VARIATIONS DE Z

Pour t =: 0 et t = T., on a, par la formule (1), cos z = cos (9 — lî), 2 = ± (3 — ^I) J

et

cos z = cos (9 + li'), - = ç 4- M?,

de

-7- avant le signe de sin t, on voit que r croît constamment de son

minimum ± h — ^) à son maximum 9 + y!' lorsque t croît de Û à-, et décroit de 9 + ^ à ± (9 — ^-î) lorsque t continue à croître de

VARIATIONS DE Cl ET q.

da dq , , . , . , .

— - et -— ne peuvent changer de smne qu avec cos q et cos a, c estdt dt ^ r, .. 1

à-diro pour les seules valeurs de t qui annulent respectiveuient ces

cosinus. Or, on voit, par les formules (2), (4), que

cos a ==0, seulement pour cos f = tg 9 cot i?, si tg'9 cot* :iî' -< i, cos 5 = 0, — cos t=: cot 9 tg IJ?, si tg" O cot* ïX > '1 •

Mais la condition tg- o cot- ; ? < 1 ou tg- 9 < tg- iX a lieu ou non

98 LIVRE m. — LA TERRE ET LE MOUVEMENT DIURNE.

suivant que ':£ est compris ou non entre o et 180 — s. Nous distinguerons flonc quatre cas.

1°'' Cas. y? <: ç et 180 — ç. Alore ces a ne s'annule jamais et conserve toujours le même signe, tandis que cos q peut s'annuler en chani^^eant de signe. Or, les formules (1), (2), (3), (4), (5) montrent que

^ ( cos a = — 1, sin a = 0, a = -z,

pour t = 0, 2 = 5 — a,] . . ^

'■ ' t cos q = — i , am q = 0, q =^ r.,

pour cos t =z cot 9 .tg il, J cos ^ = 0, q zn ± ^^

Donc, lorsque t varie de 0 à 2::, g décroît constamment de + ■:: à — T.; a décroît d'abord de r. jusqu'à un minimum qui a lieu à

l'ouest lorsque q = + '^^j pour croître ensuite jusqu'à un maximum

qui a lieu à l'est lorsque g = — ^"' et enfin décroître jusqu'à -. Les

valeurs de t, z, a correspondantes à ce minimum et à ce maximum d'élongation sont données par les formules

(9) cos t = cot s tg [S, cos s = cos ç . séc lî, sin a:= ± coséc o . sin ^.

Le maximum et le minimum de a sont égaux et de signes contraires, à une circonférence près, ainsi que les valeurs correspondantes de t. Les deux valoius de - sont égales.

2« Cas. 'I >- o el 180 — ç. On voit aisément que

( cos « = + 1 , sin a = 0, a = 0, pour t =^ 0, z = 'i — z, ]

' (cosq = + i, ^[nq = {), '/ = 0,

pou V cos t = cotg 5 . tg ^, { cos g r= 0, q =

D'ailleurs cos a ne s'annule jamais et conserve toujours le signe jjIus, de sorte que q croît constamment de 0 à 2:: avec t. Mais cos q

s'annule en passant du positif au négatif lorsque q = '^^ et du négatif au positif lorsque q = 3 ^ y de sorte que a croît d'abord de zéro

CHAP. r. — MOUVEMENT DIURNE d'uNE SEULE ÉTOILE. 99

jusqu'à un certain maximum qu'il atteint pour q = % décroît ensuite

de ce maximum à un minimum atteint pour g = + 3 - et revient

enfin de ce minimum à zéro. Les valeurs maxima et minima de a, ainsi que les valeurs correspondantes de t et z sont d'ailleurs données par les équalions (9).

',>'^ Cas. 9 <; [Î <; 180 — o. Dans ce cas, on a

„ ,-, ( cos « = 4- 1 sin a = 0, a = 0,

pour t = 0, « = 'î — c, ' . . ' '

' ( cos q =z -h i, sin q = 0, q = 0,

pour cos i ■=■ tg ç/.cot ^, ; cos a = 0, a = '-- T '

On voit que, cos q ne s'annulant jamais et conservant le signe ■plus, l'azimut a croît constamment de 0 à 2-, tandis que q croît de

zéro jusqu'à un maximum atteint lorsque a = + '^•' décroit ensuite jusqu'à un minimum atteint lorsque a = + 3 -' et revient à zéro.

¥ Cas. 180^ — ? < :J^ < ?• Alors on a

pour t = 0, z — o — 1 , . . ..

( cos q z= — 1, sin q = 0, q = t.,

pour cos t = tg ç cotg ^, J cos a := 0, a ^ — ô"

Cos q ne s'annulant jamais et conservant le signe moins, l'azimut a décroît conslamment de z à — z, tandis que q décroît de •:: à un

certain minimum atteint lorsque a = - ■> pour croître ensuite à un

certain maximum atteint lorsque a =z — ^ et enfin décroître jusqu'à t..

Le maximum et le minimum de q, égaux et de signes contraires, à une circonférence près, .sont d'ailleurs donnés, dans les deux derniers cas, avec les valeurs correspondantes de r et de /, pai' les formules

(10) cost = tgçcotgSi?, cos2:=séc çcos IX*, sin g— ± sin scoséc iî,

^ ^ cos a = — 1, sin a rr: 0, a = t:,

PiEMARQUE I. — On peut aussi étudier directement et indépendamment a et q par les formules

cotg Li? sin 0 =: cos 3 cos t + sin t cotg a, cetpr z, sin Sf = cos 'î cos t -h sin t cotg g.

R.E.M.\RQUE II. — Tous COS résultats sont d'ailleurs évidents par la géométrie pure, pour un observateur fictif ayant les pieds en 0, au centre de la sphère céleste, et la tète, soit en E, soit en Z, pour suivre la rotation, soit de EZ, soit de ZE autour de E ou Z, par rapport à EP ou ZS pendant que l'étoile accomplit sa révolution diurne.

Corollaire.

Démontrer que la vitesse avec laquelle une étoile s'élève audessus de l'horizon d'un lieu donné dépend uniquement de l'azimut de cette étoile.

Solution : Si on désigne par z la distance zénithale, par a l'azimut, par t l'angle horaire de l'étoile et o la colalitude du lieu, la solution est donnée immédiatement par la relation (6) de l'exercice précédent, mise sous la forme

dz :=: sin 9 sin a.dt.

Ainsi toutes les étoiles traversent un même verlical du lieu, avec la même vitesse sin o sin a estimée suivant ce vertical, et l'instant de leur passage sur le fil horizontal d'un théodolite, fixé en azimut,

peut s'apprécier avec la même exactitude. La vitesse -— est d'ailleurs

dt

maxiina clans le 1'^'' vertical, pour a = 90"^.

11 résulte de là que, pour déterminer l'heure sidérale par la méthode des hauteurs correspondantes, il convient de prendre, vers le 1' •■ vertical, une étoile qui traverse le jnéridien près du zénith ou dont la distance polaire ^ est voisine de ç. Les observations correspondantes se font alors à des intervalles très courts, pendant lesquels on n'a à craindre ni les dérangements de l'instrument, ni les variations de réfraction dues au changement de température ou de pression, ni

CIÎAP. I. — MOUVEMENT DIURNE d'uNE SEULE ÉTOILE. 101

enfin les irrégularités insaisissables que cette réfraction présente dans le voisinage de l'horizon.

Développer a, q, z en séries convergentes, suivant les sinus ou cosinus des multiples de t.

Solution : I. — Les formules de Delambre, appliquées au triangle PZE, en désignant par A', B', C, a', h', c' les éléments de ce triangle et posant :

donnent :

(1) Formons

^^^cos ;Ci-f-9)^ ^, ^ sin i {'£ + o) cosJ-(^ — ?)' sin|(^ — ç)'

[ tg.i(a-g) = /.tg- ^, I lg4{a-^q) = k'ts- |.

,1 1 — fo- i 'P to- i m 1?' — - z=. COt -- 'E to' i S.

n — — — 7 — ife 2 «^ ^o 2 ?j "' — î' i I — 2 ■* "^O 2 r'

et distinguons encore quatre cas.

l» l£ < 9 et 480 — ç. Alors on a :

et pour t = 0,

a = -, q = T., I {a — q) = 0, \ {a -h q) = t., par suite, pour une valeur quelconque de t (i'2'' exercice),

Ua — q)= - + T ^i" t + T.- si» -^ + ... H sin pi + ...,

i(a4-g) = ::^isini-^sin2f-...-^sinpi-...,

102 LIVRE IH. — LA TEItRE ET LE MOUVEMENT DIURNE.

«::=.+ (h- l)sint + i(.r-i,)sin2i

H — In'' .sin 2^ t 4-

r^=^-t-(^n + i) sin t - \ (n^ + ^) sin 2t

- ( nP -i r ) sin pt

Il est d'ailleurs facile de voir que

n'' - = tgp I 2 (± tg" J ç — cot" I 9),

n'' + -y^ = tg" { ^ (± tgP I 9 + col" -\ ç),

en prenant le signe supérieur ou inférieur suivant que p est pair ou impair.

2° 'i > ? et 180 — 2. Alors on a

fc<0, n->l; A-.'>0, ?i'-<l, et pour f = 0,

a = 0, g = 0, I (a — g) = 0, ^ (« + g) = 0, par suite, pour une valeur quelconque de t,

i (a — g) = — ^ sin f — ——^ s\ïï2t + ... sm p t

' ^ ^ 2 71 2rt- pn"

t n'' n' '^ {ci + g) = - + n' sin t 4- — sin 2 f + . . . H sin pt-\- ...,

d'où

( ;?' jsin t + l ( n'- -, jsin2i+ ... +-|n'J' ^Jsinpt+ ..

(n +- Isint + \ \n"^ -f- -^ )sin2f -h ... +-( u'''h |sin/)^-t- .,

CHAP. I. — MOUVEMENT DIURNE d'uNE SEULE ÉTOILE. 103

3" ç < a"" < '180 — 0. Alors, on a

/.; :> 0, 71- <; 1, /,;' > 0, n'- -< 1, et pour t = 0.

a = 0, q=0, l (a — q) z=z 0, J (a + q) =z 0, cFoù

a=zt-h(n + 7i')sh\t+ — sin2t+...H sin/)f + ...,

q=z [H — 7i)sint-\- 1 ~ isin2t + ... +• sinpt 4- ...,

4» 180 — 9 < IS < 3. Alors, on a

A; < 0, ?i* > 1 ; A;' < 0, n'* > 1, et pour t = 0,

a =r.z, q — T., I (a — q) = 0, l (a + q) = t., par suite, pour une valeur quelconque de t,

Ua — q)=z — sin t — —— , sin 2t ... sin pt — ...,

d'où

a=zr. — t—l- + -\ sin ( — i ( — -+- — ^ ) siu 2f ... \)i ?i / ■ \H- n - 1

+ r) sin pf ....

REMARQUE

La ùifférentiaLion, par rapport à t, des formules précédentes donnerait immédiatement les développements en séries de —, — • On

dt dt

peut aussi avoir ces dérivées, sous forme finie, en différentiant les équations (1). On obtient ainsi les formules

' j / \ cos^ — -^

i dt ' t t t '

1 cos^ - cos' - + k^ sin^ -

j / \ cos-

dt t t t

cos- - cos^ - + k'^ sin^ -

ou

da '''' ô + ^^' ^^^

I (cos^^ + /.^sin^^j(cos^i + /,-sin^^j

dq cos\|-A-^'sin^|

dt / t t\ / t f\

^cos^ - + /c^ sin^ -j ^cos^ ^^ + /,- sin* ^j

On a en outre :

A- + /■•' ^ J^J:l ^ k'~k__ sino ,sin(i? + o)

2 sin(iX"-ç)' o -.sin(:jj s)' ^'^^ "".^hT^J^)'

On pourrait se proposer, comme exercice de calcul, de retrouver, à l'aide de ces formules, tous les résultats de la discussion du problème précédent.