Une solution est dite présentée synthétiquement

lorsqu'énoncéed'abordonenprouverexactitude,scitpar ime méthode inveise de celle qu'à suivie l'Analyse pour la trouver, soit enfin parla démonstration àl'absurde.

Il peut arriver qu'en énonçant géométriquement les relations qui existent entre les données et les inconnues d'un problème, la solution s'en déduise immédiatement; mais bien qu'elle ait été trouvée sans l'intervention de l'Algèbre, la maiche qu'on a suivie pour y arriver n'en est pas moins analytique.

L'habitude de ne voir que Synthèse dans la Géométrie, a fait penser que tout problème résolu par la Géométrie Simple l'était synthéticjiîement; mais il est constant qu'un problème quoiqu'il soit , ne peut être trouve que par une jnéthode analytique. C'est toujours le raison-

nement qui conduit à la découverte, et non pas la découverle qui conduit au raisonnement.

Pour prouver synthxétiquement une proposition, on l'énonce d'abord, et si l'on en déduit une vérité déjà connue, il n'est pUis permis de douter du principe d'où l'on est parti ; on acquerrait la même certitude , si partan t de résultats absolument contraires au proposé, on éta^t conduit dans tous les casa des conséquences évidemment absurdes. Mais de ce que la Synthèse suppose la chose existanteetla démontre ensuite, ilnefautpas conclure, comme on le fait quelquefois, qu'une solution est synthétique lorsque pour la trouver on a d'abord supposé son existence. Pour être en droit de lui donner ce nom, il faut énoncer entièrement la manière delà construire, ouceqvu revient au même, la valeur de l'inconnue du problème; il faut de plus k démontrer im-^

médiatement- ^ ,

Proposons nous , par exemple, de trouver le cote du décagone réguUer inscrit dans nn cercle donné. Le problème sera résolu analy tiquement si , supposant d'abord connu le triangle ABC (fig. i\ qui a son sommet au centre du cercle donné, et pour base le côte AB cherché, j'en déduis que chacun des angles à la base étant, douhle de cehii du sommet. , ia hgne BM qui partagerait l'un de ces angles en deux parties égales, diviserait le rayon opposé en deiLX segmens, dont l'un CM serait le côté cherché; que ces deux segmens étant proportionnels aux deux côtés du triangle adjacens k Fangle divisé, la ligne qui opère cette bisection partage le rayon en moyenne et extrême raison , et que par conséquent i e cote inconnu est la plus grande de ces deux parties. La soiu-

lion du même problème sera au contraire présentée synthétiquement si , énonçant d^abord que le côté Inconnu , ou la base AB du triangle ABC , est la plus grande des deux parties qui comj>osent le rayon AC divisé en moyenne et extrême raison , j'en conclus que la ligue qui joindrait le point M de cette division avec Je sommet B opposé au rayon AC, partage Pangle B en deux parties égales, et que par conséquent dans le triangle isoscèle ABC , les angles à la baie sont doubles de celui du sommet.

On voit donc que dans la recherche analytique d'un problème de Géométrie, on sup|K)se ordinairement la figure construite, mais que Ton ne donne point directement renoncé delà solution. Ceile simple supposition correspond à celle de l'Analyse algébrique, qui consisteà combiner l'inconnue comme si sa valeur était déter^ minée. Enuumot, dans l'Analyse on part de cette hypothèse , que la construction existe, pour la trouver, tandis que dans la Synthèse on donne la construction , on la piouve ensuite, et son existence est pleinement démontrée.

Marche à suivre dans Ta recherche de la solution.

S. 11 seroii impossible de donner une méthode générale, pour trouver complètement par une analyse purement géométrique , la solution d'un problème de Géométrie quel qu'il soit. La nature de la question, les diverses circonstances qui peuvent exister entre les données, influent trop sur les résultats, pour ne pas faire varier le moyen d'y arriver. Cependant il existe des principes à suivre qui saos être généraux , offi'ent

[Xi)

peu d'exceptions, des périodes qui sont communes à h recherche d'un grand nombre de problèmes, et qui doivent par conséquent être conduites de !a même manière j c'est de la récapitulation de ces difTérens détaiia dont nous allons maintenant nous occuper.

Il faut lou jouis commencer par concevoir, ou tracer l'espèce de figure que l'on cherche à eonstriure rigoureusement j de îa considération de ses élémous, on déduit des relations entre les inconnues et les données, relations qui peuvent déterminer les premières par des constructions supposées prouvées en elles-mêmes. Tel est le probl ème précéden t sur le côté du décagone régulier inscrit; nous avons conclu de certaines relations entre les angles du polygone demandé, que son côté serait trouvé si l'on savait diviser une ligne en moyenne et extrêmeraison. Si donc on suppose cette question résolue, le problème proposé le sera également.

9. C'est presque toujours en faisant dépendre la solution d'un problèm.e de celle d'im autre plus simple, cette seconde d'une troisième, et ainsi de suite, que l'on parvient à une question dont la réponse est é\ idente. On réduit ainsi la propesée à une plus simple expression, et Ton pourrsît comparer cette marche méthodique à celle que FAlgèbre emploie pour résoudre une équation à une seule inconnue , où par des transformations successives, elle parvient à isoler l'inconnue. La seule différence, c'est que l'Algèbre doime les moyens généraux de diminuer ainsi la difficulté du problème, que la Géométrie va souvent au hasard pour en trouver de très particuhers , et qu'il arrive quelquefois qu'elle coirtplique renoncé au heu de le sirapîitier.

Pour Élire senUr les difTércns degies par lesquels on descend à^xm problème assez compliqué , à une question clonl la réponse est év idéale, nous nous proposerons ie problème suivant.

Problême. Z)tz«? le triangle ABC (fig. 2), mener une droite DE islle, qns les deux segmens imn adjacens entre eux D3 et ECI et la ligne DE soient dans des rap* ports donnés.

Soit DE la ligne rJemaîidée, soit menée par le point D, DF parallèle à AC; par le point G, GF parallèle à DE; paries points B, Fia droite BF jusqu'à la rencontre de AG en G j on aura

AG : AB::DF : bd::ec : bd.

Ce rapport étant donné , il est aisé de construire d priori le triangle ABGj et le problème proposé semblera dépendre de la question suivante :

Le triangle ABG étant donné, et un point C sur la baseAGf mener une ligneDT parallèle d la base, telle, qu'en Joignant FC on ait DF : FC .*: m : n, ou dans un rapport donné.

Maintenant si par le point G on conçoit GX parallèle à FC jusqu'à la rencontre de BC en X, on aui-a

GX:FC::BG:BF::GA:FD, d'où gx:ga::fc.:fd::£D:ec.

Ce dernier rapport éî^nt connu, la solution cherchée dépendra de nouveau de celle de ce 3« problème

Trouver sur la ligne BC un point X tel, que GX soit à GA dans le rapport de deux lignes p et q.

Enfin cette dernière question est facile à résoudre lorsqu'on sait construire une 4* proportionnelle à 3 lignes

uonnees.

En effet , on construira une 4* proportionnelle aux lignes a, GA, etp; du point G connue centre avec cette Uene pour rayon , on décrira un arc de cercle qui coupera la ligne BC en deux points X et X' satisfaisant au 3« problème 5 joignant GX. , menant CF parallèle à cette droite, FD à AC,le 2« problème sera résolu j enfm menant DE parallèle à CF, le problème proposé le sera pareillement. Puisqu'il existe deux points X satisfaisant au 3e problème , il existe aussi deux manières de répondre à la question primitive. De ces deux solutions, la première DE sera comprise dans l'angle BAC, la seconde D'E' dans son opposé par le sommet. D'après cette construction les lignes DE, DB, EC sont dans les rapports donnés ainsi que les lignes D'E', D'B, E'C, comme U serait d'ailleurs aisé de le démontrer synthétiquement.

Le problème général de la détermination des surfaces du second ordre par la Géométrie descriptive, nous donnera par la suite un exemple encore plus frappant du principe que nous venons d'énoncer.

lo. Il arrive assez souvent que le problème auquel on descend, n'est qu'un cas particulier du problème à résoudj-e. On sait par exemple que pour trouver le centre d'iin cercle tangent à trois autres dont les centres seraient c, c', c", et les rayons R, Pv', R", il suffit de cherclier le centre d'un cercle passant par le point c" et tangent à deux autres ayant pour centres c et c', et pour rayons (R =fc R") (R' =i= R") ; nouveau problème qui n'est qu'un cas particulier du premier, puisque le point c"peut être considéré comme un cercle de rayon nul î^oiis pouvons en donner un autre exemple dans k solution suivante.

Problème. Éfant donnas les deux côtés aâjacens à î'angh A du triangle AEC (fig. 3), et la ligne AD dont la direction partage cet angle en deux parties égales t construire ce triangle.

Soit ABC le triafagle demandé ; si l'on conçoit par le point D, DF perpendiculaire sur AD jusqu'à la rencoQtre de AB en Fj par le point C une parallèle CE à cette ligne, on aura AE = AG, par conséquent BE=s AB— AC; et comme on a de plus EF : FB :: DC : BD :: AC : AB, le point F est aisé à déterminer d priori: cette ligne A F étant connue , pour trouver l'angie A et par suite le triangle ABC , il suffit de résoudre ce nou- \eau problème, cas particulier du proposé :

Problème. Étant donnés le côté AF d*un triangle isoscèle FAF' et la perpendiculaire AD du sommet sur la base, construire ce triangle.

D'après cala, l'angle 7 A sera déterminé en construisant un triangle rectangle dont AF serait l'hypoténuse, AD un des côtés , l'angle total s'ensuivra , et le problème proposé sera résolu. La Synthèse donnerait aisément la vérification de cette solution.

II. Il y a des problèmes de Géométrie où l'on est analytiquement conduit à construire une figure semblable à celle que l'on cherche, et dont les élémens sont pris parmi les données. Par exemple, si connaissant les trois hauteurs d'un triangle, ou proposait de le construire, on pourrait être ainsi conduit à la construction.

Soient h, h! yW les trois liauteiirs ; « , a', a' les trois côtés inconnus : les rectangles ah^ a'h'^ a"?î', représentant chacun le double de la surfece du triangle demandé, .*iont égaux entre eux. On en déduit les proporlions

( i6 } a' a^ Il h' '. h ^ a\ a^' Il h^' l h; ou peut donc construire \m triangle semblable au proposé, si h' est dans celte

ligure le côté homologue à a , A et -p seront les homologues de a et de a^. Connaissant ainsi les angles du triangle demandé , le reste de ia solution n'olïre plus de

dillicidté.

Méthode inverse,

12. Il ne faut pas confondre ce cas particulier avec cette méthode connue sous le nom à^ inverse, qui cou* siste à renverser l'énoncé, à prendre pour données les inconnues, et réciproquement. En résolvant ce nouveau problème, on construit une ligure semblable à celle que Ton cherche j si l'on connaît ensuite une seule ligne de cette dernière, il sera facile de la construire elle-même

C'est sur-tout quand il s'agit d'inscrire dans un polygone donné une figure semblable à ime autre aussi donnée, que l'on préfère la méthode inverse à la méthode directe. La circousci iption des figures semblables ayant l'avantage d'oflrir par les segmens capables, des lieux géométri(|ues , des sommets du polygone à constiuire,

S'il s'agit , par exemple , d'inscrire un quadrilatère dont on connaît les angles et le rapport des cotés dans un autre quadrilatère donné, on pourra renverser l'énoncé et se proposer de circonscrire à un quadiilatère donné, un autre quadrilatère semblable à une figure aussi donnée.

Supposons qu'il faiUe circonscrire à ABCD (fig. 4) un polygone a'b'c'd! send^lable à ahcd. Le sommet a! devra se trouver sur le segment capable de l'angle a , construit sui' l'un des côtés du quadrilatère ABCD sur

(17) le côté AB par oxpmple , et si de p]us Tangle b' = b(hut correspoudre au côté AD, on pourra constr ujie sur ks côtés DA, AB, BC, des segmens capables des angles b o, c du second polygone, sur lesrpiejles circonférences devront se trouver les sommets inconnus du polygone cherché. Si l'on pouvait déterminer de nouveaux Jieux géométrifpies de ces mêmes points, le problème serait résolu. Or soient />', c', a\ les points satisfaisant à la question- la droite a'^' passera par le pomt A, laJiçîne

A'C pr le point B, de plus on doit avoir ^=:°*=?.

(l'c ac b*

Soit A' le second point d'intersection des deux cercles AD^', ABa'j tous les triangles qui auraient leur sommet en A', et pour base une double corde telle que a'Abf seront semblables, puisque leurs angles en a' et b' auraient tous pour mesure la moitié des mêmes arcs AA'-

le rapport -^^7 que nous représenterons par- pourra

donc être regardé comme coimu; parla même raison,

le rapport -^7 = - sera facile à déterminer; on en dé-

^^^^^ â'ir ~ fl • P • I'' ^^^^ *^ ^^^" partage Tare A'B' en deux parties égales au point M, et que Ton conçoive a'M, cette ligne partagera l'angle B'a'A' en deux parties égales, et par conséquent la base A'B' en deux parlies A'N et B'N, proportionnelles aux deux côtés A^a', Wa'j ce rapport étant connu, il sera lacile de trouver d priori le point N, par suite la ligne MNa', nouveau lieu géométrique du point a-, joignant a'Bc', aX.b\ 6'D, t'C, le problème sera résolu. L'inv erse s'en déduirait aisément. Ce problème est susceptible de huit solutions,

( i8 ) d<?ux pour lesquelles l'augle a correspond au côté AB , et deiix pour chacun des autres côtés du quadrilatère ABGD.

On résoudrait eucore par Finverse et de la même manière , la question suivante.

Problème. Quatre droites étant données sur un même plan, mener une transversale telles que ie.s trois un rues interceptées soient dans des rapports donnés.

i3. Dans l'exemple précédent, le rapport des deux figures semblaljles exigées parla méthode inverse, est absolument indéterminé ; mais or. peut lier quelquefois ces deux parties, de manière à faire disparaître cette indétermination ; la construction n'en est que pins élégante , et il n'existe plus, pour ainsi diie , rien d'indirect dans l'analyse de la question proposée. Soit proposé de construii'e un cercle assujéti à passer par deux points donnés, et à couper une droite sous un segment capable d'angle connu.

Si ^1 et N sont les deux points donnés (fig. 5), AB la ligne donnée , que MNAB soit le cercle (jui satisfait à la question; on pourra construire sur MI^ wïx segment capai)ie de l'angle cxmaw^Ql û l'on conçoit prolongées les lignes BN, Ai\î ius<:ju'ala rencontre de ce lieu géométriqoe en A' et B', il sera aisé de prouver que les quadrilatères MiNAB, &L^'A'B• sont semi>lables, et les lignes AB, A'B' parallèles. Soit C le centre du cercle inconnu^ C {;elui du cercle iMl^A'; Us se trouveront tous les deu.^ sur la perpendiculaire élevée sih le milieu de MN, kqueile droite viendra couper la ligne AB en un point P, situé dans la figure ^vINA, de la même manière que le point?' d'iutersection de CP' perpendiculaire sur AB

( ^9) €t de MN, Test dans la figure semblaLle KMA'. Or, les points P, P' sont faciles à déterminer; le point A' de la figure A'B'iN , homologue au point M de la figure MIN' A , sera connu, en faisant l'angle C'P'A'=CPM. Connaissant le point A', la ligne A'B' parallèle à AB, et les droAtes B'MA, A'JNB achèveront la solution. Avantage de la Géométrie,

14. S'il n'est aucune marche tracée pour la recherche de îa solution à\m problème, par la simple considération des figwes, cette mcertilude est peut-être une des grandes richesses de la Géométrie. 11 arrive souvent eu effet, qu'en suivant une certaine route pour alln, à la découverte, on rencontre la solution d'un problème difTérent du proposé, (ju'on n'eût sans doute pas trouvé aussi facilement , s'il se fut agi de le résoudre directement. Qui doit-on donc le plus admirer, ou du calaii <Tui commence ses travaux avec confiance, et finit presque toujours par répondi^e à la question, ou de la Géométrie qui part sans rien pîx)mettre, et revient quelquefois offrir avec la solution du problème , celle de plusieurs autres qu'on ne lui demandait pas, et qu'elle a recueilli sur son passage?

Dans la proposition précédente, la similitude des deux quadrilatères ABi\ÎPJ, A'B'MN et le parallélisme des lignes AB et A'B', fournissent un moyen très simple de construire un qimdjilalère inscriptible dans un cercle lorsqu'on en connaît les quatre côtés.

Soient les quatre côtés MA = a, AJB=:5, BN=c, MIN =: d. D'après les considérations précédentes , ou

iiuraAB=:^,AB'=rt4-'^'^,A'B'=^\A'B=:c4-^

"pour les quatre côtés du trapèze ABA'B', à la construction duquel se réduit le problème proposée. On peut Irouver directement ces c[uatre lignes en fonction des données, par une construction très simple; il snffit de i'onner un quadrilatère quelconque, avec les quatre longueurs donné/3S , sur le côté d comme liomologuc au côté è, construire un quadrilatère sembiaWe ■ les lignes

a L) ^xj^l seront les homologues de a, c, d; pour

trouver le trapèze ABA'B', soit conçue B'Q parallèle à A'B, AQ sera la différence AB — A'B', AB' le côté a

-|- V , B'Q le côté c + ^ , on pourra donc construire

à priori le triangle AB'Q^ par smtele trapèze, et enfin le quadrilatère inscrit proposé.

On déduira aisément de la solution précédente, la démonstratic»n de ce théorème.

TiiÉOBÈME. Dans tout quadrilatère inscrit, les diagonales sont entre elles comme les sommes des rectangles y des cétés qui aboutissent à leurs extrémités.

En effet , les triangles AJNB', A' MB sont semblables €t donnent les proportions AJN : JMB :: AB' : BA'::a

"^ ■r^\C'\-~r-llah-^cdlcb'^ ad,

jLieux géométriques.

î 5. Les questions de Géométrie se réduisent pi'esque toujours à ia recherche d'un ou de plusieurs points. Un point est ordinairement déterminé par l'intersection de deux lieux géométriques, sur iestpjels il jouit de deux propriétés différentes et réunies. Ce n'est guère fpie lorsque ces lieux géométriques ])euveat se réduire à la ligne

droite on an cercle, qn'il est possible d'employer ime analyse purement géomt'tri({iie , pour déterminer le point demandé, attendu que les constructions syntliétiques ne sont regardées comme rigoureuses, qu'avec l'emploi de la règle et du compas. Or, comme les propriétés de tous les points d'un lieu géométrique, sont les seides qui puissent donner lieu à son emploi, et que les propriétés de la ligne droite et du cercle sont très limitées, on conçoit aussi une limite pour la quantité de problèmes de Géométrie qu'on pourrait résoudre avec la ligne droite et le cercle , du moius dans ce qui concerne la détermination d'un ou de plusieurs points; il est même beaucoup de ces problèmes que l'on pourrait attribuer à la Géométrie pure, parce que leur construction ne suppose que la connaissance de ses premiers élémens, et qui n'en ont pas moins été déduits de rAnalyse algébrique. 11 est vrai que la Géométrie conduitauxmèmes résultais : mais dans ce cas, son analyse participe un peu des propriétés pour ainsi dire enigmatiques delà syntbèse; c'est le grand défaut de la Géométrie quand elle veut concourir avec l'Algèbre.

i6. En un mot, parmi les lieux géométriques, il n'est guère que la ligne droite et le cercle, cojisidéré surtout comme segment capable, dont on puisse attribuer la découverte à la Géométrie. C'est en étudiant leurs applications à la solution des problèmes, sur-tout à la construction des triangles, qu'on a dii remarquer l'immense avantage des lieux géométriques , et c'est sans doute cette remarque qui a donné naissance aux recbercbes faites sur les sections coniques, et enfin à cette analyse sublime de Descartes, où d'une propriété corn-

mime à tous les points d'une courbe, on déduit son expression analytique.

Pour donner cependant un exemple de la découverte d'un lieu gétunétrique, par la seule considération des données, soit proposée la question suivante :

Problème. Trouver le lieu géométrique décrit par un anneau pesant M (fig. 6) mobile sur une corde QMG de longueur consUinte 1 , dont une extrémité C est fixe , et l'autre Q assujétie à descendre suipant ufie verticale A\ .

La direction verticale d'une force iaipriméeà l'anneau mobile, doit diviser en deux parties égales l'angle QMG, formé par les deux cordons partiels QM , MC ; c'est-à-dire que si on prolonge la ligne CMQ' jusqu'à la rencontre en Q' de la verticale AV, le triangle QMQ' sera isoscèle ; on aura doncQM =:Q'M et CQ'= QM -f CM = /; le lieu géoraétricpie demandé est donc la droite CQ' hvpoténuse du triangle rectangle ACQ', facile à construire, puisque AC et GQ'= / sont connus.

11 arrive souvent qu'en étudiant les propriétés d'une figure, les cas particuliers d'un théorème, on découvre comme par hasard un lieu géométrique ; la méthode qui l'a ainsi déterminé est toujours analytique , puisque le raisonnement seul y conduit. Par exemple, en étudiant les propriétés des tangentes commîmes à deux cercles, on pourra conclure la réponse à la question suivante :

Problème. Etant donné un point et un cercle, trouver le lieu géométî'ique du point qui partagerait en deux parties s dans un rapport constant ^ la ligne menée du point donné;, à Vun quelconque des points de la circonférence

Qaoi qu'il en soil , comme il ne faut ])as toujours s'attenche à ces découverte\s dubasaid , lorsqu'un lieu géométrique est proposé, il vaut mieux le. chercher d'abor<t par l'application de FAlgèbre à la Géométrie; et s'il participe de la ligne droite ou du cercle, on pourra ensuite interroger la Synthèse pour vérifier la solution.

Toute propriété du cercle ou de la ligne droite, trouvée par l'Analyse algébrique, et înise au nombre dts propositions géométriques, soit par la Synthèse, soit par toute autre méthode purement géométrique, doit reculer les bornes de la science de l'étendue, dans la solution des probièmefi, puiscpi'elle lui fournit de nouveaux lieux géométriques, ou pour ainsi dire de nouvelles coordonnées pour déterminer les points inconnus. Si on voulait conserver à la Géométrie l'honneur apparent de la découverte , il faudrait laisser en trevoir la route qu'elle eût pu suivre pour y arriver: mais cette nou\ elle méthode analytique serait peut-être aussi loin de la route naturelle de l'inventeur, que la Synthèse même.

Par exemple, l'Algèbre seule à du trouver que le lieu géométrique du point dont les distances à deux points donnés, seraient dans un rapport constant, est une circonférence de cercle; la Géométrie pure n'a feit que le prouver ; et si Ton voulait forcer son analyse à donner le même résultat , elle consen'erait toujours une certaine apparence éniginatique, qui dévoilerai t son impuissance.

On pourrait en effet aborder ainsi qu'il suit, la recherche de ce lieu géométrique : soit M (fig. 7), un des points du lieu géométrique, AetB les points donnés tels que l'on ait AM:MB :: a: ^ rapport donné; la ligne MN qm opère labisection de l'angle M, passe constamment

parle pointN , f{ui partage ABen deux segmens Ai^ elBN, proportionnels aux lignes et et Q. Si l'on conçoit ^P parallèle a BM, jNQ à AM, le parallélogramme MP]NQ sera lui losange; la diagonale FQ sera donc perpendiculaire sur ie milieu de JVIN; si donc O est son point de rencontre avec AB , on aura ON =nOM ; d'ailleurs le parallélisme des lignes AP et INQ, QB et PN donne ON:OB : : PIN : QB : : AN : BN ; la ligne ON ou OM ne dépend donc que des segmens constans AN et BN , elle est donc constante. Le lien géométrique demandé est donc un cercle facile à déterminer. On ponn^ait sur AN et BN construire des triangles équilatérau^x ; la ligne qui join-» drait leurs sommets irait passer par le ceTitrc O du cercle cherché, dont ON est le rayon.

Si l'on proposait, étant donnés quatre points A, B, C, 1) tin ligne droite, de trouver hors de cette ligne un point X tel, que les lignes AB, BC, CD, y soient vues sous un même ande, la recherche du lieu oéométriouo précédent donnerai! pour la construction de ce problème, l'intersection de deux cercles*

Algèbre,

i j, Concluor.s cependant que , iorsf[u'il s^agit de déterminer un lieu géométrique, la position d'mie certaine ligne, d'une certaine surface, par rapport à d'autres ligues, d'autres surfaces données, on doit préférer Tapphcation de l'Algèbre à la Géométrie. Cette méthode consiste principalement à mettre les probîèrjies en équation, c'est-à-dire, à l'énoncer aloéhvif|uement. 11 faut easuitemanierleséquations, les données primitives, de façon à obtenir des résidtats prompts et satisfaisans, butque

l'on n'atteint pas aisément. Cependant la marche siVeel méthodique de cette analyse, la symétrie, la variété des éliminations, conduisent à des équations finales où la réponse à la question se trouve écrite. Ainsi parvenu au résultat algébrique, il reste à le traduire dans le langage de l'énoncé proposé; c'est là le terme, le fini de l'ouvrage; mais souvent l'écueil du Mathématicien, un obstacle que la solidité du raisonnement peut seule surmonter.

Il ne faut pas croire cependant, que cette partie soit toujoiursla pierre de touche de la sagacité mathématique. 11 est des résultats extrêmement simples , des problèmes dont l'Analyse semble se jouer, et pour lesquels elle ne croit pas nécessaire d'avoir des secrets; c'est sur-tout qiiaiid la Géométrie simple peut répondre d'elle-même à la question, que l'Analyse est si docile; cette dernière est en effet le guide du Géomètre ; et cpiand il s'avise de marcher sans elle vers im but quelconque, elle semble lui prouver, par sa simplicité, qu'il serait arrivé plus vite s'il eût suivi ses conseils.

11 faut étudier renoncé d un problème de Géométrie , avant de l'exprimer erji Analyse; commencer par éciire les données , par les mettre en équation. S'agit-il d'un point? deux conditions, deux coordonnées suffisent pour le déterminer sur un plan ; il en faut trois lorsqu'il est situé d'une manière quelconque dans l'espace. S'agitji d'un lieu géométrique continu? il sera exprimé par une ou deux équations entre trois variables. Si c'est ime ligne plane , il suflit d'une seule écpiation qui établisse une relation entre les deux coordonnées dechacim de ses points. C'est ainsi que l'Algèbre traduit un énoncé géo-

métrique dans son propre langage , pour le présenter, pour ie travailler ensuite à sa manière.

Viennent ensuite des éliminations, des transformations, dont Futilité n'est point incertaine; il ne faut jamais perdre de \ue le résultat désiré, chercher constamment le plus court chemin pour y arriver. La Géométrie, lorsqu'elle est seule employée à la recherche d\mG solution, dévie souvent de sa route, pour alkr à la découverte; la bonne Analyse au contraire, connaît l'endroit où elle doit frapper, et s'y dirige sans détours.

Après avoir tracé les différent es périodes de la solution des problèmes par l'Algèbre, je vais les parcourir avec plus de détails, et chercher à lever les diilicultés, à résoudre les cas particuliers qui pourraient se présenter.

Notation.

iS. Dans le calcul, il faut toujours choisir îcs notations les plus avantageuses ; soit pom* aider la mémoire, soit pour abréger les éliminations. Autant il serait ridicule de faire consister dans de simples conventions, la majeure partie des Mathématiques, autant il serait exagéré de les en bannir entièrement. Elles détruisent quelquefois l'aridité du calcul, et l'on pourrait dire que la notation est à l'Analyse, ce que Van-angement et le choix des mots est à la clarté du style. Avec son sec4)urs, 5es <ialculs les plus longs deviennent une somme de transformations semiilables , et il ne faut plus pour achever le tout, que la patience de répéter la partie principale. C'est avec de pareilles inventions que l'Analyse aluébxiqucj si pénible dans son origine, est parvenue

(27) au point de donner des leçons de simplicité à la Géométrie même.

19. Quand les données d'ttn problème peuvent être placées par rapport aux axes coordonnés , de manière à simplifier les équations , sans en troubler la symétiie, il faut toujours eii profiter ; mais si cette simplification de position anéantit cette mêrae symétrie , en détruisant les quantités qui pouiTaient la faire apercevoir, elle n'est plus qu'apparente , et il vaut mieux placer les axes coordonnés d'une manière arbitraire. Si l'équation finale est plus longue, la similitude de ses termes, non seulement donne îe moyen de la retenir plus fiicilement quand l'importance de son usage l'cT^ige, mais encore procure l'immense avantage de pouvoir y lii^e plus facilement la réponse à la question proposée. C'est une phrase longue sans affectation , qu'on doit préférer à une plus courte , mais souvent moins intelligible.

Expression analytique de la communauté d*^intar&ection des lieux géométriques.

30. La mise en équation d'un problème de Géométrie ne se réduit pas toujours à la récapitidation des données^ souvent il existe des relations à exprimer, des équations de condition à obtenir, avant d'aborder la r^cbercbe de la solution. On ne surmonte pas toujours avec ime égale facilité ces obslacles préliminaires ; souvent la longueur et le nombre des éliminati on s à efiéctuer, pour exprimer une partie d'un énoncé, le fait rejeter entièrement^ et il arrive en cela, conmie dans beaucoup d'autres circonstances, qu'un abord peu flatteur faU mal soupçonner du reste.

Une de ses cliiTicuÎTés premières , est d'exprimer quVm point ordinairement donné par l'intersection de deux lignes, se trouve en même temps sur mi troisième lieu géométrique; qu'une ligne toujours déterminée par \ ensemble de deux surfaces, leur est commune avec ime troisième.

J'essayerai de lever cette difficulté, en m^appuyant sur ce principe évident ; que si l'on combine les équations de deux ]ieux géométriques d'une manière quelconque, l'équation résultante exprime un troisième lieu géométrique, sur lequel se trouve l'intersection des deux premiers. De ce que cette combinaison peut se faire d'une infinité de manières, je conclurai que si l'intersection de deux courbes , de deux surfaces , doit se trouver sur vme troisième courbe, une troisième surface donnée, il doit exister une équation comJjinée de celles des deux premières courbes, des deux premières surfaces, qui exprimera la dernière courbe, la dernière surface donnée. Tout se réduit donc, dans tout les cas, à trouver de quelle manière doit s'effectuer cette combinaison.

Je supposer?! d^abord que les trois lieux géométriques soient du même dej>rés D, je désignerai par £=0, E' = o, E"=o leurs équations. Si on multiplie respeclivement les deux premières par deux indéterminées m et 7n\ et qu'on les ajoute ensuite, l'équation mE -j-w/E' = o, résidtante de celte combinaison , sera du même degré que les équations proposées, et pourra représenter, vu l'indétermination du rapport --7, tout lieu

géométrique du degré D, passant par les intersections des lignes ou surfaces, représentées par les équations

( =9 ) F.==o, E'=o. Mais puisque le lieu géométrique du degré D, dont l'équation est E''=o, doit aussi passer par ces mêmes intersections, il doit aussi pouvoir être représenté par l'équation mE -f- tu'E' m o ; on peut donc disposer et du rapport et de l'une des deux indéterminées m et m', pour identifier les polynômes ttiE -f- m'Ef et E"; ce qui conduira en général à autant de relations entre m, m\ et les coefliciens des équations proposées, que l'équation du degré D entre deux ou trois variables, peut admettre de coelliciens. Si on élimine ensuite les indéterminées m et m', on aura les relations définitives qui doivent exister entre les coelïïciens des équations proposées , pour exprimer analy tiquement la communauté d'int«rsection des lieux géométriques qu'elles représentent.

11 est aisé de voir que dans le cas de trois lignes du degré D, situées sur un même plan, on parvient à [7(D-{-i)(D4-2} — 2] écpialions de condition , et que pour exprimer que trois surfaces du même ordre ont même ligne d'intersection , il faut [rri (D-f- 1) (I^ -f- ^) (D-f-3)— 2] relations entre les constantes qui les déterminent analy tiquement.

Si l'on voulait exprimer que quatre surfaces du degré D, ont mêmes points d'intersection , en supposant que leurs équations fussent E = o , E' = o , E"= o , E"'= o ^ on démontrerait par des raisoanemens semblables aux prérédens , qu'il doit y avoir identité entre les polynômes mE-f-m'E'-f-w"£" et E%m, m\m!' ét^nt indéterminées. L élimination de ces trois constantes entre les équations qu'exigerait cette identité conduirait à [rh ( D -4- 1 ) (ï> -i- 2) (î^ 4- 2) — 2] relations entre les

(3o) coeffîcieos des quatre équations proposées, îesquelies devront être satisfaites , pour qu'il y ait commvmauté d'iiitersection entre les quatre surfaces qu'elles représentent.

Le principe ci-dessus énoncé, n'exige pas, pour être appliqué, que les lieux géométriques proposés soient du même degré. On peut encore exprimer les rencontres communes de lieux géométriques de Familles diiiérerites. Par exemple, lorsque deux sections coniques doivent avoir leurs point3 d'intersections sur mie seule ligne dioiîe, on peut chercher la combinaison de leurs deux écpjationjs , qui poiurait être identifiée à une équation représentant la îigiie droite; l'élimination de l'élément indéterminé de cette condjinaisoU; conduii'aàdes relations analytiques, entre les constantes qui déterminent ia forme et la position respective des deux courbes j conditions qui existeront nécessairement, toutes les fois que deux courbes du setrond degié devront avoir leurs points conununs situés sur une même ligne droite. On peut effectuer cette combinaison, soit en i'aisant desceadre le degré de l'équation combinée à celui de la ligne droite, par la nullité des quarrés et rectangles des coordormées: soit en faisant au contraire monter le de^ré de l'éffîiation de la ligne droite , par tine composition nulle de deux facteurs égaux aussi nuls par eux-mêmes. Ces diÔérentci^ manières de combiner les équations proposées, pour exprimer les conditions demandées, condoJsentà des résultais différens, ce qu'on exphque aisément en résolvant ia question sous ces deux points de vue.