INTRODUCTION

I. vj'est en partie dans la vue de perfectionner les problèmesde Géomélrie, que les mathématiciens ont enrichi l'Analyse des calculs qui composent aujourd'hui les sciences exactes. Pour pouvoir énoncer analytiquement les rapports qui existent entre les angles et les côtés d'ime figure géométrique, on a inventé la Trigonométrie. Pour énoncer algébriquement les positions respectives d'un point paiticidier, de tous ceux d'une ligne, d'une surface; un Français, l'immortel Descartes, a jeté les fondemens de l'application de l'Algèbre à la Géométrie, Dans la vue d'exprimer le contact des lieux géométriques, de rechercher les propriétés d'une couibe en étudiant celles de sa tangente, Leibnitz a inventé le Calcul diiié'entiel. Pour revenir des propriétés des tangentes aux courbes , à celles des courbes elles-mêmes ,

le Calcul infinitésimal s'est enrichi du Calcul intégral. Pour isoler la multiplicité des solutions d'un problème, Lagrange a fait paraître la théorie générale des Equations. Pour traduire en Géométrie les résultats de l'Analyse, M. Monge s'est immortalisé en inventant la Géométrie descriptive; et c'est encore pour mettre la dernière main à cette grande œuvre des Mathématiques, que le même auteur nous a donné son Analyse appliquée.

2. Qu'on ne conteste donc plus aux mathématiciens le désir d'être utiles, puisque leurs principales découvertes ont été &ites dans l'intention d'étendre les appHcations des sciences exactes. N'est-ce ps pour employer le Calcul infinitésimal à la démonstration des mouvemens célestes , que Newton dispute à Leibnitz rhonneur de l'avoir inventé? N'est-ce pas dans les mêmes vues, que MIM. Lapîace, Legendre, Poisson, et tant d'autres, complètent cette riche partie de l'Analyse? N'est-ce pas à l'idée de perfectionner FArchitecture, la Mécanique pratique, la Peinture et plusieurs autres arts, que nous devons en grande partie la découverte de la Géométrie descriptive?

3. Dans l'enseignement des sciences abstraites, la meiUeure méthode à prendre ne serait-elle pas de suivre la marche del'invention? Aprèsavoir démontré lesthéorèmes, les rapports principaux qui existent entre les nombres, entre les lignes, les sur&ces, les solides de la science de l'étendue, on devrait s'étendre sur l'application des règles, des principes démontrés à la solution des problèmes, s'attacher à faire remarquer l'insuffisance de ces connaissances premières, la nécessité d'en

(3) créer d'autres; l'Algèbre, soit pour généraliser l'Aritlimétique, soit pour écrire les relations dictées par la Géométrie, viendrait ainsi à sa place. Pour exprimer la coexistence des angles et des côtés des figures reclilignes , on ferait sentir l'utilité d'inventer une Trigonométrie qui fit enlrer dans l'Analyse des longueurs ou des rapports de longueur au lieu d'angles, afin de ne point détruire l'homogénéité du calcul. Lorsqu'en poursuivant l'étude de l'application de l'Algèbre simple à la Géométrie, on serait arrivé à considérer des lieux géométriques, aies chercher lorsqu'ils sont inconnus, on imaginerait alors l'appUcation de l'Analyse à la Géométrie de Descartes , qui basée sur les découvertes précédentes , donnerait un plus vaste champ aux idées mathématiques , à la solution complète des problèmes de Géométrie. Enfin, après avoir considéré les sections coniques, les surfaces du second ordre, la discussion des lieux géométriques de degrés supérieurs exigerait un moyen général d'étudier les affections d'une courbe en un de ses points particuliers , par celle de toute ligne osculatrice en ce point, plus simple à considérer que la proposée ; c'est ainsi que l'étude du Calcul infinitésimal viendiait tout natureilement terminer celle de l'Analyse mathématique en général.

On ne ferait plus aux sciences abstraites le reproche quehiuefois fondé de considérer des choses toujours nouvelles, sans faire apercevoir ni le but vers lequel elles condmsent , ni la haison natuielle de leurs parties.

Cette coordination des diverses branches des Mathématiques en ferait mieux concevoir toute la richesse ,

toute î'importanefe. Les noml>enx problème::! qu'on devrai! proposer soit poui" exercer les connaissasicea acquises, soit pour faire secitir la nécessité d'en acf|uérir de Bouvelies, auraient eacorc Fimmense avantage d'iiabituer le rriathéinaticien à sminonter les diUicultes de soB art, à inventer les moyeas àe Vennchiv, et c'est peut-être à ïa manière de présenter les découvertes passées, que ia postérité devrait d'en voir augjQAenler le nombre.

4. L'enseignement des Mathématiques de\Tail être miiforme dans toutes ses parties, et c'est ce qui n'a iieu que jusqu a \m certain point. Les élémeiis tt les hautes Mathématiques sont présentés d'une manière hien différente. Dans les élémens je comprends l'Arithmétique, la Géométrie, l'Algèbre et l'appLcationde ces deux dernières parties. Quant à la Géométrie descriptive, le Calcul infinitésimal, l'Analyse appliquée, eUe* constituent les Mathéri tiques transcendantes. Chacune de ces deux brandies distinctes a donc sa Géométrie, son calcul, et rappîicalion de ces parties principales. Dans la première on voit souvent la Synthèse préférée* cette méthode énigmatique semble entièrement bannie de la seconde. Elle constituait la méthode des anciens; ]es modernes ont adopté l'analyse comme le pliîs siir moyen d'augmenter leurs nombreuses découvertes. Les propositions de la Géoraétrie proprement dite se succèdent sans aucim but évident d'utilité; ia Géométrie descriptive au contraire a été inventée et conduite par la pratique. L'Analyse de Descartes, telle f^u'elle est enseignée , offre les propriétés des lignes les plus simples , sans presque donner l'occasion de les uti-

îîser, tandis qiie FAnalyse de Monge ne voit que problèmes à résoudre et dorme le moven de trouver les lieux gécmélriques , plutôt <jue celui de les discuter.

Pour remédier à cette dissemblance qui est tcite à l'avantage des découvertes récentes, ne pourrait-on pas présenter avec les élémens, certains emplois de leurs théorèmes, qui pussent diminuer k sécheresse de leur étude? Ne pourrait-on pas com.pléter lappiication de l'Algèbre à la Géométrie, par une foide de recherches curieuses qiii conduiraient naturellement à cette dL»cassion des lieux géométriques, dans laquelle on a lait entièrement consister cette partie des Mathématiques?

On pourrait , en commençant par l'étude de la hgne droite, faire voir les constructions auxquelles peuvent donner lieu la position respective de deux hgnes sur im même plan, leur angle, leur parallélisme , leur perpendiculanté; considérer des longueurs déterminées, les partager en parties qui aient entre elles des rapports donnés j combinant ensuite la ligne droite avec le cercle, étudier leurs contacts, en construire de particuliers, faire remarquer dans les segmens capables l'immense »vaJît?jge des lieuî géométri.jaesj passant à l'ensemble de plusieurs lignes , construire un triangle quand on a des données sufiisantes, faire entrer successivement parmi ces données les hauteurs, les côtés, les angles, les lignes qui opèrent leurs bisections, les sommes, les différences , les produits , \e^ rapports de ces diffé' rens élémens de 1« figui'e proposée; présenter àes cas particuliei^s de; la circonsci iption , de l'inscription des figures rectili^nes et circulaires j en pixiposaat des

( 6 ) lieux géométriques conduire à la discussion des lignes du second degré ; étudier les intersections , les contacts de ces nouvelles courbes , capables de jeter le plus grand jour sur leur théorie ; enfin ne rien négliger dans toutes ces applications pour faire remarquer l'accord constant de l'Algèbre avec la Géométrie, accord qui permet de coiiiier au calcul le soin de découvrir de nouveaux tliéorèmes.

Il faudrait principalement s'attacher à donner quelques méthodes générales pour la solution d'un problème , suivant la manière de l'aborder, de la conduire au résultat, et de traduire cette dernière partie dans le langage de l'énoncé. C'est sans doute ce qu'il y aurait de plus difficile: la multiplicité des moyens dont la Géométrie , dont l'Algèbre même peuvent se servir pour arriver au but proposé, la variété des questions, tout contribuerait à éloigner les méthodes générales j mais on pourrait, il me semble, classer les problèmes suivant les resijemblances plus ou moins grandes de leurs moyens de solution, et l'on parviendrait peut-être, si-« non à une méthode unique, du moins à un composé fini de moyens différens, que l'on pourrait regarder comme généraux vu leurs nombreuses apphcations.

Tel est le but que je me propose dans le cours de cet Ouvrage. Je commencerai par récapituler les moyens de la Géométrie simple pour résoudre les problèmes; je lui associerai ensuite le calcul. Je rendrai les principes que je présenterai plus clairs , plus frappans , par quelques exemples ; si les solutions que j'offi'e ne sont pas les plus simples, les p]us élégantes, elles fourniront à mes lecteurs au moins im énoncé à travailler, et je

m'applaudirai en faisant mal, d'avou' procuré à d'autres l'occasion de bien faire.

Analyse et Synthèse.

5. L'Arithmétique est une des sciences abstraites où Ton suit mieux la marche analytique ; les règles , les opérations, se démontrent à mesure qu'on en a besoin, et l'on y voit toujours le but proposé. Dans la Géométrie au contraire on se dirige sans s'en apercevoir vers un but caché; on démontre des propositions dont on peut avoir besoin dans la suite, mais dont on ne voit nulle apphcation immédiate. Ce n'est pas ainsi que les premiers géomètres ont été conduits vers leurs découvertes; une analyse pure fut toujoms le guide des inventeurs. La similitude de position de deux lignes parallèles par rapport à une sécante fit sans doute naître cette théorie fondamentale de la science de l'étendue , dont on a déduit tant de théorèmes sur les angles, sur les surfaces, sur les sohdes. Mais c'est peut-être au peu de rigueur de l'Analyse en démontrant les découvertes primitives que nous devons l'invention de la Synthèse. On craignait de laisser subsister des doutes sur les premiers principes des sciences exactes , et l'on, a mieux aimé essayer de détruire ces doutes nuisibles par la Synthèse que de laisser entrevoir parl'Analyse les traces des vérités qu'on voulait démontrer rigoureusement.

11 existerait cependant un moyen de suivre partout la rigueur mathématique sans s'éloigner de la route supposée des inventeurs; ce serait de conduire au principe qu'on veut faire connaître par des raisonnemens fondés sur quelques axiomes, et partant ensuite du

(8 théorème obtenu, démontrer son existence, sa généralité par une méthode toiit-à-fait synthétique; les vérités seraient ainsi doiiblemect prouvées, et les problèmes complètement résolus , puisqu'on y répondrait en domiant et la recherche de la solution et sa vérification.

Quoi qu'il en soit, cette méthode doit toujours être suivie dans la manière de présenter la solution d'ua problème. L'Analyse éclaire ainsi ia Synthèse; la Synthèse, de son côté, éclaircit les passages que l'Analyse n'a pour ainsi dire qu'effleurés.

6. La manière d'étudier les sciences abstraites sons le point de vue de leurs applications, consiste à récapituler les moyens qu'elles fournissent pour ia solution d'un problème , pour la réponse à une question proposée. Elles doivent donc non-seulement démontrer les rapports des quantités qu'elles considèrent , mais encore apprendre à déterminer certaines de ces quantités inconnues, lorsqu'on donne les relations qui les lient à d'autres quantités de même espèce. La Géométrie s'attache plus particulièrement à la première partie, l'Algèbre s'occupe principalement de la seconde.

Voilà pourquoi la difficulté de résoudre un problème par l'Algèbre, consiste seulement dans la maaière de tradune 1 énoncé dans son propre langage, ou, pour parler algébriquement, dans la mise en équation des données et des inconnues de ia question proposée.

Voilà d'où vient aussi que la solution d'un problème de Géométrie sans autre secours que k considération de ses figures, est souvent si pénible à trouver. C'est que la science de l'étendue donne bien des propositions,

(9) des théorèmes qui expriment les rapports des élémens d\me figure quelconque, mais n'enseigne point directement à isoler les grandeurs inconnues, à les déterminerprle moyen des données, que l'Algèbre au contraire commençant son ouvrage où la Géométrie semble avoir terminé le sien , part des équations primitives et au moyen de transformations générales, conduit à des équations finales qu'elle présente à la Géométrie pour traduire la solution, et la démontrant synlhétiquement, prouver l'exactitude du résultat obtenu.

La recherche d'un problème de Géométrie est en général composée de trois parties : la mise en équations, la résolution des équations , et la vérification de la solution. La Géométrie s'occupe de la première et de la dernière de ces parties, l'Algèbre se charge exclusivement de la seconde.