arrivé plus vite s'il eût suivi ses conseils.

U faut étudier l'énoncé d'un problème de Géométrie, avant de l'exprimer en Analyse; commencer par écrire les données , par les mettre en équation. S'agit-il d'un point? deux conditions, deux coordonnées sufiisent pour le déterminer sur un plan ; il en faut trois lorsqu'il est situé d'une manière quelconque dans l'espace. S'agitpil d'un lieu géométrique continu? il sera exprimé par une ou deux équations aitre trois variables. Si c'est une ligne plane, il suffit d'une seule équation qui établisse une relation entre les deux coordonnées de chacun de ses points. C'est ainsi que l'Algèbre traduit un énoncé géo*

métrique dans 6on propre kngage , pour le présenter^ pour le travailler ensuite à sa manière. .

Viennent ensuite des éliminations, dés transformations, dont Futilité n'est point incertaine ; il ne &ut jamais perdre de vue le résultat désiré $ chercber con-* stamment le plus court ohemin pomr y arriver. La €féométrie^lorsqu'elleestaeule employéeà la rechercbed^lne solution, dévie souvent de sa route, pour alkr à là découverte; la bonne Analyse au contraire, cannait l'endroit où elle doit firappar, et s'y dirige sans détours^

Après avoir tracé les différentes périodes de la s^ûtion des problèmes par FAlgébre, je vais les parcourir avec plus de détails , et chercher à lever les difiicultés, à ré^ fioudre les cas particuliers qui pourraient se.|Nrésenter.

Notatkan. .

i8. Dans le calcul, U faut toujours choisir les notations les plus avantageuses ; soit pour aider la mémoire,, soit pour abréger les éliminations. Autant il serait ridi-^ cule de &ire consister dans de simples conventions , la majeure partie des Mathématiques, autant il serait exagéré de les eu bannir entièrement. Elles détruisent quelquefois l'aridité du calcul, et l'on pourrait dire que la notation ^t à l'Analyse, ce que l'arrangement.^ le chois^des mots est à la clarté du style. Avec son seoours, les calculs les plus longs deviennent une somme de transformations semblables , et il ne fiiat plus pour achever le tout^ que la patience de répéter la partie principale. C'est avec de pareilles inventions que l'Analyse algébrique^; ^pénible dans son origine^ est parvenue

( ^7 ) au point de dcMUier des leçoii3 d«f âbnpKdté k lia Géo-» métrie même.

19. Quaud les domiées d'un problème peuvent être placées par rapport aux axes coordonnés ^ de manière à simplifier les équations , sans en trouI>ler la symétrie, iji&ut toujouxB en profiter; mais si cette simplification de position anéantit cette même symétrie, en détruisant les <p»ntUés qui pouni>knt la &ire a^iercevair, die i^'est plu& qu'apparente , et il vaut mieux placer les axes coordonnés d'une manière arbitraire. Si Téquation filiale est plus longue, la similitude de ses termes, non s^eulement donne le moy^a de la retenir plus &çilement quand l'importance de son usage l'exige, mais encore procure l'immense avantage de pouvoir y lire plus Étalement la réponse a la question proposée. C'est une phrase longue sans affectation , qu'on doit préférer aune plus courte, mais souvent moins intelligible.

Expression analytique de la communauté d^nter^ee^

tion des lieux géométriques.^

!:io. U mise en équation d'un problème de Géomé* trie ne se réduit pas toujours à la récapitulation des données.^ souvent U existe des relations à ej^primer, des équations de condition à obtenir, avant d'aborder la recherche de la solution. On ne surmonte pas toujours avec une égale fiidlité ces obstacles préliminaires ; sou* vent la longueur et le nombre des éliininations à effectuer, pour exprima une partie d'un énoncé, le fait rejeter entièrement; et il arrive en cela , comme dans beaucoup d'autres circonstances, qu'un abord peu flatteur fiitl mal fiOi3^onner du reste.

Une de ses difficultés premières , est d^exprîmer qa^ln point ordinairement donné par l'intersection de deux lignes^ se trouve en même temps sur un troisième lieu géométrique; qu'une ligne toujours déterminée par Fensemble de deux sur&ces, leur est commune avec une troisième.

J'essayerai de lever cette difficulté, en m'appuyant sur ce prindpe évident ; que si l'on combine les équations de deux lieux géométriques d'une manière quelconque, l'équation résultante exprime un troisième Beu géométrique, sur lequel se trouve l'intersection des deux premiers. De ce que cette combinaison peut se Êiire d'une infinité de manières, je conclurai que si l'intersection de deux courbes, de deux sur&ces, doit se trouver sur une troisième courbe, une troisième surface donnée, il doit exister une équation combinée de celles des deux premières courbes, des deux premières sur&ces, qui exprimera la dernière courbe, la dernière sur&ce donnée. Tout se réduit donc, dans tout les cas, à trouver de quelle manière doit s'effectuer cette combinaison.

Je supposerai d'abord que lés trois lieux géométriques soient du même degrés D, je désignerai par E^o, E^= o, E''= G leurs équations. Si on multiplie respectivement les deux premières par deux indéterminées tji et /n', et qu'on lès ajoute ensuite , l'équation /y^E-^-m'E' s=:o, résultante de cette combinaison , sera du même degré que les équations proposées, et pourra représenter, vu l'indétermination du rapport -7, tout lieu

géométrique du degré D^ passant par les intersections des lignes ou surfaces, représentées par les équations

E=o, £'s=o. Mais puisque le lieu géométrique da degré D, dont l'équation est £''=:0| doit aussi passer par ces mêmes intersections, il doit aussi pouvoir être représenté par l'équation m£ -f- m'E^ = o ; on peut donc disposer et du rapport et de Fune des deux indéterminées m et 7n, pour identifier les polynômes mE -f- m!E* et E^'; ce qui conduira en général à autant de relationa entre m, m'y et les coeflliciens des équations proposées , que l'équation du d^ré D entre deux ou trois variables ^ peut admettre de coefiiciens. Si on élimine ensuite les indéterminées m et m'y on aura les relations définitives qui doivent exister entre les coefiiciens des équations proposées , pour exprimer analy tiquement la commu-^ nauté d'intersection des lieux géométriques qu'elles représentent.

Il est aisé de voir que dans le cas de trois lignes du degré D, situées sur un même plan, on parvient à [^(D-l- 1) (D+aj-— 2] équationsde condition, et que pour exprimer que trois sur&ces du même ordre ont même ligne d'intersection, il feut [ïfy (D+ 1) (D-f-a) (D-f<*3)— 2] relations entre les constantes qui les de* terminent analytiquement.

Si l'on voulait exprimer que quatre surfaces du degré D, ont mêmes points d'intersection , en supposant que leurs équations fiissent £=0, E's=o, E"=:o, £'"=50^ on démontrerait par des raisonnemens semblables aux précédens , qu'il doit y avoir identité entre lespolynomes mE+m^E'-^m^E'^ et E'",m, m\m" étant indéterminées. L'élimination de ces trois constantes entre les équations qu'exigerait cette identité conduirait à [rra (D+0 (1^4-3) (D+3)— 3] relations entre les

coeiRciens dès quatre équations proposées y lesqueliès devront être satisfiûtes y pour qu'il y ait communauté d'intei'section entre les quatre sur&ces qu^elles représentent.

Le principe dniessus énoncé, n'exige pas, pour être appliqué, que les lieux géométriques proposés soient du même d^ré. On peut encore exprimer les rencontres communes de lieux géométriques de &milies différentes. Par exemple, lorsque deux sections coniques doivent sivoir leurs points d'intersections sur ime seule ligne droite, on peut chercher la combinaison de leurs deux équations, qui pourrait être identifiée à une équation représmtant la ligne droite j l'élimination de l'élément indéterminé de cette combinaison, conduira à des relatiolis analytiques, entre les constantes qui déterminent la forme et la position respective des deux courbes; conditions qui existeront nécessairement, toutes les fois que deux courbes du second degré devront avoir leurs points communs situés sur une même ligne droite. On peut efifectuer cette combinaison, soit en ikisant des* cendre le d^gré de l'équation combinée à celui de la ligne droite, par la nullité des quarrés et rectangles des coordonnées; soitenfàisant^U contraire monter k degré de l'équation de la ligne droite, par une compositioa nuUe de d^ux fiicteurs ^ux aussi nuls par eux-mêmes. Ces difierentes manières de combiner les équations proposées, pour exprimer les conditions demandées, con-r duisentà des résultats diffêrens, ce qu'on expËque aisé^ ment en résolvant la question sous ces deux points de vue.

ai. T^l est le mojen d'élinunatbn qpie l'on peut

employer , potir exprimer analy tiquemcût la ùù^ctimù^ nauté cTintersectioas de j^usieurs lieux géométriques» £a traitant ce sujet, mon principal but est de fiicÛitef la traduction analytique de divers énoncés; ai je ne réusns pas complètement, je crois dumoins queles pro^ portions suivantes, qui en dérivent aisément, peuvent conduire à lascdution d'un grand nombre de problèmes curieux ;ct que d'unprincipequin'estrîenenlui-mêmei» jedédmsdes corollaires dont rutilitén'est pas incertaine.

Problème L Troupêr les conditionanécessaires pour ^ue trois droites passent par un: mime point.

Solution. Soient les équations des trois dbntes^ ainsi qu'il suit :

dx+Vy^c':=zo\ (i); sfx+Wy+d'czo)

l'élimination de^petj^ entreelles, donnera sm^IeK:hamp| pour la condition cherchée, Féquation

Mais on peut parvenir au même résultat^ par un pn> cédé un peu différait qui, à la vérité^ n*a dans le cas présent aucun avantage marqué sur celui-là, mais qui nous sera fort utile pour les autres recherches auxquelles nous aurons ensuite à nous livrer.

En prenant la sommedes produits des deux première» équations (i) par deux multiplicateius iudéterminéi m , m', il vi^idra

équation qui^ cause de l'indétermination des multiplicateurs m I m\ e^t propre à représenter toutes

qui passent par l'intersection des deux premières droites (i).

Si donc on veut que ces droites se coupent en un même point, il devra être possible de disposer des indéterminées m et m\ de manière à &ire coïncider la troi^ sième équation (i) avec Téquation (3). Cela donnera

et, en éliminant m et m' entre ces trois équations, on retombera de nouveau sur l'équation (^).

Problème II. Trouver les conditions nécessaires pour que trois lignes du second ordre se coupent suivant les mêmes points.

Solution. Soient les équations des lignes dcmt il s'agit ainsi qu'il suit :

oac* + ûAjy -4"^* ^^dx +a«y -4"/'=o ) aV4-ayary + cy+ad'x+ae'jf+/=o [ (i).

a V+ at "0^+. c'j'H- ad*'a?+ 2ey+fz=z o J

Soit prise la somme des produits des deux premières équations, par deux multiplicateurs indéterminés m et m' y on aura ainsi

Çdm+d^m) x-+- a («m + •m') y + {fin +ffn') = o (a) , équation qui, dans sa généralité, représente toutes les lignes du second ordre qui passent par les intersections des deux premières lignes '(i>

Remarquons, avant d'aller plus loin , que cette équa*tion pourrait fort bien, en général, appartenir à une parabole; mais de deux manières seulement, puisque la condition ( i/n -f* ô'/n' )* = (am ■+- a' m' ) {cm -f- c W )

détermine le rapport — 7 , et ne lui assigne uniquement

que deccc valeurs. Remarquons encore que cette équation ne saurait généralement appartenir à un cercle, U &udrait en eflfet, pour cela, qu'on eût en même temps ,

équation d'où Ton tire

et par suite

ft(i/— c')=y(a— c).

Telle est donc la condition nécessaire et suffisante , pour qu'un cercle puisse passer par les intersections de nos deux courbes.

Mais cette même équation {2) pourra représenter une infinité d'ellipses et dliyperboles; et si l'on yeut en. particulier, qu'elle représente la troisième courbe (i) ou, ce qui revient au même, si l'on veut que les trois courbes (i)aientlés mêmes intersections, il faudra qu'on ait à k fois, am + aW = a*, bm + Vm^ = J^, cin-f-cW== c^ \ --.

L'élimination de m et m' entre ces six équafions^ conduira a quatre autres qui exprimeront les conditions cherchées.

Les équations

sont (Problème I) celles qui exprimeraient que les trois droites

concourent en un même point. Mais on sait d'ailleurs

que cliacune de ces dernières équations est celle du diamètre de chaque courbe, qui coupe en deux parties égales les cordes parallèles a Taxe des x^ et puisque la direction de cet axe est quelconque^ on en peut conr clui*e le théorème suivant :

Théorème. Si plusieurs sections coniques ont quatre points communs y dans quelque direction qu^on leur mène des diamètres parallèles^ les conjugués de ces diamètres concourront en un même point,

Problème III. Trouver les conditions nécessaires pour que trois plans se coupent suivant une même droite.

Solution. En supposant que les équations soient

orx+ by+ c'»+ i'= oj

on parviendra aux conditions cherchées, en exprimant que la somme des produits des deux premières équa*tions, par deux multiplicateurs m, m', est la même que la troisième j on obtiendra ainsi les quatre équations

am + a^mf^rz c", bm + 4'/»'=^ b", c7n+cW=c*, dm+dfm^:=s:d' (2),

entre lesquelles il £àudra éUminer m et m!^ ce qui don-nera deux conditions.

Deux quelconques des trois premières équations (2) jointes à la quatrième, prouvent que les traces de nos trois plans sur un des plans coordoimés , c'est--à-dire , sur un plan quelconque , doivent concourir en un même point; ce qui est d'ailleurs évident.

Problème IY. Trouver les conditions nécessaires

]pour qite trois surfaces du second ordre se coupent suivant une même courbe.

Solution. En supposant , pour les équations des surfiices dont il s'agit y

et exprimant que la dernière est la sonune des produits des deux autres par deux multiplicateurs indéterminés m^m^ on ol^tiendra les dix équations

am + aW =5 a', fm +fm'=sf' bm + Vni ac h\ gm +^mf ==: g"^ cm + cW =3 c", hm + Vm' = A" > (a)^

em +eW =: c^ lm + tmf == P, entre lesquelles éliminant m et m'y on obtiendra les conditions cherchées ^ lesquelles conséquemment seront au nombre de huit.

La première, la quatrième et la cinquième équation de la première colonne, jointes à la deuxième de la seconde, prouvent que les troisplans dont les équaticms sont

a''x+d''y+e''z+g''=o) se coupent suivant une même droite ; mais ces plans sont les conjugués des diamètres de nos trois sur&ces parai-* lèlesà l'axe des x, c'est-à-dire à une droite quelconque: on a donc le théorème suivant.

Théorèmil. Lorsque plusieurs surfaces du second ordre se coupent suivant une même courbe, les plans diamétraux conjugués à des diamètres parallèles de ces surfaces, se coupent tou» suivant une même droitek*

Si la troisième éqaation (i) représentait une sphère^

il &udrait qu'on eût à la fois

am+a'inf = 6m 4- fr'w*' =s cm *|- c'm.'

dm ^d^mf = em -f- eW r=fm +/*m' zszo,

entre lesquelles éliminant —7, il viendrait

conditions au nombre de quatre, qui expriment que la commune section des deux premières j^ur&ces (i) est sur une sphère.

Problème V. Trouver la condition nécessaire pour que quatre plans concourent en un même point.

Solution. En supposant que les équations de ces quatre pkns soient

«JC + ^5^ + «* + ^ == 0^1

a'x-^ b'y^ c'z-f iT» o f ^*^' «•x+ V'y-^ €"%+ dTssi o)

on pourrait d^abord parvenir à la condition cherchée^

en éliminant x^yyZ entre ces quatre équations; mais

on y parviendra également en exprimant que la somme

des produits des trob premières, par trois multiplica*

teurs indéterminés m , ni^ ni\ est la même que la qua**

trième; cela donne les quatre équations

am -^dvi-^a^m^^dr^ cm + cW + c^m^^c" 1 .

im+6W4-6*m''=6^ dm + ^m' + d^^m'^dT f ^^^'

entre lesquelles éliminant m y m\ nJ\ on parviendra

paiement à la condition cherchée.

P&o^LÈMfi VI. Trouver les conditions nécessaires

pour que quatre surfaces du second ordre aient les

mêmes points d'intersection.

( 37 ) Solution. En supposant pour les équations des sw faces dent il s'agit ,

il faudra eiiprimer que l'a quatrième est la somme des produits des trois autres par les multiplicateurs aidé*terminés 771, m', m", ce qui donnera les di:L équations

am + dm' + afm''":=z a\ fm +fm* +fm'' =/*",

l in» -f- Vm' + b'rn" = 6*, gm + gW +fmr =g^,

<a) V€mHhcW4*c'm*'=c^j *m + iW-f A^m'rsiA"',

.€/» H- eW+e^'m" = «*", /m + fin' + fm" = ^^

entre lesquelles éliminant m y trl^ m^, on parviendra aux conditions cherchées, lesquelles seront conséquemment au nombre de sept.

J^ première, quatrième et cinquième équations de la première colonne , jointes à la seconde de la deuxièoiiéy prouvent (Prcblème V) que les quatre plans dont les équations sont

concn^urent en un même point ^ mais ces plans senties plans diamétraux conjugués aux diamètres qui, dans nos sur&ces, se trouvent parallèles à Taxe des x, c'està-dire à une droite quelconque \ on a donc le théorème

que voici.

THÉoataB., Jjonqtie des surfaces du second ordre passent toutes par les mêmes points d'intersection ^

leurs plans diamétraux conjugués à des diamètres parallèles, concourant tous en tm même point

Si la quatrième des équations (i) appartenait à une sphère^ û budrait qu'on eût

am 4- û^m' -f- cl'm':^ bm + i'w^' + i*ni*= cm + c'm' + c'm\

ce qui donnerait en éliniituttit—,--^, les trois conditions

ie'f^dfe''+fa^'^^ar+ef'dr—fifdr=o,

qui expriment que les huit poitits d'intersection de trois surÊices du second ordre, se trouvent situés sur une même ^Lère.

Schotie. Puisque la condition de passer par la même cosorbe établit huit relations entre les coefficîens des équations de troi^ surfaces ^ qiie la condition de passer par lesmésseapointsn'iA établit que s^t entre les coeffîdens 4es équations de quatre àutriès ^r&ces d^tseçond ordre; on peut en conclure que les huit points ^'intersection lâe trois sur&qes ne sont pa& placés d'une manière arbitraire, que le huitième dépend des sept premiers, et enfin que trois sur&ces qui seraient aiteujéties à passer parhuitpoints quelconques, doivent avoir même courbe d'intersection. Le théoràme du problème ÏY a donc lieu pour trois sur&ces assujéties à passer par huit points quélconcpies.

Pi^OBi^ËMB Vïï. Exprimerque deux sections conigues ont leurs points d'intersection situés sur Une tnêirie ligne droite.

Solution, Le» deul sections coniques seront en gé^

nérà] représentées par les deux équations

hmte cotabinaison de ees deux équations qui n'en aug« menterait pas le degré sera dela^MaMS

+ 9 («bn+^mO * 4-a («m 4- eW) j^ + C/m+f W)=s:o; elle représentera un lieu géométrique des points d'in-

Ée VrmnmfsarWÊerMsmeliçae droite^ firut cpie Féquation (3) puisse se réduire au premier degré, par la dis-* parition des termes en »•, *J^> J^> ce qui donne

Ci) am + fl^m' =5 bm ^ b'm =«m -+- c^Jn'ss o ,

ou bien encore, se déeonqposer en deux &cteurs égaux en x^y^ ce qui exige que l'on ait les équations de condition

IXam 4- a^jnf) (cm + cW) î= (*m + y/i^O% (ûm +a'mO (Jm+fmf) = (ifoi+iTmOS (cm+c'mO (/m+/'iiiO = (e/i^-+-cW)\

Dans le premier cas, rélimination du rapport —7 entre

les équations (3) conduit à deux relations 4 s=: 7=t7

entre les trois premiers coefficiens des équations des sections coniques proposées; elles indiquent qu'elles doivent être de même nature et semblables f leurs axes principaux étant de plus parallèles entre euxi. Mais ces conditions ne déterminent nullement la distancerespective des centres ou des axes de ces courbes , en sorte que cette manière de résoudre la question démontre ce tbéorème.

Deux sections coniques de même nature, dont les

axes sont proportionnels en grandeur, parallèles en direction 9 n'ont et ne peuvent avoir que deux points communs.

Dans le second cas au contraire, rélmdnation da

rapport --7 conduirait à des relations eutrelescoefficiens

des équations (i) exprimant que les sections coniques qu'elles représentent ont un double contact. En effet réquation (a) peut d'abord être coiisidérée conune Fent- «embte dé deux lignes droites, qui finissent par se confondre en une seule quand le premier membre del'équatien qui Ie<: représente devient un quarré pariait. Tant que ces 1 ignés sont différentes , elles joignent deux à deux les quatre points comnnms aux deux sections coniques, et l'on concevra aisément d'après cela , que ces courbes doivent avoir un double contact quand les dreit^ se confondent en une seule; cette réunion ne pouvant avoir lieu sans que les quatre points d'intersection se confondent aussi deux à deux*.

Cette dernière manière d'envisager la question, four^ mt une méthode pour trouver la position des axes prinr cipaux d'une section conique En effet, si l'une des sections coniques proposées est un cercle de rayon R, dont le centre ait pour coordonnées a, ^, on pourra éliminer

entre les équations de condition (4), le rapport -^etle

rayon R, la dernière équation en a , C, représentera le lieu géométrique des centres de tous les cercles qui pourraient avoir un double contact avec la section conique donnée, et ce lieu géométrique est, comme on le sait d'ailleurs, l'ensemble des deux axes principaux. On résoudrait deux problèmes analogues aux précé-

dens^ en oherdiant les conditions nécessaires pour qiio deux sur&ees du second ordre se coupent suivant une courbe plane. Si Ton exprime que la combinaison des équationsde ces deux sur&ees doit se réduireà une équation dupremier d^é , parla disparition des ternes d*an degrésupérieur, on démontrera ce théorème, que, Deux aurfiices du second ordre de même nature, dont les axes seraient proportionnels en grandeur , parallèles en di'* rection, quelle que soit d'ailleurs la distance respective de ces mêmes axes, ne peuvent se couper que suivant une courbe plane. Si au contraire on veut que la- combinaison, du second degré des équations proposées, se réduise à Tensemble de deux plans confondus , on aura des relations analytiques exprimant que les deux surfaces sont tangentes suivant une courbe plane, ou plus généralement tangentes entre elles.

22. Cette manière de combiner les équations peut encore servir à exprimer la nature particulière de cerr tains lieux géométriques. Cest une partie d'un éconcé qui exige souvent de longues recherches.

PnoBLÈxE I. Exprimer qv^une surface du second' ordre est cylindrique.

Soit réquation de cette surface

L == A:t*4- Ay-4- AV4- aBy«4-aB'« + aB'jy-f.aC« 4- aC/y + aC«+ D =3 o;

les coordonnées du centre seront données par les équar fions

i.g=Aa? + B'3f + B'* + C=o i.î:=B'*+A>+B*+C=o^(a)

(40 elles représentent trois plans diamétraux de la surface ; si die est cylindrique, ils doivent se couper suivant Taxe ; l'une quelconque de ces équations doit donc être une conséquence des deux autres. Si donc on multiplie lu première par m, la deuxième par m! et qu^on les ajoute, <»i pourra disposer des indéterminées m et ni pour quecetle Munae aok identique avec la troisième. Si donc on élimine m et m' csoftreks'qaatre équations,

Aiîi «4- B 7» 2=s B , B ir^ -f- A'th ^= » ,.

B'r»4- Bfîi' = A", Cm + Crti = C%

on aura deux relations pour l'expression demandée • • •

(AA' — B'*) C*+ (B'B* — AB ) C + (BB* — A'B') C/ = o, (A'A"— B» )C + (B^B-rA^BOC/ + (rB— . A'B')C'=:o.

Problème II. Exprimer qu^une surface du second f^rdre est conique...

Dans ce cas, le centre est situé siu* la surface, et il fiiut que l'équation L sss o , et les écpiations (a) aient lieu en m^e temps; la pjremière peut se mettre sous la forme

-f.2(B'a?-hBj^+A*S4-C0 + Cx+Cy+€!'z+I>z=zo, et en vertu des trois autres , se réduit à

(bX er + C'j^ + C^«4-D = o; de sorte que poc^ achever la solution , il suffit d'exprimer que les quatre plans (a) et (b) se coupent en un même point.

Problème IH. Exprimer qu^tine surface du second degré est V ensemble de deux plans.

{hmscecas, des quatre équations (a)et(b), deux quelconques doivent être itne conséquence des deux autres ;* ce qui donne quatre relations.

Si les plans sont parallèles, deux quelconques des équations (a) sont des conséqueixces die la troisième f on a B'B* = AB, BB* r= A'B', BB' =3 A1i% BC = VC = HTCT.

^Problème IV. Exprimer qu^une surface du, second €>rdre est de révolution.

Soit toujours L=s=o, réquation dô la surface; soient ajbyCy les coordonnées du centre ; l'équation de la 9ur£ice pourra se mettre sous la forme

Si la sur&ce est de révolution, il &ut que la sphère qui aurait pour équation

la coupe suivant deux cercles , dont les plans seront per^ pendiailaires à Faxe de révolution^ et situés à égale distance du centre. Soient

les équations de Taxe j celle des deux plans perpextdî- .cul^ires seront de la forme

(iç — c) + îw (a? — û) + n Qy -^ b} s=: •,, (fi *— c) 4- m (pp. — a) + IX (jf— i) = — 0i>

et leur ensemble sera représenté par Féquation

Les trois lieux» géométriques (i) ^ (isi), (3) doivent donc avoir même intersection; il &ut donc qu'en multipliant la première par Findéterminée P, la seconde par Q.el les ajoutant 3^ le résultat pqisseétreidentifié avec la troi-*

sième^ ce qui conduira aux équations

BP = /i, B^P = m, VF^mn}

la première indique la relation qui doit eûst^ entre R et « ; et comme le résultat doit être indépendant de ces quantités, il suffira de considérer les six dernières; si donc on élimine P. Q, m, iiy le résultat se composera de deux équations qui constitueront l'expression de» mandée