PR

fera égal à ^. Pour construire 0E= 72 quatrième proportionnelle à 772 , PQ, PÎT, soil pris OS = m ; la droite SR viendra couper OA prolongée en im point Y, et YB devra passer par le point E.

Connaissant ainsi les grandeurs et les directions de deux diamètres conjugués de l'ellipse proposée, on peut déterminer les deux axes principaux de cette section conique. En effet, la tangente TAT' (fig. 16) parallèle à OE, doit couper les deux directions OT, OT' de ces axes en des points T et V, tels que l'on ait Aï x AT' == OE = 72' (ce qu'il est facdede vérifierpar l'Analyse); 51 donc au point A on élève AF= OE perpendiculaire

à la tangente AT, il suffira pour déterminer les points Tetl', de construire un cercle qiii passerait par les points F et O, et qui aurait son centre sur la tangente. Tl ' étant le diamètre de ce cercle d'après celte construction, AT X AT'=Ir' =DÊ', et l'angle TOT' seia droit. Enfin, ])Our trou\er la longueur des axes de l'ellipse, sur 01', comme diamètre, on décrira um cercle qui rencontry AP, paraîKlc ii OT, en un point Q, de sorte que T'Q sera laugent an cercle de rayon OQqvâ anrail son centre en O j il sera aisé, d'après cela, de démontrer que OQest le demi-axe A dont Ol ' serait la direction ; le second tiend-axe B sera ensuite donne par la

proportion = =-, et tous les élémens de l'ellipse se-

ront connus.

Si la section conique doit être une hyperbole, on pourra se proposer de déterminer les asyniplotes de la courbe. Soit AO(fig. 17) un demi-diamètre, ATla direotiondeson conjugué j AT seralatangeitteaupoinl A. et si Tet T'sont les deux points de rencontre avec les dunx. asymptotes, on devra avoir AT=: Al'. Soit B un autre point de la courbe , C le point milieu de la corde AI> ; si A', B' sont les points d'intersection de cette sécante a\ ec ïes asymptotes, on devra encore avoir B C =: A C Supposons menée TS parallèle à AB^ elle coupera OG en un point Ftei,qiieFT=FS=sAA',puis(pKTAc=:T'A et A'C==B'C. Soit encore D le point d'intersection de AT et COj les lignes A 'F, AD seront parallèles ainsi que A'O et AF, ce qui donnera Iss proportions

CA: CA' :: ro: cf, CA : CA' :: CF : co.

qui raullJpHées l'une par l'autre, donuenl enfin

cÂ': cl':: CD : co-,

on pourra donc aisément dclermiuer le point A' ef par suite les asymptotes. Opérant la biseclion des angles qu'elles font entre elles, on aum la direction des oxes principaux de l'hyperbole. Si Ton suppose ce lieu géométrique rapporté à ses deux asymptotes comme axes coordonnés, le produit des coordonnées correspondantes à un point quelconque, doit être égal au quarré de la demi-distance du centre à Pun des foyers; on pourra donc aisément déterminer celte distance entière. Connaissant ainsi les ftyers, la distance du cenire au pied delà perpendiculaire abaissée d'un des foyers sur une asymptote, sera la longueur du demi-grand axe del'hyperboie, et les éltjnens de cette courbe seront tous déternâoés,

pROBLÈ^îE lii. Déterminer le sommet d*un cône dont 071 donne huit points ^ savoir ^ cinq sur un plan, et trois diins r espace.

Soient A, B, C, D, E les cinq points situes sur un même plan, F, G, M les trois nutres;les cinq premiers déterminent une section du cône proposé (flg. 18), dont il est facile de déterminer le centre et par suite iousles élémens. Soit S le sommet demandé; les droites SF,SG, SH étant des génératrices an cône, viendront rei/ contrer en F', G', l\' la courbe ABCDE. Les trois côtés du triangle inscrit F'G'H' rencoutreront les côtés corrcspondans ù\\ triangle FGH, en des points M, JN, P situés sur la commune intersection des plans ABC, FGH: conime ces points sont faciles à déterminer â priori^ la

(58 ) détermination du triacgîe F'G'H' Ke dépendra c^e de !a solution de ce problème.

Inscrire dans une .section conique donnée unîrlangîe dont les côtés soient assuiétis d passer par trois points donnés sur une même droite.

Ce problème étant toujours susceptible de deux solutions , on pourra par la eonslriici ion c[ae nous Indiquerons plus bas, déterminer deux triaiigles F'G'H', F'C'li", dont les côtés passeront par les trois points M j N, P5 et de Jà les sommets S de deux cônes passaxit par les huit points donnés..

Remarque, Un de ces cônes est déterminé par son sommet S et sa base ABCDE. Avec ces données on peut aisément construire son plan diamétral conjugué à un système de cordes parallèles donné. Soit par exeutple SLla direction de ces cordes ; on mènera par cette ligne deux plans quelconques 5 cbacun d'eux coupera le cône suivant Fenserabie de deux droites , ligne du second degré dont il est lâtcile de déterminer le diamètre conjugué à la direction SL; on aura ainsi deux diamètres conjugués à cette direction; le pian qui les contiendra sera le plan diamétral demandé.

Revenons maintenant à la solution du problème de Géométnc plane que nous n'avons fait qu'indiquer. Alin de ne rien emprunter d'aucune théorie étrangère , j'exposerai ici ime construction de ce problème , déduite d'ime analyse qui send)le devoir au premiei- abord conduire à des résultats compliqués, mais qui se simplifie singuhèrement.

Supposons que la section conique proposée soit une

( Se, ) eJJîpse, son équation sera de la forme

a* o SoieDi a, b , fô', ê', a", ^''^ les coordonnées des poinln M, IN , P- x'j y celles du point C inconnu, liées par la relation

les droites MG', NG' auront pour é<:piations

leur ensemLle pourra être représenté par iVquo.lion

(3) (y ^yy fV— «) (^' „') ( ,. „ ^/^ ( y y-^

X [(ce' - «) (y - co -;- (x' - a') (y --.-)] -/- à- - x')*

Les coordonnées de tout point d 'interseci ion des deux. lieux géometricines (i) et (3) devront satisfaire à ces deux équations , et à toute combinée de ces mêmes équations. Les équations (j) et {9,) donnant par leur soustraction

et par la substitution de ce rapport dans l'équation (3)

^ (JL-f-y)'. fjy' - > ) i.r' - ^)\ * -

Les lieux géométriques (3) et (4) passent tous deux par les points F', H'. Si l'on ajoute ces deux équations après avoii- divisé la première para'è*, on aura, toute réduction faite, en vertu des équations (i) et (2),

~V a- T/\ a-' èV V a^ t>'^ A a' àV'

C'est Féqtiation d'une Jigne dïX)iie qui devant passer par les points F', H', n'est autre queF'H'. Si cette dioite devait être paralièle à MN, c'est-à-dire si îe point Pétait situé à i'mnni sur cette droite, l'équation ;^5) nnse sous

ia (orme m - -4- tïS- = p devrait donner j-jr — =^oî

eu Lien en subslituant ies valeurs de jn et de 7? ,

c'est en 5c^ y\ l'équation d'aune droite qi-û, par son inter* section avec l'ellipse proposée, donnera le point G'; on peut aisément la construire d'après les considérations suivantes.

Les droite? T, T' qui joignent les points à.c contact des tangentes à la courhe (î) n;enées par les points M, r^, ont pouj équations

Soient p, q fe- peipf^ndiculaires abaissées an point G', r/7,, n celles al>aissées des points M., N bijt ces droites

T et T'j l'équatioa (6) se réduira h~=^~; iîsuîfitdonc,

pour construire k droite (6) , de mener MK parallèle à T, xiJL à T' et de joindre K av «c îe point I d'interscctioti de T etT'. Cette construction s'mple devient indépen^ dautede la nature de la ccuibe proposée j elle a donc

lieu lorsque celte coml)e est mie îiyperboîe ou une pa* raboie.

Si îe point P est j)lacé <l'une manière quelconque par rapport aux points M, N, l'équation (5) devra être satisfaite en y faisant x:=tt",yszzC''-^ Féquation résultante en x'^y\ sera r.elle d'une ligne droite quijparsun lutersection avec l'ellipse proposée, donnera le point G'^ on pouna encoie la construire par des considéraiioiiS analogues avix précédentes.

Soient t?ï} effet T^ T', T' les droites de coniact des points M j ]N , P, Pjp'-, /?" les perpendiculaires abaissées du point G' sur ces trois droite^) j A ut B celles abaissées de N et P sur T, A' et B' de M et P sur T'^ l'équation en x',y deviendra

Soient encore m , m\ m" les trois côtés du triangle forme

par les droites T, T', T'j soit — sa siu-facej on doit avoir

si on élimine p" entre (ô) et (r)') , on aura entre p el p' la relation

elle représente en p et p* une droite que l'on peut construire aisément dans l'angle des deux droites T et T'.

Lorsque le point P est sur MN, on sait que les droites T, T', T'* passent par un même point 1; on a dona A = Oj m^:^o, m'=o, m''=o; mais les rapports

—7?. -17, sont tiinîs et e^aux a :^, ^, en représenta ni par

M, M', M", les longueurs des trois côtés J*im fnangîe dont les directions terfiierit parallèles à Tj ï', T'^ j daiiâ ce cas l'équation (7) se réduiV. à

et la droite G'C passe aussi par le poiinl L La conslruction des équations (7) et (8) devenant indépendante de la natnie de la section conique proposée, sera la même poiH l'ellipse, la parabole et î'iiyperhole.

Problème YV. Déterminer le centre etpar suite trois diamètres conjugués d'wie surface assujétie apaiser par cinq points sur un plan, et quatre points dans l'espace .

Soient A, B, C, D. E les cincf points situés siir un Tiième plan, F, G, H, K les quatre autres ; on détenuinera par le problème précédent les deux cônes passant par les huit premiers points. En vertu du Scholie du Problème Vî^ pyg. 38 ^ les plans diamétraux de ces deux cônes et de la surface, conjugués à im système quelconque de cordes parallèles, se coupent sîiivant une 'nênie droite. Soit donc L la droite d intersection des plans diamétraux des cônes conjugués à ia directioïiFK; îe njaa qui la contiendra , î^insi que le point milieu de FK , passera par le centre de la surface demandée. Si l'on construit de la mênrie manière les plans diamétraux de cette surface conjugués aiix directions GK et HK, on aura trois plans dont le point d'intersection sera le centre O de la surface demandée.

Pour déterminer complètement la surface proposée, nous considérerons inccessivement les différentes natures de la courbe ABCDE.

î°. Si cette courbe est une ellipse (d^. 19), soit (y son centre, 00' est la direction du diamètre conjugué au pian ARC- le plan OO'F détermine une section MNF de la surface aisée à construire, puisque Ton connaît deux de ces points M, F, iecentreOelles directions 00', JVIN de deiLx de ses diamètres < on juf^fués ; cette section MiNF est une ellipse ou luie Jiyperijole. Si c'est une eiiipse, îa surface proposée est un ellipsoïde dont ou peutcoDslruire îe système de trois diamètres conjugués. Soient à cet efièt , PQ , M'IN' jes longueurs des daamètres de la section MJNF, dont 00', 'MJS sont les directions; soit sur le plan ABC , SO'R Je diamètre conjugué de MO'N, PQ et SO'R'' les diamètres conjugués delà section PSQ facile à détermii)er; les trois diamètres PQ^ M'iN'. S'R' seront conjugués entre eux. Si la section MNF eiitune InperLoîe (%. 20), la surface proposée est uii h jperboioïde; cet hyperboloïde n'a qu'une nappe si les points M et N sont sur deux branches différentes de i'byperboie Rîî^F, il y en a deux au contraire lors«|ue ces poir,t^ sont sur m-e même branche de la courbe • ■mîoifp'il en mii 5 on pOLirra construire les asymptotes OK', OAf • de la courbe MNF qui viendiont conoer le plan ABC eu M'" et N"; k courbe menée par ces deux points semblable et concentrique à ABC appartiendi-a au cône asymptotiqae de la surface ayant son sommet au centre O, lequel sera complètement déterminé par cette construction.

2'. Si la courbe AJBCDE est «ne hyperbole (fig. 21) dont O'S, O'S' sont les asymptotes, la surface proposée ne peut-être qu'un hyperboloïde ; les parallèles OTet OT' à O'S et OS' sont des génératrice-^ de ôon cônt?

feSVDiptotiqne. Si parla droite OT l'une d'elle et le point F on iait passer un plan, il coupera la courbe ABC en lin pointunique M; la section MOF est une hyperbole dont OT estyne asympiole. Soit Tîe point dereucontre de MF et de OT^ on prendra sur MF, SIR ^TF, et RO sera la seconde asvnjptote de rhvperboîe MOF : celte nouvelle génératrice du cône asympiotique viendra rencontrer le plan ABC en uu point V; selon qu'il sera à j'extérienr ou à l'intérieur de la courbe ABC , l'iiy perboloïde n'aura qu'une seule nappe ou en aura deux ; dans tous les cas, la courbe menée par ce point \ semblable et concentrique à l'hyperbole ABC, pourra être considérée ccinme la base du cgiiq asymptotiqne dont O est le sommet.

3'. Enfin, si la courbe ABCDE est une parabole, la surface proposée est un hyperboloïde ; une parallèle OT aux diamètres de la courbe ABC est luie génératrice du cône asymptolicpje de la surface. Le plan OTF coupe la parabole ABC en un point M , cette section est une liyperboîe dontOT est une asymptote; on peut donc déterminer le cône asymptotique comme dans le cas précédent.

Les trois plans qui. par leur intersection déterminent le centre O de la surface demandée, peuvent être tels, qiie l'un rruelconqne d'entre eux soit parallèle à l'intersection des deux autres. Dans ce cas , le centre est situé à l'infini sur cette droite qui est un diamètre, et la surface est ïin paraboloïde.

1°. Si la courbe ABCDE est une ellipse, le paraboloïde est elliptique. Scit O' (fig. 22) le centr-e de ABC, O'O un des diamètres de la suiface^ le plan O'OF cou*

(65 ) pcra îa tourbe ABC en deux points M, N; cette section MINF est une parabole aisée à construire, connaissant trois de ces points M, N, F et la direction 00 de ses diamètres: soient PO, RO'S les diamùti-es des coarhes JVÎ.M' et APC conjugués à M?< ; la seclion PRS sera une auti-e parabole de la surface conjuguée à la Courbe >E\F et au pian ABC.

2°. Si la courbe ABCDE est une hyperl>olc , la surface doit être un parabt)loïde hyperbolique. Soit toujours O' le cenîrede ABC (iig. 23; , O^O la direction des diamètres» de la surface; par la ligne FO parallèle à O'O, on peut toujours fidre p&.,ser uo plan ijui coupe l'hyperbole eu deux pœnts M et N situés sur une même branche, la section résultante iWENF est une parabole dont on peut lâcilenient déterminer les élérneos.SoitiiO'le diiunùtre de ABCconjuguéà .MN, leplan RO'Oconpera lescourbes ABC, MTsF en des points ft, S et F: la section ilSP sera encore une pai^bole facile à construire. Soit Q h point où elle coupe O'O; si l'on feit descendre en ce point Q comme liomoiogue à Pia parabole ?,ÎPNF, son plan sen^ le conjugué des deux autres ABC, RSP.

3V Enfin si la courbe ABCDE est ujie paralxJe, son ase doit être nécessairement parallèle à la direction FO des dianièires du paraboîoïde. Si donc oniTiène un pl^n par deux des poiiits df)tinés F et G, et par lali.«ne FO il coupera la courbe ABC en un point M, la^scchon MFG sera une parabole facile à construire. Par un troisième point H on mènera un plan qui coupera la parabole ABC en deux points L etN, la parabole MFG eu deux autres P et Q; çt suivant que la section KLjNPQ

y 66) sera ou nne eïKpse ou iine hyperbole , on achèvera îa construction comme dans un des cas précédens.

Les plans qui par krir intersection déterminent le centre O, peuvent se couper suivant une même droite, alors la surface est un cylindre dont cette droite est Taxe ; dans ce cas, la courbe ABCDEdoit nécessairement avoir un centre , et peut être considérée comme la directrice du cylindre.

Enfin si ces plans sont parallèles , la surface ne peut être qu'un cylindre parabolique. Alors la courbe ABCDE ne peut être qu'une parabole dont l'axe est parallèle aux plans diamétraux de la surface. On aura la génératrice de ce cylindre, en menant par le point K un, plan parallèle aux plans diamétraux; il- viendra couper la courbe ABC en un point M, IVIK sera la génératrice demandée.

Dans tous les cas , les élémens de la surface que nous avons déterminés suOiront pour construire son plan 4iamétral conjugué à une direction donnée.

I *. Quand la surfece est un ellipsoïde, on connaît trois de ses diamètres conjugués PQ, M'N', R'S^ (fig. 19). Soit XOY le diamètre dont on demande le plan diamétral conjugué. La section M'OX a pour diamètres conjugués M'O et OT, intersection des plans R'OP, M'OX. ; elle est donc connue entièrement ; on peut y construire un premier diamètre OV conjugué à OX : par une construction entièrement semblable , on aura OU autre diamètre conjugué à OX situé dans la section R'OX ; le pian YOU sera le plan diamétral demandé.

2". Quand la surface est un hyperboloïde on connaît son cône asymptotique , lequel a le même plan diamé-

( ^7 ) Irai conjugué à la direcUon donnée que la surface demandée; alors la remarque du proLlème précédent donne le moyen de construire ce plan diamétral.

3*. Quand la surface est un paraholoïde, on connaît en un point S deux paraboles conjuguées , et une section ABCDE parallèle au plan tangent de Ja surface au point S, et dont le centre est sur le diamètre SO de la surface. Soit SX la direction donnée, on mènera un plan parallèle à OSX qui coupera la courbe ABCDE en deux points M et ]N , et l'une des paraboles conjuguées en un point P , on déterminera le diamètre de la section MNP conjugué à la direction SX. On répétera ensuite la même construction pour un autre plan toujours parallèle à OSX, L'ensemble des deux diamètres conjugués à SX ainsi obtenu, déterminera le plan diamétral demandé.

4*. Quand la surface sera un cybndre, on fera deu.v sections dans la surface parallèles à la génératrice et à la direction donnée; cbacune de ces sections sera l'ensemble de deux droites parallèles ; leurs deux diamètres détermineront leplan diamétral demandé. Si le cylindre n'est pas parabolique , une seule section suflit , tout plau diamétral devant passer par l'axe.

Problème V. Déterminer le centre et par suite trois diamètres conjugués d'une surface du second ordre assujétie à passer par quatre points sur un plan et cinq dans Vespace.

Soient A , B , C, D les quatre points qin sont sur un même plan; E, F, G, H, K les cinq autre?. Soient £', E" deux points quelconques du pian A , B , C , D ; par les neuf points A, Bj C, D, E'', F, G, H, K, on fera passer une surface (Problème IV)» une autre par les

(66) neuf autres A . B , C , D , F/", F, G , ÎI , K, On déterminera les plans diarnéti^ux de ces deux sur fa ces coii jiï^ués à la direction EF. Soit L leur droite d'intersection ; le plan qui , la contenant. , pa>»8era par le milieu de EF, sera liii plan diamétral appartenant à la surface demandée. On construira de k même manière les pkn s diaîiiéîraux de cette surface conjugiiés aiw cordes EG , EH: on aura alors trois plans dont llntersectîon sera le centre O de la smface. t<e pl^ir: AP»CD coupera cette surface sidvant une courbe dont le ceiitre O' sera Tin tei section de ce plan et an diamètre 00' conjugué à cette section : la droite OO est Fmtei*section de de\i?v pians diamétraux conjugués à deux diamètres parallèles au plan ABGD, plans qu'il est fèicile de construire au moyen des surfaces auxiliaires. Le centre 0' étant connu , la section ABCD s'en déduira aisément. On achèvera ensuite la solution comme dans le Problème ïf^.

Problè^îe \I. Déterminer le centre et par suite troh diamètres conjugfiés d'une surface du second ordre eissujéiie d passer par 7ie nf points donnés d'une mo" nière quelconque dans V espace.

Soient A, B, C. D, E, F, G, H, K hs neuf points donnée. Soient encore D', D'' deu.t points quclconf^es du plan ABC On fera |)asser uine swriàt^e par les neuf points A, B^ G; D'. E, F, G, H, K, ime autre par les îieul' points A, B, C, D", E, F, G, H, K, Au moyen de ces deux surfaces auxiliaires, on construira les plans diamétraux de la surface proposée conjugués aux cordes DE, DFj DG: leur intiersection donnera le centre O de la smface demandée. Le plan ABC cou})era cette sur*face suivant une courbe dont le centre 0' se consUwa

comme dans le problème précédent; recentre O'^ et trois points A, B,C, suffiront pour déterminer complètement cette section; le reste de la solution se fera iilors comme dans le Problème If^.

Telle est la question la plus générale que l'on puisse proposer sur les surfaces du second ordre. La Géométine n^^ lait usage tpie de la ligne droite et du cercle; et cela devait-ctre ainsi, puisque la solution algébrique dépend delà résolution de neuf équations du premier degré à neuf inconnues.

aS. 11 est à remarquer que, dans le problème dont nous venons de nous occuper, il n'est peut-être aucune des propriétés des lignes et surfaces du second degré que nous n*ayons énoncée ; aussi n'est-ce pas une solution totalement géométrique, puisqu'elle s'apjjuie sar des propositionîv que l'Analyse seulea pu faire connaître.

Ne pourrait-on pas conclure de li, (ju'un des principaux buts de l'étude des propriétés des lieux gé^métiitpies, est d'acquérir as^ez de connaissances sur les courbes et surfaces pour pouvoir les construire, ou du moins les déterminer complètement par la Gtorriétne, lorsoue l'on en domie un nombre siiilbiant de pouits.

Résolution graphique fJes ùqaations finales.

26. tJuautî'ebut non moins important de l'étude des propriétés des courbes et surfiices, c'est la construction des racines des é(p»ations. Une équation à une sejJe inconnue peut être considérée conmie le résultat de féliminatiou d'une ou de deux variables, entre des équations représentant des lignes ou des surfaces.

Fur exemple^ si Ton tait le qiiarré .v* ue Tinconnue,

égal au rectangle -py^ dans une équation du troisième ou du quatrième degré , 'elle sera du second degré en x eX.y\ et puisque rélimination de^ entre cette équation et :c"=/i'K conduirait à l'équation proposée, si l'on, construit les deux sections coniques représentées par les équations entre lesquelles se ferait cette élimination, les abscisses de leurs points d'intersection seront les racines de l'équation proposée

Pareillement, si l'on fait a;*=p/,j^*=y2 dans une équation du cinquième, sixième, septième ou huitième degré, on aura trois équations du deuxième degî-é entre tiois vajiables; et puisque l'élimination de j^ et de 5 entre ces trois équations conduirait à l'équation propo- £:ée en «, en construisant les points d'intersection des trois surfaces du second ordre qu'elles représentent, leurs abscisses seront les racines de l'équation proposée. Pour pouvoir résoudre ainsi graphiquement l'équation générale du huitième degré , d esi nécessaire de faire disparaître son deuxième terme j car x' ne pourrait devenir du second degré en a:, ^, z, par la supposition de x*=j>y et de^* = çz. Pareillement pour que cette sul)stitution puisse réussir à transformer l'équation générale du septième degré, en une autre équation du second degré à crois variables, il faut aussi faire disparaître son second terme et la multiplier par x.

37. Toute équation du quatrième degré peut être ramenée à la résolution dune équation du troisième; c'est ce que le calcul démontre de plusieurs manières. Cette transformation algébrique correspond au changement d'une des sections coniques qui construisent l'équaiion en un ensemble de deux lignes droites. En

( 70 effet, si Ton combine les équations fe deux sections coniques par voie d'addition , après avoir multiplié Ja première par une indéterminée m, la seconde par m', l'équation résultante sera de la forme

(ma -f m'a') x* + (mA -f- m'5') y'-K 2 (mc + m'c) xy -f- 2 (md-i- md) X 4-2 (me -f- m'e)y -|- 2(m/-f m'/') = o,

et représentera en général une nouvelle section conique passant par les points que l'on se propose de construire; si l'on exprime que ce nouveau lieu géométrique est l'ensemble de deux lignes droites, on aura une équation

de condition du troisième degré en —, élément delà com-

binaison. Lorsque ce rapport sera connu .. les deux lignes droites donneront par leurs intersections avec une des sections coniques primitives, les quatre points dont les abscisses sont les racines de l'équation proposée.

Nous verrons par là suite un exemple de ce cbangeinent , en nous proposant de mener une normale à l'ellipse par im point extérieur.

On peut trouver immédiatement la relation qui doit Her les coefficiens d'une équation du second degré à deux variables, pour qu'elle représente Pensemble de deux lignes droites, en observant qu'alors le centre du lieu géométrique est un de ses points; c'est-à-dire que les trois équations

Ax*' -f aBxy -f- Çy' -1- ^^^ + ^^y -f F = o ,

£j; 4-Cj + E ç=o, doivent avoir lieu en même temps. La première peut se mettre sous la forme

( 7= ) et se réduit, en \ei'tu des deux autres, à

Dx -|-^ E y -4* F = o ;

en sorte que l'équation de condition demandée, sera le résultat d e l'élimina lion de a; et de^- entre hx)is équations du premier degré. Par rapport aux ccefticieus, cette relation sera du troisiènte degié.

28. Pareillement pour ej^primer qu'une sutface du second ordre est un cône, il sufiit d'exprimer que le centre est sur la surface, c'est-à-dire que les quatre équations

Ax" -f Xy -t- AV + zBy-, -f aB'xz -}- zL^xy -f ûC»-f aC'y

-f- zC/'z -f- D r= c ,

Ax -\- h'y -f. B'z + C =0 ,,

B"x-4- A'y -h Bz-i-Cz=r.o,

ont lieu en même temps j et comniela première se réduit

Cx -f C'y -f Cs -h D = o ,

en vertu des h ois autres, pour trouver la condition de» mandée, d suilira d'éJinùner les variables -r, v, jç, entre quatre équations du prenuer déféré. L'équation résultante sera du quauième degié par rapport aiuc ccelficiens.

Si donc on combine par î'addilion les équations de deux surfaces du second ordie, après les avoir multipliées par les i n détenu icées/zi, m\ l'équation résultante 5era celle d'une troisième surliice, passant par la courbe

d'intersection des deux premières j et îe rnpport —7 dépendra de la résolution d'une équation du quatrième degré, si l'on veut que celte troisième surface &Oit une surface conique.

La Géométrie descriptive donne un moyen facile de construiie par points, les projections de la courbe d'intersection de deiui eones , et par suite, celles des j)oints d'intersection de trois surfaces coniques. La résolution graphique des équations des liuit premiers degrés sera donc complèlemtnt résolue, si Von peut ramener la recherche des points d'intersection de trois surfaces du second ordj-e, à celle des points d*intcr5;ect ion de trois cùncs. Or, c'est ce que la remarque précédente vend possible, au liioytn d't^quations du quatrième degré.

2g. Après avoir e:^primé analyticpement îe« conditionsqui peuvent exister entrelesdonnéesd'un problème, des raisonnemens justes indiquent toujours quelles sont les éliminations à eflectuer, les quantiu'*s à obtenir; et comme les méthodes données par TAlgèbre ne sont jamais incertaines quand il s'agit d'effectuer des éliminations, nous pouvons dire qae c'est la partie la moins embarrassante dans la recherche d'une sohaiion. Elle est Tinte rmédiaire entre deux points plus épineux pora^ le mathématicien 5 savoir, la mise en équation et la lecture géométrique des résultats de VAnalyse.

Les équations fmaies e^nriiiient des relations entre les données et les incoimues. Pour parvenir à les démêler, il y a des tactcirs communs àré'lahlir, des termes qtii ont disparu à ajouter, des e.spressions géométriques à reconnaître. Souvent même les transformations qu'elle fait subir au x équations , ne peuvent se prouver que par ime sorte de Synthèse. Ufaut partir de l'équation transformée pour démontrer son identité avec la primitive. C'est par de semblables moyens, que l'Algèbre indiq^ie quelquefois l'enchoit sur lequel on doit interroger la

(74) Géométrie, pour obtenir une solution déduite de fa seule considération de ses théorèmes. Pour en donner un exemple, proposons-nous de traiter par l'application de FAlgèbre à la Gé<imétrie le problème suivant.

Problème. Trouver sur une circonférence donnée Un point X (fig. 24) tel^ qu'enjoignant ce point à deux autres A et B donnas, les lignes AX^ BX coupent la circonférence en deux points Cj C^ situés sur une parallèle à AQ^

Dans le problème de la page 5S nous avons résolu cette question dune manière plus générale, puisqu'au lieu du cercle, nous avons considéré l'eUipse; nous sommes amvé à une équation fmale qui, dans le cas particulier du cercle, se réduit à

ût, ^, a^, C sont les coordonnées des points A et B. Cette écpiation indique une ligne droite à construire pour im nouveau lieu géométrique du point demandé, dont les coordonnées sont x' .y .

On peut déduire de cette équation une solution synthétique du problème. En effet, si l'on suppose AX=^, BX^cT, que l'on désigne par ^ et ^ les longueurs des tangentes au cercle donné, menées par les points A et B, on aura

«» 4- C" __ Rî = f«^ «'» -f- r* — R» = t"

et par suite

y, -f. x';i = i (R* 4. a» + Ç» — rf' ), y'S -f x'x = i ( R» 4. -t'» -j- C'» — d%

La substitution de ces différentes valeiirs dans l'éqna

( 75 ) lion (6) , Jormera

t<^—d' t'^—d"^ ^, , d tF d i = 7- — , d ou - -^s: -r ou -f, =: -;.

Le l'apport des longueurs AX, BX est ainsi déterminé; d'ailleurs une proposition géométrique connue, donne un cercle facile à construire, pour le lieu géométrique

de tous les points X, tels que le rapport g^" ^^^^ constant. Le point demandé sera donc donné par l'intersection de deux cercles.

Des considérations purement géométriques conduil'aient au même résviltat que l'analyse précédente , car ona, soit d'après la nature des données, soitd'après celle de l'énoncé,