AX AC£AX

bx'bc""?* Sx**

d'où enfin izzz^.

L'Analyse algébrique indique ici a la Géométrie )a solution la plus directe de la questionproposée.Onpour-* xait en effet trouver d'autres moyens de eonstruction^ en disant remarquer l'identité du point demandé avec celui de contact d'un çerele tangent au cercle donné p passant par les points A et B. Mais cette transformation de l'énoncé ne donnerait qu'une solution indirecte.

Le plus souvent , l'étude des équations finales ne fait qu'indiquer le moyen de simplifier la construction des lignes dont les intersections doivent donner le point

demandé* C'est ordinairement par des considérations gëoméirîqnes, que Ton vient à bout de oelte simplification. On peut donner un exemple de cette simplifieation , sans s'écarter de la question précédente^Supposons en efi*et qu'il faille que la droite CC, au lieu d'être pa-> rallèle à AB, aille passer par un troisième point D» Dans ce cas^ nous résoudrons ce nouveau problème : Inscrire dans un cercle donné un triangle dont les côtés soient assujétis d passer chacun pç^r un point donné. Ce n'est qu'un cas particulier du problème de la page 589 et cependant on ne peut arriver qu'à sim* plifier de même la construction de l'équation finale..

Les opérations quel'on &it subir aux équationsfinales^ pour simplifier la construction des lieux géométriques^ ne les laissent ps toujours tek qu'ils se présentent* Très souvent au contraire^ une certaine combinaison des difierentes parties du résultat^ donne une nouvelle ligne plus facile à construire que les primitives. C'est ainsi qu'en trailtant par l'Analyse algébriqueleproblème de mener une tangente à un cercle donné par un point extérieur, on obtient d'abord outre celle de la circonférence donnée , l'équation d'une ligne droite autre lieu géométrique des points de contact ; combinant ensuite cette nouvelle équation avec celle du cercle donné, on parvient à trouver un autre cercle &cile à déterminer de grandeur et de position, sur lequel doivent aussi se ttoUvet les mêmes points de tangence*.

Transformations des coordonnées^

3o. Si les constructions à eflfectuer, malgré toutes !e$ recherches que l'on pourrait aire pour les abréger,

( 77 ) étaient encore trop compliquées, on poiUToit placer les données par mpport aux axes coordonnés, de manière à &ire disparaître le plus ^nd nombre de lignes rekh tires à leur position ai4>itraire. Mais alors la construction n'a lieu que d'après ces seuls axes principaux ; il est yrai qu'ils ont souvent des positions tellement liéesà la figure proposée, qa*une construction par les ordonnées et lesabscisses , peut quelquefois se démontrer synthétiquement*

La position la plus avantageuse n'est pas toujours évidente. On ne sait pas toujours qtielles lignes il faut supposer nulles ou égales en grandeur, quelles directions doivent être perpendiculaires , parallèles aux aies coordonnés, ni même quel doit être l'angle de ces axes. U .but alors chercher par la transformation des coordon-<' .nées dont les formules contiennent des indéterminées ^ quelles sont les valeurs de ces constantes aTl)itndres qui correspondent au but proposé.

Le changement du système des axes est d'une grande iitiUté pour dévoiler les secrets de l'Analyse. La discu»* sîon complète des lieux géométriques, la détermination de certains points parlicuUers, la démonstration de l'identité de certaines lignes , enfin beaucoup de recherches précieuses, ne sauraient s'effectuer sans le secours de la transformation des coordonnées ; il est même des problèmes qui semblent ne pouvoir être résolus analytiquement que par son emploi» Tel est celui qui suit.

Problème. Trousser le lieu géométrique du point d'intersection de deux droites tangentes à une courbe du second degré, et perpendiculaires entre elles.

Je suppose d'abord que la courbe ait un centre^ son équation i rapportée à<kux axes rectangulaires^ sera de

(78) la&rme

Soient a et & les coordonnées du point I d^tersection des deux tangentes que je désignerai par Tet T'; X , Y les cosinus des angles que£>rme la droite T avec les axes AX et AY; X\ Y' les cosinus de ceux que la deuxième tangente T' forme avec les mêmes axes; x^y les coordonnées variables par rapport aux tangentes IT^ IlY rectangulaires considérées comme axes ; toutes ces quan*. tités seront liées entre elles par les relations

Si Ton élimine s et jr entre les équations (a) et (i),

l'équation résultante

y(»nX'*+iiY'0 + «^*(»»X«+iiY*)+ ajrî;y'(mX'* + nr*) + ay(mflX'4^Y')+ajt^(maX+ii*Y)+(ma*+ii4»--i) =o,

esqprime la courbe rapportée aux axes TI| Tl. Puisque cette courbe doit être tangente aux nouveaux axes ^ il fiiut qu'en fidsant dans son équationj^ ss o , ces valeurs de x' correspondantes soient égûe»^ ce qui donnera i'équation de condition

mit(i*X* + a*Y* — aaiXY)=smX»4-nY*;

il &ut aussi qu'en y faisant x'sso, les deux valeurs de y soient ^ales, ce qui donne une nouvelle équation de condition sjrmétrique de la précédente

m» ( 4«X'* + «•Y^ — aoiXY' ) t^wX'» + nY'%-

en ajoutant ces deux équaticms^ l'équation se réduit 9 en vertu des relations (3), à

eette dernière résout le problème. On j Toit que le lieu

géômétriqtie demandé est un cercle concentrique à la courbe donnée par l'équation (i). Si cette courbe est

uneellipae, les quantités —, - seront positives et ^ales

a A% B% A et B étant ses demi-axes, en sorte que le rayon du cercle sera lliypoténuse d'un triangle reo* tangle dont A et B seraient les côtés. Si l'équation (i) représentait un cerde, lecerde (4) aurait pour rayon la diagonale du quarré du rayon dimné , ce dont il est aisé de s'assurer d priori par la Géométrie simple. On Terra aisément que si l'équation (i) représenf iait une

l^yperbole, une des quantités — » - étant négative, sui«

Tant que l'angle des asymptotes dans lequel se trouve la courbe, sera plus petit , égal ou plus grand qu'un droit , le lieu géométrique sera un cercle, se réduira à un point, ou n'existera pas.

Si l'on répétait les mêmes calculs , en supposant quela courbe donnée fdt une parabole, on trouverait sa direc-^ trice pour le lieu géométrique demandé; d'ailleurs, en considérant la parabole comme une ellipse dont les

axes A et B sont infinis, et le rapport jr fini et égal àp^

on prouve aisément que le cerde (4) se réduit à une ligne droite, c'est4rdire à un cercle de rayon infini, ou dont la courbure est nulle. En effet , l'équation du cercle rapp(Mtée au sommet de l'ellipse est

*• + «•= A (aa + l*),

et à(mMp+2a:=so lorsque T^^o, -r- =jp. Ainsi on peut conclure généralement que si le Heu géométrique

demandé existe, c^est on cercle concentrique à la courbe du second degré donnée.

Par des calcids identiques auxprécédens , on peut ré-> fioudre lés deux problèmes suivans.

Trouver le lieu géométrique de V intersection de trois plans rectangulaires tangens à une surface du second degré*

Trouper le lieu géométrique de Vintersection com^ mune de trois droites rectangulaires tangentes à une surface du second degré.

Si Ton suppose que la sur&ce soit représentée par réquation

ces lieux géométriques seront

m u p pour le premier ;

pour le second. En sorte que si la sur&ce du second degré était un ellipsoïde aux axes 2A, aB, 2G, les lieux l^métriques lui seraient concentriques; le premier re»

présenterait une sphère de rayon V'A^^^B^-f-C* et le second Fellipsoïde qui aurait pour axes

V^'+Bqrcï- V^*+Â?+cî' V^+T^-

L^ellipsoïde donné pourrait se réduire à une sphère de rayon R ; alors les deux lieux géométriques seraient deux sphères concentriques entre elles et la proposée. Tune

de rayon R \^Zj l'autre de rayon R Vf»

( 8i ) Symétrie.

3i» H &ut remarqoer dans la dolutioa précédentei qoe la symélrie de quatre téqnatioiis entre les quatre mconnues X , Y, X^ Y'9 41 suffi pour les éliminer toutes » et obtenir une équation finale indépendante de ces inoonnues*

En généndy la s^étrie entre les données cPun pro» Uème abrège, diminue^ les travaux du calculateiu*; on ne saurait rejeter un ptincipe qui fournit des moyens d'élimination si rapides, qui simplifie les immenses té^ Siultat3 de l'Algèbre, et sert à les démontrer, à les énoncer de la manière la plus, élégante.

établit une symétrie réelle entre les dcmnées et lea inconnues. Cette symétrie remarquée , étudiée avec soin ^ met la solution demandée sous la puissance du calcnly pour ainsi dirte au moment où il s^ attend le moins.

Pour donner un exemple de cesheureusesrenccmtres^ je me propose de résoudre le problème suivant par la Trigonométrie.

Problème, (hnatmire un triangle équilatéml qui. ait 9es sommets sur trois circonférences conc&i^riquê^ de rayon donnés,

Seit ABC (fig. a5) le triuigle demandé, x son càté^ O le centre commun des trois cercles donnés, OA ^^sa^ 0&:=sbj OC^ssio leurs rayons. L'un des angles égxaan du triangle équilatéral , Fangle BAC par exemple, est égala la somme ou àla différence des deux angles CAO, BAO, dont les cosinus sont

cos CAO 5= ■ , cot BAO =: . — -^-S- 1

(8a) on a donc l'équation

Cette équation est symétrique en a et jv. On déduit de cette remarque , que si les trois cbxxmférences concen-* triques avaient pour rayons b^c jXy a serait le côté du triangle équilatéral demandé ; 9i donc on inscrit entre les deux circonférences de rayon 6 et c, une droite MNssa, que l'on construise sur cette ligne un triangle équilatéral MNP, la ligne inconnue x sera ^le à la distance QP du sommet isolé de ce triangle équilatéral au centre commun des cercles donnés. U est aisé de voir qu'il y a deux solutions^ c^est-à-dire, que Finconnue x est susceptible de deux valeurs. Deux constructions semblables auraient encore été indiquées si Ton avait considéré Tun des angles ABC, BGA^ et comme les trois triangles MNO de ces trois constructions ont les côtés égaux , on en dédtiit la proposition suivante.

THÉORiBfE. Si sur les trois côtés d*un triangle ABC (fig. a6)j on construit des triangles équilatéraux ABM^ ACN, BCP, les lignes AP,BN, CM seront égales.

Et en efiët y par im raisonxiement semblable à celm dont on &it usage dans la proposition du quarré de l'hypoténuse , on prouverait que les triangles ABN, ACM sont égaux ainsi que les triangles ABP, MBC, que par consétjuent BNs= AP=CM.

Il est d^ailleurs très aisé de voir que ces droites se coupent en un même point. En effet, si i>ou5 considérons la droite AP, elle coupe en im point O le cercle CPB, partage l'arc CiPB, et par suite l'angle BOC=| d'angle droit en deux parties ^ales; d'où il suit que BOA

(83) r=s.C0As5=|, que les lignes CO, B() opèrent pareille^ment la bisection des angles AOB, AOC^ qu'elles passent donc par les points M et N milieux des arcs AMB^ AJNB appartenans aux cercles AOB, AOG. Les droites AP, BN, CM se coupent donc en un même point O. D'après cela ^ il est aisé de résoudre le problème suivant»

Problèiiie* Trouver sur le plan d'un triangle un point ^oU sea trois cétés soient vus sous un même angle.

C'est ainsi que la Synthèse en démontrant un théo^ rème que l'Analyse à trouvé , en &it une proposition isolée, d'où peuvent encore découler plusieurs autres ^Propositions.

Méthodes indirectes.

3a. Une des preuves les plus incontestables de la richesse^ de la généralité delà Géométrie , c'est sans con-* tredit le secours qu'elle tire des sciences qui lui doivent sinon leur naissance , du moins leur accroissement et Ifnir clarté; car si la science de l'étendue prête ses figures aux autres sciences exactes et naturelks qui les con- Mdèrent à leur manière, soit avec la rigueur des dé~ monstrations, soit avec l'incertain de l'expérience, elle peut souvent déduire de ces nouvelles considératious qu'on lui croit absolument étrangères, des principes à démontrer, qudlquefois même les points de départ des plus belles tliéories.

La Mécanique est sans doute la science qui promet le plus de découvertes a la Géométrie; la Statique em^ prunte souvent sa synthèse, ses principaux théorèmes^

H hà donne en édiange^ jcût one nouvelle démonstration d'un prindpe déjà connu, soit h aolntion d'un pro* bième dont elle a timduH Fénoncé dans son propre langage. Cest ainsi qo» la reeliercbe du centre de gravité d'un tiianf^ y prouve que les lignes qui joignent les sonunets ec les nufieux des cbitêk oppoéés, se coupent toutes trms en un même point. Quelquefois la j^dence de l'équililnre se &it un jeu des problèmes les pius diffi* ciles de ht Géométrie, et va quelquefois de pair avec les calculs les plus élevés de l'Analyse algébrique.

Les maxima ^mimma des distances ou des de distances, sont souvent l'écuâl de la

de l'Algèbre même; et beaucoup de problèmes sur les extrêmes grandeurs resteraient sans solution , si le calcul infinitésimal ne s'en était occupé. Un des grands avantages delà Statique dans ces sortes de questions , si toute* fois elle peut lestindulre, c'est de&ire connaître les rela* tiens que les conditions entre les longueurs établissent entreleurs directions respectives, car il n'est pas d'équilibre qui ne soit dû autant à la direction des forces^ qu'aux rapports de leurs intensités. Qxnme cette transfohnation des lignes aux angles est souvent très difficile à trouver par la Géométrie simple, il n'est pas étonnant qu'elle se présente alors inférieure à laStatiqoe , comme on peut le voir dans k solution suivante.

I^BLÈMS. Trouver un point tel, que la somme des distancée de ce point d trois points donnés soit «ff. minimum.

Si Ton suppose trois anneaux fixés aux points A, B^ C (fig. 37) ^ et un quatrième attaché au point O extrémité d'une corde ^ kqueUe passera successivement par

ies «humux fixe B» A > par Tamiean mobile O^ et enfio, par le quatrième fixé en G; il est évident qu'une force quelconque qui tirerait le cordon suivant CM, sera en équilibre avec la résistance des aimeaux fixes , lorsque Ta somme des cordons partiels sera un minimum; le point demandé est donc la position de Panneau mobile 0| lorsque l'équilibre a lieu* Mais les cordons partiels AO, BO^ CO doivent être tendus également; l'anneau O est donc tiré sinvant ces tnàs directions par des forces ^ales ^ si donc l'équilibre à Eeu entre ces fi>rces, il fiiut 4|ue la du'ection de l'une quelccmque d'entre elles divise l'angle des deux autresen deux parties égales , ou ce qui tevient au même, que les angles ACB, AOC, BOG soient égaux entre eux et aux quatre tiers de l'angle droit« Le point demandé sera dcmc rintersection de deux |begmens capables de { d'angle droit , construits $ur deux des côtés du triangle ABC Le dernier problème du chapitre précédent donne encore un moyen de déterminer le point O.

U poiHTait arriver que l'un des angles du thangle^ Fangle A par exemple ^ fùA plus grand que | d'angle droit 9 alfMTs la. construction ne serait plus possibla^ Mais il aisé de voir que le point demandé serait le sommet A lui-même. En effet^ si l'on conçoit que ce point soit toujours situé i^ur la ligne AO , le point O intérieur au triangle ABC satisfera toujours au problème, même si le point A se confondait avec lui, c'est-à-dire si l'angle A était égal à f d'angle droit; à plus forte raison ce point Asera-t-il encore la solution du problème, lors* que l'aiigle A sera plus grand que f d'angle droit Par une supposition entièrementsemblable^ onprou*

vcrait que le point qui jouit de la propriété de donner un minimum pour la somme de ses distances y à autant de points fixes que l'on voudra ^ est celui autour duquel seraient en équilibre autant de forces égales dont les directions serait assujéties à passer chacune par un des points donnés. On peut exprimer analytiquement que l'équilibre a lieu relativement à ces mêmes directions , car on doit avoir en désignant par X , Y, Z les angles que forme Fune d'entre elles avec trois axes rectangu^ laires quelconques, par XV Y', Z^les mêmes angles pour ime seconde direction , et ainsi de suite

(i) ciosX-f* eôfX' + cosX^-f-etc.î=:o, cos Y + cos Y' 4" cos Y" +. . . na o , cos Z + cos Z' -f» ces Z* -#-. . . = o*

Si les points donnés sont situés dans un même plan^ réquibbre sera entièrement exprimé par les deux pre^ mîères équations. Si de plus les points se réduisent à trois, on aura cos X 4- cos X'= «^ cos X*, cos Y+ coa Y' =— cos Y'.

Ajoutant les eairés de ces équations et observant que

cof^X 4" cof*Y = 1 ,

CO«*X'-f C08*Y'=1,

eo3*X''+ coi*Y" =£ X , €t cos X cos X' •+'Coi Y cos Y* =cos V,

Y étant l'angle formé par les directions^^OA et OB, on trouvera :2C0S V 4* ^ 2*= ^5 l'ange V est donc eflfective^ Ident égal à | d'un droit.

Si les points sont au nombre de quatre, toujours dans im même plan, les équations

cos X + eos ^' =— (cos X" 4- cos X*) * cos Y 4* cos Y' ss — ' (cos Y* + cos Y*) ;,

(87) dont on déduit en ajoiitant leurs quarrés

ces Xcoa X'-f* coa Y co^ ¥*= cos X" cos X* -f- co« Z'cos Z*,

indiqueront pour le point demandé ^ le point d'inter* section des diagonales du quadrilatère.

Le Gatlcul infinitésimal donne aussi les équations (i)« ËDi effets ûajSyy^ mf^ €\ y, etc. , sont les coordonnées des points donnés^ Xy y^ z celles du point cherche, la somme des distances sera

et devra être un minimum» La différentiation successive par rapport aux trois variables ^ donne des équations identiques avec les équations (i) trouvées précédemment.

33. rious avons à peu près passé en revue tous les moyens que le géomètre peut ^nployer dans la solution d^ problèmes* Il est vrai <{ue nous n'avons &it qu^ef^ fltauher plusieurs d'entre eux , pour nous attacher aux pjHncipaux; peut-être même ceux qiie nous avons né- ^gés^ ont ils une marche plus difficile à suivre que les autres. Mais le d^é d attention que Ton doit apporter à un sujet quelconque doit toujours être proportionné à s0n degré d'utilité.

Nous aurions peut-être dû approfondir un peu plus cette méthode mixte ^ où des considérations purement géométriques fournissent des équations étrangères k l'Analyse deDescartes. La recherche de ces sortes d'équations ofire lesmêmes difficultés que la Géométrie simple; et si leur résolution ne dépend que de l'Algèbre, elle entre souvent pour la moindre partie dans la solution des problèmes. On peut d'ailleurs appliquera la fois à

cette méthode mixte , les principes que nous wons énoncés en traitant séparément des méthodes simples qu'elle renferme.

Je ne ferai que citer pômr exemple la théorie de la <!ri5tallisàlion si él^peanment traitée par son autemr« De simples considérations géométriques Font conduit à ses calculs, et cette méthode offire iei ce grand avantage^ qu'en ne perdant pas, pour ainsi dire, la Géométrie de Tue , il est plus &êile d'interpréter à â<m profit ks résuW tats de l'Algèbre*

34. Ce n'est pas qae cette théorie ne puisse se calco^ 1er par abscisses et ordonnées ; cette manière d'aborder la questicœt office même de son côté de grands avantages. Mais peut-être serait elle insuffisante si l'on dberchait à connaître les rapports des longueurs, plutôt que les angles des cristaux. Peut-être aussi ce nouveau calcul eslgerait-il des oennaissances mathématiques un peu plus grandes, do minéralogiste qui voudrait étudier cette théorie^ et que pour remédi<^ à cet inconvénient^ les méthodes les plus élémentaires sont toujours préférables.

Cependant , pour prouver que l'Analyse de Descartes n'est pas incapable de traiter une des plus belles applications du calcul à la Géométrie , )e vais indiquer la marche que Fim pourrait j:»*endre. Si je réussis à doimer une analyse simple et &cilement appUcable, je m'^applaudirai d'aroûr fidt rentrer sous le domaine d'un cal* cul qui doit être général, un sujet xpii semblait le fuir Et si, malgré mes tentutives, ce calcul se trouve com^ pliqué , on ne pourra du moins lien conclure contre la généralité de son application.

Les axes que nom con8idér0ns aeraut oUiqaes; nous diéngneron^ par «, C^y las angles YAZ, XAZ, XAY. L'équation du plan aéra toujoois miae sooa la forme

lift If p

lea quantités m, n, /? que j'appellerai les paramètres du plan 9 r^résenteront alors les distances de IWii^ine des coordonnées au^i points où le plan vient rencontrer les axes des s^ des^ et des z

Dans ce système d'axes ^ la distança d'un point dont les coordonnées sont x^ypak l'origine, est exprimée par la formule

D' =s or^ -f- jr* 4» jl^ 4- «9^ cos <.« -4* ax2 coA C «f» axy ces > ;

€t pour avoir la distance entre deux points dont les coordonnées soient x^y^ z pour le pr^oaier, a/, y^ ii pour le second, il suffit d^y changer x^y^ z en (jr-— x').

Cette formule peut se démontrer ainsi qu'il suit. Supposons par le point M (fig* s8), MP parallèle à AZ, PQ à AY et menons APA^ Le triangle APM

donnera

?>=:««-f apV^-APcosMPA'.

Mais le triangle APQ donne

et la projection de AP sur AZ étant égale à la somme des projections de AQ et de QP, on a APcosMPA' ;ps 3P cos € -(- j^ cos fit.

Substituant ces deux valeurs dans D*, la formule précédemment énoncée sera démontrée.

La formule qui donne le cosinus de l'angle que forme les deux droites, dont les équations sont x=:azy ytszhn pour la première, et xxaB^dz^y^^^h'z pour la seconde , est alors

Pour k démontrer, soit pris sur la première droite un point M aux coordonnées ap,y, x , et dont la distance à l'origine soit l'unité; soit également pris sur la seconde droite im point M' aux coordonnées x\ y\ z', tel que AM'cs AM = i. Le triangle fiiAM^ donnera cosV

S50 . Substituant la valeur de MM' en fonction

de « , ^, js , jt', y\ x', et observant que AM == AM'= i , ^ on aura

co«V=[]za'+xa/ +jy'+ (xy'+yx)co8y + ( vj&'4-y»)cosA

+ ( Jp*' + *'*) coït

Si dans les équations qui expriment que AM=:i, AM'*=i , et dans cette valeur de cos Von ait «s=:ax, j^s=6x, a/s=saV,j^'=:iV, ces équations ne contiiendront plus que z et z^\ et si l'on élimine ces deux quan«lites , le résultat sera la formule à démontrer.

Pour trouver l'équation d'une droite perpendiculaire à un plan , il suffit d'exprimer que la droite est pei:peadiculaire aux traces de ce plan.

Soit (i) :p=az,j^=:6x, les équations inconnues de la peipendiculaire , et

celle du plan donné; sa trace sur le plan des^x a pour

(90 équations x=:o,j'=: z +»• On exprimera qu'elle

est perpendiculaire à la droite (i), en exprimant que

ces V est nul y lorsqu'on y fait a's=:o, ll z^ -, ce qui

donne entre a et & une première équation de condition

r~.^-C0S«j4*^r--'<^sC— -COSyj + &r-COS«— — J=:0.

C)n peut en déduire l'équation exprimant que la droite ( i) est perpendiculaire à une autre trace du plan , en y changeant les lettres h^ 6 et n, en a^ et, niy et réciproquement, d'où

(— — -cosCj+^l ""Cosii— - -cosy j+af — cosC— -)=so. m p / * \m p y ' \m p/

Ces deux équations donneront les valeurs de a et 6, et les équations de la perpendiculaire au plan seront connues.

Pour calculer les équations d'une perpendiculaire à l'un des plans coordonnés, par exemple, au plan des xy^ il suffira de faire dans les relations précédentes

— s=o,-»=o, ce qui les réduira à

a cos y + i + coi « = o ,

a -)- ^ CO£i V + C05 C z£: O ,

cos a — coâ C cos V

d'où J=—

fim*y

008 C -— cos « cos y

sin* y

Si Cl =: C=: j', ces valeurs se réduisent encore à

• . cos«