IJ

Sommes.

lOi

Erreur e.

e' X nombre.

m — 2,19, £ = 0,17, Y = 0,12. Nombre théorique Nombre réel de.s erreurs entre

Nombre théorique

Nombre réel

des erreurs entre

(Voir figure 5.)

Série de pointés par M. HÉRIQUE, sur un trait du cercle Rigaud.

•1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 Pointés. Nombre. Produits. e e' e'X"»ra''r«-

88 32 30 19 33 47 68 3^ 31 ,44 g,ii ggiç,! 0^3-^51

162 64 6 ; 59 65 82 138 Sommes. 2(XJ 458,0 6,6000

166 83 77 69 78 91 - o on n^Q a io

131 9o 90 1 16 1 -0 Nombre théorique Nombre réel des erreurs entre

155 117 104 129 136 ^jg .^lO q j- ^^ +0,15

' 172 123 113 149 151 ^go ^32 - 0.35 et + 0,35

185 135 119 152 153 ^gg 2OO -0,45 et +0,45

176 141 189 Nombre théorique Nombre réel des erreurs entre

181 144 44 44 - 0,05 et + 0,05

"^^ 14'' ( 37 ( 35 ( + 0,05 el + 0,15

194 154 (37 (31 { 0,05 et - 0,15

^^^^'^ (24 (26 (+0,15 et +0,25

(28 i - 0,15 et - 0,25

174 (12 (16 ( + 0,25 et + 0,35

175 ( 12 ( 12 ( - 0,25 et - 0,35

l'^S ci ^ 5 ( + 0.35 et + 0,45

183 > 4 [ 3 ( 0,35 et — 0,45

199 (Voirfign)-a6.}

Série de pointés, par M. GUILLIX, sur un trait du cercle Gautier.

3,4 3,3 3,2 3,1 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 Poinlés. Nomltre. Piodiiils. e e' c'X'^o"^

liO

li3

ir»8

o,œoo

Sommes. 202 606,4 4,44^0

\oiiil)ie llifoiiquc .Xoiiibre re'el des erreurs eiilre

186 183 —0,25 et H- 0,25

197 197 —0,35 et + 0,:35

202 202 —0,45 et +0,45

.\oml)re lliéoriqiie Nombre rcel des erreurs eiilre

53 53 -0,05 et +0,05

\'43 ( 4i i, +0,05 et +0,15

( 43 ( 45 ' — 0,05 et - 0,15

\ 22 f 21 ( +0,15 et +0,25

( 22 { 23 ( - 0,15 et - 0,25

< 8 ( 3 (Jf- 0,25 et + 0,35 '8 f 6 ( - 0,25 et - 0,35

< 2 (3 ( +0,35 et +0,45 ^2 [ 2 ( 0,35 et — 0,45

(Voir /irjiire /./

Dcinontrer la fui'uiule / e"^' dt =z — ^" • Jo 2

Solution : Elle se trouve dans tous les traités de calcul intégral.

Démontrer que la série

Jo \ "^ ^'5 3.0.7 S.5... {2)1 + 1) )

oh p ■=: 2T-, c^t convergente pour toute valeur finie de T.

Solution : On démontrera cette série en intégrant par parties et considérant dt, plus généralement t-" dt, comme différentielle exacte. On trouve ainsi immédiatement et successivement :

e-''dt = Te~'''- + 2 e^'H-dt.

a Jq

r:=Tc-^Ml +^-+^-^1 + — e-^'-t'dt.

\ J O.O / O.iJju

\ 3 3.5 3.D.7 o.5.7...('in4-l)/

avec

^'-3.5.7...{2n + i)jo '"^3.5.7...(2h + 1)Jo

Lorsque n augmente indéfiniment, R. tend vers zéro pour toute valeur finie de T. La série est donc démontrée. On voit de plus que si on s'arrête au terme de rang (ii + 1), l'erreur commise est plus

petite que ce terme multiplié par — •

Mais cette série a l'inconvénient de ne converger rapidement que pourT<:l.

Démoiitrei' la formule de Laplace

e-''- dt =

-1 + 3rj

1 + Aq

Solution : En posant

:= e'' l e^'-'- dt,

et désignant les dérivées successives de u^ relatives à /, par u^ , k, , Un, on démontre facilement que

It ' ~~

et Généralement

■Un-l

où q' = -—• De là résulte immédiatement le développement de

/ e~^' dt en fraction continue convergente. Les réduites succes-

sives convergent rapidement lorsque T est grand et la formule de Laplace convient alors très bien au calcul numérique de l'intégrale.

Démontrer la formule

avec

-''■ dt

i.;].5 ... {2n + 1) r^ ^ dt

Solution : On procédera, comme dans le 18'' exercice, par intégrations successives et par parties, en considérant ie~*°' dt comme une difterentielle exacte. Les termes de (1) vont d'aljord en diminuant, puis ils augmentent aussitôt que (2?i — 1) surpasse j?. On ne peut donc supprimer R et remplacer le second membre de (1) par la série correspondante qui serait divergente pour toute valeur de T.

Néanmoins cette formule est très commode pour calculer / e~^'dt lorsque T est grand, surtout à cause de la petitesse du facteur -^rp- •

Il suffit de s'arrêter, dans le calcul, à un terme assez petit ou d'une grandeur négligeable, puisque 11 est plus petit que ce terme.

Lorsque T est petit, la formule (1) ne convient nullement au calcul

de l'intégrale. Il faut alors recourir à la formule de Laplace.

Construire une table donnant la jjyohahilité P jjoiw que l'erreur d'une observation, de précision h, tombe entre — x et + x.

Solution : On sait que {iv .']<S du Cours)

=: -^ / e-'' dt = 1 ^ / e-''- dt.

1/^ Jo 1/^ J/..C

Si nous appelons r l'erreur probable d'une observation de précision li et si nous posons

hx = hr • - = 0,4769363 -, r r

nous pourrons, avec l'argument '-■> réduire P en table applicable à

toutes les valeurs de /;, à la seule condition de rapporter les erreurs X d'une série quelconque de mesures à l'erreur probable r d'une mesure.

Pour /(.6' plus petit que 1, on calculera l'intégrale / e~''dt ^ar

la séiie donnée au n° 38 du Cours ou par celle du 18'^ exercice. Pour

hx plus grand que 1, on calculera l'intégrale / e~'^'' dt par la

formule de Laplace ou celle du ^O"^ exercice. On trouve ainsi .la table suivante :

DifTér.

0,8 0,ill ^-

Différ,

0,582 0,G19 0,655 0,uS8 0,719 0,748 0,775 0,800

. . 0,fKj9

Ainsi la probabilité qu'une erreur soit comprise entre — 5)* et + 5)' est 0,9992551, nombre déjà bien voisin de la certitude 1. En d'autres termes, sur 10000000 d'observations, on en trouvera 9992551 dont l'erreur tombe entre — 5/- et 4- hr et 74-49 dont l'erreur absolue dépasse ces limites; ou bien, il y a 1343 à parier contre 1 que l'erreur ne sortira pas de ces limites.