BB" (A"— A ) = B' ( B»~ B*0, B'B' (A" — A') = B (B'* — B

Ce résultat étantindépendant des coordonnéesducentre* a encore lieu pour exprimer qu'un paraboloïde est de réyolution.

T/iéorie tien Tmnsversales.

!i3. Dans toutes les applications précédentes nous avons nommé ligne du second degré , tout lieu géométrique indiqué par une équation à deux coordonnées x et y élevées seulement aux deux premières puissances^ et sur&ces du second ordre , toute sur&ce qu'une équa* tion du deuxiànie degré à trois variables pourrait représenter. 11 suit de là, que l'ensemble de deux lignes droites est compris dans la première dénomination, que l'ensemble de deux plans est une sqr&ce dusecond ordre. C'est peut-être pour ces réunions de lieux géométriques du premier d^é , que l'Analyse a le plus besoin des tbéorèmes que nous venons de démontrer. Les problèmes les plus utiles qu'on puisse lui pi*oposer, regardent souvent la ligne droite et le plan ^

elle ne doit don6 }>as négliger tout ce qu'elle peut ap« prendre sur la transformation de leurs équations.

En général y quand on doit considérer les intersections d'un ensemble de deux lignes droites avec des lieux géométriques du second degré ^ il est plus Simple d'exprimer cet ensemble par une même équation ; on diminue par ce. moyen le nombre des éliminations; souvent même cette conformité du degré des équations à com* biner peut seule conduire à un résultat prompt et satis&isant; on dirait que l'Analyse se plaît à mettre en rapport des lieux géométriques d'une même classe^ et qu'elle montre au contraire de la répugnance à rap« pixKrfaer des classes différentes.

Pour donner unepreuvefrappante del'utilité de cette remarque, nous ferons voir avec quelle Êicilité l'Analyse peut démontrer les principes de la théorie des transversales.

Problème. Si par un point fixe pris sur le plan d^um section conique donnée, on mène deux sécantes d cette courbe, que Von joigne par des droites les extrémités réciproques des cordes résultantes, quel sera le lieu géométrique de V intersection de ces nouvelles sécantes?

La ligne du second degré donnée peut , dans tous les cas, être rej)résentée par l'équation

(0 y* + P^ = ^•^• Soit «, ^les coordonnées du point M donné, ol\ C celles du point M' dont on cherche le lieu géométrique j l'ensemble des deux premières sécantes aura une équation de la forme (a) Qy — C)M3A(x~0(y--C) + B(x-«)*=o;

les deux autres seront représentées par une autre équa-

tion analogae^

(3) cy-«')'+ûA'(^-*0(y-c^+B'(x-iO*«o.

Les lignes (i), (2), (3), devant avoir mêmes points td^intersection , on devra avoir entre les coeflSciens des équations <{ui les représentent , et les constantes arbitraires m et m'^ les six relations

mC+m'C+mAtf+ni'AV î= o ,

mai+m'EV+m AC+m'AT 2=: tf ,

m^4^'r«-f ftiiiA«C4.am' AVff'+mB^^+in'BV* = o.

Si Ton substitue A^ et B' en fonction de A et B dans les trois dernières, elles deviendnmt

mC + m'C + mA (<» — «') =s o ,

rélimination de A et B entre ces trois équations con* duità

(m + m')flr + Cp*'— 9) (- + V) --pi/*=o;

eonsidérant que(m-f'''^0^^ ' ^^ vertu de la première des équations (4) 9 on aura

(5) flf' + p«i' = i7(*+*');

on en déduit que le lieu géométrique demandé est une ligne droite. Si le point donné a y C^ est extérieur à la courbe (i), la droite (5) joint les points de contact des deux tangentes menées par ce point à la section conique. Cette réponse à la question proposée fournit un moyen de mener des tangentes à une section conique donnée par im point extérieur , sans autre usage que celui de la règle. Par le point donné M (fig. 8) , on mè* liera deux sécantes quelconques MAB, MA'B'^ on joia*

(47) Aa AÀ!j BB'j Ai[' et À'B, le point d'intetséction des deux premières droites , celui des deu2^ dernières deyaiit être situés $ùac la ligne qui joint les points de contact^ cette ligne est déterminée , et son intersection avec la courbe dcmnée detetïninera aussi les points de contact^ et par suite les tangentes.

Si la section conique était l'ensemble de deux lignes droites, la nouvelle droite que l'on obtiendrait pour le lieu géométrique y irait nécessairement passer par l'm-*tersection des deux premières* On peut déduire de cette remarque une solution graphique de ce problème. Par un point donné, mener une droite qui aille passer par le point de concoms de deux autres droites données qu^on ne saurait prolonger*

L'un des points M , M' pouvant être supposé situé à l'infini, ou peut regarder comme démontrées les deux propositions suivantes, dont la première nous sera très utile paf la suite.

Théorème. Si Pon Joint deux à deux les extrémités réciproques de deux cordes parallèles d^ une section conique, les points d^intersection de ces nouvelles sevantes seront situés sur le diamètre qui divise ces cordes en dewc parties égales.

Théorème. Si les deux ligneshcy bV(fig. 9), sontparallèles à la base BG du triangle ABC^ les droiteshc^, hd se couperont sur la ligne qui joint le sommet A, et le milieu de la base du triangle.

La réponse à la question précédente pourrait se déduire de la solution du problème suivant , analogue.

Problème. Deux cônes du second degré et une sut'face du même ordre, ayant une intersection commune.

bI le êommet de Pun des cônes reste fixe, que la troisième surface soit aussi constate de forme et de position, quel sera le lieu géométrique du sommet du second cône?

Les équations des trokrarfiMces seront, en représen** tant par x\ y\ z\ a*", y, z*', les coordonnées des sommets des deux cônes ,

ii){x^ xy^ a{y -y )^4- h{z — O* + at(x - «^)( y —/ >

+ 2cr(a:~xOC»-*')+a/(y-y)(»-.*') = p.

(3) px'' + ?>'* + '** — ^JP + 2fy.

On exprimera que ces trob sur&ces se coupent suivant une même ligne, au moyeu de dix relations entre les Go^cicnsa, J, o, etc., a', y, c\ e^.^pj g, r, *, «, et deux indéterminées m et m'y si Ton élimine entre ces dix équations neuf des dix coefficiens a , 6 , e, etc., a\ b\c'*..; le résultat sera indépendant du dernier et des constantes m et m'y et Téquation finale

(4) P^x'+qyy + n.V^s(x' + x')+tiy' + y''i^

indique que le sommet «", jr*, «" est constamment situé sur im même plan. Lorsque le sommet fixe («', y' y z') est extérieur à la surface (3) , ce plan est celui de contact avec la surface (3) du cône de tangence qui aurait sou sommet au point (x'y y, z'). En eflet, si Ton désignait par x^y y y z' les coordonnées courantes; par x",y, z" celles d'un point de la sur&ce (3)^ son plan tangent eu ce point aurait pour équation, l'équation (4); si aucon« traire x'y y' y z' sont constans, pour exprimer que le plan tangent doit passer par mi point fixe, cette équa-

(49) lion exprime lé plan sur lequel se trouvent toud les points de contact «"> j^", £\

L'un des cônes pouvant se réduire à Fensemble de deux plans y on peut regarder comme démontré que :

Si un cône du deuxième dqpré ayant son sommet en mi point m, coupe une sur&ce du même ordre suivant deuxcourbes planes, les plans de ces deux courbes et celui de contact du cône de taiigence, à la sur&oe donnée ^ ayant son sommet au point m , se couperont tous trois suivant une m^e ligne droite*

D'ailleurs on sait que si le sommet d^un cône tangent à une sur&ce du second ordre ^ se meut sur une ligne droite donnée, le plan de la courbe de contact passera toujours par la droite qui joint les points de contact des plans langens à la sur&ce menés par la droite donnée* On peut donc encore regarder comme démontré parla solution précédente, i*. que si le sommet {x\y^ z!) du cône (i) se meut sur une droite donnée, le sommet {pi^ y, 2^') du cône (a) se mouvra sur ime seconde droite, laquelle passera par les points de contact des plans tangens à la sur&oe (3) menés par la première droite.

3*. Que si Tintersection d'un cône du second degré^ et d'une sur&ce du même ordre se compose de deux courbes planes, que les plans de ces courbes passent par une droite donnée, le sommet du cône sera situé sur la droite qui joint les points de contact avec la sur&ce des plans tangens menés par la ligne fixe. Enfin , dans ce dernier cas, si parla droite qui joint ces points de contact, on conçoit un plan quelconque, qui couperait la sur&ce suivant une section conique | le cône suivant

deux arêtes^ les plans sécans et tangem suirant des lignes droites passant par un même point, on pouna conclure aisément la solution du problème analogue ^ relatif aux courbes du second degré qui est résolu directement ci-dessus.

Toutes les fois qu^il s'agit de résoudre deux problèmes analogues, l'un dans l'espace, l'autre sur le plan, il vaut mieux commencer par résoudre celui de l'espace ^ sou« vent on en déduit rigoureusement la solution demandée sur le plan, tandis qu'en résolvant d'abord la question la plus simple, on ne ferait que deviner l'autre par analogie. 11 y a même quelquefois de l'avantage à traiter d'abord le problème de l'espace analogue à un pro* blême proposé seulement sur le plan; par exemple, on ignorerait beaucoup de solutions élégantes du problème du cercle tangent à trois autres , si leurs inventeurs ne les avaient été chercher dans les sphères. Il est vrai qu'en généralisant ainsi un problème, ou peut le rendre plus compliqué ; mais aussi cette généralité donne-t-elie une solution plus applicable à tous les cas particuliers de l'énoncé. C'est , pour ainsi dire , une question d'Arithmétique résolue par l'Algèbre, pour obtenir xme formule où se trouve écrite la réponse à toutes les questions semblables.

Détermination des courbes et surfaces par la Géome^

trie descriptive.

a4« £i^ appliquant aux lignes et surfaces du second degré, le moyen d'éUmination que nous avons indiqué, nous avons déduit de la simple considération de quelqueséquations, la démonstration de plusieurs théorèmes

qiii peuvent servir à la solution complète des problèmes suivans.

Problème I. Etant donnés quatre points sur un plan, déterminer graphiquement tous les èîémens d*uM jparahole assujètie à passer par ces quatre points.

Soient A , B , C , D (fig. i o) les quatre points donnés ; les droites AJBM , CDM peuvent être considérées dans leur ensemble comme une section conique , ayant avec la parabole à déterminer quatre points communs ; il en> sera de même des droites A]ND, BNC* Diaprés le théorème du Problème // (page Sa), les diamètres conjugués à im système quelconque de cordes parallèles^ appartenant à ces deux réunions de lignes droites, et à la parabole demandée , devront se couper en un même point. Il suit de là, que si Ton pouvait déterminer la direction des cordes , pour lesquelles les trois diamètres conjugués sont paraUèles, la direction de ces diamètres serait celle du grand axe de la com*be cherchée*

Soit donc proposé de mener par le point B une droite BX, coupant AD en X, DC en Y, telle qu'il y ait parallélisme entre les lignes qui joignent led sommets M et ^ y avec les milieux respectif des cordes B Y, BX • Supposons le problème résolu. Considérons le parallér logramme BNXQ, les lignes NQ, BX en seront les dia* gonales, par conséquent, FangleGBG^DKCet la droite BX partage en deux parties égales la corde IKH et toutes celles qui lui seraient parallèles* On devra dôHc avoir PE ===PF, E et F étant les points de rencontre de MP, parallèles à NQ, avec les deux côtés de Tangle CBGj la figure BFYE sera donc un parallélogramme. On aura alors les proportions

EY:FCisMr:MC, eg;fy:;mg:my.

(50 mabEYs=:BFetEY:FC::EG:FYî ont donc

bf:fc::my;mc> BF:FC::MG:inr;

tes deux nouvelles proportions multipliées Tune pat r«utre 9 donnent

nr;FC^:MG;Brc;

on pourra donc à priori déterminer le point P, et par suite la direction MPqui doit-étre celle du grand axe ou de tout autre diamètre delà parabole cherchée. Le point F pouvant être situé sur BG ou sur son prolongement , on voit qu'il existera deux directions MP^ et par smite deux paraboles assujéties à passer par les quatre points donnés ; c'est un résultat que le calcul nous avait offert dans une autre circonstance. {Problème II j pag. 3a).

Ayant ainsi déterminé la direction des diamètres de la parabole I prc^posons-nous de mener ime tangente à cetteconrbe, en un des pointsdonnés^ par le point D, par exemple. Cette tangente doit^tre parallèle aux cordes que le diamètre DE (fig. 1 1) divise en deux par* ties ^^es« Si d'un point quelconque de ce diamètrei on pouvait menei deux tangentes àla parabole, la droite, qui joindrait leurs points de contact serait conjuguée a ee djamètre , par conséquent parallèle à la tangente au point D. Or, si l'on prolonge BA jusqu'à la rencontre de DE en F, il sera aisé de déterminer k position de la ligne de contact des tangentes menées par ce point. En effet, la ligne FBA est une sécante ainsi que la ligne FD£,pour laquelle un des points d'intersection avec la courbe est situé à ]i'infini ; si donc on joint deux à deux les intersections réciproques de ces deux sécantes avec la section conique cherchée par les droites AMD et BM

parallâes i DE , et encore par les droites DBN et NA aussi parallâes à DE, les points M et N d'intersection de ces nouvelles sécantes , devant être situés sor la ligne de contact des tangentes, à h, parabole menée par le point F, eUe sera déterminée par cette construction | ainsi que la tangente au point D qui doit lui être parai-

D'après cela, il sera aisé de trouver la position du ibyer, le grand axe, et le sommet de la parabole chei^ chée. En effet , la tangente en un point D étant construite, pour trouver celle en tout autre point, au point B, par exemple, il suffit d'observer que ces deux tangentes doivent secouper en unmémepomtK(fig. i:3),8ituésur lediamètreconjuguéàlacordeBD. Les lignes menées des point de contact au foyer sont autant inclinées sur les tangentes que les diamèfres ; si donc on les construit au moyen de cette propriété, leur point d'intersection sem le foyer F, et donnera un des point» du grand axe dont on connaît la direction. Pour trouver la position du sommet, on prolongera le diamètre GB deBNssBF; la droite NL, perpendiculaire au grand axe, sera la di^ rectrice, et le milieu SdeFL le sommet de la parabole.

Problème II. Déterminer graphiquement tous les ilémens d'une section conique aesujétie d passer par cinq points donnés sur mt plan.

Soient A,B, G, D,^£ (fig. i3) les cinqpoints donnés^ les lignes AB, CD peuvent être considérées dans leur en-;* semble comme ime section conique , ainsi que les droites AC , BD *y ces deux lieux géométriquesdudeuxième degré ayant quatre points A , B ,.G , D communs avec la courbe cherchée, le^ trois diamètres conjugués aux systèmes

de cordes parallèlesàDE, secouperontenunmémepoiiit P, qu'il est aisé de construire, puisque Ton peut déterminer les deux diamètres conjugués correspondans aux deux lieux géométriques du deuxième degré (AB , CD) et (AC^ BD) : la droite qui joindrait ce point Pet le mi^ lieu Q de la dlroite DE sera donc ]e diamètre conjugué appartenant à la section conique demandée. Par oue construction entièrement semblable , on construirait la direction d'un autre diamètre de cette même courbe conjugué à la corde A£. L'intersection de ces deux diamètres sera le centre de la section conique cherchée. S'ils étaient parallèles , la courbe du second d^ré qui pasterait par les cinq poiiats donnés serait une parabole^ dont on déterminerait les autres élémens comme dans le problème précédent.

Si le centre n'est pas situé à l'infini, la courbe sera une ellipse ou une hyperbole; son centre O et trois de ces points A , B , C (fig. 1 4) suffiront pour la déteiminer entièrconent^ Pom* y parvenir, nous nous proposerons d'abord de troarm* la position de deux de ses diamètres conjugués. Soit prolongée la ligne AO de OD=.AO j P sera la seconde extrémité du diamètre AOD. Si «dPun point fixe pria sur ce diamètre cm suppose menées deus; sécantes à la courbe , qu'on joigne deux à deux les ex^ trémités réciproques des cordes qu'elles déterminent^ ces nouvelles sécantes se couperont sur une droite con-* juguée au diamètre AD (pagi^ 4^). Si donc on prend pour point fixe > le pointMderencoixIre de BG avecDA, et pomr sécantes ces mêmes droites^ le point P d'inter^ section des droites AB, CD, et le point Q d'intersection de AGetDB détermineront la direction FQdu diamètre

OE conjugué à AD. Une parallèle BR à OE assignera la nature de la section conique; si eUe vient rencontrer le diamètre AQ entre A et D, la oourbe demandée sera xme ellipse, et une h/perbole dans le cas contraire*

Si la section conique doit être une ellipse , on pourra déterminer lalongueur du diamètre conjuguéà AO , connaissant AD j la direction OE (fig. 1 5) et le point B seule* ment. Enefiet, soit AOssm^ ËO=72=le demi -diamètre inconnu; on observera que dans Fellipse proposée rap^ portée àcès deux diamètres, et dans œÛe qui aurait pour «xesrectangulaires AD=:277t, etHOKssa/i, desordon* nées d'haies grandeurs correspondent au^ mêmes abscisses. Sidonc on élève PQssPBperpendiculaireà AD) il suffira de trouver le demi-^e n d'une elUpse dont le second demi-axe OAssm serait donné, et dont on connaîtrait de plus un point Q. Pour cela on décrira du rayon A un cercle concentrique à la oourbe proposée ,

lequel viendra couper PQ en un point R, tel que *-

€era égal à gg. Pour construire OEsszn quatrième pror

portionnelle à m, PQ, PR, soii pris OS = m; la droite SR viendra couper OA prolongée en \xn point Y, et YB devra passer par le point E.

Connaissant ainsi les grandeurs et les directions de deux diamètres conjugués de Tellipse proposée, on peut déterminer les deux axes principaux de cette section conique. En e&t, la tangente TAT^ (fig. 16) parallèle à OE, doit couper les deux directiona OT, OT' de ces axes en des points T et T', tels que Ton ait AT X Aï' sssOE s=s n^ (ce qu'il est facile de vérifier parTAnaly se); u donc au point Aon âève AFs=:OE perpendicidaire

a la tangente AT, il suffira pour déterminer les points T et 1 ', de construire un cercle qui passerait par ks points F et O, et qui aurait son centre sur la tangente* ïl ' étant le diamètre de ce cercle d'après cette construction, AT X AT's=:AF =DE* et l'angle TOT' sera droit. Enfin, pour trouver la longueur des axes de l'ellipse, sur 01', comme diamètre, on décrira un cercle qui rencontra AP, paraUTJe à OT, en tyi point Q, de sorte que T'Q sei*a tangent au cercle de rayon OQ qui aurait son centre en O^ il sera aisé, d'après cela, de dé*« montrer queOQest ledemi-axe A dont 01' serait la direction ; le second demi-axe B sera ensuite donné par la

proportion == =3 y, et tous les élémens de l'ellipse

ront connus.

Si la section conique doit être une byperholc, on pourra se proposer de déterminer les asymptotes de la courbe. Soit AO (fig. 1 7)undemi-diamètre , AT la direction deson conjugué^ AT sera la tangente aupoint A', et si Tet T'sont les deux points de rencontre avec les deux asymptol€9, on devra avoir ATr= AT'. Soit B un autre point de la courbe , C le point milieu de la corde AB ; si A', B^ sont les points d'intersection de cette sécante avec les asymptotes , on dev ca encore avoir B'C = A'C. Supposons menée IS parallèle à AB ; elle coupera OC enmî point Ftel,queFT=dFSa=:AA',pui8qucTAs5=T'A et A'CssB'G. Soit encore D le point d'intei section de AT et CO; les lignes AT, AD seront parallèles ainsi que A^O et AF, ce qui donnera les {nroportions

CA: CA'::rD:CF, CA: CA'::CP:co,

qtii multipliées l'une par l'autre^ donnent en&i

ca:ca'::cd:co;

on pourra donc aisément déterminer le point A' e^ par suite les asymptotes. Opérant la bisection des angles qu'elles font entre elles, on aura la direction des axes principaux de Fliyperbole. Si Ton suppose ce lieu géo- Métrique Kipporté à 568 deux asymptotes comme axes coordonnés , le produit des coordonnées correspondantes B un point quelconque, doit être égal au quarré de la demi-dLstance du centre à Fun des foyers j on pourra donc aisément déterminer cette distance entière. Gon-* naissant ainsi les fcyers, la distance du centre au pied de la perpendicidaire abaissée d'un des foyers sur une asymptote, sera la longueur du demi-grand axe de l'hyperbole , et les éltmens de cette courbe seront tous déterminés.

Problème IlL Déterminer le sommet d'un cône dont on donne huit points, savoir, cinq sur un plan, et trois dans Vespace.

Soient A, B, C, D, £ les cinq points situés sur un même plan , F, G , H les trois autres ; les cinq premiers déterminent une section du cône proposé ((ig. iS), dont il est &cile de déterminer le centre et par suite tousles élémens. Soit S le sommet demandé; les droites SF,SG^ SH étant des génératrices du cône, viendront rencontrer en F', G', H' la courbe ABCDE. Les trois côtés du triangle inscrit FG'H' rencontreront les côtés correspondans du triangle FGH, en des points M, N , P situés sur la commune intersection des plans ABG, FGH: comme ces points sont £iciles à déterminer à priori, la

détermuiAtioii du triangle F'G'H' ne dépendra que de la solution de ce problème.

Inscrire dans une sectionconique donnée untriangle dont les côtés soient tissujétis àpc^sserpar trois points donnés sur une même droite.

Ce problème étant toujours susceptible de deux solutions y on pourra par la eonstruction que nous Indiquerons plus bas, déterminer deux triangles F'G'H% F'G'H", dont les côtés passeront par les trois points My N, P, et de laies sommets S de deux cônes passant par les huit points donnés..

Memarquei Un de ces cônes est déterminé par son sommet S et sa base ABCDE. Avec ces données on peut aisément construire son plan diamétral conjugué à un système de cordes parallèles donné. Soit par exemple SLla direction de ces ccnrdes ; on mènera par cette ligne deux plans quelconques; chacun d^^ix coupera le cône suivant l'ensemble de deux droites, ligne du second degré dont il est &cile de déterminer le diamètre con* jugué à la direction SL; on aura ainsi deux diamètres conjugués à cette directionjleplan qui les contiendra sera le plan diamétral, demandé.

Revenons maiiitenant à la solution du problème dé Géométrie plane que nous n^àvons &it qu'indiquer. Afin de ne rien emprunter d'aucune théorie étrangère , j'ex-> poserai ici une construction de ce problème, déduite d'une analyse qui semble devoir au premier abord conduire à des résultats compliqués, mais qui se simplifie «nguliêrem^nt.

Supposons que la sectiosi conique proposée soit une

(59) ellipse, son éqiiatîon sera de la forme

Soient a, €y et! y Q\ «'', Ç\ les coordonnées des pointa M, N , P j y, y celles du point G' inconnu^ liées par la relation

les droites MG', NG' auront pour équations

leur ensemble pourra être représenté par Téquation (3) iy-yy (x'— ) ix'-J)^{x-x*) Cy~y)

Les coordonnées de tout point d'intersection des deux lieux géométriques (i) et (3) devront satis&ire à ces deux équations , et à toute combinée de ces mêmes équations. Les équations (i) et (2} donnant par leur soustraction

y—y'~ Pix^afy

et par la substitution de ce rapport dans l'équation (3)

Les lieux géométriques (3) et (4) passent tous deux par les points F'^ H^ Si l'on ajouta ces deux équations après ay DÎT divisé la première para^6*, on aura, toute réduction fiiite, en vertu des équations (i) et (3),

Cest Péquation d'une ligne droite qui devant passer par les points F'^ H', n'est autre que F^'. Si cette di oite devait être parallèle à MN, c'est-à^ire si le point P était situé à l'infini sur cette droite ^ l'équation ^5) mise sous

la forme m .~+7rv =0 devrait donner ~ / i Tr=^oj

ou bien en substituant les valeurs de m et de n f

c'est en â/, j^, l'équation d'une droite qui , par son ni ter « section avec l'ellipse proposée, donnera le point G'; on peut aisément la construire d'après les considérations suivantes. .

Les droites T, T^ qui joignent les points de contact des tangentes à la courbe (i) menées par lies points M ^ H, ont pour équations

«r Cy uT Cy

Soient p^ q les pet pendiculaires abaissées du point G^, 171) n celles abaissées des points M^ N sur ces droites

T et T'j l'équation (6) se réduiraa •^ss ^jilsuffitdonc^

pour construire la droite (6), dé mener MK parallèle à T) JNK à T' et de joindre K avec le poiut I d'intersection de T et T^ Cette construction simple devient indépen^^» dante de la nature de là courbe proposée ^ elle a donc

lim lorsque celte courbe est une hyperbole ou une pa« rabole*

Si le point P est placé d'une manière quelconque pat rapport aux points M, N^ l'équation (5) devra être sa-» tis&ite en y fiiisant xzssa^^ysssC^'^ l'équation résul«» tante en 4/,j^, sera celle d'une ligne droite qui, par sua iuterëection avec l'ellipse proposée , donnera le point 6'; on pourra Picore la construire par des considératioai analogues aux précédentes.

Soient en eflfet T, T', V les droites de contact des points M , N y P j p , j/, //^ les perpendiculaires abaissées du point G' sur ces trois droitcb ; A et B celles abaissées de N et P sur T, A' et B' de M et P sur T'^ l'équation en a/,^ deviendra

Soient encore m , m\ mf' les trois côtés du triangle fermé

par les droites T, T', T'; soit • — sa sur&ce; on doit

avoir

si on élimine p^' entre (6) et (5), on aura entre p et p^ la relation

elle représente enpeUp^ une droite que l'on peut construire aisément dans l'angle des deux droites T et T'»

Lorsque le point P est sur MN, on sait que les droites T, T% T* passent par un même point I; on a dono Aczso, mssOy m'sso, m^'=o; mais les rapports

^,^, sont finis et égauxàjjp» j^y, en représentant par

M, M', M", les longueurs des troia c6tés d'un triangle dont les directions seraient parallèles à T, T', T'' j dans ce cas Féquation (7) se réduit à

et la droite G'G" passe aussi par le point I. La construo tion des équations (7) et (8) devenant indépendante de la natiu-e de la section conique proposée, sera la même pour l'ellipse, la pai-abole et Thyperbole.

Problème lY . Déterminer le centre et par suite trois diamètres conjugués d^une surface assujétie à passer par cinq points sur un plan, et quatre points dans l'espace.

Soient A, B, G, D , E les cinq points situes sur un même plan, F, G, H, K les quatre autres ; on déterminera par le problème précédent les deux cônes passant par lès huit premiers points. En vertu du Scholie du Problème /T, pag- 38 , les plans diamétraux de ces deux cônes et de la sui^face, conjugués à un système quelconque de cordes parallèles, se coupent suivant une ^ême droite* Soit donc L la droite d'intersection des plans diamétraux des cônes conjugués à la direction FK; le plan qui la contiendra , ainsi que le point milieu de FK , passera par le centre de la surface demandée. Si Ton construit de la même manière les plans diamétraux de cette sur&ce conjugués aux directions GK et HK, on aura trois plans dont le point d'intersection sera le centre O de la sur&ce demandée.

Pour déterminer complètement la sur&ce proposée ^ nous considérerons successivement les différentes natiu^es de la courbe ABGDE.

t**. Si celte cotirbe est une ellipse (fig* 19), soitO' son centre ^ 00' est la direction du diamètre ccmjugué au plan ABC ; le plan OO'F détermine une section MNF tle la sur&ce aisée à construire, puisque l'on connaît deuxdecespointsM, F, lecentreOetles directions 00', MU de deux de ses diamètres conjugués ; cette secticHi MNF est une ellipse ou une hyperbole. S c^est une ellipse , la surfiice proposée est un ellipsoïde dont on peut construire le système de trois diamètres conjugués. Soient à cet effet , PQ , M'N' les longueurs des diamètres de la section MNF, dont 00', MN sont les directions; soit sur le plan ABC , SO'R le diamètre conjugué de MOiy, PQ et S'O'R' les diamètres conjugués de la section PSQ fiàcile à déterminer j les trois diamètres PQ, M'N', S'R' seront conjugués entre eux. Si la section MNP est une hyperbole (fig. :2o), la surface proposée est un hyperboloïde; cet hyperboloïde n'a qu'une nappe si les points M et N sont sur deux branches différentes de l'hyperbole MNF, il y en a deux au contraire lorsque ces points sont sur une même branche de la courbe ; quoi qu'il en soit , on pourra construire les asymptotes ON*', OM'' de la courbe MNF qui viendront couper le plan ABC en M'^' et N"; la courbe menée par ces deux pointa semblable et concentrique à ABC appartiendra au cône asymptotiqae de la sur&ce ayant son sommet au centre O, lequel sera complètement déterminé par cette construction.

a\ Si la courbe ABCDE est une hyperbole (fig, 21) dont O'S, O'S' sont les asymptotes, la sur&ce proposée ne peut-être qu'iin hyperboloïde; les parallèles OT ef OX' à O'S et O'S' sont des générttrices dje son cône

tfymptoûqm. SI parla droite OT l'une d'elle et le pcnnt F on fiiit passer uu plan, il coupera la courbe ABC en vm pointunique M ; la section MOF est une hyperbole dont OT est une asymptote. Soit Tle point de rencontre de MF et de OT; on prendra sur MF, BfRs:TF, et AO aéra la seconde asymptote de Fhyperbole MOF : cette nouvelle génératrice du cône asymptotique viendra venocmlrer le plan ABC en un point Y; selon qu'il sera à l'extérieur ou à l'intérieur de la courbe ABC , lliy perboloïde n'aura qu'une seule nappe on en aura deux ; dans tous les cas, la courbe menée par ce point Y sen^ blable et concentrique à l'hyperbole ABC, pourra être considérée comme la base du cône asymptotique dont O est le sommet.

3*. Enfin, si la courbe ABCDE est une parabole , la aur&ce proposée est un hyperboloîde ; une parallèle OT aux diamètres de la courbe ABC est une génératrice du cône asymptotique de la sur&ce. Le plan OTF coupe la parabole ABC en un point M , cette section est une hyperbole dont OT est une asymptote; on peut donc déterminer le cône asymptotique comme dans le caa précédent.

Ijes trois plans qui , par leur intersection déterminent le centre O de la sur&ce demandée, peuvent être tels^ que l'un quelconque d'entre eux soit parallèle à l'intersection des deux autres. Dans ce cas , le centre est situé à l'infini sur cette droite qui est un diamètre , et la sur* &ceest un paraboloide.

I*. Si la courbe ABCDE est une ellipse, le parabo* loïde est elliptique. Soit O' (fig. 22) le centre de ABC, O'O un des diamètres de la sur&ce; le plan O'OF cou**

pera la conii>e ABC en deux points M, N; cette section MNF est une parabole aisée à construire , connaissant trois de ces points M, N, F et la direction O'O de ses diamètres; soient PO, RCVS les diamètres des courbes MNF et ABC conjugués à MN ; la sect ion PRS sera une autre parabole de la surface conjuguée à la tourbe MNP et au plan ABC,

a*. Si la courbe ABCDE est une hyperbole , la sur&Ce doit être un paraboloïde hyperbolique. Soît toujours O' le centre de ABC (fig. 23) , O'O la direction des diamètres de la surface; par la ligue FO parallèle à O'O, on peut toujours Élire passer un plan qui coupe Thyperbole en deux pc»nts M et N situés sur une même branche, la section résultante MNF est une parabole dont on peut &cilement déterminer les élémeus. Soit RO' le diamètre de ABCcon juguéà MN, leplan RO'Ocoupera lescourbes ABC, MNF en des points R, S et P; la section RSP sera encore une parabole facile à construire. Soit Q le point où elle coupe (VO ; si Ton jbit descendre en ce point Q comme homologue à Pla parabole MPFÏF, son plan sera le conjugué des deux autres ABC , RSP.

3*. Enfin si la courbe ABCDE est une parabole, sou axe doit être nécessairement parallèle à la direction FO des diamètres du paraboloïde. Si donc on mène un plan par deux des points donné$ F et G, et par la ligne FO, il coupera la courbe ABC en un point M, la section MFG sera une parabole Ëicile à construire* Par un troisième point H on mènera un plan qui coupera la parabole ABC en deux points L et N , la parabole MFG en deux autres P et Q; çt suivant que la section HLiHPQ

jéfi oa cme dlipse ou une hyperbole , ou ftchevera la oonstructiou comme dans un des cas précédens.

Les plans qui par leur intersection déterminent le centre O, peuvent se coiq>er suivant une même droite, alors la sur&ce est un cylindre dont cette droite est Faxe ; dansce cas, la courbe ABQDEdoit nécessairement avoir un centre, et peut être considérée comme la diree* triœ du cylindre*

Enfin si ces plans sont parallèles, k sur&cenepeut étrequ'un cyfindre parabolique. Alors la courbe ABGDE ne peut être qu'une parabole dont l'axe est paralEèle aux plans diamétraux de la sur&ce. On aura la gêné* ratrice de ce cylindre, en menant par le point K un plan parallèle aux plans diamétraux; il- viendra couper la courbe ABC en un point M, MK. sera la génératrice demandée.

Dans tous les cas, les élémens de la sur&ce que nous avons déterminés suffiront pour construire son plan diamétral conjugué à une direction donnée.

X ^ Quand la sur&ce est un ellipsoïde, on connaît trois de ses diamètres conjugués PQ, M^', R'S^ (%« 19). Soit XO Y le diamètre dont on demande le plan diamétral conjugué. La section M'OX a pour diamètres conjuguai M'O et OT, intersection des plans R'OP^ BlTOX^ elle est donc connue entièrement ; on peut j construire un premier diamètre OY conjugué à OX ; par une construction entièrement semblable , on aura OU autre diamètre conjugué à OX situé dans la section R'OX ; le plan YOU sera le plan diamétral demandé.

a''. Quand ta sur&ce est un byperboloîde, on «sonnait aon cône asymptotique, lequel a le même plan diamé^

t67> ^ tnl conjugue à la direction donnée que la surface de* mandée; alors la remarque du problème précédent donne le moyen de construire ce plan diamétral.

3^. Quand la sur&ce est im paraboloïde, on connaît en un point S deux paraboles conjuguées , et une section ABCDE parallèle au plan tangent de la sur&ce au point S , et dont le centre est ^ur le diamètre SO de la sur&ce. Soit SX la direction donnée, on mènera un plan paral'^ lèle à OSX qui coupera la courbe ABCDE en deux points M et N, et l'une des paraboles conjuguées en un point P j on déterminera le diamètre de la section MNP conjugué àla directionSX. On répétera ensuite la même construction pour un autre plan toujours parallèle à OSX* L'ensemble des deux diamètres conjugués à SX ainsi obtenu, déterminera le plan diamétral demandé.

4*. Quand la sur&ce sera un cjlindre, on fera deux sections dans la sur&ce parallèles à k génératrice et à la direction donnée ; diacune de ces sections sera l'en-* semble de deux droites parallèles ; leurs deux diamètres détermineront le plan diapiétral demandé. Si le cylindre n'est pas parabolique , une seule section suffit y tout plan diamétral devant passer par l'axe.

Problème Y. Déterminer le centre et par suite trois, diamètres conjugués d'une surface du second ordre assujétie à passer par quatre points sur un plan et cinq dans Vespace.

Soient A, B, G, D les quatre points qui sont sur un même plan; E, F, 6, H, K. les cinq autres. Soient £', E'' deux points quelconques Am plan A, B^ G, D; par les neuf points A^ B, G, D, ^y^y ^y H, K, on fera passer une dur&ce (Problème IF)^ une autre par les

neuf autres A, B^C, D^ È'^, F^ G y H, K. On détermi^ nera les pkns diamétraux de ces deux sur&ces conjugués à la direction £F. Soit L leur droite d'intersection ; le {dan qui , k contenant, passera par le milieu de£F^ sera un plan diamétral appartenant à la suHacc demandée. On construira de la même manière les plans diamétraux de cette surface conjugués aux cordes EG, EH; on aura alors trois plans dont Tintersectioti «era le centi^ O de k suriace. Le plan ABGD coupera cette surface suivant une coutbe dont le centre 0' sera TintersecUon de ce plan et du diamètre 00' conjugué à cette section ; la droite 00' est rintersection de deux plans diamétraux conjugués à àeàx diamètres parallèles au plan ABGD, plans qu'il est fiicile de construire au moyen des surfaces auxiliaires. Le centre O' étant connu , la section ABGD s'en déduira aisément. On achèvera ensuite la solution comme dans le Problème IV*

Problème YI. Déterminerle centre et par suite trois diamètres conjugués d^une surface du second ordre assujétie à passer par neuf points donnés d^uns ma^ niite quelconque dans ^espace.

Soient A,B,G)D,Ë, F, G, H, K les neuf pdbnts donnés. Soient encore D', D'' deux points quelconques du plan ABG. On fera passer une surface par les neuf points A) B) G, D'^ £, F, G, II, R, une autre par les neuf points A, B, G, D", E, F, G , H^ BL Atimoyen de ces deux sur&oes auxiliaires, on construira les plans diamétraux de la surface proposée conjugués aux cordes HEi^ DF, DG5 leur intersection donnera le centre O de la surface demandée. Le plan ABC coupera cette sur^ &ce suivant une courbe dont le centre 0' se construira

comme dans leproblème précédent; ce centre O^ et trois points A y B,C^suffirontpoardéterminer complètement cette section; le reste de la solution se fera alors comme dans le Problème IV.

Telle est la question la plus générale que Ton puisse proposer sur les surfaces du second ordre. La Géométrie n^ &it usage que de la ligne droite et du cercle; et cela deyait-être ainsi , puisque la solution algébrique àkr pend delà résolution de neuf équations du premier de-* gré à neuf inconnues»

a5. Ilest à remarquer que, dans le problème dont nous venons de nous occuper, il n'est peut-être aucune des propriétés des lignes et sur&ces du second degré que nous n'ayons énoncée ; aussi n'est-ce pas une soUition totalement géométrique, puisqu'elle s'appuie sur des propositions que l'Analyse seuleapu&ire connaître*

Ne pourrai t-on pas conclure dé là , quHm des principaux buts de l'étude des propriétés des lieux géqmétriques, est d^aequérir assez Je connaissances sur les courbes et sur&ces pour pouvoir les construire , ou du moins les déterminer complètement par la Géométrie ^ lorsque l'on en donne un nombre suffisant de points.

Résolution graphique âea équations fnaUs,

26. Unautrebut non moins important de l'étude des propriétés des courbes et sur&ces, c'est la construction des racines des équations. Une équation à une seule inconnue peut être considérée comme le résultat de Télimination dHuie ou de deux variables , entre des équations représentant des lignes ou des surfaces.

Par exemple ; si Ton Êdt le quarré x^ de l'inconnue ,

^1 an rectangle jc^, dans une équation du troisième ou du quatrièlne degré , 'elle sera du second degré en x et y; et puisque l'éliminatiQn de j^ entre cette équation et x*=j)y conduirait à réquation. proposée ^ si Ton construit les deux seetions coniques représentées par les équations entre lesquelles se ferait cette élimination^ les abscisses de leurs points d'intenection seront les racines de l'équation pn^osée.

Pareillement, si Von&it x^^sspy^y^^saqs dans une équation du dnquijème, sixième, septième ou huitième degré,, on aura trois équations du deuxième de^é entre tn>is variables; et puisque l'élimination de y et de s entre ces trois équations conduirait à Féquation proposée en «> en construisant les points d'intersection des trois sur&ces du second ordre qu'elles représentent , leiu^ abscisses seront les racines de l'équation proposée^ Pour pouvoir résoudre ainsi graphiquement l'équation générale du huitième degré , il est nécessaire de &ire disparaître son deuxième terme j car x' ne pourrait de» venir du secooad degré en x^ y y x , par la supposition de af'=j!jjr et de^*= ga;. Pareillement pour que cette substitution puisse réussu* à transformer l'équation gé<* nérale du septième degré, en une autre équation da second degré à crois variables, il faut aussi fiire dispa-^ raître son second terme et la multiplier par x.

y). Toute éqpiation du quatrième degré peut être ramenée à la résolution d'une équation du troisième; c'est ce que le calcul démontre de plusieurs manières. Cette tran^ormation algébrique correspond au changement d'une des sections coniques qui construisent ^équation en un ensemble de deux lignes droites. En

(70 eflfef , SI Ton conlbine les équations desdeiuc sections

coniques par voie d'addition , après avœr multiplié la première par une indéterminée m, la seconde par m% l'équation résultante sera de la forme

(ma 4- »'«') ^ •!• i^l^ + ^^^y^H" 3 O^c -4- m'c^) xy

et représentera en général une nouvelle section conique passant par les points que l'on se propose de construire;^ si L'on exprime que ce nouveau lieu géométrique est l'ensemble de deux lignes droites^ on aura une éqtialion-

de condition du troisième degré en —7 élémentdelaoom**

binaison. Lorsque ce rapport sera connu , les deux lignes droites donneront par leurs intersections avec une des sections coniques primitives, les quatre points dont les abscisses sont les racines de l'équation proposée.

Nous verrons par Ëi suite un exemple de ce ^ange« ment , en nous proposant de mener une normale à Tel** lipse par un point extérieur.

O0 peut trouver immédiatement h. relation qui doit Ker les coefficiens d'une équation du second degré à deux variables, pour qu'elle représente Peûsemblé de deux lignes droites, en observant qu'alors le centre du lieu géométrique e^t un de ses points; c'est-à-dire que les trois équations

Ax» H- aBJty + Gy» + al>a; + aEy 4-F = o , tix +Cjr + E«=;o,

doivent avoir lieu en même temps. La première peut se mettre sous la forme

C 7^ } et se réduit^ en vertu des deux autres^ à

eu sorte que Féquation de condition demandée , sera te résultat de Péliniinationde Jpet de^ entre trois équations du premier degré. Par rapport aux coefficiens, cette relation sera du troisième degié.

28. Pareillement pour exprimer qu'une sur&cc du second ordre est un cône, il suffit d'exprimer que le centre est sur la surface, c'est-4t--dire que les quatre équations

Ax» + A'y + A V + flBys + sB'xa + aB*:ry -f aCa? + aC\y

-f- ti&z + D = o , Ax 4- Bj' + B'a + C SB o^ Vx -+- Ay + B» + C=s Oy B'x 4. Bjyr 4- A'» -f r/= o »

ont Eeuen même temps ^ et commela première se réduit

eu rertu des trois autres, pour trouver la condijtîon de* mandée, il sufKra d'éliminer les variables x,y, z , entre quatre équations du premier degré. L'équation résul^ tante sera du quatrième degré par rapport aux coeffîciens.

Si donc on combine par Paddition les équations de deux surfaces du second ordre , après les avoir multi ^ pliées parles indéterminées m, m'y l'équation résiUtante aéra cdle d'une troisième surface, passant par la courbe

d'intersection des deux premières j et le rapport — ; dépendra de la résolution d'une équation du quatiièrae degré, si l'on veut que cette troisième sur&ce soit ^une surlace eonique.

La Géométrie dascriptÎTe donne nn moyen &cile de construire par points, les projections de la courbe d'intersection de deux cônes ^ et par suite ^ celles des point» d'intersection de troi» surfaces coniques. La résolution graphique des équations des huit premiers degrés sera donc complètement résolue, si Ton peut ramener la recherche des points d'intersection de trois sur&cés dtl second ordj'e, à celle des points d'intersection de trois cônes. Or, c'est ce que la remarque précédente rend possible, au moyen d'équations du quatrième degré.

ag^ Après avoir exprimé analytiquement le» conditionsqui peuventexister entre lesd(mnéesd'un problème^ des raisonnemens justes indiquent toujours quelles sont les éliminations à efièctuer, les quantités à obtenir ; et comme les méthodes données par PAlgcjbre ne sont Jamais incertaines quand il s'agit dWectuer des éliminations, nous pouvons dire qae e'est la partie la moins embarrassante dans la recherche d-une sohitioiu Elle est l'intermédiaire entre deux points plus épineux pour le mathématicien , savoir, la mise en équation et la lecture géométrique des résultats de l'Analyse.

Les équations finales exprintent dts relations entre les données et les inconnues. Pour parvenir à les démêler, il y a des fadeurs communs à rétablir, des termes qtu ont disparu à ajouter, des e:^pressions géométriques à reconnaître. Souvent même les transformations qu'elle feiit subir aux équations , ne peuvent se prouver que par vx\e sorte de Synthèse. U Êiut partir de l'équation transformée pour démontrer son identité avec la primitive. C'est par de semblables moyens, que l'Algèbre indique quelquefois l'endroit sur lequel on doit interroger la

( 74 ) Géométrie, pour obtenir une solution déduite de la seule considération de ses théorèmes. Pour en donner un exemple , proposons-nous de traiter par l'application de l'Algèbre à la Géométrie le problème suivant..

Problème. Trouver sur une eirconf<irence donnée tm point X (fig. 2^) telj qu^en joignant ce point à deux autres A etB donnés, les lignes AX , BX coupent la circonférence en. deux points C, C^ situés sur une panzllstedAB.

Dans le problème de la pageSS nous avons résolu cette question d'une manière plus générale y puisqu'au lieu du cercle, nous avons considéré l'ellipse; nous sommes arrivé à une équation finale qui^ dans le cas particulier du cercle , se réduit à

a, C, o.^, C sont les coordonnées des points A et B. Cette équation indique une ligne droite à construire pour un nouveau lieu géométrique du point demandai dont les coordonnées sont ^^>'^

On peut déduire de cette équation ime solution synthétique du problème. £n effet, si l'on suppose AX=:/2y K&.ss^d^y que l'on désigne par /et ^ les longueurs des tangentes au cercle donné, menées par les points A et B, on aura

•• + C» — R^rsl*^ ^'»4.C»— R* = ir»

C=«^-^)^+Cy'-0* = ^i (or'- O* + (/-«")* = *• et par suiite-

yc + *% = HR* 4- ••+.«•--* ).

yc + *V s» i (R* + 4' +^* — <''*)• La substitution de c^ diiféreiitei valeurs dansTéc]^!».

( 75 ) tion (6)ydomïerz

^—d^ if'--dr* .. . d et d I

Le rapport des longueurs AX^ BX est ainsi déterminé; d'ailleurs une proposition géométrique connue, donne un cercle &cile à construire, pour le lieu géométricjue

de tous les points X, tels que le rapport g^ ^^* ^^^"

stant. Le point demandé sera donc donné par l'intersection de deux cercles.

Des considérations purement géométriques condui- Hîent au même résultat que l'analyse précédente , car on a, soit d'après la nature des données, soit d'après celle de l'énoncé,

AC :Bcr::AX:BX,

d'où l'on déduit aisément