h — -l)cos^ "* 1.2 ... n
cos'" z — fi'" cos-" t + 1n ai'î-"-' cos'«-' i + ...
2n (2)1 — 1) ... (2n — /^ + 1) , ,^., , ,„ , , ^ î^ '- ^^ — ■ '- y} iS'"~^cos-"-^ t ... + a'".
La substitution dans (3) donne pour -r^ une série dont le ternie i;énéral est intégrable, et, par suite,
/ 2>i(2n — 1) ... (2n — fc + 2) , ,., ,^, ,, .^, ,
On n'a plus qu'à remplacer dans (4) les puissances (2n — fe + 1)« de cos t ])ar leurs expressions en cosinus des multiples de t, pour obtenir z développé en série suivant les mêmes cosinus de ces multiples. Les coefficients de cette séi-ie sont donc faciles à former en fonction de y., ^ oW^, 0; mais nous laisserons au lecteur le soin de calculer la loi de leur formation.
Calculer les dérivées imrtiellcs de l'azimut a, de Vangle parallactique q, de la distance zénithale z d'une étoile, considérés
106 LIVRE Iir. -* LA TERRE ET LE MOUVEMENT DIURNE.
comme fonctions de trois variables indépendantes : la colatitiide o de V observateur, la distance polaire ]£ et l'angle horaire t de cette étoile.
Solution : Le triangle formé par le pôle P, l'étoile E et le zénith Z . donne les relations
/ cos z ■=. cos 'ï cos 9 4- sin 'J. sin ç ces i,
(1) I sin z cos a = — cos il" sin ç + sin Ûî" cos ç cos f,
' sin ;^ sin a = sin \l sin t.
En formant les différentielles totales des deux dernières, nous avons
icos z cos a dz — sin z sin a da = — sin ^ cos ç sin tdt — cos zdo -h (sin i? sin 9 + cos ^ cos o cos t) d '^S, cos :r sin a dz + sin ; cos a da = sin y? cos tdt -\- cos 2 sin f d^.
D'ailleurs, en vertu d'une formule démontrée (2® exercice),
(3) sin iT sin 9 + cos ii? cos 9 cos t = sin a sin q + cos a cos q cos z.
Si, dans les formules (2), on fait successivement : 1° dç = 0, d'^ = 0; 2° dt = 0, d'I = 0; 3° do = 0, dt = 0, pour les résoudre par rapport aux différentielles partielles dz et da relatives respectivement à dt, dz, dJ!, on obtient :
1° cosr — = sin ^ (sin « cos t — cos «sin icos c),
da . ^, . . .
sm z -j-= sin [X (cos a cos t + sin a sin ( cos 9) ;
2*^ cos.:—- = — cos « cos r, do
da .
sinj-— = sm«cos2; do
dz , ■ ■ , . ^ .
3° cos.:-7-^= cos a (sm a sin ^ + cos a cos ^ cos:;) 4- sin «cos J: sin f,
et Xi
da .... ' . ^ .
sm j -— = — sm « (sin « sm (v + cos « cos « cos z) + cos « cos il sin f :
ou, en remplaçant cos'a par (1 — sin-«j et sin'« par (1 — cos' «)
CHAP. I. — MOUVEMENT DIURNE D'uNE SEULE ÉTOILE. 107
respectivement clans la première et la seconde de ces deux dernières i'ormiiles,
ces z -7^ = ces q(io%z-\- sin a (sing ces a — cos(/ sin a cos z + ces î£sinf ),
da . , . . ^ ■ ^\
sm :: — -, = — sin a + cos cf (suif/ cos a — cos a sm « cos2 + cos [X sint).
Mais deux formules élémentaires de la trigonométrie sphérique, " savoir :
cos B = — cos G cos A -f- sin G sin A cos 6, sin B cos c r= cos G sin A + sin G cos A cos &,
appliquées au triangle PZE, donnent immédiatement
/ cos g = cos a cos i + sin a sin t cos 5,
! sin g cos z = sin « cos t — cos a sin t cos 9, \ sin t cos 1^ = — cos a sin g -f- sin a cos g cos :r.
On a donc finalement
/ rfs • ^ • . da . ,
I — = sui 'x sin (L sin z —- z= sin U cos g,
(4) } — z=i — cos a, sin j -— = sm a cos ^, j aç do
' \ dz . da
\ d5= """i' sm ,- ^^ = - s,n ,.
Si, au lieu des équations (1), on considère les équations analogues
/ cos ^ = cos LE cos 9 + sin 'X sin 0 cos t,
(5) ' sin ;: cos g = sin l-f cos 0 — cos [Z sin ^ cos f, ' sin z sin g = sin 5 sin f,
pour les traiter de la même manière, on obtient
l dz . . . dq
j -— - zzz sin c sm «, sin z —r- = sm s cos a,
{ dt ' ' c/t
,,., ) dz . dq
(b) ! ~— =: — cos a, sm :r -— = sin a,
ï do do
J dz . dq
--— = cos q, sin ^ — ^ = — sm g cos z.
dX ^' d'£
108 LIVRE m. — LA TERRE ET LE MOUVEMENT DIURNE.
Mais il est superflu de faire un nouveau calcul. On remarque que l'on passe du système (1) au système (5) en remplaçant dans (i) les quantités a, <^., ^ par (- — q\ o, '£ et réciproquement. Le même changement dans (4) conduit à (6) et réciproquement.
D'ailleurs tout calcul est inutile et doit être considéré comme un pur exercice de vérification des formules différentielles générales, établies au n« 16 du Cours :
ce — cos B sa + cos A zb + sin a sin B oC, sin coX= sin Boa — sin A cos c ob ~ cos B sin a BG, sin c oB = — cos c siii B Sa + sin A s& — sin b cos A oG,
qui, pour le triangle PZE, dont nous désignons les éléments par A', B', G', a' , b' , c' , en posant
donnent immédiatement les formules (7)
( ^^- = — cos rt.ds + cos^.cZS + sin s sina.df,
(7) < sin zdq=: sin a.ds — sin q cos z.d'£ + sin o cos a.dt, [ sin zda= sin a cos z. do — sin q.d'I -i- sin 'I cos q.dt,
équivalentes aux systèmes (4) et (6).
a, q, z étant considérés comme fonctions de 'I, ç, t, calculer
quelques dérivées secondes, jmr exemple ~, ^, — .
^ dt^ dt' df-
Solution : Nous venons de voir que
da
= sin ■£ cos g, sin c ^ = sin c cos r/.
dt
La différentiation des relations (1) donne successivement
/t\ • aa ■ ^ dci fi -
CHAP. I. — MOUVEMENT DIURNE d'uNE SEULE ÉTOILE, 109
d'Ci dz da . ^ . dfi
sin z ——- + CCS 3 — = — sin ;x sin q -— ?
, de dt dt ^ dt
,0 ) . d^q dz dq . . da
y.^) sin z — -, + ces c -T — r- = — sjn o sin a - 5
i de dt dt ' dt
I d^z . ^ dq
— — z= sin [X CCS q —— • dt- ^ dt
Multiplions les équations (2) par sin z et reinplaçons-y les quantités
da dz . dq dz . da . dq
sin z '— -r y sm - -— — -5 sin s — — ? sin z -— par leurs valeurs dt dt dt dt dt dt *
tirées de (i), il vient le système (3)
sin^ - — - + cos z sin^ 'j; sin q cos g = — sin y. sin q sin c; cos a,
(.'!), sin" z ——z + cos z sm œ cos a sin IX sin r/ = — sm s sm « sm '-!; cos r/,
f . rf'2 . ,
! sm z -7-^ = + sm IX cos q sm 0 cos «,
(Toù l'on tire
sin^ z •— ^ =: — sin 'X sin g (sin o cos a + sin ^ cos 7 cos ^),
. , dVjf . ^ . , . . -
sin^ z — r :=: — sm '^' sm o (sin a cos f/ + cos a sin g cos ^). dt- ' ^ ^ ^ I
Mais, sur le triangle PZE, on a immédiatement ,
sin ç cos « = — cos $ sin z + sin fj? cos z cos 7, sin t cos 0 = sin a cos g — cos a sin g cos î;
par suite, le système (3) peut s'écrire
sm- :; — - = — sm U: sm q (2 sm 0 cos « + cos 'x sin 2),
, ., 1 sin^ 2 — ^ = — sin '2 sin o (2 sin a cos q — cos o sin t) (4) de
j = — sin o sin a (2 sin y? cos q — cos s sin z),
1 sin z — r := sm X cos q sm c cos a.
\ dt
110 LIVRE m. — LA TERRE ET LE MOUVEMENT DIURNE.
Les relations (4) répondent à la question. La deuxième de ces relations peut se déduire, sans calcul spécial, de la première en y remplaçant
a, g, U?, 0 par 180 — q, 180 — a, o, 2,
et réciproquement, résultat évident a priori.
Les angles a, q, t étant regardés comme fonctions des côtés [X, 0, z, calcider 1^1 •
Solution : Pour distinguer les dérivées, calculées précédemment, de a, g, z considérés comme fonctions de ii", s, t, des dérivées de a, q, t considérés comme fonctions de ii*, o, z, nous envelopperons les dernières d'une parenthèse.
Nous avons vu que
donc,
par suite,
mais on a
d'où
dz
— - = sin 0 sni o, dt
/dt\ 1 1
\dz/ dz sin s sin a
cûs a /da
cosec o —
sm- a \dz }
da {^^'^(\ '^2 'dt ~ \dz) dt'
(da\ cot q dz)~
sm z et, par conséquent,
(d^t\ , cot a cot q cot a cot q
dl^) =
cosec c
sin a fiiaz ' sm o sm X sm t
CHAP. I. — MOUVEMENT DIURNE d'uNE SEULE ÉTOILE. 111
En un lieu de colatitude 5, on a observé la hauteur li d'une étoile connue E {3o, T). Quelle est l'heuve sidérale locale 6 de l'observation?
Solution : R étant la réfraction subie par l'étoile, la distance zénithale dans le vide, z, est
L'angle horaire t de l'étoile est donné par la formule
CCS z — cos ^ cos 0
cos t =
sin 'X sin o
aisément calculable à l'aide des logarithmes de Gauss. 0 est ensuite fourni par la relation évidente
On a mesuré rapidement plusieurs distances zénithales voisines z' , z", ... d'une étoile E {J{), ^) pour déterminer l'heure sidérale en un lieu de colatitude o et calculé seidement l'angle horaire t répondant à la distance z mesurée vers le milieu de la série. On propose de trouver les autres angles horaires t' , t", ... répondant à z' , z\ ... par l'emploi de formules différentielles et d'évaluer les erreurs ainsi commises.
Solution : Après avoir calculé t par la formule usuelle
cos z = cos 0 cos y? + sin ç, sin Si? cos t, on posera
V =t -h dt\ z' =zz + dz', t' = t-\-dt\ z" = z + dz\
et on calculera J(', cil" , ... par les relations connues
dans lesquelles
dt\ sin z
^dzj sin © sin i£ sin t
Le logarithme de sin 5 sin 'X ayant été formé déjà pour le calcul de t,
on aura I — j facilement, par le seul emploi de deux logarithmes,
ceux de sin z et sin t.
D'ailleurs, la série de Tavlor donne
/clt\ , , i /dH\ —-
/dt\ . „ 1 /d-t\ -
et montre que les erreurs c' , c\ ... commises en prenant sont sensihlement
expressions où l'on a
cot a . cot q
uw
sin G sin 'X sin (
Si l'on veut que les erreurs commises soient plus petites en valeur absolue que 1" de temps ou 15" d'angle, il faudra que dz'\ dz'' ... soient inférieurs à la valeur absolue de /.', en posant
30" . sin 9 sin 2? sin t
cot a cot q et exprimant dz', dz", ... en secondes d'arc.
Voulant déterminer l'heure sidérale^, en tùi lien de latitude 5 avec un clironom'etre dont Vétat r est connu approximativement, par la méthode des hauteurs correspondantes, on a observé une étoile connue E {^\), 'S) sous les distances zénitJiales z, z' qui ne sont pas rigoureusement égales, soit à cause de l'arrivée de quelques nuages qui ont un peu avancé ou retardé V observation de z', soit à cause des variations de température ou de pression qui ont changé la réfraction, soit pour tout autre motif. Tenir compte de la différence entre z et z' .
Solution ; Posons
Z = z + dz, — t' = t + dt,
en désignant par t, t' les angles lioraires de l'étoile qui répondent
h z, z' respectivement.
La formule (5) du n° 224 du Cours donne, en y faisant d^ = 0,
dz
dt = séc o.coséc a.dz =
cos 5 sin a
Si T, T', T,„ sont les heures du chronomètre correspondantes à z, z' et au moment du passage méridien de l'étoile, on aura
30 cos 0 sin a
en supposant dz exprimé en secondes d'arc et la marche du chronomètre constante pendant la durée (T' — T) de l'observation.
La correction à apporter à la moyenne arithmétique des époques T et T' est donc d'autant plus faible que l'azimut a de l'étoile est, à ces époques, plus voisin de 90".
L'état du clirouduiètre étant connu à peu près, on a f = T — .1) + >' et, par suite, sin a = sin ii" sin t coséc z, avec une approximation suffisante pour calculer cette petite correction. On emploiera donc la
formule
dz
"" ■ 30 cos 9 sin s£ sin t coséc 2
et l'on aura pour l'état exact r -h dr du chronomètre, au moment du passage de l'étoile
r + dr = A^ — T,„, ou
Calculer les effets apparents de la réfraction sur le mouvement diurne.
Solution : 1° Soient (fig. 37) :
P le pôle, Z le zénith du lieu ;
PZ = o la colatitude de l'observateur;
J[), ^ l'ascension droite et la distance polaire de l'étoile considérée;
E la position vraie de cette étoile, vue dans le vide à l'époque
sidérale 6; E' sa position apparente, vue dans l'air à la même époque.
Connaissant s, ^^, i^, ô, on peut calculer les éléments inconnus du triangle PZE, savoir :
ZE = r, ZPE — f, PZE =1-180 — a, PEZ = g.
La réfraction n'altère pas l'azimut x de l'étoile, mais diminue seulement sa distance zénithale z d'une quantité p donnée par les tables. On passe de la position E à la position E', ou du triangle PEZ au triangle PE'Z en faisant varier uniquement z de zz = — p. Soient :'
t + z't = ZPE', â? + 2'^î = PE', q -hcq = PE'Z.
Pour obtenir immédiatement les effets l't, l'^, l'q de la réfraction
CHAP. I. — MOUVEMENT DIURNE d'uNE SEULE ÉTOILE. 115
sur f, U?, q, il sullit de poser
A = ^, a = z, cB = 0,
B = 180 — a, h = '^, 5a = — p, C = q, c = <p, oc = 0,
dans les formules A" du S» type, 2^ du 1^»- type, S® du 3" type, prises dans le tableau B des relations différentielles, donné au n^ 16 du Cours. On obtient ainsi, en négligeant le carré de la réfraction p,
h' t := — p sin ^ coséc l£, 8' f = — p cos q, o' q = — p cot ii* sin q.
Comme vérilicalion, menons l'arc de grand cercle E'a perpendiculaire à PE et le triangle E'Ea qu'on peut, à notre degré d'approximation, regarder comme rectiligne et rectangle en a donne :
aE' = EE' . siti E, aE = EE' cos E, ou
sin '£,0' t =: — p sin q, 0' 'X = — p cos q.
2° Soit 0 + 50 l'heure sidérale à laquelle la distance zénithale vraie de l'étoile est égale k z + oz, c'est-à-dire à sa hauteur apparente à l'époque 0. La position vraie de l'étoile est alors E^
Désignons par o"a, o"q, o"t les variations de a, q, t lorsque l'étoile passe de la position E à la position E", nous aurons immédiatement, en donnant dans les formules du l^i" type du tableau B aux lettres A, B, C, a, h, c le même sens que précédemment et posant
ca = — p, o?^=0, oc = 0, les relations
c'a = — p cot q coséc z, o'q = — p cot a coséc z, 0" t = — p coséc q coséc ^.
Le retard 06, causé par la réfraction, sur le passage apparent de l'étoile par la hauteur :r eu d'ailleurs
06 =15.rf.
En faisant z = 90'^ dans ces foruiules, on obtient les effets de la réfraction sur le lever ou le coucher de l'étoile. Comme vérification, le petit triangle EE'E" donne
E'E'^ EE'.tgE, EE" = EE'sécE, ou
sin -.o'a ^ — p cot q, sin ^ o'f = — p coséc q.
3<^ Calculons encore l'effet de la réfraction sur la réduction au méridien d'un passage observé à un fil quelconque d'une lunette méridienne.
On sait que l'on a très appro.vimativement
p =r A; tg :', avec k =: 58". sin 1', z = z' + p.
Menons par E et E' les arcs de grand cercle EM = f, E'M' = f perpendiculaires à PZ. Les triangles rectangles MEZ, M'E'Z donnent (pg. 38),
sin f =sïn z . sin a, ou /" = a sin z, sin f := sin 2' .sin a, ou f'r^asinz', par suite,
mais
sin z
= z' + k tg z'
donne, en négligeant A*,
sin z =: sin z' + cos z' .k tg z' = sin z' (1 + k),
d'où
f , distance au méridien du fil sur lequel E' est observé à l'époque sidérale 6, est une quantité connue.
La réduction au méridien 56 est donc
26 = /" coséc 'I — f coséc ^ (1 + k) = f coséc S? + s, en posant 1) £ = A-/" coséc !Î.
CIIAP. I. — MOUVEMENT DIURNE d'uNE SEULE ÉTOILE. "117
£ est la correction que la réfraction fait subip à la réduction ordinaire. Si f désigne la distance au fil moyen V„j du fil d'observation, fixe ou mobile, la formule (1) représente la correction, due à la réfraction, de la réduction ordinaire à V„,.
Cette correction s prend des valeurs égales et de signes contraires en même temps que f , c'est-à-dire pour deux fils équidistants de V„. Il est facile de la réduire en table aux arguments /"'et 'X', sa valeur n'est sensible que pour f assez grand et '^ assez petit. ■ Les fils du réticule d'une lunette méridienne étant symétriques relativement à V,„, l'effet de la réfraction se détruit de lui-même pour un astre observé à tous les fils.
Dans l'observation d'une polaire au fil mobile, l'influence de la réfraction sur chaque pointé est beaucoup plus forte que pour toute autre étoile, à cause de la petitesse de '2 et devient sensible dès que f cesse d'être petit. Il faut alors faire les pointés symétriquement par rapport à V,„, pour que leur moyenne ne soit pas affectée de la réfraction.
SUR UNE FORME GÉOMÉTRIQUE DES EFFETS DE LA RÉFRACTION DANS LE MOUVEMENT DIURNE.
Ce travail est divisé en trois parties bien distinctes :
La première donne à la réfraction dans le mouvement diurne une forme géométrique très simple ;
La deuxième contient quelques remarques sur l'influence de la réfraction dans l'orientation du fil polaire des lunettes équatoriales;
La troisième est consacrée à des applications numériques.
1. Pour chaque étoile, nous distinguons deux positions sur la sphère céleste : la position apparente ou vue à travers V atmosphère , et la position vraie ou vue à travers le vide. La différence entre ces deux positions est due à la réfraction astronomique et caractérisée, dans ses principaux traits, par le théorème suivant :
En un jour sidéral, la position apparente d'une étoile décrit une section conique autour de sa positio7i vraie; théorème dont la démonstration est facile.
Sur la sphère céleste, ayant pour centre l'œil de l'observateur terrestre, considérons le triangle PZE qui a :
Pour sommets : P le pôle boréal de la sphère, Z le zénith de l'observateur, E la position vraie de l'étoile ;
Pour côtés: PZ = 9 la colatitude de l'observateur, PE = if la distance polaire de E, ZE == :r la distance zénithale de E;
Pour deux de ses angles: ZPE = t, l'angle horaire, PEZ=:^ l'angle parallactique de E, toujours de même signe.
Les quantités :r, q, correspondantes à chaque valeur de t, sont fournies par les relations élémentaires
. cos 2 = cos 9 cos i£ + sin 9 sin 'I cos t,
(1) I sin 2 cos ^ ^ cos 9 sin ^ — sin 9 cos '£ cos f,
( sin z sin q = sin 9 sin f,
QHAP. I. — MOUVEMENT DIURNE d'uNE SEULE ÉTOILE. 119
réductibles à deux distinctes, et la position apparente e de l'étoile vue à travers l'atmosphère s'obtient en portant sur EZ le petit arc Ee é,^^al à la réfraction R correspondante à la valeur de Z (fig. 39). On sait que de 2 = 0à ^ = 80°, et de 2 = 100° àz = 180% la formule
(^2) R = K tang z
représente sensiblement la réfraction vers le zénith ou le nadir, si
l'on prend K = 58", 3.
Dans le plan tangent en E à la sphère céleste, rapportons e aux axes coordonnés E {x, y), liés invariablement à cette sphère et dirigés respectivement suivant les tangentes en E au cercle horaire et au parallèle de l'étoile; prises, la première dans le sens austral, et la seconde dans le sens occidental.
Les coordonnées x, y de e sont évidemment
X = — R cou q, y = — R sin q ;
et si l'on pose X = -> Y = -' on voit immédiatement, par les ' ^ K K
formules (1), (2), que
tang 9 cos '£ cos t — sin l£
(3) X = — tang z cos q = ■ -. — ^^ : Ti'
^^ ° ^ tang ç) sm 'I cos t -4- cos ^
— tang ç sin t
(4) Y = — tang z sin q = ^ -. — -p -— -,'
^^ ° ^ tang ç sin *X cos t H- cos IJ:
la relation (3) peut s'écrire
(5) tang <D cos t (X sin 'I — cos $) = — (X cos :X + sin if), et l'élimination de cos t entre (3), (4) conduit à
(6) tang 9 sin t (X sin 'i — cos 'I) = Y.
En élevant (5) et (6) au carré, pour les ajouter membre à memi)re, on obtient, comme trajectoire de e autour de E, la conique
(7) tang' 9 {x sin 'I — K cos 'i)' = i/ + (x cos IJ? + K sin [£)%
c'est-à-dire une ellipse, une 'parabole, une hyperbole, suivant que sin' i£ sera inférieur, égal, supérieur à cos' 9.
Ainsi, en un lieu de colatitude 9, le mouvement propre, dû à la réfraction, est le même qu'au lieu antipode do colatitude 180° — 9 : elliptique pour les étoiles circumpolaires qui sont toujours soit levées,
soit couchées; parabolique pour celles qui rasent l'horizon soit en dessus, soit en dessous; hyperbolique pour celles qui se lèvent et se couchent. Dans ce dernier cas, les deux branches de l'hyperbole décrite par une étoile e ne sont visibles, l'une que du lieu de colatitude ç, l'autre que du lieu antipode, et e passe d'une branche à l'autre en traversant l'horizon commun à ces deux lieux.
Il est clair, d'ailleurs, que les arcs de parabole ou hyperbole réellement décrits par e s'arrêtent aux points correspondants à z = 80° ou z = 100°, entre lesquels la réfraction n'est plus représentée sensiblement par K tang z.
En résolvant l'équation (7) par rapport à y-, remplaçant la différence des deux autres termes carrés par le produit de la somme et de la différence des premières puissances, ramenant à riinité le coefficient de X dans chaque facteur, et posant
(8) R, = K tang {'£ — 9), R, = K tang (:^ + ^), R„ :=: K tang 9, on a d'abord
(9) if = — séc' ç cos (S - 9) cos (^ + 9) (x 4- R,) {x + R,); puis, en remai-quant que les formules (8) donnent la relation
(10) (R. — Ri)séc^9Cos(i£— 9)cos(iS4-9) = — 2Ktang9 = — 2Ro, on a finalement
(11) r/ (R, - R,) 4- 2Ro (x + R,) (x + R,) =. Q,
équation de la conique, dans laquelle les coefficients sont formés simplement avec R,, R,, R„, c'est-à-dire avec les réfractions de l'étoile à son passage supérieur, à son passage inférieur et la réfraction du pôle assimilé à une étoile; chaque réfraction étant prise d'ailleurs avec le signe que lui attribue la définition (8) correspondante.
Il est facile, en formant (K^ + R.R^) au moyen des deux premières définitions (8), ce qui donne
(12)(K^+R,R,)cos(iE— 9)cos(^ + 9) = K'cos29 = K2(cos'9 — sin'9), et en divisant (10) par (12) membre à membre, d'établir la relation (13) (R, - R,.) (R^ K^) + 2Ro (R,R, + K') = 0,
qui lie K, R,, R,, R,.
CHAP. I. — MOUVEMENT DIURNE d'uNE SEULE ÉTOILE. 421
2. Les coordonnées x^, y^ du centre G de la conique (li) sont données par les formules
^0 = - 1 (R. + R.), Vo = 0,
et, si l'on y transporte, parallèlement à eux-mêmes, les axes des x,
y, en posant
l'équation de la trajectoire apparente de l'étoile, rapportée à ses axes de symétrie, devient
en posant
(15) 2a = R,-R„ - = R,; d'où -^ ^cos^^d — tang-^tang^^).
3. L'excentricité c de cette conique est donnée par la formule
c''=:l — — "=1 — (cos-9sin^^)séc'i=l — cos^U?(l— tang^^tang'ç). a
Pour le pôle céleste, assimilé à une étoile, la conique se réduit au cercle
qui se réduit lui-même au point q =: 0, r, = 0, pour l'observateur situé au pôle terrestre.
Les foyers de la conique sont situés sur l'axe Ex. Les sommets, situés sur cet axe, sont à des distances respectives x^, x,, de E exprimées par
x, = — R„ Xi = — R^.
Le point E est entre ces sommets si R.^, R, sont de signes contraires, c'est-à-dire si les extrémités des arcs (^ — <p), (f + 5) tombent dans deux quadrants adjacents du cercle trigonométrique ; il est en deçà ou au delà par rapport au pôle P de la spbère céleste, suivant que R,, R, sont tous deux négatifs ou positifs, c'est-à-dire suivant que {'S, — 9), (S? -f- ?) tombent soit dans les 2« et 4% soit dans les l*'" et 3e quadrants.
4. Loi DU MOUVEMENT SUR LA CONIQUE. — La loi ost donnée par les expressions de x et y en fonction de t, tirées de (3), (4), ou par
122 LIVRK m. — LA TERRE ET LE MOUVEMENT DIURNE.
celles de ç, •/;, savoir :
sec ^ coséc 'X cos f 4- tang X tang 9 "* " i — tang^ X tang* ç ces t + cot if cet ç>
sin t
•0 — ;/ — î/o = — K coséc X
cos t + cot 'Jl cot 9 faciles à former, après quelques réductions, ainsi que leurs dérivées
M6) ^' ==. lï = K cot 9 coséc^ 'I ^ '^V.P /n» '
^ dt dt ' (cos t + cot ^ col 9)'
,,^ d-ri dy „ ^ . . , ^ (cos t + tang X tang 9)
(17) — -! = -^ = — K cot 5 cosec- 'X cos ^ — -—=, — — ^^ •
^ ' dt dt ' (cos t + cot iX cot 9)'
Appelons 0 l'angle formé, avec la direction Ea:, par le rayon vecteur de la conique, issu du centre G; cet angle étant compté autour de G à partir de Ex, comme t autour de P, positivement dans le sens rétrograde ou de gauche à droite pour un personnage fictif ayant les pieds au centre de la sphère céleste et la tête en G. On a
tang6=^=m ;; > avec wi = coslî'(tang'^tang'o — 1),
ç cosf+tang^tang9
et, par suite,
,.r.. d^ . ^ , ,„ , ,, (cos t -+- cot ^ cot 0)
(18)~=s.nîta„g,(tang':îtang',-l)^-A^^-p^^^^jj^.cos-e.
Distinguons trois cas :
1° tang- X. tang' 9 -< 1. — L'étoile apparente e est circompolaire et
r/f) décrit des ellipses relatives autour de E. Le signe de — - sera toujours ^ ^ dt ^
contraire à celui de
tang 9 (cos t + cot lî cot 9) ou de tang 9 cot 9 cot î?,
c'est-à-dire de cot X, puisque le facteur (cos f + cot $ cot 9) ne peut s'annuler et a toujours le signe de cot 'S. cot 9.
L'étoile apparente e décrit son ellipse dans le sens direct ou rétrograde suivant que l'étoile vraie E est boréale ou australe.
2'' tang- X tang' 9^1. — L'étoile rase l'horizon au-dessus oii
CHAP. I. — MOUVEMENT DIURNE D'uNE SEULE ÉTOILE. 123
au-dessous, suivant qu'elle est boréale ou australe, et décrit une parabole.
La parabole est décrite dans le sens direct on rétrograde suivant que l'étoile est boréale ou australe.
3" tanï^ '£ tank'' 5 >- 1. — L'étoile se lève et se coucbe en décrivant (70 dt
tang 0 (cos ( 4- cot U? cot (p);
(7 0 une hyperbole. Le signe de -7- est toujours celui de
c'est-à-dire celui de tang 9, du lever au coucher; et de — • tang ç, du
coucher au lever. — change de signe lorsque l'étoile e traverse
l'horizon en sautant d'une branche à l'autre de son hyperbole.
L'étoile e décrit, du lever au coucher, une branche de son hyperbole dans le sens rétrograde ou direct et, du coucher au lever, l'autre branche dans le sejis direct ou rétrograde, suivajit que l'observateur est boréal ou austral.
