PRINCIPE DU DIPLÉIDOSCOPE OU PRISME DES PASSAGES
Le dipléidoscope est un prisme droit à base triangulaire isocèle ABC, formé par deux miroirs AB, BG et une glace A G à faces parallèles. Les face^ réfléchissantes des miroirs regardent l'intérieur du prisme ; l'une d'elles BG est également inclinée sur l'autre et sur la glace.
Si un faisceau de rayons lumineux parallèles S^ tombe sur la glace A G, il se divise au point d'incidence ^3 en deux parties dont l'une se réfléchit immédiatement suivant la direction [3 S', tandis que l'autre tr-averse AG, sans changer de direction (fig. 21), pour se réfléchir successivement sur AB, sur BG et traverser la glace une seconde fois, suivant une direction a S", généralement différente de la direction ^S' et non située avec elle dans le même plan.
Ce prisme donnera deux images d'un astre S, l'une Sj par une seule réflexion sur la glace, l'autre Sj par deux réflexions successives sur les miroirs (f\g. 28).
i^ En un lieu quelconque de la terre, fixons le prisme après avoir dirigé le miroir BG suivant le méridien et voyons comment se déplacent Sj, S, pendant la rotation diurne, autour de l'axe du monde, de S que nous réduisons d'abord à un point ou à une étoile.
Par le centre 0 de la sphère céleste, menons les rayons Oa, Oh, Oc et OS,, OS^ respectivement parallèles aux normales art, (56, vc sur les faces du prisme et aux faisceaux ^S', aS". Appelons ces faisceaux image Sj, image S, pour rappeler qu'ils donnent ces images.
CIIAP. IV. — DIPLÉIDOSCOPE. 81
a, b, c sont sur un même grand cercle perpendiculaire au plan méridien et &, c sont symétriques par rapport à ce plan.
L'astre S décrivant son petit parallèle autour du pôle P, l'image S, décrit un petit cercle égal autour de p symétrique de P par rapport à h. Ces deux cercles sont décrits uniformément avec la même vitesse, dans le même sens, de gauche à droite, pour deux observateurs respectifs ayant les pieds en 0 et la tête l'un en P, l'autre en p.
L'image S' de S sur AB décrit aussi, avec la même vitesse constante, de gauche à droite, un petit cercle égal aux précédents autour de p' symétrique de P par rapport à c. En prenant S' symétrique de S' relativement à 0 et S, symétrique de S" relativement à a, ou, ce qui revient au même, en prenant simplement S^ symétrique de S' par rapport au plan méridien, on obtient l'image de S doublement réfléchie.
Les deux images Sj et Sj décrivent donc le même petit cercle autour de p comme pôle, avec la vitesse angulaire constante du mouvement diurne, mais en sens contraire. Ces deux images se superposent deux fois en [j., v pendant la durée d'un jour sidéral, lorsque S^ et S' sont symétriques par rapport au plan méridien, c'est-à-dire lorsque S traverse ce plan en m, n.
A une époque sidérale quelconque t, comptée à partir du passage de S en m, les arcs niS, \^.S^, [xS^ sont égaux et la distance angulaire 2V des images Sj , S, est donnée par la formule
(1) sin I V r= sin y? sin t,
qui résulte immédiatement du triangle sphérique SjpSj dans lequel
jj = 2i, pSj = pSj = la distante polaire "-£ de S.
Cette formule donne Vavec le signe -f- ou le signe — suivant que les images Sj, S^ s'éloignent ou se rapprochent de ;j,.
La coïncidence des images, au moment du passage méridien supérieur de S en m s'observe soit à l'œil nu, soit à l'aide d'une petite lunette L pointée dans la direction [j.O.
Le lieu du point p., lorsqu'on passe d'une étoile à une autre, est le grand cercle [).p'/ perpendiculaire au grand cercle abc, qui représente la base du prisme, et symétrique, relalivement à b, du méridien avec lequel il fait un angle égal à bOc. Le cercle [jl^jv peut se nommer
82 LIVRE ir. — MÉTHODES GÉNÉRALES D'OBSERVATION.
cercle de visée et la lunette L doit être montée à angle droit sur un axe de rotation perpendiculaire au plan de ce cercle.
A une époque quelconque t, les images S^, S^ sont symétriques par rapport au cercle '^.jj-i qu'elles traversent à angle droit au moment où S traverse le méridien.
2° Il est facile de se rendre compte maintenant de l'observation du soleil à travers le prisme. Tout ce que nous avons dit d'une étoile peut se répéter de chacun des points du soleil. Tandis que le centre S de cet astre décrit son cercle parallèle autour de P, ses deux images Sj , S^ décrivent un petit cercle égal autour de p en restant symétriques par rapport au plan de visée [ip^i (fig. 29). Deux points quelconques d, e du disque solaire, situés sur un même parallèle céleste, donnent de même chacun deux images d^ , d^ et e^ , e^ décrivant un même cercle autour de p, mais en sens contraire. Au moment où S franchit le méridien du lieu en m, les deux images du soleil se superposent. Alors les deux images de chaque point du diamètre du disque solaire qui se trouve dans le méridien, coïncident entre elles; et plus généralement gj d^ se superpose à e^ d^, de la manière indiquée pour le mouvement des images, c'est-à-dire e^ sur d^ et d^ sur Cj.
Les époques - des contacts des images S^ et S, avant et après le passage méridien du centre S du soleil, comptées de ce passage, sont données par la relation (1) en y faisant V égal au diamètre apparent 2 A de l'astre. On a ainsi
sin T = ± sin \ coséc $,
et 2t représente la durée du passage d'une image sur l'autre. Elle est égale à celle que met le disque solaire à franchir le méridien.
3" II est facile de vérifier, par le calcul, les résultats précédenls.
Soient (fig. 30) : 0 (X, Y, Z) un premier système d'axes rectangulaires où Oa, OP sont les axes des X et des Z;
0 (ce, y, z) un deuxième système d'axes obtenu en faisant tourner le premier autour de OX de l'angle w que fait OP avec la direction Oc de l'arête du prisme ;
0 (x'j y', z'), 0 {x\ y", z") les systèmes d'axes obtenus en faisant tourner le deuxième autour de Oz, de gauche à droite ou de droite à gauche, d'un angle a égal à la moitié de bOc.
CHAP. IV. — DIPLÉIDOSCOPE. 83
Dans ces quatre systèmes d'axes, les coordonnées rectiH«,mes d'une étoile S à l'époque sidérale t; comptée de son passage méridien, sont respectivement
X = sin 'X sin t, Y = sin (£ cos t, Z ~ cos X,
X = X, y = Y cos 0) — Z sin w, z = Y sin lo + Z cos w,
x' = X cos a — y sin a, y' = x sin a + ?/ cos a, 2' = z, x' = X cos X + y sin a, J/" = — as sin 0. + y cos a, 2' = z.
L'image simplement réfléchie Sj étant symétrique de S par rapport à 06, ou 0;/', a pour coordonnées x\ y[ z[ relativement à 0{x' y' z'),
et pour coordonnées x^ y^ z^ relativement k 0 {x, y, z),
oCj = x[ cos OL + y[ sin y. = y sin '•2 x — x cos 2a, y^ =1 — x[ sin a + y[ cos x =■ y cos 2x -i- x sin 2 a,
L'image doublement réfléchie S^ est symétrique, relativement au méridien PO2, de l'image intermédiaire S' qui est elle-même symétrique de S par rapport à Oc, ou Oy". Les coordonnées ^[, r,[, Zl et ç^ -^j l^ de S' par rapport aux axes 0 {x" y' z") et 0 (x, y,z) sont respectivement
Çj = Bl cos a — r,2 sin a, -^^ = çâ s''^ * + 'l' cos a, ^^^ = lj. Les coordonnées x, , ?/,, c^ de S^ par rapport à 0 (x y z) sont donc
x, = — ^2 ^^ ^ ^'^^ 2a + (/ sin 2x, y^ :=: r,, = — X sin 2a -f- y cos 2a,
La distance angulaire Sj S^ = 2V est donnée par
coi^Y=x^x,+ y^y,-hz^z,— y- -x' + z- = [ -2x^ = i-^sm'-S.smU
ou
sin - = sin^.sin t.
La direction de la lunette d'observation, à l'époque f :^ 0 de la coïnci-
dence de Sj, S^, est définie par les valeurs x", ^J, z^ de x^, y^, z^ à cette époque,
crî = sin(û!'— w)sin2a, y\^=^?,'m{'ï — w)cos2a, 2? = — cos(if — w).
Elle forme avec Oz un plan fixe, quelle que soit l'étoile, dont l'angle (I; avec le plan zOy où le méridien est défini par
a?" \<j: <h = -^ — \% 2a ou -:> = 2 X. '' ' ll\
Elle fait, dans ce plan, avec Or un angle i défini par
cos i — z\ — — cos (^ — w) ou i = 180 + w — S.
Toutes les autres vérifications se feraient avec la même facilité.
On peut encore remarquer que les parallèles menées, par 0, aux directions du faisceau lumineux incident et des deux faisceaux rélîécliis finalement sont, à chaque instant, sur un cône de révolution dont l'ouverture varie avec t, mais dont l'axe est constamment parallèle aux arêtes du prisme des passages.
4'' Il est clair que, par des observations de passage, l'on ferait la théorie des erreurs d'orientation de Oa ou du miroir BG, comme on fait celle des erreurs de l'axe de rotation de la lunette méridienne.
Etudier le mouvement des différentes pièces du sidérostat de Foucault.
Solution : Il est facile d'analyser d'abord la structure du sidérostat (fig. 31) :
1° Un miroir plan est mobile autour d'un axe horizontal. Cet axe est mobile lui-même autour d'un axe vertical fixe. Par suite, le miroir peut tourner librement autour du point de rencontre A des deux axes de rotation.
2° Sur le fond du barillet, portant le miroir, est fixée une tige ABC
CHAP. IV. — SIDHFiOSTAT. 85
peipendiculaire à ce miroir et pouvant glisser dans l'anneau articulé B qui termine la tige OB.
3" Cette tige OB peut prendre toutes les positions autour du point fixe 0 d'un arbre POP' dirigé suivant l'axe du monde. L'arbre PP' peut tourner sur lui-même; il porte un cercle horaire et un cercle de déclinaison qui permettent de caler OB comme une lunette équatoriale, sur la direction d'une étoile quelconque E ou de tout autre astre.
4" Un mouvement d'horlogerie, réglé sur le mouvement diurne de l'astre, fait tourner le système OCBA autour de PP'. Pendant cette rotation, BO passe toujours par E; l'anneau B glisse sur AG qui pivote autour de A en entraînant le miroir,
5" On a pris égales les longueurs invariables OA, OB; de sorte que la lumière envoyée sur le miroir par l'aslre E, dans la direction variable EOB, s'y réfléchit dans la direction constante OA que nous supposerons, pour fixer les idées, horizontale et allant du nord au sud.
Sur la sphère céleste de centre 0 et de rayon OA, considérons le triangle PEA (fig. 31); posons
0A = 0B = 2?; AB = 2r; o = latitude de 0, PE = y:, PA=18ao — 9, EA = 27., APE = f, PAE = ,3.
Le problème consiste à déterminer a, ,3, V en fonction de la variable indépendante t ou de l'angle horaire de l'astre. Le triangle sphérique PEA donne immédiatement :
' cos Ix =1 — cos :J!" cos 5 + sin ^ sin z cos f ,
(1) < sin 27. cos 3 := cos if sin s H- sin i? cos 9 sin t, { sin 2 a sin ^ =z sin L? sin t.
D'ailleurs, le triangle rectiligne isocèle AOB donne
(2) V = Al' cos- a = 11'' (1 — cos [ï cos s + sin ii sin 9 cos 0-
Les formules (i) et (2) fournissent : a ou l'angle de AG avec AO; 3 ou la rotation du triangle OAB autour de OA et V ou le glissement de la tige AG dans l'anneau B.
Menons le rayon Om parallèle à CA ou à la normale au miroir du côté de la face étamée. Soient T , t' la distance polaire et l'angle horaire de la direction Om. Imaginons trois axes rectangulaires : Oz, dirigé suivant OP; Ox, perpendiculaire à PP' dans le méridien et du côté sud; Oij, dirigea l'ouest; désignons les coordonnées rectilignes de m relatives à ces axes par x, y, z; nous avons
(;î) X = ^l s'm 'I' cos t' , y = 21 sin T shi t\ z = 21 cos T ,
pour définir le mouvement de m sur la sphère, dès que ^' et t' seront connus en fonction de t. Or, la projection du triangle OAB sur les trois axes coordonnés donne imméiliatenient :
/ V sin 12' cos t' = l (sin l£ cos f + sin 9), (4) ' V sin :î' sin t' =zlii\xi'£ sin t,
\ V cas 'X' = l (cos '2 — cos 9),
relations qui font connaître l\ T , t' . Des égalités (3), (4), on tire celles-ci :
sin ^ cos t + sin 9 sin if sin t cos 2? — cos 9 V ^"^-^ X ~ y ~ l ~ 2Ï- '
d'où
z sin S? sin t = y (cos ii? — cos 9),
z sin 'X cos t = X (cos ^ — cos 9) — z sin 9,
et, par suite, éliminant t
(6) (x* + y^) (cos f — cos 9) + 2' (cos 'I + cos 9) — 'Ixz sin 9 = 0,
équation du cône décrit par Om. Ce cône admet, comme plan diam lirai, le plan zOx sur lequel la courbe sphérique décrite par ?n se projette suivant l'hyperbole
z' . cos 9 — z X . sin 9 + 11- (cos ^ — cos 9) = 0.
Il admet aussi des sections circulaires perpendiculaires à PP'. Il n'est autre chose que le cône ayant A pour sommet et le parallèle de B pour directrice, après une translation représentée par AO.
CHAP. IV. — HÉLIOSTAT. 87
Étudier le mouvement des différentes pièces de l'héliostat de Silbermann.
Un coup d'œil attentif, jeté sur le sidérostat de Foucault, nous a montré que la cinématique de cet instrument se ramène à une question de géométrie élémentaire. Considérons maintenant l'héliostat (fig. 32) qui se trouve dans tous les cabinets de physique.
Un mouvement d'horlogerie H, réglé sur le mouvement diurne de l'astre S à observer, fait tourner uniformément un arbre ZZ', à raison d'un tour pour une révolution diurne de S. L'arbre ZZ' se pointe sur le pôle de la sphère céleste par une rotation autour de l'axe horizontal D, suivie d'une rotation de cet axe autour d'un axe lîxe vertical G. Voici comment on exécute ces deux rotations successives :
1° Pendant la rotation de ZZ' autour de D, un index, lié perpendiculairement à ZZ', parcourt les divisions d'un petit cercle vertical a' lié concentriquement à D et parallèle à ZZ' ; lorsque l'index marque 0", l'arbre ZZ' est horizontal. On fait tourner ZZ' autour de D jusqu'à ce que l'index marque la latitude o de l'observateur et on fixe la hauteur de ZZ' par une vis de pression.
2° Un cube h, muni d'une vis de pression, peut à volonté faire corps avec l'arbre ZZ' ou tourner autour de lui en entraînant un index sur les divisions d'un cercle e, centré perpendiculairement sur ZZ', mais lié seulement à la douille qui porte cet arbre.
Un cercle BB', porté par le cube &, peut glisser sur lui-même de telle sorte que son centre 0 reste immobile sur ZZ' et que son rayon En fasse avec ZZ' un angle égal à la distance polaire de S.
L'index du cube h marque 0° lorsque BB' est vertical. On fait tourner le système h, BB' autour de ZZ' jusqu'à ce que cet index marque l'angle horaire de S, répondant au moment marqué pour l'observation,
x\ ce moment on exécute la rotation de ZZ' autour de l'axe vertical C, jusqu'à ce que le rayon BO passe par S, ou jusqu'à ce que S soit
83 LIVRE II. — MÉTHODES GÉNÉRALES d'oBSERVATION.
visible par deux petits trous, presque diamétralement opposés et pratiqués dans BB' aux extrémités d'une corde parallèle à Bn. Lorsqu'il s'agit du soleil, le trou œilleton reçoit souvent un petit écran diaphane sur lequel doivent se peindre les rayons entrés par l'autre trou, lorsque la deuxième rotation de ZZ' est achevée. Alors ZZ' est dirigé sur l'axe du monde et sa position est fixée par des vis de pression qui s'opposent à l'une ou l'autre des deux rotations précédentes.
Au même moment on met en marche le mouvement d'horlogerie qui fait tourner ZZ' sur lui-même et par suite BO, constamment pointé sur S, autour de l'axe du monde.
Un cube a, muni d'une vis de pression, peut à volonté faire corps
avec la douille de ZZ' ou tourner autour d'elle. Il porte un cercle AA'
de centre 0, en lui permettant de glisser sur lui-même. Par rotation
de a autour de ZZ' et glissement de A A' sur lui-même, on peut
diriger le rayon A m de A A' sur un point quelconque p, fixé à la
terre.
Ainsi (fig. 33) : 0 est le centre d'une sphère représentant la sphère céleste ;
ZZ' un diamètre dirigé suivant l'axe du monde;
AO un rayon fixe relativement à la terre;
BO un rayon animé, par un mouvement d'horlogerie, de la rotation diurne d'un astre S autour de ZZ';
Ces deux rayons peuvent tourner sur eux-mêmes et sont articulés en 0, autour d'un axe OF, perpendiculaire à leur plan, au moyen de deux fourchettes respectives dont les plans déterminent sur la sphère les grands cercles A F, BF.
Lorsque OB tourne autour de OZ, les plans de ces fourchettes tournent respectivement autour de OA et OB.
Une coulisse rectiligne 01 peut tourner en 0, autour de OF, dans le plan AOB et reçoit le bouton N réunissant les extrémités N de deux tiges Na, N6 articulées respectivement en a, h sur OA, OB.
Par construction, le quadrilatère NaO& est un losange articulé en ses quatre sommets, qui se déforme dans le plan AOB, pendant la rotation de OB, et dont la coulisse diagonale ONI est toujours bissectrice de l'angle AOB.
Cette coulisse porte, perpendiculairement à sa direction, un miroir
CHAP. IV. — IIÉLIOSTAT. 89
plan qui réfléchit, dans la direction constante AOp, les rayons lumineux qu'il reçoit de l'astre S dans la direction variable SOB. Les données du mouvement sont :
Z = la longueur du côté du losange articulé OaN6; a = AOZ', distance polaire de l'objet p ; j3 = BOZ', distance polaire de l'astre S;
u) = vitesse angulaire de lu rotation diurne de cet astre autour de ZZ'.
Les inconnues intéressantes sont :
2j: = arc AB — 2 arc AI; Les angles A, B du triangle ABZ'; Le mouvement dans l'espace de la coulisse 01; Le mouvement du bouton N sur cette coulisse; Le mouvement de OF qui déteiunine la rotation des fourchettes autour des rayons OA, OB.
Nous allons les calculer, en comptant le temps t à partir de l'époque où l'astre S franchit le cercle horaire ZAZ' et le point B le cercle horaire opposé ZpZ' .
1" Le triangle sphérique ABZ' donne immédiatement x, A, B par les formules usuelles
cos 2x =-- ces X cos ;3 — sin x siu [3 cos wf,
La discussion de x, A, B est absolument la même que celle de la distance zénithale, de l'azimut et de l'angle paralluctique d'une étoile pendant son mouvement diurne. Cette discussion sera faite complètement dans les Exercices 41, -i2 auxquels nous renvoyons.
(^ — x\ est l'angle du miroir avec les plans des fourchettes.
2- Les angles Z'AF et Z'BF, c'est-à-dire ^ + A et ^-J + B, donnent la position, relative à AZ', du plan de la fourchette f^ qui tourne
autour de OA et la position, relalive à BZ', de la fourchette /^ qui tourne autour de OB.
La relation, sin a sin A =^ sin [5 sin B, montre que le rapport des vitesses de rotation est donné par la formule
dA tg A dB~ t"^'
et se réduit à l'unité, si x= ;3.
Les deux fourchettes tournent d'ailleurs en sens contraire. La fourchette /"„ tourne de droite à gauche pour un personnage fictif couché sur OA, les pieds en 0 et la tète en A; tandis que la fourchette f\ tourne de gauche à droite pour un personnage couché sur OB, les pieds en 0 et la tête en B
Pour t = 0, les angles A' et B sont nuls, les plans des fourchettes sont perpendiculaires à AOZ. Les valeurs de ces angles, à une époque quelconque t, représentent donc les rotations des fourchettes pendant le temps t.
On peut ohtenir d'ailleurs et discuter les angles A, B, indépendamment l'un de l'autre par les formules
cot A == (cot j3 sin a + cos a cos u t) coséc lo t, cot B = (cot a sin ^ + cos ^ cos œ t) coséc w t,
que fournit aussi le triangle ABZ'.
Mais pour la discussion de A, B, -— ? ——5 nous renvovons au.x
Exercices 41, 42 qui permettront en outre, par un simple changement de notations, d'écrire immédiatement les valeurs de ces quantités en fonction de t, soit sous forme finie, soit sous forme de série convergente ordonnée selon les sinus des multiples de cot.
3" Le mouvement dans l'espace de la coulisse 01, ou du point I sur la sphère 0, est déterminé par les valeurs des coordonnées angulaires A et X de ce point.
Mais le mouvement de la coulisse est défini plus simplement par celui du bouton N dans l'espace.
Le point h décrit uniformément autour de OZ', avec la vitesse angulaire w, un cercle de centre c et de rayon cb = l sin p. La tige
CHAP. IV. — HÉLIOSTAT. 91
aN étant constamment égale et parallèle à 0&, le point N décrit aussi, avec la même vitesse constante w, un cercle de même rayon, <lans un plan P perpendiculaire à ZZ' et dont le centre c' est Textrémité de la droite ac' égale et parallèle à Oc.
Le plan P coupe le plan AOB suivant une droite FiNji, divisée en N dans un rapport constant, puisque ON est bissectrice de l'angle ROn. Le point R est donc le centi'e d'homotliétie des deux cercles décrits par les points N et n. Ainsi :
Tout plan parallèle à Véqualeur coupe le cône circidaire droit décrit par OB et le cône circulaire oblique décrit par ON suivant deux cercles dont le centre dltomotliétie est sur OA.
Le plan AOZ' est un plan principal du cône décrit par ON et contient deux génératrices de ce cône qui sont évidemment symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle AOZ' et inclinées sur
celte bisseclrice de -• Donc :
Les sections circulaires de ce cône, cmti-parallèles aux précédentes, sont déterminées par des plans perpendiculaires à la droite fixe AO.
4" Si nous désignons par y la distance rectiligne ON, du point 0 au bouton N, prise positivement du côté de la face non étamée du miroir, le triangle isocèle NoO donne
y z=z 21 cos X, ou
y- = 'If (1 + cos 2,x),
c'est-à-dire, en substituant à cos 2a: sa valeur (1°),
y- z=: 2P (1 -{- cos 7. cos ,3 — sin a sin ^ cos wf),
par suite,
y ■ — = (o(-.sin 7. sin 3 sin wt.
•^ dt
On voit facilement que y^ ne peut jamais s'annuler, sauf dans le
croissant,
cas sinpfulier où a + ^ = z, que nous écartons comme étranger à la
. ., , . ^ du , . ,
pratique, y reste donc toujours positit et le signe de — est celui de
sin (i) t.
pour i = 0, y = ± 2Î cos I (x + ,3) = '"7 minimum ) i
— t = - î/ = 2i cos 5 (a — [') ^= ^ïj maximum '
' décroissant,
— t=— '5 y =z ±. 21 cos 2 (a 4- ^) = »î, minimum ^
en prenant le signe -+- ou le signe — devant l'expression de m suivant que a + 3 est <; ou >> t.
Pour deu.x valeurs de t équidistantes de - 5 y prend les mçmes
valeurs.
La course du bouton, dans son mouvement recliligne alternatif sur la glissière normale au miroir, est
M — m = il sin î 7. sin \ ^, ou
M — m = 4:1 cos j X cos \ ,3,
suivant que 7. 4- ,3 est <: ou >- -.
Lût croissant de 0 à 2-, la vitesse relative de ce mouvement part de 0
et croit aussi jusqu'à l'époque t := -^ ; puis elle décroît jusqu'à
l'époque f = -5 à laquelle elle redevient nulle et le soleil franchit le
cercle horaire de Op. Elle devient négative de f = -ài= — en
repassant par les mêmes valeurs, mais en ordre inverse.
CHAP. I. — MOUVEMENT DIURNE d'uNE SEULE ÉTOILE. 93
