Tel est le moyen d'élimination que Ton peut

(3. ) employer , pour «exprimer analy tiquemt nt la commù' nauté d'intersections de plusieurs lieux géométriques. En traitant ce sujet, mon principal but est de faciliter la traduction analytique de divers énoncés; si je m? réussis pas complètement, je crois dumoins que les propositions suivantes, qiù en dérivent aisément, peuvent conduire à las()lutioD d'im grand nombre de problèmes curieux ;€t que d'un principequin'est rien enlui-même, je déduis des corollaires dont i'utiiitén'est pas incertaine.

Problème 1, Trouver les conditionsTiéce&saires pour çue trois droites passent par un même poifU

Solution. Soient les équations des trois droites, ainsi qu'il suit :

C X -f- è^ -f- C t=:OJ

dx-^h'y + c'z=^o\ (0; a.".x+b''y-4-cz=c)

Féllminationdsieetj' entre elles, donnera sur-îe'<;iiamp, pour la condition chei-chée , l'équation

o&'c'—* ce' à'' -f* ca'b" —- bac'' "f- £n?'a'*— cà'a*' =o (a)»

Maison peut parvenir au môme résultat, par un procédé Oïl peu différent qui, a la vérité^ r/a dans le cas présent aucun avantage marqué sur celui-là, laais qiii nous sera fort utile pour les autres recherches auxcruelies noîjs aurons ensuite à nous livrer.

Eu prenant la somme des proiiuits des Aen^ premières équations (i) par deux multiplicateurs iiidétemmiea /?j 5 m', il viendra

(am -f- a' m') r 4- (hm 4- b'mf)y -f- {cm -f cmf) = o (^ ,

équation qui. à cause de Fin détermina tien desmïiltipîi' cateurs 772 j m^ est propre à représi^ater toutes les droites

qui passent par l'intersection des deux premières droites (i).

Si donc on veut que ces droites se coupent en un même point, il devTa être possible de disposer des indéterminées m et w', de manière à faire coïncider la troisième équation (i) avec l'équation (3). Cela donnera

am + c'm' = a", hm -\- h' m =î: h\ cm -+■ dm' = c" (4) ; et, en éliminant m et m^ entre ces trois équations, on retombera de nou\ eau sur l'équation (2).

Problème 11, 'Trouver les conditions nécessaires pour que trois; lignes du second ordre se coupent suivant les mêmes points.

Solution. Soient les équations des lignes dont il s'agit ainsi qu'il suit :

car* 4" s^ry 4- ty* -f- zdjc -f aey -f-^" =0 )

c V+ iib'xy+ cY-^ zd^x-^ ae"y-i-f= o j Soit prise la somme des produits des deux premières équations, par deux multiplicateurs indéterminés m et m' ; on aura ainsi

(am + a'm')x*-f-a(èm4-èW)xy-f (cm-j-c'm')y -f- a (^dm 'i-d'm')x+2 {em -f- e'm') y + {fm -\-fm') = 0 ( a) ,

équation qui, dans sa généralité, représente toutes les îigiies du second ordre qui passent par les intersections des deux premières lignes (i).

Remarquons, avant d'aller plus loin, que cette équation pourrait fort bien, en général, appartenir à une parabole; mais de deux manières seulement, puisrpie la condition ( bm -f- b'm'Y = {am -h a' m' ) {cm + c'm' )

déierraine le rapport —, et ne lui assigne uniquement

(33) que deux valeurs. Eemanfuons encore que cette équa-^ tioD ne saurait généralement appartenir k un cercle 11 faudrait en eifet , pour cela , qn'on eut en même temps ,

équation d'où Fou tire

et par suite

Telle est donc la condilion néce:^aire et suffisante pour qn'im cercle puisse passer par les intersections de nos deux coarbes.

^ Mais cette même équation (2) pourra représenter une infmite d'ellipses et d'hyperboles; et si l'on veut en particulier, qu'elle représente la troisième courbe (1) ou, ce qui revient au même, si Ton veut que les trois courbes ( Oaientles mêmes intersections, il faudra qu'on ait a la fois , ^

L'élimination de m et m' entre ces six équations conduira a quatre autres qui exprimeront les conditions cherchées.

Les équations

am + cW^a", bm^bW=:b\ dm + dW==d%

sont (Problème I) celles qui exprimeraient que les trois droites

a'x-irb'y-ird'^o,

concourent en un même point. Mais on sait d'ailleurs

que cliacune de ces dernières équations est celle du diamètre de chac^ue combe, qui coupe en deux parties égales ies cordes parallèles à Taxe des x, et puisque la direction de cet axe est quelconque, on en peut conclure le théorème suivant :

Théorème. Si plusieurs sections coniques ont quatre points communs, dans quelque direction qu'on leur mène des diamètres parallèles, les conjugués de ces diamètres concourront en un même point.

Problème III. Trouver les conditions nécessaires pour que trois plans se coupent suivant une même

droite.

Solution. En supposant que les équations soient

ax -^hy -^ cz •\- â ■=: o\ a'x-^-b'^f-^-c'z-ird' — oS (i),

on parviendra aux conditions cherchées , en exprimant que la somme des produits des deux premières équations, par deux multiplicateurs m, m', est lamêmeque la troisième; on obtiendra ainsi les quatre équations

am -f- ani= a", bm -f b'mf r= b", C.71 -h cW = c', dnt'j->rm':=zd" (2),

entre lesquelles il iaudra élimioer m et m'j ce qui donnera deux conditions.

Deux quelcorjques des trois premières équations (2) jointes à la quatrième, prouvent que les traces de nos trois plans sur on des plans coordonnés, c'est-à-dire, sur un plan qiieicoiique , doivent concourir en lui même point; ce qui est d'ailleurs évident.

PîiOSLÈME iY. Trouver les conditions nécessaires

pour que trois surfaces du second ordre se coupent suivant une même courbe.

Solution. Eïi supposant, pou ries équations des surfaces dont il s'agit ,

et exprimant que la dernière est ia somme des produits des deux autres par deux multiplicateurs indéterminés m, m\ on obtiendra les dix équations

am 4. a' m' = a\ fm -hfm' =:f \ bm 4. b'ni 2= b\ gm +gni ~ g" j cm -f. c'to' = c\ hm -f- h'm' = lA (2) ^ dm 4- d'm' = tf, Am 4. k'm' = A"! eni 4 e'm' -■= e\ Im 4 l'm' = /" j entre lesquelles éliminant m et w', on obtiendra les conditions chercbées, lesquelles coaséquemment seront au nombre de liuit.

La première, la quatrième et la cinquième équation de la première colonne, jointes à la deuxième de la seconde, prouv ent que les trois plans dont les équations sont

or 4<fy 4^^ 4ê' =0) a'x-{-d'y-^e'z'\-g=o\ (3), a*x4 fi'3/4 e"z 4g-''=: o)

se coupent suivant une même droite ; mais ces plans sont les conjugués des diamètres de nos trois surfaces parallèles à l'axe des X, c'est-à-dire à une droite quelconque • on a donc le théorème suivant.

Théorème. Lorsque plusieurs surfaces du second ordre se coupent suivant une même courbe, les plans diamétraux conjugués d des diamètres parallèles de ces surfaces, se coupent tous suivant une même droite,

Si la troisième 6im^\on (i) représentait une sphère, il faudrait qu'on eût à la fois

arr^^ a' m' ^ hm 4- h'm' = cm + c^m^ __

entre les^qnelles élinimanl ^, il viendrait

concluons aa .,.umi.re de quulre, cpii expriment que la commune section des deiix premières surfaces (ij est

surtme sphère.

Problème Y. Trouver la condition nécessaire pour Gue quatre plans concourent en un même point. ' Solution. En supposant que les é({uations de ce^ quatre plans soient

<ix 4- hy ^c% + dr=0\

a"x4.ry4-c"z+d"=or ^'

c'x-^ h^y^ c"a+ rf"= o j on pourrait d'aLord parvenir à la condition cherchée, en éliminant x, y, z entre ces quatre équations; mais on V parviendra également en exprimant rpiela somme des'produits des trois premières, par trois multiphealeurs indéterminés m , m', /n ', est la même que la quatrième; cela donne les quatre équations am -f a'ml + a" m!' - a", cm, -f c'm' + ^^"'"" == ^-l]^ 1 (a),

entre lesquelles éhminant m, m', m", on parviendia é^çalement à la coi'dition cherchée.

Problème YI. Trouver les conditions nécessaires pour que quatre surfaces du second ordre aient les mêmes points d^ intersection.

( 37 ) Soîaiion. En supposant pour les équations des surfaces dont, il s'agit ,

^ ax^ -f- hy -f. es» -f. lâlcy + lexz -f rî/>-r + i^jr -f- i^y + 2A2 + / =»,

il faudra e^priîiicr que la quatrième est la somme des produits des trois autres par les multiplicateurs iiuietermi/iés/7î, m', m", ce qui donnera les dii équations

ram + a'm'+ a^'m" = a'", fm -f/'m' +f'm' —f\

\ bîn 'i-h'm'+ ^m" = b"\ gm 4. g'rrJ -{-^"m" — c"',

(a) Jcm 4. c'm' + c"m" =:= c'", ^nt -f h'm' -f- h'^m'—h"',

I dm -f «i'/ri' 4- rtJW = d", km-^ A'm' 4- /^''/n" = A''',

l ent 4 e'm' 4. «"ni" = e'", Im 4. /'m' 4 /"m* = t" ,

entre lesquelles éliminant /;2, m', m", on parviendra aux conditions cjiercliées, lesquelles sei ont conséqueinment au nomîjre de sept.

Les première, quatrième et cinquième équations de la première colonne , jointes à la seconde de la (':euxième, prouvent (Pjvhîème V) que les quatre plans dont les équations sont

or 4- c?y 4 cz 4* /? = o , c'x4-cry4- e'54-^' = o, a''a:4fZ'-v4e"2.+ff ^=0,

conclurent en im même point • mais ces plans sont les plans diamétraux conjugués aux diamèfres qiu, dans nos sm-faces, se trouvent parallèles à l'axe des Xy c'està-dire à une droite quelconque ; on a donc le tiiéorème que voici.

Théorème. Lorsque des surfaces du. second ordre passent toutes par les mêmes points d'intersection ,

(38) leurs plans diamétraux conjugués â des diamètres parallèles , concourent tous en un même point.

Si la quatrième des équations (i) appartenait à ime sphère, il faudrait qu'on eût

a-n 4- a' m' -f- a'm"= bm -{• h'm' -f h" m" — cm + c'm' -f c'm", dm 4- J'm'-f d'm'=^em + z'm'-Jf e"m"—fm ^fm!.-\-fm'= o ,

jn m

ce mii donnerait en élirninant — , -^, les trois condii mm'

tiens

(a— c)C^e'— e'f/")-f-(û'--r)(^*e-cV)+(a"— c-'')C^e'— erf')=o, • rfe'/' — dfe" -h/d'e" - e</" + efd" ~féd" =o ,

qui expriment que Icsluiit points d'intersection de trois surfaces du second ordrOj se trouvent situés sur une même spl.ère.

Scholie. Puisque la condition de passer par la même courbe établit huit relations entre les cocfliciens des équations de trois siu-faces, que la condition de passer par lys nièmes points n'en établit que sept entre les coeiîiciens des équations de quatre autres surfaces du second ordre; on peut en conclure que les huit points d'intersection de trois surfaces ne sont pas placés d'une manière arbitraire, que le huitième dépend des sept premiers, et enfin que trois surfaces qui seraient a-^sujélies à passer par huit points quelconques, doivent a voir même courbe d'intersection. Le théorème du problème IV a donc lieu pour trois surfaces assujéties à passer par huit points quelconques.

FnoBLÈME Vîî Expr^mf^rque deux sections conîgues ont leurs points d'îjiter section situés sur une même ligne droite.

Solmtcn. Le:* deux sections coniques seront en gé-

( 59 ) néraJ représentées par les deux équations

(ax'^ -f- ^bxy -f- cy"^ + ^dx -f- 2<|y -f-^ r= o ,

toute coml)inaison de ces deux équations qui n'en augmenterait pas le degré sera de la forme

(a) (am -|- a' ni) .r* -f 2 (bm -f b'm') xy -f- (cm -f c'm')jy* -|- a (dtn-^d^m') x-^a («m + e'm') y -f- (/m -|- /"'m') 3=0;

elle représentera un lieu géométrique des poiiils d'intersection des courbes ( i ) ; mais si tous ces points doiv ent se trouver siu- une même ligne droite, il faut que l'équation (2) puisse se réduire au premier degré, pai- l<i disparition des termes en rc*, xy,y*, ce qui donne

(3) am-if a'm' •=^bTn-{- b'm'=:2eTn'\-c'm'=iO y

ou bien encore, se décomposer en deux facteuis égaux en of , j', ce cjui exige que l'on ait les équations de condition

({ciTu -h aW) (cm + c'm) = (brn -f- b'rnf)*,

(4) Uam-i-a'm') (/m-h/'m') = (c^m-f <fm')% [(cm -|- c'm') (/m -{■fm') = {em -f- e'm')'.

Dans le premier cas, l'élimination du rapport —7 entre

Trt

les équations (3) conduit à deux relâtioi\s -7 = - = y?

entre les trois premiers cocfficiens des équations des sections coniques proposées; elles indiquent qu'elles doivent être de même nature et semblables,- leurs axes principaux étant de plus parallèles entre eux. Mais ces conditions ne déterminent nullement la distanceres2>eclivedes centres ou des axes de ces courbes, en sorte que cette manière de résoudie la question démontre ce théorème.

Deux secùons coniques de même natore, dont les

axes sont proportionnels en grandeur, parallèles en direction , n'ont et ne peuvent avoir c|ue deux ]>oints convnums.

Dans le second cas au eonlraire^ V'éliiriinstion du

rapport ~, conduirait à des relations entre les coeiliciens

des équations (ï) exprimant que les sections coniques qu'elle» représentent ont un double contact. Eii effet l'équation (2) peut d'abord être coii sidérée comme i'ensenibls de deux lignes droites, qui finissent par se confondre eu une seule qi'and le premier membre de l'équation qui les représente devient un qiiarrë parlait. Tant que ces lignes sont diitérentes . elles ioignent deux à deux îesquatre points eoïiiînuBs aux deux sections coniques, et l'on, concevra aisément d'après cela, que ces courbes doivent avoir un double contac;t quand les dreites s« confondent en une seide; cette réunion ne pouvant avoir lieu sans que les quatre poims d'intersection se coidondenl aussi deux à deux.

Celte dernière manière d'envisager la (raeslioa, fouînit une méthode pour trouver \a position des axes principaux d'une vSection conique En effet, si l'une des seclions coniques proposé 3s est un cercle de ravon R, dont îe centre ait pour coordonnées a,o , on pourra éliminer

entre les équations de condition (4), le rapport —7 et le

rayon E. la dernière équation en <* ; ^;, représentera le lieu géornétiique de.s centres de tous les cei-cles qui pourraient avoii un doivble contact avec la section comqut» donnée, et ce lieu géométrique est, comme on le sait d'ailleurs, l'ensemble des deux axes principaux. On résoudî'ait deux problèmes analogues aux précé-

tiens, en cheieliant les conditions nécessaires pour qiTO deux surfaces du second ordre se coupent suivant une coMibe plane. Si l'on exprime que la combinaisoQ des cqvialionsde ces deux surfaces doit se réduireà une équalion du premier degîé,parla disparition des termt^s d'un degré supérieur , on démon trsira ce théorème , que , Deux surfaces du second ordre de nxéme nature, dont lesaxeî seraient proportionnels en grandeur, parallèles en direction, quelle que soit d'ailleurs la distance respective de ces mêmes axes, ne peuvent se couper que vSuivaot une courbe plane. Si au contraire on veut que la combinaison du second degré des équations proposées, se réduise à rensend)le de deux plans conlbndus , on aura des relations analytiques exprimant que les deux surfaces sont tangentes suivant une courbe plane, ou plus généraiement tangentes entre elles.

23, Cette manière de combiner les équations peat erux»re servir à exprimer la nature particidière de certâUiS lieux géométriques. C'est une partie d'un éconcé qui exige souvent de lon^ies rfcherc'nes.

PpOBLrirE I. Exprimer qu'une surface du second ordre est cylindrique.

Soit l'équation de cette surface

î. =: Ax^-^' Ay '\- A"a» -f- zVyz 4- aB'xa -f flC"a;y -^ aC.c -f- ûG'j -f- aCz-Jh D == Oi les coordonnées du centre seront données par les équc^r

tKJUS

dL dL

i. ~ ~ Ax 4- B'v + B'a + C = 0 tk dx < -'

^ dy -r j ^ >K ^

l . ^^B'a 4- Bv + A''z. -fC-;:zr G \

elles représentent trois plans diamétraux de la surface ; si elle est cylindricpie , ils doivent se couper suivant Taxe j l'une quelconque de ces équations doit donc êtie une conséquence des djeux autres. Si doac on nrîultiplie la première par m, la deuxième par m' et qu'on les ajoute, on pourra disposer des indéteiminées m et m' pour que cette somme soit identique avec la troisième. Si donc on élimine m et m' entre les quatre équations

Am 4- 6"^' = B', B"m + A'm = B , B'm + Bm' = A", Cm + Cm = C" ,

on aura deux relations pour l'expression demandée- . .

(AA' — B"') C"-f (B'B" — AB ) C -h (BB" — A'B') G" = o, (A'A' — B^ ) C -f- ( B'B — A'B")C' -f- (B"B — A'B') C" ~: o.

Problème II. Exprimer qu'une surface du second ordre est conique.

Dans ce cas, lé centre est situé sur la surlàce, et il feut que l'équation L = o, et les équation& (a) aient lieu en même temps- la premièie peut se mettre sous la forme

X (Ax + B"j +B'b 4- C) -fjv (B"a:-f- A'^ 4- Bz -}- C") + z(B'j:-f-Bj/4-A"6H-C") -f- Ca--f C>-f C''z+D = o,

et en vertu des trois autres , se réduit à

(b) Cx + C'y 4- C"z 4- D rrr o; de sorte que pour achever la solution , il suffit d'exprimer q>ae les quatre plans (a) et (b) se coupent en un même point.

Problème III. Exprimer qiiune surface du second degré est Vensemble de deux plans.

Dans ce cas . des quatre équations (a) et (b) , deux quelconques doivent être une conséquence des deux autres; ce qui donne quatre relations.

( 43 ) Si les plans sont parallèles, deux quelconques dea équations (a) sont des conséquences de la troisième j on a B'B"=AB, BB^r^A'B', BB'r=A"B", BC = B'C' = B"Cr.

Problème ÏY. Exprimer qu'une surfacs du second ordre est de réuohttion.

Soit toujours L = 05 l'équation de la surface; soient a,b,c, les coordomiées du centre ; l'équation de la surface pourra se mettre sous la forme

(i) A (x— a)^4- A'(j— Z,)='4- A"(z— c)"'-f gB(v — ^) (z—c) -f 2B' (j;a)(z— h:)-4-2B"(x— ^) {y—b) "|-iy=o.

Si la surface est de révolution, il faut que la sphère qui âujait pour équation

la coupe suivant deux cercles, dont les plans seront perpendiculaires à l'axe de révolution, et situés à égale distance du centre. Soient

les équations de l'axe; ceUe des deux plans perpendiculaires seront de îa forme

(s — c) + m (jc — c) 4- « (^ — i) = «-, (z — c) -f- m (x — • a) -f- " (^ -~ ^) = — '**

et leur ensemble sera représenté par Péquation

(3) 7n%x — a)*4.n=( j— hy -f (^ — c)" •+- 2n(y— J) (z— r^ -f- 2m(x — a)(2.— c) -f-2mn(a>— g)(^. — B) = «'

Les trois îieuxgéométriqiîes(i), (2), (3) doivent donc «voii'même intersection; il faut donc qu'en multipliant la première par l'indéterminée P, îa seconde par Q et les ajoutant, le résultat puisseètre identifié avec îa troi-

( 44 y sième^ ce qui conduira aux équations

QR" = PD' 4» «*, AF 4- Q = 771% A'P + Q = «% A"P -f Q = 1 ,

BPz=:rt, R'P = 77Î, B'P = ni?7;

îa pr esûière indique la relation qui doit exisier entre R et a j et corume ie lesullat doit être indépendant de ces quantités, il suifira de coiisidérer les sbc dernières j si donc on élimine P. Q, ttz-, «, ie résultat se composera de deux équations qui constitueront l'expression de*

mandée

BB"- (A" ~ A ) — B' ( F/ — B - ), B'B" (A' — A'; =r. B (13'^ — B'"0.

Ce résidiatétantiiidépendant des coordor.iiéesdu centre, a encore lieu pour exprimer qu'un paraboloïde est de révolution.

Tliéorie den Transversales.

23< Dans toutes les applications précédentes nous avons nommé ligne du second degré , tout jieu géométrique indiqué par une cquadon à deux coordonnées x et y élevées seulement aux deux premières puissances, et surfaces du second ordre , toute surface qu'une équation du deuxième degré à trois variables pourrait représenter. H suit de là, que l'ensemble de deux lignes droites est compris dans la première dénomination, que l'ensemble de deux plans est une surface dusecond f rdre. C'est peut-être pour ces réunions de lieux géométriques du premier degré , que l'Analyse a le plus besoin des théorèmes que nous venons de démonher. Les proljiémes les plus utile? qu'on puisse lui proposer, regardent souvent la bgne droite et le plan 3

elle ne doit donc pas négliger tont ce qu'eile peut apprendre sur la transformation de leurs équations.

En génénd , quand on doit considérer les intersections d'un ensemble de deux lignes droites avec des lieux géométriques du second degré, il est plus simple d'exprimer cet ensemble par une même équation ; on diminue par ce moyen le nombre des éliminations; souvent même cette conformité du degré des équations à combiner peut seule conduire à un résultat prom[>l et satisfaisant; on dirait que l'Analyse se plîut à mettre en rapport des lieux géométricpies d'une même classe, et qu'eile montre au contraire de la répugnance à rapprocher des classes différentes.

Pour donner miepreuve frappante de Futilité de celle remai'que, nous ferons voir avec quelle facilité l'Analy-'e peut démontrer les principes de la théorie des transversales.

Problème. Si par un point fixe pris sur le plan d'une section co?iique donnée, on mène deux sécantes d cette oourbef que Von joigne par des droites les extrémités réciproques des cordes résultantes, quel sera le lieu géométrique de V intersection de ces nouvelles sécantes?

La ligne du second degré donnée peiil , dans tous les cas, être représentée par l'équation

Soit a, é^les coordoimées du point M donné, ol\ C celles du point M' dont on cherche le lieu géométrique j rensemble des deux premières sécantes aura une équation de la forme

(a) (y — ?)M 2A(x--4)(^-.ff)4-B(r~«)"=:o; les deux autres seront représentées par une autre équa-

tlon analogue, (3) (^ ^y + zX' C:r — Ci') (y — r) -f B' (£™-«0* = o.

Les lignes (1)5 (2), (3), devant avoir mêmes points d'intersection, on devra avoir entre les cc«iïiciens des équations qui les représentent, et les constantes arbitraires m et m\ les six relations

/ m^m = 1 > TïiA-hm'A* = o , mB-^mfB' = p j,

Si l'on snLstitue À' et B' en fonction de A et B dans les trois dernières, elles deviendront

^Sa ^ ^'^^ 4. mA(« 4- ctO (S -. S') -j- (^ 4- ^)(* - « )

réliminatioîi de À et B entre ces trois équations con» duit à

considéraBt c-ae (:-r^ + ?7^') = i en vertii de la première des équations (4) ? on aura

(5) g^'4.p«»'--^c?(*-f «t')î on en dédoit qaie le lieu géométrique demandé est une ligne droite. Si le point donné £r, fe^ est extérieur à la courbe (0> ^a droite (5) joint les points de contact des deux tangentes menées par ce point à la section conique. Celte réponse à la question proposée fournit uu moyen de mener des tangentes à une section conique donnée par un point ex-térietir, sans autre u^age que celui de la règle. Par le point donné M (fig. 8) , on niè- 3iera deux sécantes quelconques MAB, MA'B'3 on join-

(47) dra AA', BB'3 AB' et A'B, le point d'intersection des denx premières droites, celui des deux dernières devant être situés sur ia ligne qai joint les points de contact, cette ligne est déterminée, et son intersection avec la courbe donnée déterroinera aussi les points de contact, et par suite les tangentes.

Si la section conique était Tensemble de deux lignes droites, la nouvelle droite que Fon obtiendrait pour le lieu géométri({ue , irait nécessairement passer par l'intersection des deux premières. On peut déduire de cette remarque une solution gi-aphique de ce problème. Par un point donné, mener une droite qui aille passer par le poinl de concours de deux, autres droites données qu'on ne saurait prolonger.

L'un des points M, M' pouvant être supposé situé à l'infini, on peut regarder comme démontrées les deux propositions suivantes, dont la première nous sera très utile par la suite.

Théorè3îe. Si l^ on Joint deux d deux les extrémités réciproques de deux cordes parallèhs d^une section conique f les points d'intersection de ces noupeltes sécantes seront situés sur le diamètre oui divise ces cordes en d^ux parties égales.

Théorème. Si les deux ligneshc, b'c'(fig. 9), soniparaïîèles à ht basa BG du triangle ABC^ les droiteshc' ^ hc' se couperont sur la ligne gui Joint le sommet A et le milieu de lu base du triangle.

hdi réponse h la qiiestion précédente pourrait se déduire de la solution du problème suivant , analogue,

PaoBLÈME. Deux cônes du second degré et une sur-^ face du même ordre ^ ayant une intersection commune ^

si le sommet de l'un des cônes reste fixe, que la troi- ^ièifie surface soit aussi constante déforme et de position, quel sera le lieu géométri<jue du sommet du second cône ?

Les équations des troià surfaces seront, en représentant par x\ y\ z\ x'j y*', z*\ les t-oonlonnées des sommets des deux cènes ,

(s) (X— x')'^-f o'Cy— y)*+i'(2— -iiTH-a«^'(^-<c') (.y-y') (3) px' -f- qy'' -i- ^■2'* -— ^^ -h 2(}'.

Chi exprimera que ces trois surfaces se coupent Sïdvanl une même ligne , au moyeu de dix ndations entre les f.\)ciliciens «, Z\ c, etc., a', b\ c\ etc. , p, g , r, «, i, et deux indéterminées m et m', si l'on élimine entre ces dix équations neuf des dix coefficiens a, b, c, etc., a' y 6', c' ... ; le résultat sera indépendant du dernier ei des constantes m et m', et l'équation iinale

(4) pjfx" + qy'f -i- rz'z" == s (x 4" ^" ) -f * (y -H /. ) .

indique que le sommet «"^jk"? 2" ^sl constamment situé sur un même pian. Lorsque le somme! fixe (x', y\ z') est extérieur à la surface (3) , ce plan est celui de contact avec la sut face (3) du cône de tangence qui aurait sou sommet au point {x\ y\ %'). En effet, si l'on désignait par x\ y\ 2' les coordonnées courantes; par x\y\ z" celles d'un point de la surface (3), son plan tangent en ce point aurait pour équation, l'éipiation (4); si au contraire a;', y\ z' sont constans, pour exprimer que le plan tangent doit passer par im point tixe, cette équa-

(49) Hon exprime îe plan sur hr^^d se trouvant tous les points de contact .r', j'", £".

L'un des cônes pouvai;t se réduire à l'ensemLIe de deux pians, on peut regarder comme démontré que :

Si un cône du deuxième degré ayant son sommet ea un point m, coupe nue surflîce di/îiiéme ordre suivant

deux courbespîaues, les plansdecesdeuscourbesetcelui de contact du cône de taiigence, à la surface donnée, ayant son sommet au point m, se couperont tou^ trois' suivant une même ligne d; oile.

D'ailleurs on sait tpie si le sommet d\in cône tancent à une surface du second ordre, se meut sur une itne droite donnée, le plan de la courbe da coiiiact pas^e^a toujours par la droite qui jomt les points de contact des plans langens à la surface menés par la di'oite donnée. Ou peut donc encore regarder comme démontré parla solution précédente, i\ que si le sommet ix',y, z') du cône (i) se meut sur une droite donnée, le sommet (»",/', z") du cône (3) se mouvra sur une seconde droile, laquelle passera par les points de contact des plans tangens à la surface (3) menés par la première di'oite.

2'. Que si l'intersection d'im cône du second deoré, et d'une surface du même ordre se compose de deux courbes planes, que les plans de ces courbes passent par une droite donnée, le sonunet du cône sera situé sur la droite qui joint les points de contact avec la surface des planstangensm.enés par la bgne fixe. Enfin , dans ce dernier cas, si parla droite qui joint ces points de contact, on conçoit un plan quelconque, qid couperait la siuface suivant une section coni>jue, le cône suivant

( 5o ) âevx arête?, les plans sécans et tangens smvant des lignes droites passant par i.in même point, on pouna condare aisémeat Ja solution du probiéme analogue, relaùf aux courbes du second degré qui est résolu diiecteriieril ci-dessus.

Toutes les fois qu'il s'agit de résoudre deux problèmes analogues, l'un dans l'espace j IVatre sur le pian, ilvatit mieux commencer par réi»<:>udre celui de l'espace ; sou- %enlon en déduit ria;oureusement la solution demaiidéc sur le plan, tandis quen résolvant d'abord la question la pluij siîïtple, on ne ferait qr.ie deviner l'autre par anaiogie, 11 y a même quekpjeîbis de l'avantage à trailer d'abord le problènie de l'espace a^iaîogue à ^xtx problème proposé seulement am- le plax\; par exemple, on ignorerait beaucoup de solutions éiégantes du problème du cercle tangent à Ixois autres, si leurs iiivenletjra ne les avaient été chercjier dans les sphères. îl est yrai qu'en généralisant ainsi uii problème, oapeut le rendre plus compliqué; mais aussi cette généî-alité donn.e-t-eîie une soiulioR phiB appiicîilfle à toiAS les cas pardculiei^s de l'en once. C'est . pour ainsi dire , une question (FA rithûiétique résolue par l'Algèbre; pom* obtenir xme foruiMle. où se trouve écrite 'a répjnse à toutes les unes,tioiiS semblables,

Détermlruition des courbes et surfaczsparla Gécine-^

trie descripiipe.

24- Eîi appliqua Ql aux lignes et surfaces du second degré, le moyen d'ébmination que nous avons indiqué, nous avons déduit de la simple considération de queiqueséquations, la démonstration de plusieurs théorèmes

qm peuvent servir à la solution comi,lk« des probièmcs

rKOBLÈME I. .fjlant donnés quatre points sur u^ V^n.determmer graphiquement tous les éUmms d'une Varahole assujét^e âpas.erpar ces quatre points.

) T". 'J^A?'""^^' ^"'^^"^ quatre pomudonnés; es droites ABM , CÎ3M peuvent élre considérée, dans eur emembie comn.e ^^,, section conique, aj.u,t avec h pamLole a dt'termmer quatre points communs • il or. sera de même des droites AJND, BINC. D'après le théo reme du Problème //(page 3.), les dian>ètres œnju^ gués a un système quelconque de cordes parallèles, upparteiiant à ces deux réunions de lignes droites et à ia parabole demandée, devront se couper en un même pomi:. a smt de la, que si Ton pouvait déterminer la direction des cordes, pour lesquelles les trois diamètre.. coDjuirués sont parallèles, k drrection de ces diamètr^^s serait celle dugxaud axe de la combe clierché^.

Soit donc proposé de mener par le point B une droite BX, coupant AD en X, DC en Y, telle qu'il y ait paraneiisme entre les lignes qui joignent les sommets M €tiN, avec les milieux respectif des cordes BY, BX. Supposons le problème résolu. Considérons îe parailé^ îogramme BI^IXQ, les lignes NQ, BX en seront les diagonales, par conséquent, l'angle GBC=DNG et la droite BX partage en deiLx parties égales la corde RN el; toutes celles qui lui seraient parallèles. On devra donc avoir Pë = PF, E et F étant les points de rencontre de MP, parallèles à NQ, avec les deux côtés de l'angle CBGj la figure BFYE sera donc un parallélogramme. On aura alors les proportions

£Y:FcnMy:Mc, eg:fy::mg :my.

mais EY=BF et. EY : FC : : EG : FY:, on s donc BF :FC :: my : mc, bf : rc :: mq : my;

ces deux nouveiles proportions miutipiiées Vune pat i'autreydcnneiit

i)ii pourra donc à priori déterminer le poiul F, et par suite Ja direction MP qui doit-être celle du grand axe ou d«i tout autre diamètre de la parabole cliercliée. Le point F pouvant être situé sur BC ou sur son prolongement y on voit qu'il existera deux directions MP. et par suite d.^'ux paraboles assujéties à passer par les quatre points donnés • c'est un résultat que le calcul noios avait oîFert dans une autre circonstance, {problème IIj pag. 3^).

Ayant ainsi déterminé la direction des diamètres de la parabole j prcposons-nous de mener xine tangente à cette courbe, en un des points donnés, par le point D, par exemple. Cette tangente doit-être parallèle aux cordes que le diamètre DE (Gg. 1 1) divise en deux parties égales. Si d'un point quelconque de ce diamètre, on pouvait menei deux tangentes à la parabole, la droite qui joirdrait leur.^ points de contact serait conjuguée à ce diamètre, par conséquent parallèle à la tangente au point D. Or, si l'on prolonge BA jusqu'à la rencontra de DE en F, il sera aisé de déterminer la position de ia ligne de contact des tangentes menées par ce point* En effet, la ligne FBA est une sécante ainsi que la ligne FDE,pour laquelle un des points d'intersection avec la courbe est situé à i'in&ii -. si donc or joint deux u deux les intersections réciproques de ces deux sécantes avec la section conique cbercbée par les droites AMD et BM

(53) parallèles a DE , et encore f»ar les droites DBN et N 4 âU8si parallèles à DE, les points M et N d'mteisect^ion de ces aouTelles sécantes , devan l être situés sur la ligue de rontact des tangentes, à la paraLole menée par le I>omt F, elle sera détermmée par celte construction , ainsi que la tan^eii^e au point D qui doit lui être parallèle.

D'après cela, il sera aisé de trouver la position du foyer, le grand ajie, et le sommet de la parabole cherchée. En effet, la tangente en mi point D étant construite, pour trouver celle en tout autre point, au point B, par exemple, il sulTîl d'observer que ces deux tangentes doivent se couper en uîiïnémepointK(fig. ï2),situésur îe diamètre cou j ugué à la corde BD. Les lignes menées des point de contact au foyer sont autant inclinées sur les tangentes que les diamètres • si donc on les construit au moyen de cette propriété, leiir point d'intersection sera ie foyer F, et donnera un des points du grand axe dont on connaît îa direction. Pour trouver k position du somuict, on polongera ie diamètre GBdeBN==;BF îa droite KL, perpendiculaire au grand axe, sera la directrice, et ie R^iiicu SdeFL îe somnjet de la parabole.

Problè>3e il Déterminer graphiquement tous les éléinens d'une section conique assujétie d passer par cinq points donnés sur un plan.

Soient A, B, C, D,E(%, î3} les eingpoints donnés; les lignes AB, CD peuvent être considérées dans leui- ensemble comme mie section conique, ainsi que Jes droites AC, BD- cesdeux lieux géométriv|uesdudeu\ièinedegio a) aoî, quatre points A, B,.C, D communs a vecîa courbe cherchée j les trois diamètres conjugués aux systèmes

de cortiesparalîèiesàDE, se couperont en un même polat P, qu'ii est aisé de construire , puisque Fon peut déterininer les deux diamètres conjugués correspondans aiix deux lieux géométriques du deuxième degré (AB, CD) et (AC , BD) : ia droite qui joindrait ce poiot Pet le milieu Q de la di'oiie DE sera donc le diamètre couiiigué apparlenant à îa secfioïi conique demandée. Par mie consrruclion entièrement seîrdjlabJe, on construirait la direction d'un autre diauiètre de cette même comba coniugué à ia corde AE. L'intersection de ces deux diamètres sera le centre de la section conique cherchée. S'ils étaient parallèles, la courbe du second degré qui passerait par les cinq points donnés serait une parabole, dont on déterminerait les autres démens comme dans le problème précédent.

Si le centre n'est pas situé à l'infini , la courbe sera wne elUpse ou une hyperbole; sou centre O et trois de ces points A , B , C (fîg. 1 4) suffiront pour la déterminer entièreraent. Pour y parvenir^ nous noiLs proposerons d'abord de trouver ia position de deux de ses diamètres conjugués. Soifc prolongée la ligne AO de OD=;AO; D sera la seconde extrémité du diamètre AOD. Si d'un point fixe pris sur ce diamètre on suppose menées deux sécantes à la courbe , qu'on joigne deux à deux les extrémités réciproques des cordes qu'elles déterminent; ces nouvelles sécantes se couperont sur une droite conjuguée au diamètre AD (pag. 46). Si donc on prend pour point fixe, le pointM de rencontre de BC avecDA, et pour sécantes ces mêmes droites, le point P d'intersection des droites AB , CD , et le point Q d'intersection de ACetDB détermineront la direction PQdu diamètre

(55) CE conjugué à AD. Vue parallèle BR à OE assignera la nature de la section conique; si eUe vient rencontrer le diamètre AO entre A et D , h courbe demandée sera une ellipse, et «ne hj-perbole dans le cas contraire.

Si k section conique doit être une ellipse , on pourra détermmer lalongueur du diamètre conjugi^éà AO , connaissantAD, la direction OE (%. i5) etlepointBseideinent- Enellët, soit Ai'):=:m, m=.n=le demi-diamètre inconnu; on observera que dans l'ellipse proposée rapportée à ces deux diamètres , et dans celle qui aurait pour axesrectangidaires AD=2m, elH0Kz=:2n, des ordonnées d'égales gi-andeurs correspondent aux mêmes abscisses. Si donc on élève PQ =:: PB perpendiculaire à AD , il suffira de trouver le demi-axe n d'une ellipse dont le second demi-axe OA:=:m serait donné, et dont on connaîtrait de plus uji point Q, Pour cela on décrira du rayon A im cercle concentrique à la courbe proposée,

lequel viendi^a couper PQ en un point R, tel que -