APPLICATIONS DE LA TAREE PRECEDENTE

1° On a tiré 100 coups de pistolet sur une cible. Il y a en 4 écarts supérieurs à 40 centimètres. Quelle est l'erreur probable r d'un coup et le rayon y du cercle qui renferme les 30 coups les plus voisins du but-/

Solution : Le noml)re des coups dont l'erreur x est inférieure

à A(y^ est 100 — 4 = 96; c'est-à-dire que dans la série de 100 coups,

la probabilité P pour un coup de porter à l'intérieur d'un cercle

ce de •40*= est 0,96. Pour cette valeur de P, le taJjle donne - = 3,05.

Mais ici, x = 40'=; donc r = — ^ =: 13%1. L'erreur probable d'un

coup est donc 13,1.

La probabilité pour un coup de porter à l'intérieur d'un cercle de rayon y est 0,30. Pour celte valeur de P, on trouve, par la table,

^^-=0,573..., d'où y = 7«,5.

On résoudra d'une manière analogue les exercices suivants :

2° U erreur probable d'un tireur à la cible est de 12° ,33. Combien de ses coups sur 100 porteront de 0 à 5", de 0 à lO*', de 0 à 15°, de 0 à 20% de 0 à 25°, de 0 à 30°, de 0 à 40°, de 0 à 45° et combien au delà de 45° ?

Réponse : 22, 42, 59, 75, 84, 91, 97, 99, 100.

3° Bradley a mesuré 470 fois une durée. 39 observations ont donné des écarts avec la moyenne de 0*,7 et au-dessus. Quelle est V erreur probable d'une observation?

Réponse : r = 0^27.

4° Connaissant Terreur probable 0%27 d'une observation 2yrécédente de Bradley, construire le tableau (n° 31 du Cours) de la production des erreurs dans une série de 470 observations?

L'accord entre la théorie et l'expérience est très remarquable.

5° La taille moyenne en France est, chez les conscrits, de 165°,5 avec une erreur probable de ± 4°. Quel est, sur iin contingent de iàO 000 Français, le nombre des réformés pour défaut de taille au-dessous de 156° ?

Réponse : 7530.

CIIAP. m. — ERREURS ACCIDENTELLES. 39

Construire la coiirhe représentative du nombre y d'erreurs comprises entre 0 et x, dans une série de A observations, de précision h (fig. 8).

Solution: L'équation fie la courbe est y = — - f e~^' dt. Si

l'on développe l'intégrale en série, il est facile de voir que cette

courbe a la forme m'Om., avec un point de rebroussement en 0,

origine des coordonnées. L'angle de rebroussement 2 a est donné par

<2 la formule tg a = — h A.

La parallèle à x'x, à la distance | A, est une asymptote. La concavité

d y est tournée vers le bas, car -r~ croît ou décroît sans cesse lorsque x

croît en s'approchant ou en s'éloignant de zéro.

La courbe représentative de P a même forme; elle répond à A = 4 .

Démontrer la formule — ^ ~ -y donnée au n° 5/ du

Cours et représentant le nombre des quantités auxiliaires à former pour résoudre par la méthode des moindres carrés un système d'équations à K inconnues'^

Démonstration : Dans le système normal,

la !'■'' équation offre K + 1 coefficients,

2® id. (K — i) + 1 coefficients nouveaux,

3c ifi. (K — 2) + 1 id.

K° id. 4 + 1 id.

ce qui fait en tout

40 LIVRE I. — MÉTHODEa GÉNÉHALE^ DE CALCUL.

Comme nous passons du système normal à un autre ayant (K — 1) inconnues, de celui-ci à un troisième ayant (K — 2) inconnues, et ainsi de suite jusqu'au dernier système qui n'a qu'une seule inconnue, nous aurons à calculer un nombre de quantités égal à

f (1 + 2 + P. 4- ... ,+ K) 4- \ ir- + 2^ 4- 3^ + ... + K^)

ou a

^ fv ^ r. ï^ ^ 1 (H±j) (K + 1) K K (K + 1) (K + 5)

Après avoir tiré à la cible, on efface le -point visé, mais on relevé les traces des halles qui restent seules visibles. Quel est le 2)oint visé le plus jjrohahle, en supposant qu'il n'existe pas d'erreurs systématiques?

Solution : Soient a^i^j, ^^î/,, a^a^/a? ••-, ^«Z/^ les coordonnées des diverses balles rapportées à deux axes rectangulaires tracés sur la cible et x, y les coordonnées inconnues du point visé. On aura pour les deux systèmes d'équations de condition

X — aCj,

y = Uv

V = llî,

Si les balles sont toutes tirées avec la même précision, c'est-à-dire avec la môme arme, par le môme tireur..., en un mot dans les mêmes conditions, les systèmes (i) et (2) donneront respectivement pour les valeurs les plus probables de x et y

c'est-à-dii-e, pour point vis(' le plus probal^le, le centre de gravité des points toucliés par les balles.

CIIAP. ][I. — ERREURS ACCIDENTELLES. 41

Si les conditions de tir ne sont pas les mêmes pour toutes les balles, à cause du changement d'arme, de tireur ou pour toute autre cause et si l'on désigne par p^, p, , 2h) •■■■> lia les poids respectifs pour chaque coup, on aura

y = - (PiHi + riii2 + ■•• + p..>y,.,),

en posant

Pi +p, + ... +p„

REMARQUE

Les observations astronomiques peuvent être comparées à un tir à la cible dont le point de mire est efTacé ultérieurement. Si on porte sur une carte céleste les positions d'un môme astre fixe observé un grand nombre de fois, on déterminera la position la plus probable de cet astre, exactement comme dans l'exercice précédent on détermine le point visé le plus probable 0' sur un carton de cible, en faisant, dans les deux cas, abstraction des erreurs systématiques possibles.

Lorsque le point de mire 0 du carton est eifacé, rien ne peut faire découvrir l'erreur systématique du tir. Mais si ce point n'était pas effacé, elle serait représentée en grandeur et en direction par la droite 00'.

De même rien ne peut faire découvrir les erreurs systématiques d'une série d'observations d'un astre dont la position n'est pas connue d'ailleurs exactement. Mais si celte position exacte est donnée, sa différence avec la position la plus probable conclue de la série fournit l'erreur systématique totale de cette série.

En multipliant sur une même cible les séries de tir et changeant, à chaque -série, soit l'arme, soit le tireur ou les deux à la fois, d'une manière fortuite, l'erreur systématique particulière à chaque série deviendra une erreur accidentelle dans l'ensemble des séries. Le point visé le plus probable résultant de cet ensemble différera très peu du véritable point de mire. Si ce point a été effacé, après la

totalité du tir, on pourra donc le retrouver très approximativement et déterrniner, par suite, l'erreur systématique de chaque série individuelle.

En multipliant les séries d'obser\ation d'un même astre et changeant, à chaque série, soit l'instrument, soit l'observateur, soit le lieu, simultanément ou séparément, l'erreur systématique particulière à chaque série deviendra une erreur accidentelle dans l'ensemble des séries. La position la plus probable de l'astre résultant de cet ensemble pourra être considérée comme la position vraie et permettra de déterminer l'erreur systématique de chaque série individuelle d'observations.

Calculer les valeurs les plus probables de x, y, z vérifiant les équations suivantes, dont les derniers termes sont donnés p)ar V observation

4.9 + 1,8 — 2,7 — 4,4 — 0, 5,6 + 3,9 — 4,2 — 6,7 = 0, 4,0 + 5,2 — 6,7 — 8,2 = 0, %ox + 7,6»/ — 3,2s — 6,7 =: 0.

Calculer également : \° Verretir moyenne d'une observation; 2*^ Terreur moyenne d'une inconnue.

Solution : Application de la méthode des moindres carrés.