PN<2 <PS

ou la condition (8). L'étoile est toujours levée si y? <; PN, toujours couchée si ^ >> PS.

2° Angle sous lequel l'étoile traverse l'horizon à son lever ou à son coucher. — L'angle parallactique q est, à chaque instant,

CHAP. I. — MOUVEMENT DIURNE d'uNE SEULE ÉTOILE. 95

le complément de l'angle sous lequel l'étoile franchit son vertical ZE ou l'angle môme sous lequel elle franchit son almicantarat, c'est-àdire le pelit cercle horizonlal de la sphère mené par E.

On aura donc l'angle sous lequel l'étoile traverse l'horizon en fjisant z = 90" dans la relation (3), ce qui donne

(9) cos ^ ^ cos ç coséc ^,

si l'inégalité (8) a lieu, la formule (9) donnera entre — - et + ■;: deux valeurs égales et de signes contraires, la négative répondant au lever et la positive au coucher.

3" Hauteurs méridiennes de l'étoile. — Si on fait ( = 0 ou t = z dans la relation (1), on ohtient la distance zénithale 2, ou c,- de Tétoile à son passage supérieur ou inférieur par la première ou la seconde de ces formules :

cos z^ = cos (o — iJ), cos Zi = cos (s + lE), ou hien

cas distances étant regardées comme positives ou négatives, suivant qu'elles sont comptées à partir de Z vers le pôle nord P ou vers le pôle sud.

4° Pendant toute la révolution diurne de l'étoile, on a l'égalité de rapports

sin a sin q sin t sin i£ sin o sin z

qui montre que sin a et sin q restent égaux à un fadeur constant j)rès sin l£ coséc s.

bP A un moment quelconque, q et son complément q' représentent respectivement l'angle sous lequel l'étoile traverse son almicantarat et son cercle vertical ou, en d'autres termes, le fil horizontal et le fil vertical d'un théodolite pointé sur elle.

Lorsque ^ = 0 ou 180", l'étoile franchit le méridien et suit le fil horizontal. Lorsque q = ± 90°, elle suit le fil vertical. Pour que cette dernière circonstance se présente, il faut et il suffit que l'on

puisse tirer de

sin a = sin '^ coséc z sin q avec sin q = ± i

une valeur réelle pour «, c'est-à-dire que l'on ait la condition

sin- îJ? < sin' 5,

ou o compris entre ^ et 183'' 'I. Cette condition étant remplie, les valeurs de a correspondantes à ^ = ± 90° sont égales, de signes contraires; la positive représente un minimum de a, après le paslage méridien; la négative un maximum de a avant le passage.

On désigne souvent ce maximum et ce minimum de a sous le nom de minimum et maximum d'élongation.

Pour un lieu de colatitude ç, étudier, dans le mouvement diurne d'une étoile de distance polaire fg, les variations de la distance zénithale z, de l'azimut a et de Vangle parallactique q en fonction de l'angle horaire t.

Solution: Dans le triangle PZE (fig. 36) formé, sur la sphère céleste, par le pôle, le zénith du lieu et l'étoile, les côtés,

? = PZ, l2=rPE, z = ZE,

pris en valeur absolue, restent compris entre 0 et -; tandis que les angles

t = ZPE, a = SZE, ^==PEZ,

comptés autour de leurs sommets, positivement dans le sens du mouvement diurne et respectivement à partir de PZ, ZS, EP, peuvent varier entre 0 et 2::. Ce triangle donne :

('!) cos z = cos ç cos a' 4- sin 9 sin ^ cos t,

(2) — sin z cos a =: sin 9 cos ^ — cos 9 sin S cos t,

(^) sin ;: sin « = sin 2 sin t,

(4) sin z cos q = cos 0 sin ^ - sin 9 cos ^ cos t,

(^) sin z sin q = sin 9 sin t.

CIIAP. I. — MOUVEMENT DIURNE d'uNE SEULE ÉTOILE. 97

t't, par suite,

c-\ . dz . ^ .

(p) ' sin - yr = sin [l sin 5 sin t,

.. . da . ^

(7) sin z ~ = sin iX cos q,

/ON • cig

(o) sin z -~ ^ sin ç cos a,

(6) par la différentiation de (1); (7) et (8) par la différentiation de (2), (3) et (4), (5) suivie de l'élinuiiation de cos z -^ •

Les formules (6), (7), (8) montrent (|ue les dérivées — ? — > — -

dt dt d t

auront toujours les signes respectifs de sin t, cos q, cos a.